Mưc n y · cªp tỵi b i to¡n vªn t£i vỵi r ng buëc hai ph½a èi vỵi c£ l÷đng cung v l÷đng c¦u, ngh¾a l l÷đng cung, c¦u khỉng qui ành tr÷ỵc m câ thº thay êi trong mët kho£ng n o â. B¬ng kÿ thuªt th¶m ©n phư, ta s³ ÷a nâ v· b i to¡n vªn t£i vỵi mët sè bi¸n câ r ng buëc cªn tr¶n v ¡p dưng thuªt to¡n tr¼nh b y ð Ch÷ìng 1 º gi£i.
Cư thº ta x²t b i to¡n: Gi£ sû câ mët lo¤i h ng c¦n vªn chuyºn tø m iºm cung c§p (tr¤m ph¡t), i = 1, . . . , m, tỵi n iºm ti¶u thư (tr¤m thu), j = 1, . . . , n. Cho bi¸t kh£ n«ng cung c§p cõa tr¤m ph¡t i thuëc kho£ng cho tr÷ỵc [ai, ai] (0 ≤ ai ≤ ai), nhu c¦u ti¶u thư cõa tr¤m thu j thuëc kho£ng
bj, bj 0≤ bj ≤ bj v chi ph½ vªn chuyºn mët ìn và h ng tø tr¤m ph¡t i tỵi tr¤m thu j l cij > 0.
B i to¡n °t ra l h¢y t¼m mët ph÷ìng ¡n vªn chuyºn h ng tø c¡c tr¤m ph¡t tỵi c¡c tr¤m thu sao cho têng chi ph½ vªn chuyºn l nhä nh§t?
Mỉ h¼nh to¡n håc cõa b i to¡n câ d¤ng:
f (x) ≡ m X i=1 n X j=1 cijxij →min (3.9) ai ≤ n X j=1 xij ≤ ai, i= 1,2, ..., m, (3.10) bj ≤ m X i=1 xij ≤ bj, j = 1,2, ..., n, (3.11) xij ≥0, i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n, (3.12) (xij biºu thà l÷đng h ng c¦n vªn chuyºn tø tr¤m ph¡t i tỵi tr¤m thu j). Kþ hi»u: a = m X i=1 ai, a = m X i=1 ai, b = n X j=1 bj, b = n X j=1 bj
D¹ th§y r¬ng i·u ki»n c¦n v õ º b i to¡n (3.9) - (3.12) câ líi gi£i l
[a, a]∩
b, b 6= ∅ (3.13)
Thªt vªy, i·u ki»n c¦n l hiºn nhi¶n (v¼ têng c¡c bi¸n xij trong (3.10) b¬ng têng c¡c bi¸n xij trong (3.11)). Ng÷đc l¤i, n¸u câ i·u ki»n (3.13) th¼ s³ t¼m ÷đc c¡c sè a1, a2, . . . , am v b1, b2, . . . , bn sao cho ai ≤ ai ≤
ai, bj ≤ bj ≤ bj v a1+a2+. . .+am = b1+b2+. . .+bn (c¥n b¬ng cung c¦u).
C¡c i·u ki»n n y b£o £m cho b i to¡n (3.9) - (3.12) câ ph÷ìng ¡n, do â câ ph÷ìng ¡n tèi ÷u (líi gi£i).
º câ thº vªn dưng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n vªn t£i ¢ câ, ta t¼m c¡ch ÷a b i to¡n (3.9) - (3.12) v· d¤ng ¯ng thùc (r ng buëc ch½nh câ d§u b¬ng). Muèn th¸, ta ÷a v o r ng buëc (3.10) c¡c ©n phư xi0 (i =1, . . . , m) v r ng buëc (3.11) c¡c ©n phư x0j (j = 1, . . . , n). Ta i
¸n mỉ h¼nh b i to¡n nh÷ sau, kþ hi»u b i to¡n (R): (R) f (x) ≡ m X i=1 n X j=1 cijxij →min (3.14) n X j=1 xij+xi0 = ai, i= 1,2, ..., m, (3.15) m X i=1 xij+x0j = bj, j = 1,2, ..., n, (3.16) xij ≥0, i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n, (3.17) 0 ≤ xi0 ≤ ei ≡ ai −ai, i = 1,2, ..., m, (3.18) 0 ≤ x0j ≤fj = bj −bj, j = 1,2, ..., n, (3.19)
xij biºu thà l÷đng h ng c¦n vªn chuyºn tø tr¤m ph¡t i tỵi tr¤m thu j, xi0
(i =1, . . . , m), biºu thà l÷đng h ng cán d÷ so vỵi mùc cung tèi a cõa tr¤m ph¡t i (sau khi chuyºn h ng tỵi måi tr¤m thu) v x0j (j = 1, . . . , n) biºu thà l÷đng h ng cán thi¸u so vỵi mùc c¦u tèi a bj cõa tr¤m thu j (sau khi nhªn h ng tø måi tr¤m ph¡t).
Tø (3.10), (3.15) suy ra 0 ≤ xi0 ≤ ei ≡ ai −ai,(i = 1,2, ..., m) v tø (3.11), (3.16) suy ra 0 ≤ x0j ≤fj ≡bj −bj,(j = 1,2, ..., n).
Câ thº th§y (3.14) - (3.19) l mët b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh d¤ng °c bi»t vỵi mët sè bi¸n bà ch°n tr¶n (do câ (3.18) - (3.19)). V¼ th¸, c¡c kh¡i ni»m ph÷ìng ¡n, ph÷ìng ¡n cüc bi¶n, ph÷ìng ¡n tèi ÷u ÷đc hiºu theo ngh¾a thỉng th÷íng.
Do b i to¡n (R) câ c§u trĩc kh¡ °c thị (g¦n vỵi c§u trĩc b i to¡n vªn t£i quen thuëc, ch¿ kh¡c ð ché câ th¶m c¡c bi¸n bà ch°n tr¶n xi0 v
x0j, n¶n n¸u ch¿ sû dưng ìn thu¦n thuªt to¡n xû lþ bi¸n bà ch«n tr¶n èi vỵi qui ho¤ch tuy¸n t½nh têng qu¡t th¼ s³ k²m hi»u qu£, do sè bi¸n trong b i to¡n t«ng nhanh theo t½ch m ×n. V¼ th¸, khai th¡c c§u trĩc °c bi»t cõa b i to¡n º t¼m ra thuªt to¡n gi£i hi»u qu£ l r§t c¦n thi¸t v câ þ ngh¾a c£ v· lþ thuy¸t l¨n ùng dưng thüc ti¹n.
Sau ¥y ta s³ ch¿ ra r¬ng (R) qui ÷đc v· b i to¡n vªn t£i vỵi mët sè ½t bi¸n câ r ng buëc cªn tr¶n. L§y têng c¡c r ng buëc (3.15) theo i ta
÷đc m X i=1 n X j=1 xij+ m X i=1 xi0 = m X i=1 ai =a °t x00 = m P i=1 n P j=1
xij, ta câ (têng c¡c bi¸n ð cët j = 0) m
X
i=0
xi0 = a. (3.20)
T÷ìng tü, l§y têng c¡c r ng buëc (3.16) theo j ta ÷đc n X j=1 m X i=1 xij+ n X j=1 x0j = n X j=1 bj =b.
Tø â (têng c¡c bi¸n theo h ng i = 0) n
X
j=1
x0j = b (3.21)
°t a0 = b (l÷đng cung cõa tr¤m ph¡t i = 0),b0 = a (l÷đng c¦u cõa tr¤m thu j = 0). Chĩ þ tỵi (3.20), (3.21) ta câ thº vi¸t l¤i b i to¡n (3.14) - (3.19) d÷ỵi d¤ng: (R0) f (x) ≡ m X i=1 n X j=1 cijxij → min (3.22) n X j=0 xij = ai, i = 0,1, ..., m, (3.23) m X i=0 xij = bj, j = 0,1, ..., n, (3.24) xij ≥ 0, i= 0,1, ..., m, j = 0,1, ..., n, (3.25) 0≤ xi0 ≤ ei ≡ ai −ai, i = 1,2, ..., m, (3.26) 0≤ x0j ≤ fj ≡ bj −bj, j = 1,2, ..., n, (3.27) ¡ng chĩ þ l vỵi b i to¡n n y ta câ têng cung b¬ng têng c¦u = a+b:
.
B i to¡n (3.22) - (3.27) l b i to¡n vªn t£i câ h¤n ch¸ kh£ n«ng l÷u thỉng, vỵi (m + 1) tr¤m ph¡t v (n + 1) tr¤m thu, trong â xi0 v x0j l c¡c bi¸n câ r ng buëc cªn tr¶n. Ta câ thº ¡p dưng thuªt to¡n tr¼nh b y ð Ch÷ìng 1 º gi£i b i to¡n n y.
V½ dư 3.1. Gi£i b i to¡n vªn t£i (3.9) - (3.12) vỵi l÷đng cung, c¦u thay êi, vỵi m = 3 tr¤m ph¡t, n = 4 tr¤m thu v vỵi c¡c dú li»u sau.
- V²ctì cung mùc th§p A = (50 60 70) vỵi têng a = 180 - V²ctì cung mùc cao A = (100 120 180) vỵi têng a = 400 - V²ctì c¦u mùc th§p B = (40 50 60 70) vỵi têng b = 220. - V²ctì cung mùc cao B = (150 80 100 120) vỵi têng b = 450 - Ma trªn c÷ỵc ph½: C = 1 9 5 6 2 9 8 4 3 4 2 1
Gi£i. V½ dư n y tho£ m¢n i·u ki»n gi£i ÷đc (3.13): [180,400]∩[220,450] = [220,400] 6= ∅
X¥y düng b i to¡n vªn t£i t÷ìng ÷ìng (R') cï (m + 1)×(n + 1) = 4×5:
B£ng 3.2. Tªp ỉ chån v ph÷ìng ¡n tèi ÷u
Tø â ta x¡c ành ÷đc mùc cung, c¦u tèi ÷u cho c¡c tr¤m thu, ph¡t v ph÷ìng ¡n vªn chuyºn tèi ÷u nh÷ sau (B£ng 3.3).
B£ng 3.3. Ph÷ìng ¡n tèi ÷u (fmin = 560)
D§u g¤ch ngang tr¶n (d÷ỵi) c¡c sè ð h ng Thu - cët Ph¡t trong B£ng 3.3 cho bi¸t l÷đng c¦u cõa c¡c tr¤m thu t÷ìng ùng ¤t mùc tèi a bj
(tèi thiºu bj) v l÷đng cung cõa tr¤m ph¡t t÷ìng ùng ¤t mùc tèi a
trong B£ng 3.1 - 3.2 cho bi¸t gi¡ trà bi¸n xi0(x0j) t÷ìng ùng ¤t cªn tr¶n
ei(fj) cõa bi¸n â (Ph÷ìng ¡n ban ¦u v tèi ÷u).
Tâm l¤i, ch÷ìng n y · cªp tỵi b i to¡n vªn t£i vỵi r ng buëc hai ph½a èi vỵi c£ l÷đng cung v l÷đng c¦u, ngh¾a l l÷đng cung, c¦u khỉng qui ành tr÷ỵc m câ thº thay êi trong mët kho£ng n o â. B¬ng kÿ thuªt th¶m ©n phư, ta ÷a b i to¡n ÷đc x²t v· b i to¡n vªn t£i vỵi mët sè bi¸n câ r ng buëc cªn tr¶n, trong c£ hai tr÷íng hđp: a) r ng buëc hai ph½a ch¿ èi vỵi l÷đng cung ho°c l÷đng c¦u; b) r ng buëc hai ph½a èi vỵi c£ l÷đng cung v l÷đng c¦u. Tr¼nh b y thuªt to¡n gi£i chi ti¸t cho tr÷íng hđp a) v n¶u ra c¡c v½ dư sè º minh håa.
K¸t luªn
Luªn v«n ¢ · cªp tỵi b i to¡n vªn t£i câ kh£ n«ng l÷u thỉng h¤n ch¸, â l mët d¤ng mð rëng cõa b i to¡n vªn t£i cê iºn v tr¼nh b y ùng dưng cõa b i to¡n n y v o xû lþ b i to¡n vªn t£i vỵi l÷đng cung v l÷đng c¦u câ thº thay êi.
Luªn v«n ¢ · cªp tỵi nhúng nëi dung cư thº nh÷ sau.
1. Tr¼nh b y nëi dung v c¡c t½nh ch§t cõa b i to¡n vªn t£i câ kh£ n«ng l÷u thỉng h¤n ch¸, giỵi thi»u thuªt to¡n v v½ dư gi£i b i to¡n.
2. X²t b i to¡n vªn t£i vỵi l÷đng cung cõa c¡c tr¤m ph¡t khỉng qui ành tr÷ỵc m bà ch°n d÷ỵi (lỵn hìn mët mùc tèi thiºu d÷ìng), cán l÷đng c¦u cõa c¡c tr¤m thu bi¸t tr÷ỵc. N¶u c¡ch ÷a v· b i to¡n vªn t£i câ kh£ n«ng l÷u thỉng h¤n ch¸ v thuªt to¡n gi£i b i to¡n, cịng v½ dư sè minh håa.
3. X²t b i to¡n vªn t£i vỵi l÷đng cung cõa c¡c tr¤m ph¡t khỉng qui ành tr÷ỵc m thay êi trong mët kho£ng cho tr÷ỵc (bà ch°n tr¶n v d÷ỵi), cán l÷đng c¦u cõa c¡c tr¤m thu ¢ bi¸t tr÷ỵc. N¶u c¡ch ÷a v· b i to¡n vªn t£i câ kh£ n«ng l÷u thỉng h¤n ch¸, n¶u thuªt to¡n gi£i b i to¡n v v½ dư sè minh håa.
4. Mð rëng x²t mỉ h¼nh b i to¡n vªn t£i khi c£ l÷đng cung v l÷đng c¦u ·u thay êi.
T i li»u tham kh£o
[1] Tr¦n Vơ Thi»u, Gi¡o tr¼nh tèi ÷u tuy¸n t½nh. Nxb HQG H Nëi, 2004.
[2] P. X. Hinh, N. Q. Minh, Ph¥n bè hđp lþ c¡c trung t¥m i·u h nh cõa m¤ng xe buþt H Nëi. T¤p ch½ Ùng dưng To¡n håc. Tªp IV, Sè 1, 2006, 37 - 44.
[3] P. X. Hinh, T. V. Thi»u, Thuªt to¡n mỵi gi£i b i to¡n vªn t£i vỵi r ng buëc hai ph½a. T¤p ch½ Ùng dưng To¡n håc. Tªp V, Sè 1, 2007, 27 - 42.
[4] G. B. Dantzig and M. N. Thapa. Linear Programming: Intoduction. Springer, 1997.
[5] G. B. Dantzig and M. N. Thapa. Linear Programming: Theory and Extensions. Springer, 2003.
[6] P. X. Hinh and T. V. Thieu. Transportation Problems with Two Sided Constraints on Supplies and Demands. East - West J. of Math. Vol. 13, N0 1, 2011, 35 - 49.