Bài toán vận tải có vận chuyển ngược

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ THANH HẢO BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ VẬN CHUYỂN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Bài 1.1 1.2 1.3 1.4 toán qui hoạch tuyến Phát biểu toán Sự tồn nghiệm Phương án cực biên Bài toán đối ngẫu tính dạng tắc Bài toán vận tải với biến không âm 2.1 Bài toán vận tải tính chất 2.2 Tìm phương án cực biên ban đầu 2.3 Tiêu chuẩn tối ưu 2.4 Thuật toán vị 2.5 Ví dụ minh họa Bài 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 toán vận tải có vận chuyển ngược Vận chuyển ngược có lợi ích gì? Mô hình toán vận tải có vận chuyển ngược Điều kiện tối ưu Thuật toán giải toán (P) Ví dụ minh họa 7 8 13 13 18 21 26 28 32 32 33 36 38 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng xêmina, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu GS,TS Viện Toán học không quản ngại đường sá xa xôi lên Thái Nguyên giảng dạy cho chúng em Tác giả xin gửi tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô, Ban giám hiệu nhà trường, Ban chấp hành Đoàn, đồng nghiệp công tác quan tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn cao học Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học Toán K4A bạn bè đồng nghiệp gần xa trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Luận văn không hoàn thành thông cảm, giúp đỡ người thân gia đình tác giả Đây quà tinh thần, tác giả xin kính tặng gia đình thân yêu với lòng biết ơn chân thành sâu sắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán vận tải (Transportation problem) qui hoạch tuyến tính quen thuộc toán học ứng dụng Trong toán vận tải dạng bảng cho phép vận chuyển hàng từ trạm phát tới trạm thu, không vận chuyển theo chiều ngược lại (từ trạm thu tới trạm phát) Lời giải thu không cho chi phí vận chuyển nhỏ Đó lời giải xác định chi phí nhỏ cần để vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát tới trạm thu Muốn vậy, cần giải toán phụ trợ: tìm đường ngắn cặp trạm thu - phát Có thể mở rộng toán vận tải cách cho phép vận chuyển hàng theo chiều ngược lại từ trạm thu tới trạm phát Từ dẫn đến mô hình toán vận tải có vận chuyển ngược (Transportation problem with reshipments) Mô hình khác cũ chỗ: biến biểu thị lượng hàng vận chuyển lấy giá trị âm hàm mục tiêu sử dụng dấu giá trị tuyệt đối Trong nhiều trường hợp, vận chuyển ngược làm giảm chi phí vận chuyển Luận văn nghiên cứu đề xuất thuật toán giải cho toán vận tải có vận chuyển ngược, dựa sở trả lời số câu hỏi như: tính chất cho toán vận tải thông thường cho toán vận tải có vận chuyển ngược, tiêu chuẩn tối ưu thay đổi mở rộng thuật toán vị cho toán không Nội dung luận văn chia thành ba chương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương với tiêu đề "Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc" nhắc lại kiến thức toán qui hoạch tuyến tính tắc: điều kiện tồn nghiệm toán, tính chất phương án cực biên, toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Do toán vận tải có dạng toán qui hoạch tuyến tính tắc nên áp dụng kiến thức cho toán vận tải Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải với biến không âm" trình bày nội dung tính chất toán vận tải với biến lấy giá trị không âm Tiếp đó, luận văn trình bày sở lý luận nội dung thuật toán vị (một biến thể thuật toán đơn hình) giải hiệu toán vận tải Để áp dụng thuật toán, đòi hỏi biết phương án cực biên ban đầu toán Vì cách tìm phương án cực biên ban đầu (theo cước phương pháp góc Tây - Bắc) nêu đầy đủ Cuối chương xây dựng ví dụ số để minh họa cho thuật toán giải Các kiến thức toán vận tải nói chung thuật toán vị nói riêng cần đến chương sau, xét toán vận tải có vận chuyển ngược Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải có vận chuyển ngược" đề cập tới mở rộng toán vận tải với biến không âm, cho phép vận chuyển hàng theo chiều ngược lại từ trạm thu tới trạm phát Mô hình toán vận tải có vận chuyển ngược có dạng toán qui hoạch lồi ràng buộc tuyến tính với biến lấy giá trị tùy ý (dương, âm hay 0) hàm mục tiêu sử dụng dấu giá trị tuyệt đối Dựa vào cấu trúc đặc biệt mô hình, chương nêu cách đưa toán vận tải có vận chuyển ngược toán qui hoạch tuyến tính tắc với cấu trúc gần giống toán vận tải thông thường Từ nêu điều kiện tối ưu đề xuất thuật toán vị mở rộng giải toán Cuối chương xây dựng ví dụ số minh họa cho thuật toán giải Nội dung chương hình thành dựa ý tướng nêu tài liệu [5] tác giả luận văn trình bày chi tiết báo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đăng Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thấi Nguyên, Tập 90, số 02, 2012, trang 107 - 112 Do thời gian kiến thức hạn nên luận văn dừng lại vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn chắn tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy cô bạn đọc Tác giả Trịnh Thị Thanh Hảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc Chương nhắc lại số khái niệm tính chất toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc Cụ thể xét tồn nghiệm toán, tính chất phương án cực biên vấn đề đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Các kiến thức cần đến cho chương sau Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [6] 1.1 Phát biểu toán Bài toán tắc có dạng:  n   f (x) ≡ cj xj → min,    j=1   n aij xj = bi , i = 1, 2, , m,    j=1     xj ≥ 0, j = 1, 2, , n Trong toán aij , bi , cj số thực cho trước, f (x) gọi n aij xj = bi gọi ràng buộc chính, hàm mục tiêu Mỗi đẳng thức j=1 bất đẳng thức xj ≥ gọi ràng buộc dấu (Đặc điểm toán tắc ràng buộc đẳng thức biến không âm) Điểm thỏa mãn ràng buộc gọi điểm chấp nhận được, hay phương án Tập hợp tất phương án, ký hiệu D, gọi miền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ràng buộc hay miền chấp nhận Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu hay lời giải toán cho 1.2 Sự tồn nghiệm Đinh lý sau cho điều kiện cần đủ để toán qui hoạch tuyến tính có lời giải Định lý 1.1 (Về tồn lời giải toán qui hoạch tuyến tính) Nếu qui hoạch tuyến tính có phương án hàm mục tiêu bị chặn miền ràng buộc (đối với toán min) toán chắn có phương án tối ưu Nhận xét 1.1 Kết luận định lý nói chung không với toán qui hoạch tuyến tính (hàm mục tiêu tuyến tính miền ràng buộc tập lồi đa diện) Để rõ ta xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1.1 f = x2 → , với điều kiện x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ Miền chấp nhận D = x ∈ R2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ tập lồi khác rỗng hàm mục tiêu bị chặn miền này: x2 ≥ với x = (x1 , x2 ) ∈ D Điểm (1/ε, ε) ∈ D với ε > 0, (x1 , 0) ∈ D.Vì cận x2 không đạt điểm thuộc D Cũng lấy ví dụ với hàm mục tiêu phi tuyến miền ràng buộc tập lồi đa diện cho thấy định lý không Ví dụ 1.2 Cho hàm f (x) = 1+x2 , x ∈ R Ta thấy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R inf f (x) = Hàm không đạt cực x∈R tiểu R 1.3 Phương án cực biên Một phương án x ∈ D mà đồng thời đỉnh D gọi phương án cực biên, nghĩa x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai phương án khác D Nói cách khác, x = λx1 + (1 − λ)x2 với < λ < x1 , x2 ∈ D phải có x0 = x1 = x2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý sau nêu tính chất đặc trưng phương án cực biên toán qui hoạch tuyến tính tắc Định lý 1.2 Để phương án x0 = x01 , x02 , , x0n toán qui hoạch dạng tắc phương án cực biên, cần đủ véctơ cột Aj ma trận A ứng với thành phần x0j > độc lập tuyến tính Hệ 1.1 Số phương án cực biên toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc hữu hạn Hệ 1.2 Số thành phần dương phương án cực biên toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc tối đa m (m số hàng ma trận A) Người ta phân hai loại phương án cực biên: phương án cực biên có số thành phần dương m, gọi phương án cực biên không suy biến Trái lại, gọi phương án cực biên suy biến Định lý 1.3 Nếu toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc có phương án có phương án cực biên (miền ràng buộc D có đỉnh) Định lý 1.4 Nếu toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc có phương án tối ưu có phương án cực biên tối ưu 1.4 Bài toán đối ngẫu Đối ngẫu phương pháp mà ứng với toán qui hoạch tuyến tính cho (gọi toán gốc), ta thiết lập toán qui hoạch tuyến tính khác (gọi toán đối ngẫu) cho từ lời giải toán ta thu thông tin lời giải toán Vì thế, để có hiểu biết cần thiết toán việc nghiên cứu toán đối ngẫu lại tỏ thuận tiện Hơn nữa, phân tích đồng thời hai toán gốc đối ngẫu ta rút kết luận sâu sắc mặt toán học lẫn ý nghĩa thực tiễn Ta định nghĩa đối ngẫu toán qui hoạch tuyến tính tắc, ký hiệu toán (P): f (x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → min, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, , m, xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, toán, ký hiệu toán (Q): g(y) = b1 y1 + b2 y2 + + bm ym → max, a1j y1 + a2j y2 + + amj ym ≤ cj , j = 1, 2, , n Ở đây, ràng buộc có dấu "=" nên biến đối ngẫu tương ứng ràng buộc dấu (các biến yi có dấu tùy ý) Dưới dạng véctơ -ma trận, ta viết Bài toán gốc: f (x) =< c, x >→ Ax = b, x ≥ Bài toán đối ngẫu: g(y) =< b, y >→ max AT y ≤ c Định lý 1.5 (Đối ngẫu yếu) Nếu x phương án toán gốc (P ) y phương án toán đối ngẫu (Q) f (x) = c1 x1 + + cn xn ≥ g(y) = b1 y1 + + bm ym Thật vậy, x phương án toán (P ) y phương án toán (Q) nên Ax = b, AT y ≤ c, x ≥ Từ ta có f (x) = c, x ≥ AT y, x = y, Ax = y, b = g(y) 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... toán vận tải có vận chuyển ngược Vận chuyển ngược có lợi ích gì? Mô hình toán vận tải có vận chuyển ngược Điều kiện tối ưu Thuật toán giải toán (P) ... thuật toán giải Các kiến thức toán vận tải nói chung thuật toán vị nói riêng cần đến chương sau, xét toán vận tải có vận chuyển ngược Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải có vận chuyển ngược" ... hợp, vận chuyển ngược làm giảm chi phí vận chuyển Luận văn nghiên cứu đề xuất thuật toán giải cho toán vận tải có vận chuyển ngược, dựa sở trả lời số câu hỏi như: tính chất cho toán vận tải thông