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❣✐↔♠ tê♥❣ q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t dij ≤ {ai , bj } Số hóa trung tâm học liệu ✈ỵ✐ ♠å✐ ✐ ✈➔ ❥✱ ❜ð✐ ✈➻ ✈ỵ✐ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ✼ dij ≥ {ai , bj } t❤➻ r➔♥❣ ❜✉ë❝ xij ≤ dij trð ♥➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝➛♥ t❤✐➳t✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ë♥❣ ✭✶✳✹✮ t❤❡♦ ♠å✐ ❥ ✈➔ s♦ s→♥❤ ✈ỵ✐ ✭✶✳✷✮❀ s❛✉ ✤â ❝ë♥❣ ✭✶✳✹✮ t❤❡♦ ♠å✐ ✐ ✈➔ s♦ s→♥❤ ✈ỵ✐ ✭✶✳✸✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✺✮ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ ❧➔ n ≤ m dij , ∀i = 1, , m ✈➔ bj ≤ j=1 dij , ∀j = 1, , n ✭✶✳✼✮ i=1 ◆➳✉ ✈✐ ♣❤↕♠ ✭✶✳✼✮ ✭tù❝ dij ❦❤ỉ♥❣ ✤õ ❧ỵ♥ s♦ ✈ỵ✐ ♥❤✉ ❝➛✉ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥✮ t❤➻ ❞ò ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉ ✭✶✳✺✮✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➝♥ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✷✮ ✲ ✭✶✳✹✮✱ ❞♦ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝✳ ❚r♦♥❣ t❤ü❝ ❤➔♥❤✱ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ t❤÷í♥❣ ♥❣÷í✐ t❛ ♣❤↔✐ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ dij ❞➛♥ ❝→❝ ❤➺ sè ♠ët ❝→❝❤ t❤➼❝❤ ❤đ♣✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✶✳✼✮ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✺✮ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝✱ ♥❤÷ ❝❤➾ r❛ ð ✈➼ ❞ư ✤ì♥ ❣✐↔♥ s❛✉✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✶ ✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✈ỵ✐ ♠ ❂ ✸ tr↕♠ ♣❤→t ✈➔ ♥ ❂ ✸ tr↕♠ t❤✉✳ ▲÷đ♥❣ ❝✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ tr↕♠ ♣❤→t ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❝➛✉ ❝õ❛ ❝→❝ tr↕♠ t❤✉ ❧➛♥ 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d11 ✭✶✺ tỉ ✤➟♠✱ ♠➔✉ ✤ä✮✳ ❚✐➳♣ ✤â✱ ♣❤➙♥ ✈➔♦ ỉ ✭✶✱ ✷✮ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣✿ x12 = {a1 − 15, b2 , d12 } = {25, 30, 20} = 20 = d12 ✭✷✵ tỉ ✤➟♠✱ ♠➔✉ ✤ä✮✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ♣❤➙♥ ✈➔♦ ỉ ✭✶✱ ✸✮ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣✿ x13 = {a1 − 15 − 20, b3 , d13 } = {5, 40, 25} = < d13 ✭ỉ ❝ì sð ✧•✧✮✳ • • ❍➔♥❣ t❤ù ❤❛✐✿ ▲➛♥ ❧÷đt ♣❤➙♥ ❤➔♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ỉ ✭✷✳ ✶✮✱ ✭✷✳ ✷✮ ✈➔ ✭✷✳ ✸✮✳ ❍➔♥❣ t❤ù ❜❛✿ ▲➛♥ ❧÷đt ♣❤➙♥ ❤➔♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ỉ ✭✸✳ ✸✮ ✈➔ ✭✸✳ ✹✮✳ ✣➦t xij = ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ ỉ ❝á♥ ❧↕✐ ✭❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❤➔♥❣✮✳ ❑➳t q✉↔ ❧➔ t❛ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ✭❣ç♠ ✻ ỉ ❝ì sð ✧•✧✮ ❣❤✐ ð ❇↔♥❣ ✶✳✸✳ ❚r♦♥❣ ỉ ✭✐✱ ❥✮✿ sè ❣❤✐ ð ❣â❝ tr➯♥ ❜➯♥ tr→✐ ❧➔ ♣❤↔✐ ❧➔ dij ✈➔ sè ❣❤✐ ð ❤➔♥❣ ❞÷ỵ✐ ❧➔ xij cij ✱ sè ❣❤✐ ð ❣â❝ tr➯♥ ❜➯♥ ✭sè ✐♥ ✤➟♠ ♠➔✉ ✤ä ❝❤➾ ➷ ❝ì sð ✤→♥❤ ❞➜✉ ✧•✧✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ xij = dij ✮✳ ✸✻ m n = n ui yij i=1 m = m + j=1 vj ui (ai + yi0 ) + i=1 vj bj n ui + i=1 ✭❞♦ ② t❤♦↔ ♠➣♥ ✭✸✳✷✮ ✈➔ ✭✸✳✸✮✮ m vj bj + j=1 m ui yi0 n xij − xi0 ui i=1 ✭t→❝❤ tê♥❣ ✤➛✉ t❤➔♥❤ ✷ tê♥❣✮ i=1 n = ✭t→❝❤ t❤➔♥❤ ✷ tê♥❣✮ i=1 j=1 m = yij j=1 n m + j=1 vj j=1 m xij + i=1 ui yi0 i=1 ✭❞♦ ① t❤♦↔ ♠➣♥ ✭✸✳✷✮ ✈➔ ✭✸✳✸✮✮ m n m = ui (yi0 − xi0 ) (ui + vj )xij + i=1 j=1 ✭❣❤➨♣ ✈➔ t→❝❤ ❝→❝ tê♥❣✮ i=1 m n = cij xij ui (yi0 − xi0 ) + i=1 j=1 + ui yi0 + (i,0)∈G,x / i0 =0 (i,0)∈G ui (yi0 − ei ) (i,0)∈G,x / i0 =ei ✭❞♦ ui + vj = cij ∀ (i, j) ∈ G, xij = (i, j) ∈ /G ✈➔ t→❝❤ tê♥❣ s❛✉ t❤➔♥❤ ✸ tê♥❣✮ m n ≥ cij xij = f (x) i=1 j=1 ✭❞➜✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧➔ ❞♦ ≤ yi0 ≤ ei ∀i✱ ✭✸✳✻✮✱ ✭✸✳✼❛✲❜✮✮✳ ✸✳✸✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ ✤✐ ✤➳♥ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮ ❣ç♠ ❝→❝ ❜÷ỵ❝ s❛✉✿ ❇÷ỵ❝ ✵ ✭❚➻♠ t➟♣ ❤đ♣ ỉ ❝❤å♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉✮✳ ❚➻♠ (1 ≤ k ≤ m) d = b1 + + bn ✳ ❝❤➾ sè ❦ ♥❤ä ♥❤➜t t❤♦↔ ♠➣♥ a1 + + ak + ak+1 + + am ≥ ✣➦t ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝✉♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝❤♦ ❝→❝ tr↕♠ ♣❤→t ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ i = , k − 1, = d − (a1 + + ak−1 + ak+1 + + am ) ✈ỵ✐ ♠å✐ i = k + , m ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ m×n Số hóa trung tâm học liệu ✈ỵ✐ i=k ✭❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉✮✱ ✈ỵ✐ ✈➨❝tì ❝✉♥❣ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ✸✼ a = (a1 , , am ) ✈➔ ✈➨❝tì ❝➛✉ b = (b1 , , bn )✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ x0ij ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ❬✶❪✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ tè✐ ÷✉ t❤➳ ✈à tè✐ ÷✉ t÷ì♥❣ ù♥❣ • (i, 0) ∈ /G • x0ij = ui , vj ✈ỵ✐ ♠å✐ ✐, ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥➳✉ G ❣ç♠ G ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿ ♠ ✰ ♥ ✲ ✶ ỉ ❦❤ỉ♥❣ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝❤✉ tr➻♥❤✱ (i, j) ∈ / G, j = 0✱ • uk = 0, ui + vj ≤ cij • ui + vj = cij ✈➔ t➟♣ ❤đ♣ ỉ m×n ✈ỵ✐ ♠å✐ (i, j) , j = 0✱ (i, j) ∈ G✳ G ∪ {(k, 0)} ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ỉ ❝❤å♥ ❝õ❛ ✭P✮ ✈➔ x = [xij ]m×(n+1) = xi0 = ei ∀i < k, xk0 = ak − ak , xi0 = ∀i > k, xij = x0ij ∀ (i, j) , j = ❧➔ ❈â t❤➸ ❦✐➸♠ tr❛ t❤➜② r➡♥❣ G = ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ✭P✮ ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤➳ ✈à ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♥❣ ✈➔ ❝ët ❧➔ ui , vj ✳ ❇÷ỵ❝ ✶ ✭❑✐➸♠ tr❛ tè✐ ÷✉✮✳ ◆➳✉ ❝→❝ t❤➳ ✈à ui , vj t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❛✮ ✲ ❝✮ ❝õ❛ ✭✸✳✼✮ t❤➻ ❞ø♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔✐✿ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ① ❤✐➺♥ ❝â ❧➔ tè✐ ÷✉✳ ❚r→✐ ❧↕✐✱ s➩ ①↔② ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❧♦↕✐ trø ♥❤❛✉ s❛✉ ✤➙②✿ ui < ✈ỵ✐ ✐ ♥➔♦ ✤â ♠➔ (i, 0) ∈ / G ✈➔ xi0 = 0✳ ❜✮ ui > ✈ỵ✐ ✐ ♥➔♦ ✤â ♠➔ (i, 0) ∈ / G ✈➔ xi0 = ei ✳ ❝✮ ui + vj > cij ✈ỵ✐ ➼t ♥❤➜t ♠ët ỉ (i, j) ∈ / G, j = 0✳ ❛✮ ❚r♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❇÷ỵ❝ ✷✳ ❇÷ỵ❝ ✷ ✭❚➻♠ ỉ ❝❤å♥ ♠ỵ✐✮✳ ❚r÷ỵ❝ ❤➳t✱ ①➨t r✐➯♥❣ tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ui0 < ✈ỵ✐ ≤ i0 ≤ m, (i0 , 0) ∈ / G, xi0 = 0✳ ✿ ❚➻♠ ❜ð✐ ỉ (i0 , 0) ✈ỵ✐ ❝→❝ ỉ t❤✉ë❝ ●✳ ●✐↔ sû ❈ ❝â ❞↕♥❣ ❛✮ ♥➯♥ ❝❤✉ tr➻♥❤ ❈ t↕♦ (i0 , 0) , (i1 , 0) , (i1 , j1 ) , (i2 , j1 ) , , (ik , jk ) , (i0 , jk ) , k ≥ 1, , ∀j1 , , jk > P❤➙♥ ❝→❝ ỉ t❤✉ë❝ ❈ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❧♦↕✐ C1 ✈➔ C2 t❤❡♦ q✉✐ t➢❝✿ ①➳♣ ỉ (i0 , 0)✈➔♦ C1 ỉ (i1 , 0) ✈➔♦ C2 ✳ ❈→❝ ỉ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❈ ✭tr➯♥ ❝ët j = ✮✱❜➢t ✤➛✉ tø ỉ (i1 , j1 ) ✤÷đ❝ ❧➛♥ ❧÷đt ①➳♣ ✈➔♦ C2 ✈➔ C1 ✳ ●✐→ trà ❜✐➳♥ xi0 s➩ t➠♥❣ ✈➔ (i0 , 0) s➩ trð t❤➔♥❤ ỉ ❝❤å♥ ♠ỵ✐ ♥➳✉ ❣✐→ trà ♠ỵ✐ ❝õ❛ ♥â ❝❤÷❛ ✤↕t tỵ✐ ❝➟♥ tr➯♥ ei0 ✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ✸✽ ui0 > ✈ỵ✐ ≤ i0 ≤ m, (i0 , 0) ∈ / G, xi0 = ei0 ✳ ❈❤✉ tr➻♥❤ ❈ (i0 , 0) ✈ỵ✐ ❝→❝ ỉ t❤✉ë❝ ● ✤÷đ❝ t➻♠ ♥❤÷ tr÷ỵ❝ ✤➙②✳ ●✐↔ sû ❈ ❝â ❜✮ ỉ t↕♦ ❜ð✐ ❞↕♥❣✿ (i0 , 0) , (i1 , 0) , (i1 , j1 ) , (i2 , j1 ) , , (ik , jk ) , (i0 , jk ) , k ≥ 1, , ∀j1 , , jk > ●✐→ trà ❜✐➳♥ xi0 s➩ ❣✐↔♠ ✈➔ (i0 , 0) s➩ trð t❤➔♥❤ ỉ ❝❤å♥ ♠ỵ✐ ♥➳✉ ❣✐→ trà ♠ỵ✐ ❝õ❛ ♥â ✈➝♥ ❞÷ì♥❣✳ ❱➻ t❤➳✱ t❛ ♣❤➙♥ ❝→❝ ỉ t❤✉ë❝ ❈ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❧♦↕✐ C1 C2 C2 t❤❡♦ 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♠ỵ✐ ❧➔ ●✬ ✭❦❤ỉ♥❣ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝❤✉ tr➻♥❤✮ ✈ỵ✐ G = (G − {(p, q)}) ∪ (i0 , 0) ❇÷ỵ❝ ✹ ❤♦➦❝ (r, s) ✳ ✭▲➟♣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ♠ỵ✐✮✳ ✣✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ♣❤÷ì♥❣ →♥✿ / C, xij ♥➳✉ (i, j) ∈ xij = x + h ♥➳✉ (i, j) ∈ C1 , ij xij − h ♥➳✉ (i, j) ∈ C2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ✸✾ ❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ x = xij m×(n+1) ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ✭P✮ tr➯♥ ●✬✳ ❚➼♥❤ ❧↕✐ ❝→❝ t❤➳ ✈à ✭✤è✐ ✈ỵ✐ ●✬✮ t❤❡♦ ✭✸✳✻✮ ✈➔ q✉❛② ❧↕✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❇÷ỵ❝ ✶✳ x = [xij ]m×(n+1) ❝õ❛ ✭P✮ tr➯♥ t➟♣ ỉ ❝❤å♥ ● ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ♥➳✉ xij > ∀ (i, j) ∈ G, j = ✈➔ < xi0 < ei ∀ (i, 0) ∈ G✱ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ s✉② ❜✐➳♥ ♥➳✉ tr→✐ ❧↕✐ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝â xij = ✈ỵ✐ (i, j) ∈ G ❤♦➦❝ ❝â xi0 = ei ✈ỵ✐ (i, 0) ∈ G)✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮ ❝â t❤➸ ❣➦♣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ s✉② ❜✐➳♥ ✈➔ ❝â ♥❣✉② ❝ì ①↔② r❛ ①♦❛② ✈á♥❣ ✿ ❣➦♣ ❧↕✐ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ✤ó♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ✈➔ t➟♣ ỉ ❝❤å♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ tr÷ỵ❝ ✤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr➯♥ t❤ü❝ t➳ ❤✐➺♥ t÷đ♥❣ ♥➔② ❝ơ♥❣ ❤✐➳♠ ❦❤✐ ①↔② r❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ ✭P✮✳ ❱➻ t❤➳✱ t❛ ❦❤ỉ♥❣ q✉→ ❜➟♥ t➙♠ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✳ ❚❛ ✈➝♥ ❝â ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✶ ◆➳✉ ♠å✐ 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❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ s❛✉✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❘✮✿ m (R) n f (x) ≡ cij xij → ✭✸✳✶✹✮ i=1 j=1 n xij + xi0 = , i = 1, 2, , m, ✭✸✳✶✺✮ xij + x0j = bj , j = 1, 2, , n, ✭✸✳✶✻✮ xij ≥ 0, i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n, ✭✸✳✶✼✮ ≤ xi0 ≤ ei ≡ − , i = 1, 2, , m, ✭✸✳✶✽✮ ≤ x0j ≤ fj = bj − bj , j = 1, 2, , n, ✭✸✳✶✾✮ j=1 m i=1 xij ❜✐➸✉ t❤à ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❝➛♥ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ tø tr↕♠ ♣❤→t ✐ tỵ✐ tr↕♠ t❤✉ ❥✱ xi0 ✭✐ ❂✶✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ♠✮✱ ❜✐➸✉ t❤à ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❝á♥ ❞÷ s♦ ✈ỵ✐ ♠ù❝ ❝✉♥❣ tè✐ ✤❛ ❝õ❛ tr↕♠ ♣❤→t ✐ ✭s❛✉ ❦❤✐ ❝❤✉②➸♥ ❤➔♥❣ tỵ✐ ♠å✐ tr↕♠ t❤✉✮ ✈➔ ♥✮ ❜✐➸✉ t❤à ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❝á♥ t❤✐➳✉ s♦ ✈ỵ✐ ♠ù❝ ❝➛✉ tè✐ ✤❛ x0j ✭❥ ❂ ✶✱ ✳ ✳ ✳ ✱ bj ❝õ❛ tr↕♠ t❤✉ ❥ ✭s❛✉ ❦❤✐ ♥❤➟♥ ❤➔♥❣ tø ♠å✐ tr↕♠ ♣❤→t✮✳ ≤ xi0 ≤ ei ≡ − , (i = 1, 2, , m) ≤ x0j ≤ fj ≡ bj − bj , (j = 1, 2, , n) ❚ø ✭✸✳✶✵✮✱ ✭✸✳✶✺✮ s✉② r❛ ✭✸✳✶✶✮✱ ✭✸✳✶✻✮ s✉② r❛ ✈➔ tø ❈â t❤➸ t❤➜② ✭✸✳✶✹✮ ✲ ✭✸✳✶✾✮ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❞↕♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ✈ỵ✐ ♠ët sè ❜✐➳♥ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ✭❞♦ ❝â ✭✸✳✶✽✮ ✲ ✭✸✳✶✾✮✮✳ ❱➻ t❤➳✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♣❤÷ì♥❣ →♥✱ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ❉♦ ❜➔✐ 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