Về mã constacyclic nghiệm lặp trên vành chuỗi hữu hạn tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ ĐỨC HIỀN VỀ MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh Người hướng dẫn: GS TS Đinh Quang Hải PGS TS Ngô Sỹ Tùng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ trường Đại học Vinh vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Đại học Vinh Thư viện quốc gia Việt nam MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mã xuất lần vào năm 1948 công trình C E Shannon lý thuyết toán học cho lĩnh vực truyền thông Từ đến nay, lý thuyết góp phần quan trọng vấn đề thông tin liên lạc Nó ứng dụng nhiều lĩnh vực như: thông tin điện tử, thu phát thanh, Đầu tiên, lý thuyết mã nghiên cứu trường hữu hạn Sau đó, nhà toán học mở rộng nghiên cứu mã vành hữu hạn Trong lý thuyết mã, lớp mã constacyclic đóng vai trò quan trọng Trong có hai loại mã quan tâm mã cyclic mã negacyclic Mã cyclic nghiên cứu nhiều tất mã Nhiều mã tiếng mã BCH, mã Kerdock, mã Golay, mã Preparata mã cyclic xây dựng từ mã cyclic Bên cạnh đó, mã cyclic mã hóa cách hữu hiệu việc sử dụng cách ghi luân phiên, điều giải thích vai trò tích cực chúng công nghệ Hầu hết nghiên cứu tập trung trường hợp độ dài n mã có liên quan đến đặc số trường F Trong trường hợp vậy, mã λ - constacyclic có độ dài n iđêan f (x) vành thương F [x] xn −λ Nếu độ dài n mã chia hết cho đặc số p trường F mã gọi mã nghiệm lặp Ngược lại, mã gọi mã nghiệm đơn Mã nghiệm lặp nghiên cứu lần vào năm 1967 S D Berman Sau nhiều nhà toán học khác J L Massey, G Falkner, R M Roth G Seroussi, quan tâm nghiên cứu loại mã Việc tìm thêm tính chất thú vị khác mã cyclic nghiệm lặp điều khả thi động lực thúc đẩy nhà toán học khác nghiên cứu nhiều vấn đề Nghiên cứu mã vành giao hoán hữu hạn, đặc biệt mã nghiệm lặp lớp vành chuỗi hữu hạn nhiều nhà toán học quan tâm T Abualrub R Oehmke, T Blackford, D Q Hai, S T Ling A Sălăgean Với mục đích nghiên cứu mã nghiệm lặp constacyclic có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn, lựa chọn đề tài luận án là: “Về mã constacyclic nghiệm lặp vành chuỗi hữu hạn” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án nghiên cứu mã λ - constacyclic nghiệm lặp vành chuỗi hữu hạn với phần tử khả nghịch λ thỏa mãn tính chất nhằm bổ sung số cấu trúc mã sở toán tổng quát lý thuyết mã: Chỉ cấu trúc mã constacyclic có độ dài n vành giao hoán hữu hạn R? Đối tượng nghiên cứu - Vành Ra = Fpm + uFpm + + ua−1 Fpm iđêan vành Ra [x] xps −λ - Mã λ - constacyclic có độ dài ps vành Ra đối ngẫu nó, khoảng cách Hamming, lượng Hamming, khoảng cách nhất, lượng mã - Mã constacyclic bội Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu cấu trúc mã λ - constacyclic có độ dài 2s vành chuỗi Ra với λ phần tử khả nghịch loại loại 1∗ Từ mở rộng kết cho mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra Chúng nghiên cứu mã constacyclic độ dài ps vành chuỗi R, phân loại phần tử khả nghịch, tính chất vành thương Rλ cấu trúc mã λ - constacyclic có độ dài ps vành chuỗi giao hoán hữu hạn R Chúng đưa định nghĩa mã constacyclic bội độ dài n vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa , số tính chất loại mã Phương pháp nghiên cứu Đề tài luận án thuộc lĩnh vực khoa học ngành toán học Do đó, chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic sở kết biết trước Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án đạt số kết mã constacyclic độ dài ps vành chuỗi giao hoán hữu hạn, có kết tổng quát số kết nhà toán học khác D Q Hai, Y Cao với cách chứng minh khác đơn giản Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Năm 2007, D Q Hai xây dựng công thức tính khoảng cách tất mã negacyclic độ dài 2s Z2a Tổng quát hơn, Calderbank Sloane cấu trúc mã cyclic vành Zpm , sau Kanwar, López Permouth, Norton, Sălăgen - Mandache Vào năm 1999, Wolfman nghiên cứu mã negacyclic độ dài lẻ vành Z4 đề xuất câu hỏi mở mã negacyclic có độ dài chẵn Z4 Năm 2009, D Q Hai cấu trúc mã constacyclic có độ dài 2s vành F2 + uF2 tổng quát mã constacyclic có độ dài ps vành Fpm + uFpm vào năm 2010 Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, xem xét mã constacyclic độ dài ps vành F2m + uF2m + + ua−1 F2m Năm 2013, Y Cao nghiên cứu mã constacyclic vành chuỗi giao hoán hữu hạn đặc trưng mã + wγ- constacyclic vành chuỗi hữu hạn Trong luận án, tổng quát tính chất với phần tử s khả nghịch λ có dạng λ = λp0 + wγ, w phần tử khả nghịch vành chuỗi R 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày chương Ngoài ra, luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận kiến nghị, Danh mục công trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức vành mã constacyclic để làm sở cho việc trình bày chương sau, bao gồm mục Mục 1.1 dành cho việc trình bày khái niệm tính chất vành giao hoán hữu hạn Mục 1.2 giới thiệu khái niệm số tính chất mã constacyclic vành giao hoán hữu hạn như: mã λ - constacyclic, mã cyclic, mã negacyclic, phép chuyển λ - consatcyclic, mã đối ngẫu, mã trực giao, mã tự đối ngẫu, số kết hướng nghiên cứu với luận án sử dụng chứng minh phần sau Chương nghiên cứu lớp mã constacyclic nghiệm lặp vành Ra Chúng chứng minh vành Ra vành chuỗi với trường thặng dư F2m Chúng nghiên cứu cấu trúc mã λ - constacylic có độ dài 2s vành Ra , với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ vành Ra Từ đó, nghiên cứu mã Λ - constacylic có độ dài 2s vành Ra , với Λ phần tử khả nghịch loại vành Ra Xây dựng công thức tính số từ mã, mã đối ngẫu, khoảng cách Hamming, khoảng cách tất mã λ - constacyclic Λ - constacyclic Trên sở đó, thu cấu trúc mã λ - constacyclic vành Ra có độ dài N = 2s n Các kết chương công bố tạp chí Advances in Mathematics of Communications Trong chương 3, chứng minh cho vành chuỗi giao hoán hữu hạn R có đặc số pa với iđêan tối đại γ Khi đó, phần tử khả nghịch λ vành R biểu diễn dạng s λ = λp0 + γw, với w ∈ R Hơn nữa, vành thương R[x] xps −λ vành địa phương với iđêan tối đại x − λ0 , γ Hai trường hợp w nghiên cứu cách chi tiết chương w = w phần tử khả nghịch vành R Sau đó, tập trung nghiên cứu mã constacyclic bội Các kết chương công bố tạp chí Finite Fields and Their Applications CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán hữu hạn Trong mục này, trình bày số tính chất vành chuỗi giao hoán hữu hạn, khái niệm đa thức đơn hệ, đa thức phương tự do, đa thức bất khả quy sở 1.2 Một số kiến thức mã vành hữu hạn Trong mục này, trình bày khái niệm mã, mã tuyến tính có độ dài n vành giao hoán hữu hạn R, phép chuyển λ - constacyclic vành Rn , khái niệm mã λ - constacyclic, mã đối ngẫu, mã tự đối ngẫu, lượng Hamming, khoảng cách Hamming từ mã mã tuyến tính tính chất chúng CHƯƠNG VỀ LỚP MÃ CONSTACYCLIC TRÊN VÀNH THẶNG DƯ ĐA THỨC Vành F2 + uF2 vành có nhiều ứng dụng lý thuyết mã Vành sử dụng làm bảng chữ để xem xét mã tuyến tính Chúng ta xem cấu trúc vành F2 + uF2 "nằm giữa" trường F4 vành Z4 Trong hướng mở rộng F2 + uF2 , xem xét vành đa thức thặng dư Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m với ua = a số nguyên không nhỏ 2.1 Vành Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1F2m Các phần tử vành Ra có dạng a0 + uα1 + + ua−1 αa−1 Ta xem phần tử vành Ra đa thức có biến u thuộc vành F2m [u] có bậc nhỏ a − Tập hợp phần tử đóng với phép cộng phép nhân đa thức mod ua Cụ thể, ta có mệnh đề sau: 2.1.1 Mệnh đề Cho vành Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m = F2m [u] ua Khi đó: (i) Vành Ra vành chuỗi với iđêan tối đại u , (ii) Các iđêan Ra ui = ui Ra , ≤ i ≤ a, iđêan ui chứa 2m(a−i) phần tử, (iii) Vành Ra có (2m − 1)2m(a−1) phần tử khả nghịch, chúng có dạng α0 + uα1 + · · · + ua−1 αa−1 , với α0 , α1 , , αa−1 ∈ F2m , α0 = 2.1.2 Định nghĩa Với số nguyên k ∈ {1, , a − 1}, gọi phần tử khả nghịch α = α0 + uα1 + · · · + ua−1 αa−1 vành Ra phần tử khả nghịch loại k k số nhỏ thuộc {1, , a − 1} cho αk = Hơn nữa, thêm điều kiện α0 = 1, phần tử khả nghịch loại k có dạng + uα1 + · · · + ua−1 αa−1 gọi phần tử khả nghịch loại k ∗ Rõ ràng vành Ra có (2m − 1)2 2m(a−k−1) phần tử khả nghịch loại k Do đó, có (2m − 1)2 2m(a−k−1) mã loại k constacyclic Ta ký hiệu Λ phần tử khả nghịch loại λ phần tử khả nghịch loại 1∗ vành Ra 2.1.3 Mệnh đề Cho t số nguyên không âm L = log2 a Khi (a) Λ2t phần tử khả nghịch loại 1, Λ2t+1 phần tử khả nghịch loại L (b) Λ−1 = Λ2 −1 L Λ−2 phần tử khả nghịch loại (c) Λ−1 = Λ a = Λ20 = L (d) λ−1 = λ2 −1 phần tử khả nghịch loại 1∗ (e) λ−1 = λ a = 2.2 Mã λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra Trong mục này, mô tả mã λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra , với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ Đầu tiên, số tính chất x + vành Sa (s, λ) k k 2.2.1 Bổ đề Với số nguyên dương k, (x + 1)2 = x2 + ∈ Ra [x] Đặc s biệt, vành Sa (s, λ), có phần tử v khả nghịch cho (x+1)2 = uλ1 v x + phần tử lũy linh với số lũy linh 2s a 2.2.2 Mệnh đề Vành Sa (s, λ) vành chuỗi với iđêan Sa (s, λ) = x+1 ··· s (x + 1)2 a−1 s (x + 1)2 a = 11 2.3.6 Định lý Cho C mã Λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra Khi C = (γx + 1)i ⊆ Sa (s, Λ), với i ∈ {0, 1, , 2s a} Khoảng cách Hamming d(C), khoảng cách dh (C) xác định công thức sau           2 d(C) = 2k+1           i = 2s a ≤ i ≤ 2s (a − 1) 2s (a − 1) + ≤ i ≤ 2s (a − 1) + 2s−1 2s (a − 1) + 2s − 2s−k + ≤ i ≤ 2s (a − 1) + 2s − 2s−k + 2s−k−1 , nghĩa 2s (a − 1) + + kl=1 2s−l ≤ i s−l ≤ 2s (a − 1) + k+1 , với ≤ k ≤ s − 1, l=1 nếu nếu       (2m − 1) 2m(a−2)     2m(a−1)    m(a−1)+1  2 dh (C) = 2m(a−1)+k+1               i = 2s a ≤ i ≤ 2s (a − 2) 2s (a − 2) + ≤ i ≤ 2s (a − 1) 2s (a − 1) + ≤ i ≤ 2s (a − 1) + 2s−1 2s (a − 1) + 2s − 2s−k + ≤ i ≤ ≤ 2s (a − 1) + 2s − 2s−k + 2s−k−1 , nghĩa là, 2s (a − 1) + + kl=1 2s−l ≤ i ≤ s−l ≤ 2s (a − 1) + k+1 , l=1 với ≤ k ≤ s − nếu nếu Chúng ta nhận thấy kết mã λ - constacyclic với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ trường hợp đặc biệt mã Λ - constacyclic với Λ phần tử khả nghịch loại Vì chứng minh kết mã Λ - constacyclic kỹ thuật tương tự mã λ - constacyclic Trong luận án, sử dụng phương pháp chứng minh trường hợp đặc biệt với mã λ - constacyclic sau sử dụng đẳng cấu Φ (xem Mệnh đề 2.3.1) để mang toàn kết sang mã Λ - constacyclic trường hợp tổng quát Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.3.1 Hệ 2.3.2, tất mã Λ - constacyclic đẳng cấu vành với mã λ - constacyclic 2.4 Mã λ-constacyclic có độ dài N vành Ra Trước hết, bắt đầu với định nghĩa đối tập cyclotomic Đây khái niệm có vai trò quan trọng việc phân tích đa thức xn − thành tích nhân tử bất khả quy trường Fq Từ đó, có 12 thể áp dụng phân tích để cấu trúc mã constacyclic trường hữu hạn Trong toàn mục này, giả sử n số nguyên dương nguyên tố với đặc số p trường Fq 2.4.1 Định nghĩa Với n, t, q số nguyên dương bất kỳ, đối tập q cyclotomic thứ t theo mod n, ký hiệu Ct , xác định công thức sau: Ct = {tq j (mod n)|j = 0, 1, } Nếu {i0 = 0, i1 , i2 , , iρ } tập tập hợp {0, 1, 2, , n − 1} thỏa mãn ρ k=0 Cik Ci0 = {0}, Ci1 , , Ciρ phân biệt = {0, 1, , n − 1} tập hợp {i0 = 0, i1 , i2 , , iρ } gọi tập hợp đầy đủ đại diện tất đối tập q - cyclotomic mod n Giả sử η nguyên thủy bậc n đơn vị ký hiệu đa thức tối thiểu η ij Fq Mij (x) với ≤ j ≤ ρ Khi đó: xn − = Mi0 (x)Mi1 (x)Mi2 (x) Miρ (x) với (x − η j ), k = 0, 1, , ρ Mik (x) = j∈Cik đa thức bất khả quy, đơn hệ Fq [x] Trong phần này, xét mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra , với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ Chúng ta viết N dạng N = 2s n, với n số nguyên lẻ Đầu tiên, xem xét số tính chất xn + 2.4.2 Bổ đề Với số nguyên dương k bất kỳ, ta có k k (xn + 1)2 = x2 n + ∈ Ra [x] Hơn nữa, vành Ta (s, n, λ) tồn phần tử khả nghịch w cho s (xn + 1)2 = uλ1 w xn + phần tử lũy linh với số lũy linh 2s a 2.4.3 Mệnh đề Cho f phần tử vành Ra [x] cho f xn + nguyên tố Khi f khả nghịch vành Ta (s, n, λ) 13 Ta ký hiệu I tập đầy đủ tất đại diện đối tập 2m -cyclotomic mod n Từ n lẻ, xn + phân tích thành tích đa thức bất khả quy sở, đơn hệ vành Ra [x] sau: xn + = đặt fi = i∈I fi Ta xn +1 fi 2.4.4 Mệnh đề Giả sử xn + = i∈I fi dạng phân tích xn +1 thành tích đa thức đôi nguyên tố nhau, bất khả quy s s sở, đơn hệ vành Ra [x] Khi đó, vành Ta (s, n, λ), fi2 a = fi2 a+k , với số nguyên không âm k với i ∈ I Bây giờ, mô tả cấu trúc mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra 2.4.5 Định lý Giả sử xn + = i∈I fi phân tích xn + thành tích đa thức đôi nguyên tố nhau, bất khả quy sở, đơn hệ vành Ra [x] Khi vành Ta (s, n, λ) vành iđêan với iđêan i∈I fisi , với ≤ si ≤ 2s a Một cách tương đương, mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra có dạng C = i∈I fisi , với ≤ si ≤ 2s a Hơn nữa, số từ mã C |C| = 2ma(N − i∈I si deg(fi )) 2.4.6 Hệ Số mã λ - constacyclic độ dài N vành Ra (2s a + 1)|I| , với I tập đầy đủ tất đại diện đối tập 2m - cyclotomic mod n 2.4.7 Định lý Cho C mã λ - constacyclic độ dài N vành Ra , có nghĩa là, C = i∈I fisi , với ≤ si ≤ 2s a Mã đối ngẫu C ⊥ C mã λ−1 - constacyclic độ dài N vành Ra Mã C ⊥ chứa 2ma i∈I si deg(fi ) từ mã Đặc biệt, C ⊥ mã λ - constacyclic a = Trong trường hợp này, ta có s C⊥ = (fi∗ )2 a−si i∈I 2.4.8 Định lý Giả sử xn +1 = i∈I fi dạng phân tích xn +1 thành tích đa thức đôi nguyên tố nhau, bất khả quy sở, 14 đơn hệ vành Ra [x] Cho C mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra , có nghĩa là, C = i∈I fisi ⊆ Ta (s, n, λ), với ≤ si ≤ 2s a Ký hiệu C = f (x) | ua−1 f (x) ∈ C C = fi ki , i∈I với ki = si − min{2s (a − 1), si } Khi (a) C ∩ ua−1 = ua−1 i∈I fiki (b) C = C (c) d(C) = d(C ) 2.5 Kết luận Chương Trong chương 2, thu kết sau đây: - Nghiên cứu vành thặng dư đa thức Ra = F2m + uF2m + + ua−1 F2m ; tất iđêan vành Ra , phần tử khả nghịch phân loại thành phần tử khả nghịch loại k loại k ∗ - Mô tả cấu trúc mã λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ tính toán số lượng từ mã chúng (Định lý 2.2.3); xây dựng công thức tính khoảng cách Hamming, khoảng cách mã (Định lý 2.2.6, 2.2.7) - Sử dụng đẳng cấu vành Φ xác định Mệnh đề 2.3.1 để mô tả cấu trúc mã Λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra (Định lý 2.3.4) công thức tính khoảng cách Hamming, khoảng cách (Định lý 2.3.6) - Chỉ công thức mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra (Định lý 2.4.5) mã đối ngẫu (Định lý 2.4.7) 15 CHƯƠNG MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP CÓ ĐỘ DÀI LÀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ NGUYÊN TỐ TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN Trong chương này, nghiên cứu cấu trúc đại số mã λ constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps vành chuỗi giao hoán hữu hạn R mã consatcyclic bội 3.1 Mã λ - constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ Ký hiệu Nγ số lũy linh γ Với phần tử khả nghịch λ R, theo Mệnh đề 1.2.7, mã λ - constacyclic có độ dài ps vành R iđêan vành thương Rλ = R[x] xps −λ 3.1.1 Bổ đề Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ λ phần tử khả nghịch R Với phần tử r ∈ R, x − r khả nghịch s Rλ λ − rp phần tử khả nghịch R Hơn nữa, x − r không khả nghịch, phần tử lũy linh vành Rλ 3.1.2 Mệnh đề Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ λ phần tử khả nghịch vành R Khi đó, tồn phần s s tử r ∈ R cho λ − rp lũy linh, nghĩa λ − rp không khả nghịch vành R 3.1.3 Mệnh đề Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ λ phần tử khả nghịch vành R Cố định phần tử r ∈ R cho 16 s λ − rp không khả nghịch Khi vành Rλ vành địa phương với iđêan tối đại x − r, γ 3.1.4 Hệ Cho λ phần tử khả nghịch vành chuỗi R cho s tồn λ0 ∈ R thỏa mãn λp0 = λ Khi đó, vành Rλ vành địa phương với iđêan tối đại x − λ0 , γ 3.1.5 Mệnh đề Cho Φ ánh xạ Φ : Rλ −→ R1 xác định Φ(f (x)) = f (λ0 x) Khi Φ đẳng cấu vành Đặc biệt, A iđêan vành Rλ Φ(A) iđêan R1 Điều tương đương với, A mã λ - constacyclic có độ dài ps vành R Φ(A) mã cyclic có độ dài ps vành R 3.1.8 Mệnh đề Cho k ≥ λ phần tử khả nghịch vành chuỗi R s cho có phần tử λ0 ∈ R thỏa mãn λp0 = λ Khi vành Rλ , tồn phần tử αk (x), βk (x) cho αk (x) khả nghịch, βk (x) chia hết s cho pk+2 (x − λ0 ) (x − λ0 )p +k(p−1)p s−1 = pk+1 αk (x)(x − λ0 )p s−1 + βk (x) 3.1.9 Định lý Giả sử λ phần tử khả nghịch vành chuỗi R cho s có phần tử λ0 ∈ R thỏa mãn λp0 = λ Khi đó, vành Rλ , x − λ0 phần tử lũy linh với số lũy linh aps − (a − 1)ps−1 Khi λ = 1, λ0 = 1, áp dụng kết cho vành R1 ta có hệ sau 3.1.10 Hệ Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ Vành thương R1 vành địa phương với iđêan tối đại x − 1, γ số lũy linh x − vành R1 aps − (a − 1)ps−1 s s Xem xét trường hợp r = −1, ta có λ − rp = −1 − (−1)2 = −2 = −p không khả nghịch Do đó, giả thiết Mệnh đề 3.1.3 thỏa mãn, kéo theo vành R−1 vành địa phương với iđêan tối đại x + 1, γ Hơn nữa, số lũy linh x + R−1 tính toán sau 17 3.1.11 Định lý Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ Khi vành thương R−1 vành địa phương với iđêan tối đại x + 1, γ Hơn (a) Nếu p lẻ x + phần tử lũy linh với số lũy linh aps − (a − 1)ps−1 (b) Nếu p = với số nguyên dương n, tồn phần tử khả nghịch αn (x) ∈ R[x] x2s +1 n n cho (x + 1)2 = x2 + + 2αn (x) Đặc biệt, x + phần tử lũy linh vành R[x] x2s +1 với số lũy linh 2s a 3.1.12 Mệnh đề Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa trường với iđêan tối đại γ Khi (i) R1 vành chuỗi (ii) R−1 vành chuỗi p = vành R vành Galois Chúng liệt kê số kết trường hợp đặc biệt so với kết qua ví dụ sau 3.1.13 Ví dụ R trường hữu hạn : R = Fpm Trong trường hợp γ = a = Với phần tử khả nghịch λ Fpm , tồn số nguyên dương k cho λp km = λ Theo thuật toán chia, tồn số nguyên không âm kq , kr cho s = kq m + kr ≤ kr ≤ m − Đặt λ0 = λp (kq +1)m−s = λp 1.1.1 kéo theo vành m−kr s Khi λp0 = λp Fpm [x] xps −λ (kq +1)m = λ Hệ 3.1.4 Mệnh đề vành chuỗi với iđêan tối đại x − λ0 Định lý 3.1.9 dẫn đến số lũy linh x − λ0 ps Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.1.5, tất mã λ - constacyclic có độ dài ps tương ứng một với mã cyclic có độ dài ps trường Fpm , qua đẳng cấu vành x → λ0 x Cấu trúc mã constacyclic nghiên cứu chi tiết D Q Hai, với khoảng cách Hamming khoảng cách công bố 3.1.14 Ví dụ R vành Galois p = 2: R = GR(2a , m) Theo Mệnh đề 3.1.12, mã negacyclic có độ dài 2s GR(2a , m) iđêan vành chuỗi R−1 D Q Hai nghiên cứu lớp mã Định lý 3.1.11 R−1 có iđêan tối đại x + x + có số lũy linh 2s a Từ 18 cấu trúc tất mã negacyclic Hơn nữa, cấu trúc sử dụng để đưa khoảng cách Hamming khoảng cách mã negacyclic D Q Hai 3.1.15 Ví dụ R = Z4 Trong trường hợp này, p = 2, a = 2, γ = 2, Nγ = Theo Hệ 3.1.10 Mệnh đề 3.1.12, vành thương Z4 [x] x2s −1 mã cyclic có độ dài 2s Z4 vành địa phương vành chuỗi với iđêan tối đại x − 1, , số lũy linh x − 2s+1 − 2s−1 Năm 2003, Abualrub Oehmke đặc trưng mã cyclic có độ dài 2s Z4 Năm 2003, sử dụng biến đổi Fourier rời rạc (the Discrete Fourier Transform), Blackford đưa cấu trúc mã cyclic có độ dài 2n (n lẻ) Z4 Sau đó, năm 2006, Dougherty Ling mô tả mã cyclic có độ dài Z4 tổng trực tiếp mã cyclic có độ dài 2k vành Galois GR(4, mα ) Blackford mô tả vành thương mã negacyclic có độ dài 2a n Z4 , Z4 [x] x2a n +1 , vành iđêan chính, iđêan sinh phần tử từ cấu trúc mã negacyclic xác định Z4 3.1.16 Ví dụ R = Fpm + uFpm (u2 = 0) Trong trường hợp này, a = 1, γ = u, Nγ = Vào năm 2009, 2010, D Q Hai đặc trưng mã λ-constacyclic có độ dài ps Fpm + uFpm cách xem xét loại phần tử khả nghịch λ ∈ F∗pm λ = α + uβ với α, β ∈ F∗pm Cấu trúc kích thước tất mã constacyclic công bố Theo Mệnh đề 3.1.2, phần tử λ khả nghịch vành chuỗi R có s thể biểu diễn thành λ = λp0 + γw, với λ0 phần tử khả nghịch R, w ∈ R Vậy, kết sau suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.3 3.1.17 Hệ Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ λ phần tử khả nghịch vành R Biểu diễn λ dạng s λ = λp0 + γw, với λ0 phần tử khả nghịch vành R, w ∈ R Khi đó, vành thương Rλ vành địa phương với iđêan tối đại x − λ0 , γ Nếu thêm vào điều kiện w khả nghịch, chứng minh 19 γ ∈ x − λ0 , kéo theo Rλ vành chuỗi 3.1.18 Định lý Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại s γ λ phần tử khả nghịch vành R có dạng λ = λp0 + γw với λ0 w s phần tử khả nghịch R Khi (x − λ0 )p = γ vành thương Rλ vành chuỗi với iđêan tối đại x − λ0 Hơn nữa, số lũy linh x − λ0 ps Nγ Mệnh đề sau liệt kê tất mã λ - constacyclic có độ dài ps vành R số lượng từ mã chúng 3.1.19 Mệnh đề Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối s đại γ λ phần tử khả nghịch vành R có dạng λ = λp0 + γw, với λ0 w phần tử khả nghịch vành R Số mã λ - constacyclic có độ dài ps vành R ps Nγ + Chúng iđêan (x − λ0 )i vành chuỗi Rλ , với ≤ i ≤ ps Nγ Mỗi mã λ - constacyclic (x − λ0 )i chứa s |R|p Nγ −i từ mã, với R = R/ γ trường thặng dư vành chuỗi R 3.1.20 Định lý Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại s γ Giả sử λ phần tử khả nghịch vành R cho λ = λp0 + γw, với λ0 w phần tử khả nghịch vành R Khi s p (a) λ−1 = (λ−1 ) + γw , với w phần tử khả nghịch vành R (b) Trong vành Rλ−1 , ta có s p (x − λ−1 = γ ) Vành thương Rλ−1 vành chuỗi với iđêan tối đại x − λ−1 , s số lũy linh x − λ−1 p Nγ (c) Số mã λ−1 - constacyclic có độ dài ps vành R ps Nγ + Chúng i s iđêan (x − λ−1 ) vành chuỗi Rλ−1 , với ≤ i ≤ p Nγ s p Nγ −i i từ mã, với Mỗi mã λ−1 - constacyclic (x − λ−1 ) ⊆ Rλ−1 chứa |R| R = R/ γ trường thặng dư vành chuỗi R 3.1.21 Hệ Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ trường thặng dư R = R/ γ Giả sử λ phần tử khả nghịch vành 20 s R có dạng λ = λp0 + γw, với λ0 w phần tử khả nghịch vành R Cho C mã λ - constacyclic có độ dài ps vành R Khi C = (x − λ0 )i ⊆ Rλ s với ≤ i ≤ ps Nγ C chứa |R|p Nγ −i từ mã Mã đối ngẫu C ⊥ C mã s p N −i λ−1 - constacyclic C ⊥ = (x − λ−1 ⊆ Rλ−1 Mã C ⊥ chứa |R|i từ mã ) 3.1.22 Hệ Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại s γ Giả sử λ phần tử khả nghịch vành R có dạng λ = λp0 + γw, với λ0 w phần tử khả nghịch vành R Nếu Nγ p lẻ mã tự đối ngẫu λ - constacyclic có độ dài ps vành R không tồn Nếu Nγ chẵn γ Nγ /2 ps s ⊂ Rp mã tự đối ngẫu λ - constacyclic có độ dài ps vành R 3.1.23 Ví dụ Khi λ0 = 1, λ = + γw Trường hợp đặc biệt mã (1 + γw) - constacyclic có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn R nghiên cứu Cao Tuy nhiên, chứng minh khác đơn giản 3.2 Mã constacyclic bội Theo Mệnh đề 1.2.8, đối ngẫu mã λ - constacyclic mã λ−1 constacyclic Khi λ = λ−1 , có tình đặt mã constacyclic theo hai phần tử khả nghịch khác Ví dụ, để mã λ - constacyclic C tự đối ngẫu (C = C ⊥ ), tự trực giao (C ⊆ C ⊥ ), cần thiết phải có C mã λ - constacyclic λ−1 - constacyclic 3.2.1 Định nghĩa Cho C mã tuyến tính có độ dài n vành hữu hạn R cho C mã α - constacyclic β - constacyclic, với phần tử khả nghịch α, β khác vành R Khi C gọi mã constacyclic bội, hay cụ thể mã [α, β] - constacyclic Xét trường F hữu hạn, mã C có độ dài n mã constacyclic bội C = {0} C = F n Trên vành hữu hạn R, I n mã λ - constacyclic có độ dài n vành R với I iđêan vành R, phần tử khả nghịch λ vành R Chúng ta định nghĩa sau: 21 3.2.2 Định nghĩa Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ = C mã tuyến tính khác có độ dài n vành R Ta gọi số thành phần (component index) mã C, ký hiệu iC , số nguyên không âm nhỏ cho tồn thành phần khác từ mã C thuộc γ iC \ γ iC +1 Giả sử số lũy linh γ ký hiệu Nγ Rõ ràng, ≤ iC ≤ Nγ − C ⊆ γ iC n ⊆ Rn 3.2.3 Mệnh đề Cho α phần tử khả nghịch vành R Nếu mã C có độ dài n α - constacyclic vành R C mã β - constacyclic với phần tử khả nghịch β vành R cho β − α ∈ γ j , với j ≥ Nγ − iC 3.2.4 Mệnh đề Cho C mã có độ dài n vành R λ, λ phần tử khả nghịch vành R cho λ−λ ∈ γ j \ γ j+1 , ≤ j ≤ Nγ −iC Nếu C mã [λ, λ ] - constacyclic vành R γ j+iC λ − λ khả nghịch C = γ iC n n ⊆ C Đặc biệt, 3.2.5 Hệ Giả sử λ phần tử khả nghịch vành chuỗi R với iđêan tối đại γ = , cho λ − λ−1 khả nghịch Khi tồn mã λ constacyclic tự đối ngẫu C có độ dài n vành R Nγ chẵn Trong trường hợp này, iC = Nγ /2 C = γ Nγ /2 n mã constacyclic tự đối ngẫu có độ dài n vành R 3.2.6 Nhận xét Theo Mệnh đề 1.1.2, phần tử khả nghịch λ biểu diễn dạng λ= với số i + 1γ + ··· + Nγ −1 γ Nγ −1 , phần tử tập Teichm¨ uller T = {0, 1, ξ, , ξ |R|−2 }, = Tương tự Định lý 3.1.20(a), λ−1 biểu diễn dạng λ−1 = −1 + 1γ + ··· + Nγ −1 γ Nγ −1 , 22 với i ∈ T Do đó, λ − λ−1 khả nghịch ⇔ l0 − l0−1 ⇔ l0 = l0−1 ⇔ l02 = khả nghịch Đối tượng nghiên cứu chương mã λ - constacyclic Λ - constacyclic có độ dài ps vành thặng dư đa thức Ra với λ, Λ phần tử khả nghịch loại 1∗ loại Ta có λ = + uλ1 + + ua−1 λa−1 = s + u(λ1 + uλ2 + + ua−2 λa−1 ) = 1p + uw Lúc này, chọn λ0 = w = λ1 + uλ2 + + ua−2 λa−1 Do λ1 = nên w phần tử khả nghịch vành Ra Chúng ta áp dụng Định lý 3.1.18 Mệnh đề 3.1.19 để vành Sa (s, λ) vành chuỗi mô tả tất mã λ - constacyclic vành Ra Khi Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.3 trở thành hệ Định lý 3.1.18 Mệnh đề 3.1.19 Tuy nhiên, phương pháp áp dụng ta chuyển sang nghiên cứu mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra 3.3 Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau: - Phân loại phần tử khả nghịch λ vành chuỗi giao hoán hữu hạn thành s loại: λ = λp0 λ = λ0 + wγ - Liệt kê tất mã λ - constacyclic có độ dài ps vành chuỗi giao hoán R số lượng từ mã chúng (Mệnh đề 3.1.19), mô tả mã đối ngẫu mã C (Hệ 3.1.21) điều kiện để tồn mã tự đối ngẫu (Hệ 3.1.22) - Nghiên cứu mã constacyclic bội với hai phần tử α, β khả nghịch phân biệt Từ đó, trả lời phần câu hỏi mã α constacyclic mã β - consatcyclic (Mệnh đề 3.2.3), số tính chất mã [λ, λ ] - constacyclic (Mệnh đề 3.2.4 Hệ 3.2.5) 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án nghiên cứu mã λ - constacyclic độ dài 2s vành chuỗi hữu hạn, cụ thể vành Ra mã constacyclic độ dài ps vành chuỗi hữu hạn, mã constacyclic bội Các kết đạt luận án sau: Chỉ tính chất vành Ra , phân loại phần tử khả nghịch nó; Mô tả cấu trúc mã λ - constacyclic độ dài 2s vành Ra với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ , từ tổng quát phần tử khả nghịch loại 1; Tính toán đại lượng số lượng từ mã, mã đối ngẫu điều kiện để tồn mã tự đối ngẫu, công thức xác định khoảng cách Hamming, khoảng cách mã C Chỉ cấu trúc mã λ - constacyclic độ dài N Ra cách viết N = 2s n với n số nguyên lẻ, tính toán số lượng mã đó, đồng thời tính toán số từ mã mô tả mã đối ngẫu C ⊥ , đưa kết khoảng cách Hamming Xem xét vành chuỗi R chứng minh với phần tử s khả nghịch λ R tồn phần tử r cho λ − rp không khả nghịch; Chỉ cấu trúc tất mã λ - constacyclic đối ngẫu s chúng trường hợp tồn phần tử λ0 cho λ = λp0 + γw, với w phần tử khả nghịch vành R Xem xét mã tuyến tính vừa λ vừa λ - constacyclic vành R, tức mã constacyclic bội Khi mã tự đối ngẫu trở thành trường hợp 24 đặc biệt mã constacyclic bội Đồng thời trả lời phần câu hỏi mã tuyến tính mã [α; β] - constacyclic Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu mã λ - constacyclic độ dài 2s vành Ra với λ phần tử khả nghịch loại 2, loại 2∗ , tổng quát loại k, loại k ∗ Tiếp tục tính chất mã constacyclic bội tính toán đại lượng liên quan khoảng cách Hamming, lượng Hamming, lượng mã constacyclic bội Tiếp tục nghiên cứu điều kiện để mã tuyến tính mã constacyclic bội 25 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN Hai Q Dinh and Hien D.T Nguyen (2012), "On Some Classes Of Constacyclic Codes Over Polynomial Residue Rings", Advances in Mathematics of Communications, Vol 6, No.2, 175-191 Hai Q Dinh, Hien D.T Nguyen, Songsak Sriboonchitta, Thang M Vo (2017), "Repeated-root Constacyclic Codes of Prime Power Lengths over Finite Chain Rings", Finite Fields and Their Applications, 43, 22–41 Các kết nội dung luận án báo cáo tại: - Seminar lý thuyết vành môđun PGS.TS Ngô Sỹ Tùng chủ trì - Seminar tổ Đại số thuộc khoa Sư phạm - Trường Đại học Vinh - Hội thảo khoa học "Toán - Tin ứng dụng" trường Đại học Vinh (26/11/2011) - Các Hội nghị NCS trường Đại học Vinh (2010 - 2016) - Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Buôn Ma Thuột (2016) ... đại số mã λ constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps vành chuỗi giao hoán hữu hạn R mã consatcyclic bội 3.1 Mã λ - constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn Cho R vành chuỗi hữu hạn có... Sălăgean Với mục đích nghiên cứu mã nghiệm lặp constacyclic có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn, lựa chọn đề tài luận án là: Về mã constacyclic nghiệm lặp vành chuỗi hữu hạn Mục đích nghiên cứu Mục... xem xét mã constacyclic độ dài ps vành F2m + uF2m + + ua−1 F2m Năm 2013, Y Cao nghiên cứu mã constacyclic vành chuỗi giao hoán hữu hạn đặc trưng mã + wγ- constacyclic vành chuỗi hữu hạn Trong