về nhóm tuyến tính trên vành chia hữu hạn địa phương yếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo TRỊNH THANH ĐÈO VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số chuyên ngành: 62 46 05 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP. HỒ CHÍ MINH – 2012 Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Bùi Xuân Hải Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Văn Sanh Phản biện 2: PGS.TS. Mỵ Vinh Quang Phản biện 3: TS. Nguyễn Viết Đông Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường Phản biện độc lập 2: TS. Phó Đức Tài Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp cơ sở đào tạo họp tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM Vào hồi 15 giờ 00 ngày 14 tháng 06 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM - Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM TÓM TẮT LUẬN ÁN Trong lý thuyết vành chia, một trong những bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm là khảo sát các nhóm con trong vành chia không giao hoán, và rộ ng hơn nữa là khảo sát các tính chất liên quan đến nhóm tuyến tính trên vành chia. Có nhiều kết quả thú vò liên quan đến bài toán này. Một trong số đó phải kể đến là một khám phá nổi t i e á ng của Wedderburn vào nă m 1905, đó là “nếu nhóm nhân D ∗ của vành chia D là hữu hạn thì D g i a o h o a ù n ”. Sau đó, L. K. Hua đã chư ù ng mi nh rằng (xem [8], p.223) nhóm nhân của mo ä t vành chia không giao hoán thì không giải được. Năm 2009, B. X. Hải và N. V. Thìn (xem [5]) đã chứng m i nh D ∗ cũng không lũy linh đòa phương. Một vài kết quả mới nhất có thể được tìm thấy trong các công trình của các nhóm tác giả S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi, R. Ebrahimian, B. X. Hải (xem [1]-[3], [4]-[5], [9]-[12]), . . . Các nghiên cứu chính của luận án là khảo sát bài toán trên cho các lớp vành chia mở rộng của lớp vành chia hữu hạn đòa phương, đó là l ơ ù p vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu. C á c lơ ù p vành chia này đ ư ơ ï c đònh nghóa ở chươ ng 1 của luận án. Các phương pháp được sử dụng trong luận án cũng chính là các phương pháp đang được nhiều nhà toán học sử dụng trong hướng nghiên cứ u về nhóm tuyến tính trên vành chia. Đó chính là các phương pháp của lý thuyết nhóm kết hợp với lý thuyết vành, như: dùng các điều kiện hữu hạn để khả o sát trong những trường hợp cần thiết, sử dụng các phương pháp của lý thuyết nhóm tuyến tính trên trường trong một số trường hơ ï p cụ t he å , . . . 1 Nội dung của luận án được tóm tắt theo từng chương như sau: Chương 1. Các kiến thức mở đầu 1.1. Các khái ni ệ m và ký hi ệ u Trong m u ï c này, tác giả đã đưa ra một số khái niệm và ký hiệu liên quan đến luận án. 1.2. Về các lớp vành chia không giao hoán Trong mục này, tác giả đã nhắc lại khái niệm về các lớp vành chia không giao hoán cổ điển như: vành chia hữu hạn tâm, vành chia hữu hạn đòa phương, vành chia đại số, đồng thời xét hai lớp vành chia mới là lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phư ơ ng ye á u . Đònh nghóa 1.1. Cho D là vành chia tâm F . Ta nói D là vành chia kiểu 2 nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia con F (x, y) của D là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F . Đònh nghóa 1.2 . Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương y ế u nế u với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm. Lớp vành chia kiểu 2 đã được S. Akbari và M. Mahdavi-Hezavehi đònh nghóa năm 2002 trong [3]. Đối với lớp vành chia kiểu 2, vi e ä c chứng tỏ lớp vành chia này thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phư ơ ng là một bài toán khó. Sự khó khăn này liên quan đến một giả thuyết chưa có câu trả lời do A. Kurosh đặt ra năm 1941 (được hiểu như là Bài toán Kurosh về vành chi a (xem [7])), đo ù là: “Mọi vành chia đại số đều hữu hạn đòa phương”. Trong luận án, những kết quả chúng tôi đạt được đối với những lớp vành chia kiểu 2 đều chưa từng được chứng minh cho những vành chia hữu hạn đòa phương. Do đó, mặc dù chưa có ví dụ chứng tỏ lớp vành chia kiểu 2 thực sự khác với lớp vành chia hữu hạn đòa phương, nhưng những kết quả chúng tôi đạt được ít nhất là có giá trò đố i với lớp vành chia 2 hữu hạn đòa phương. Lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu là lớp vành chia do chu ù ng to â i đ ònh nghóa trong quá trình nghiên cứ u . Sở dó có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộng của lớp vành hữu hạn đ òa phương thông qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3. Mọi vành c h i a c o n của vàn h c h i a hữu h a ï n t a â m đề u hữu hạn tâm. Dựa vào mệnh đề trên ta thấy rằng, nế u D là vành chia hữu hạn đ òa phương thì với mọi tập con hữu hạn S của D ta có vành chia con F (S) của D l à hữu hạn tâm, nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm. Do đó mọi vành chia hữu hạn đòa phương đều là hữu hạn đòa phương yếu. Trong chương 2 của luận án, chúng tôi xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu là lớp vành chia chứa thực sự lớp vành chia hữu hạn đòa phư ơ ng. 1.3. Một số kế t quả cổ điển liên quan đến luận án Trong mục này, chúng tôi đã phát biể u lại một số đònh lý cổ điển của lý thuyết vành chia được áp dụng nhiều trong luận án như Đònh lý tâm hóa t ư û kép, Đònh lý Wedderburn-Artin, Đònh lý Jacobson, Đònh lý Kaplansky, . . . Chương 2. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia Trong chương này, chúng tôi đưa ra các kết quả liên quan đến nhóm con của nhóm nhân D ∗ của vành chia D (gọi là nhóm tuyến tính bậ c 1 trên vành chia), với D là vành chia kiểu 2 hoặc vành chia hư õ u hạ n đòa phương y e á u . Các kết quả thu được đều là các kết quả mở rộng của các kết quả đã có trên lớ p vành chia hữu hạn tâm. Nội dung của chương đã được tác giả bố cục thành các đề mục như sau: 2.1. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2 Trong [10] đã chứng minh rằng, nếu D là vành chia hữu hạn tâm thì Z(D  ) là hữu hạn. Từ kết quả này, tác giả bài báo [10] 3 cũng đưa ra một câu hỏi là “nếu D đại số trên tâm thì Z(D  ) có là nhóm xoắn hay không?” Tuy nhiên, câu hỏi này đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Bằng cách khảo sát lớp vành chia kiểu 2, chúng tôi chứng minh được kết quả sau: Đònh l y ù 2 .1 . Nếu D là vành chia kiểu 2 thì Z(D  ) là nhóm xoắn. Sử dụng kết quả trên, chúng tôi chứng minh đ ư ơ ï c rằng: Đònh lý 2.2. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao h o a ù n với tâm F, N là nhóm con của D ∗ chứa F ∗ . Khi đó N không hữu hạn sinh. Dựa vào kết quả trên ta có thể suy ra rằng, nếu D là vành chia kiểu 2 sao cho D ∗ hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn. Do đo ù kết quả của chú ng tôi được xem như là một mở rộng mạnh của Đònh lý 1 trong [2] (nếu D hữu hạn tâm và D ∗ hữu hạn sinh thì D giao hoán). Liên hệ đến một giả thuyết của Herstein trong [6] : “Cho D là vành chia với tâm F . Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗ sao cho N căn trên F thì N ⊆ F ”. Bằng cách xét trườ ng hợp D là vành chia kiểu 2, chúng tôi chứng minh rằng kết luận trên cũng đúng cho trường hợp N là nhóm con chuẩn tắc căn trên một vành chia con t hư ï c sự K của D, không nhất thi e á t là tâm F. Đònh l y ù 2 .3 . Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F, K là vành chia con thật sự của D và N là nhóm con chua å n tắc của D ∗ . Khi đó, nếu N căn trên K t h ì N ⊆ F . 2.2. Vành chia hữu hạn đòa phương yếu Trong m u ï c này , chú ng tôi đã xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hư õ u hạ n đòa phươ ng yếu thực sự chư ù a lớp vành chia hữu hạn đòa phư ơ ng tho â ng qua me ä nh đề sau: Mệnh đề 2 .4 . Tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phương yếu nhưng không đại số trên tâm. 4 2.3. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu Trở lại giả thuyết của Herstein đã trình bày ở trên, B. X. Hải và L. K. Huỳnh (xem [4]) đã chứng minh giả thuyế t này đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn tâm. Trong đònh lý sau, chúng tôi chứng minh được rằng giả thuyết trên cũng đúng cho trường hợp D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu. Đònh lý 2.5. Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗ . Nếu N căn trên F t h ì N ⊆ F. Bằng cách thực hiện tương tự chứng minh Đònh lý 2.3, chúng tôi cũng chứng tỏ rằng kết quả của đònh lý cũng đúng khi thay lớp vành chi a kiểu 2 bởi lớp vành chia hữu hạn đòa phươ ng yếu: Đònh lý 2.6. Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , K là vành chia con thật sự của D và N la ø nhóm con chuẩn tắc của D ∗ . Khi đó, nếu N căn trên K thì N ⊆ F . Chương 3. Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia Trong chương này, chúng tôi xét các bài toán liên quan đế n nhóm tuyến t ính tổng quát trên vành chia D hữu hạn đ òa phương yếu và thu được các kết quả sau đây, đư ơ ï c chia thành hai m u ï c nhỏ là nhóm tuye á n tính hữu hạn si nh và nhóm tuyến tính t o á i đại căn trên tâm. 3.1. Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh Trong mục này của luận án, đã chứng minh các kết qu ả sau: Đònh l y ù 3.1. Cho D là vành chia hữu h a ï n đòa phương yếu. Khi đó, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D ∗ đều nằm trong tâm của D. 5 Đònh lý 3.2. C h o D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F và N l a ø nhóm con á chuẩn tắ c vô hạn của GL n (D), n ≥ 2. Khi đó, nếu N hữu hạn sinh t h ì N ⊆ F . Các kết quả trên được xem như là kết quả mơ û ro ä ng củ a Đònh lý 1 t ro ng [9] và Đònh lý 5 trong [2]. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu sự mở rộng của Đònh lý 1 trong [9] đối vớ i vành chi a hữu hạn tâm và chư ù ng minh được rằng: Đònh l y ù 3.3. Cho D là vành chi a khô n g g i a o hoá n , đa ï i so á và hữu hạn đòa phương yếu, với t a â m F . Khi đó, nếu N là nhóm con của GL n (D), n ≥ 1, sao cho N chứa F ∗ , th ì N không hữu hạn sinh. 3.2. Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm Trong m u ï c này của luậ n án, tác giả đã khảo sát các tính chất liên quan đến nhóm con tối đại căn trên tâm của nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D) và thu được kết quả khá quan trọng sau: Đònh lý 3.4. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu với tâm F, n ≥ 1. Khi đó , nếu tồn tại M là nhóm con tối đại của GL n (D) sao cho M căn trên F thì i) n = 1, ii) CharD = p > 0, iii) [D : F ] = p 2 , iv) F ∗ ⊆ M, v) K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D, vi) K/F là mở rộng thuần túy không tách được. Kết quả trên là một mở rộng mạnh của Đònh lý 5 trong [11] và Đònh lý 6 trong [12]. Áp dụng kết quả trên, chu ù ng tôi đã đưa ra 6 một kết quả mở rộng của Đònh lý 5 trong [11] và Đònh lý 11 trong [1] tư ø lớp vành chia hữu hạn tâ m sang lớp vành chia kho â ng giao hoán tổng quát, và thậm chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0} chứ a tâ m . Đây có thể nói là kết quả mở rộng thật sự mạnh so với các kết quả đã có. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả sau: Đònh lý 3.5. Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và giả sử M là nhóm con tối đại của GL n (D), n ≥ 1. Khi đó, nếu M/M ∩ F ∗ là nhóm hữu hạn đòa phương thì i) n = 1, ii) CharD = p > 0, iii) [D : F ] = p 2 , iv) F ∗ ⊆ M, v) K := M ∪ {0} là trường con tối đại củ a D, vi) K/F là mở rộng thuần túy không tách được. Các kết quả thu được của luận án là mớ i và chư a từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. 7 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Dưới đây là một số kết quả cơ bản nhất có được từ luận án. Tất cả cá c kết quả này đều là mới và là thành quả đạ t đượ c của tác giả cùng với người hướng dẫn khoa học và của nhóm nghiên cứu. 1. Các kết quả tr ê n GL 1 (D) Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a D chính là nhóm con của nhóm nhân D ∗ =GL 1 (D) nên các kết quả liên quan đến nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia D chính là các kết quả liên quan đến nhó m con của D ∗ . C á c kết quả chính thu đ ư ơ ï c trong trường hợp này là: a) Nếu D là vành chia kiểu 2 hoặc vành chia hữu hạn đòa phương yếu thì Z(D  ) xoắn. Kết quả này liên quan đến câu ho û i của M. Mahdavi-Hezavehi trong [10] rằng Z(D  ) có xoắn trong trường hợp D là vành chia đại số hay không. b) Trong vành chia D kiểu 2 không giao hoán với tâm F , không có nhóm con hữu hạn sinh chứa F ∗ . Kết quả này được xem như là một mở rộng mạnh của Đònh lý 1 trong [2]. c) Nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗ sao cho N căn trên F thì N ⊆ F . Kết quả này cho ta kết luận rằng, giả thuyết của Herstein trong [6] đúng trong trường hợp D là vành chia hữu hạn đ òa phương yếu. d) Hơn nữa, bằng cách t hay điều kiện của N trong giả thuyết của Herstein, ta được kết quả sau: Nếu D là vành chia kiểu 2 hoặc 8 [...].. .vành chia hữu hạn đòa phương yếu và N là nhóm con chuẩn tắc của D ∗ sao cho N căn trên một vành chia con thực sự K của D thì N nằm trong tâm của D 2 Các kết quả trên GL n (D) Các kết quả chính liên quan đến nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia D là: a) Nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu và N là nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của GL n (D) thì trong trường hợp n = 1 hoặc N vô hạn ta... một số kết quả mới liên quan đến nhóm tuyến tính trên vành chia Các kết quả này là sự tổng quát hóa các kết quả trước của các tác giả I N Herstein, S Akbari, M MahdaviHezavehi, Các kết quả này có thể được ứng dụng trong lý thuyết vành chia và lý thuyết nhóm tuyến tính trên vành chia Một số kết quả có thể được mở rộng hơn nữa cho nhóm tuyến tính trên các lớp vành chia rộng hơn DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH... lý 1 trong [9] và Đònh lý 5 trong [2] b) Nếu D là vành chia không giao hoán, đại số và hữu hạn đòa phương yếu, với tâm F , và N là nhóm con của GL n (D), n ≥ 1 sao cho N chứa F ∗ thì N không hữu hạn sinh c) Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , và n ≥ 1 Khi đó, nếu tồn tại M là nhóm con tối đại của GLn (D) sao cho M căn trên F thì n = 1, CharD = p > 0, [D : F ] = p2 ,... Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và giả sử M là nhóm con tối đại của GL n (D), n ≥ 1 Khi đó, nếu M/M ∩ F ∗ là nhóm hữu hạn đòa phương thì n = 1, CharD = p > 0, [D : F ] = p 2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D, K/F là mở rộng thuần túy không tách được Đây là kết quả mở rộng của Đònh lý 5 trong [11] và Đònh lý 11 trong [1] từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia không . khảo sát bài toán trên cho các lớp vành chia mở rộng của lớp vành chia hữu hạn đòa phương, đó là l ơ ù p vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu. C á c lơ ù p vành chia này đ ư ơ. chia hữu hạn đ òa phương thì với mọi tập con hữu hạn S của D ta có vành chia con F (S) của D l à hữu hạn tâm, nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm. Do đó mọi vành chia hữu hạn đòa phương. vectơ hữu hạn chiều trên F . Đònh nghóa 1.2 . Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương y ế u nế u với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm. Lớp vành