Bài toán vận tải phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRÀ GIANG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRÀ GIANG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán tính chất 1.2 Tìm phương án cực biên ban đầu 1.3 Tiêu chuẩn tối ưu 13 1.4 Phương pháp vị 17 1.5 Ví dụ minh họa 19 BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU PHÂN TUYẾN TÍNH 25 2.1 Phát biểu toán 25 2.2 Phương pháp giải 28 2.3 Ví dụ minh họa 38 2.4 Bài toán đối ngẫu 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Bài toán vận tải quen thuộc lý thuyết qui hoạch tuyến tính Trong toán hàm mục tiêu tuyến tính (nghĩa chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển) ràng buộc toán có dạng đặc biệt Nhờ khai thác cấu trúc đặc biệt người ta đề phương pháp giải riêng hiệu hẳn so với việc áp dụng phương pháp đơn hình tổng quát vào toán, đáng ý phương pháp vị, phương pháp qui không ô chọn, phương pháp thu hẹp tắc Có thể xét mở rộng toán vận tải theo nhiều hướng khác nhau, thay đổi điều kiện ràng buộc: vận tải cân cung cầu (cung vượt cầu cầu vượt cung), vận tải có trung chuyển, vận tải có hạn chế lực thông qua, vận tải có vận chuyển ngược; thay đổi dạng hàm mục tiêu: vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính), vận tải với hàm mục tiêu lồi hay lõm, v.v Chẳng hạn, toán vận tải phân tuyến tính tìm phương án vận chuyển làm cực tiểu tỉ số chi phí vận chuyển hàng hoá tổng lợi nhuận thu vận chuyển toàn số hàng Tuy hàm mục tiêu toán phi tuyến, ràng buộc toán có cấu trúc toán vận tải thông thường, vận dụng phương pháp giải toán vận tải biết cho toán vận tải mở rộng Bài toán vận tải tuyến tính có dạng qui hoạch tuyến tính tắc, kiến thức qui hoạch tuyến tính tắc nói chung áp dụng vào toán vận tải tuyến tính nói riêng Ràng buộc toán vận tải tuyến tính phân tuyến tính có cấu trúc vận tải nên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn miền ràng buộc toán có tính chất đặc biệt Có thể khâi thác tính chất để xây dựng thuật toán giẩi riêng, hiệu Luận văn đề cập tới toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính phân tuyến tính: giới thiệu nội dung, mô hình tính chất toán; giới thiệu thuật toán vị giải toán vận tải tuyến tính dạng mở rộng để giải toán vận tải phân tuyến tính Vấn đề đối ngẫu quan hệ đối ngẫu toán vận tải tuyến tính phân tuyến tính đề cập tới Nội dung luận văn chia thành hai chương Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính" trình bày nội dung tính chất toán vận tải tuyến tính Tiếp đó, đề cập tới phương pháp "min cước" phương pháp "góc Tây - Bắc" để tìm phương án cực biên ban đầu toán Sau đó, trình bày sở lý luận nội dung thuật toán vị (một biến thể thuật toán đơn hình) giải hiệu toán vận tải Cuối chương nêu ví dụ số để minh họa cho thuật toán giải Các kiến thức toán vận tải nói chung thuật toán vị nói riêng cần đến chương sau, xét toán vận tải phân tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính" đề cập tới mở rộng toán vận tải tuyến tính, cách thay hàm mục tiêu tuyến tính hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hâm tuyến tính), hàm có tính chất đơn điệu theo phương Dựa vào cấu trúc đặc biệt toán, chương nêu điều kiện để phương án toán tối ưu nêu thuật toán vị mở rộng giải toán Thuật toán có kèm theo ví dụ số để minh họa Cuối chương đề cập tới toán đối ngẫu toán vận tải phân tuyến tính nêu quan hệ đối ngẫu hai toán gốc đối ngẫu, tương tự lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn đề cập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tới nội dung toán vận tải phân tuyến tính, chưa sâu vào chi tiết thực thi thuật toán Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học-Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Người thực Nguyễn Trà Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương xét toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính (chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển), dạng toán qui hoạch tuyến tính đơn giản áp dụng rộng rãi thực tiễn Mục 1.1 giới thiệu mô hình toán tính chất Mục 1.2 nêu phương pháp cước phương pháp góc Tây-Bắc tìm phương án cực biên ban đầu toán Điều kiện tối ưu đưa Mục 1.3 thuật toán vị sở lý luận thuật toán trình bày Mục 1.4 Ví dụ số xây dựng Mục 1.5 Nội dung chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1] , [2] [4] 1.1 Bài toán tính chất Mô hình toán học toán vận tải có dạng sau: m n cij xij → (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) i=1 j=1 với điều kiện: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) n xij = , i = 1, 2, , m (mọi điểm phát giao hết hàng) (1.2) xij = bj , j = 1, 2, , n (mọi điểm thu nhận đủ hàng) (1.3) j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm) (1.4) Ở m kho hàng (điểm phát), n nơi tiêu thụ hàng (điểm thu) lượng hàng có (cung) điểm phát i (i=1,2, ,m) bj lượng hàng cần (cầu) điểm thu j (j=1,2, ,n) cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j xij biểu thị lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i đến điểm thu j Điều kiện cần đủ để toán (1.1) - (1.4) giải phải có điều kiện cân thu phát , nghĩa tổng cung tổng cầu: a1 + a2 + + am = b1 + b2 + + bn (1.5) Bài toán vận tải (1.1) - (1.4) dạng đặc biệt qui hoạch tuyến tính Để thấy rõ điều ta xếp biến số theo thứ tự x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn viết lại hệ ràng buộc (1.2) - (1.3) dạng hệ m + n phương trình m × n biến số xij sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x11 + x12 + + x1n    x21 + x22 + + x2n      xm1 + xm2 + + xmn x11 + x21 + xm1    x12 + x22 + xm2      x1n + x2n + xmn = a1 , = a2 , = am , = b1 , = b2 , = bn Ký hiệu A ma trận hệ số hệ phương trình (gồm m + n hàng m × n cột) x = (x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn )T véctơ cột m × n thành phần, c = (c11 , c12 , , c1n , c21 , c22 , , c2n , , cm1 , cm2 , , cmn )T véc tơ cột m × n thành phần, b = (a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn )T véctơ cột vế phải (m + n thành phần) Bài toán vận tải (1.1) - (1.4) viết lại thành toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc: f = < c, x > → min, Ax = b, x ≥ Ta gọi Aij véctơ cột ma trận A ứng với biến xij Dễ thấy véctơ có hai thành phần dòng thứ i dòng thứ m + j, thành phần khác Véctơ x thỏa mãn (1.2) - (1.4) gọi phương án toán vận tải Một phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi phương án tối ưu hay lời giải Phương án x phương án cực biên véctơ cột Aij ma trận A ứng với xij > độc lập tuyến tính.Sau ta giả thiết có điều kiện cân thu phát (1.5) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do toán vận tải có m+n ràng buộc chính, nên ta nghĩ phương án cực biên có m+n thành phần dương, thực tế có nhiều m+n-1 thành phần dương, số ràng buộc có ràng buộc thừa (có thể bỏ mà không làm ảnh hưởng tới lời giải toán) Một phương án cực biên toán gọi không suy biến số phần tử tập hợp G = {(i, j) : xij > 0} m+n-1, gọi suy biến |G| < m+n-1 Để cho gọn, ta ghi lại liệu toán dạng bảng chữ nhật, gọi bảng vận tải (Bảng 1.1) Bảng gồm m hàng (i = 1, 2, , m) n cột (j = 1, 2, , n) Chỗ giao hàng i, cột j ký hiệu ô (i,j) Mỗi hàng tương ứng với trạm phát, cột tương ứng với trạm thu Số ghi đầu hàng lượng cung, số ghi đầu cột lượng cầu Chi phí vận chuyển cij ghi góc bên trái ô (i,j), lượng hàng vận chuyển xij ghi góc bên phải ô Ô (i,j) biểu thị tuyến đường vận chuyển từ trạm phát i đến trạm thu j Đặt cij = ∞ chuyển hàng từ i đến j Bảng 1.1 Bảng vận tải Thu b1 ··· bj ··· bn Phat a1 c11 ··· ··· cin xij ··· cm1 x1n ··· cij xi1 c1n x1j ··· ci1 am ··· x11 ··· c1j ··· Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ··· cmj xm1 xin ··· xmj cmn xmn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... hình tính chất toán; giới thiệu thuật toán vị giải toán vận tải tuyến tính dạng mở rộng để giải toán vận tải phân tuyến tính Vấn đề đối ngẫu quan hệ đối ngẫu toán vận tải tuyến tính phân tuyến tính. .. trúc toán vận tải thông thường, vận dụng phương pháp giải toán vận tải biết cho toán vận tải mở rộng Bài toán vận tải tuyến tính có dạng qui hoạch tuyến tính tắc, kiến thức qui hoạch tuyến tính. .. vận tải nói chung thuật toán vị nói riêng cần đến chương sau, xét toán vận tải phân tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính" đề cập tới mở rộng toán vận