đề tài quantised scaled consensus of linear multiagent systems on faulty networks sự đồng thuận theo tỷ lệ lượng tử hóa của hệ đa tác tử tuyến tính trên mạng bị lỗi

Giới thiệu Các phương pháp điều khiển đồng thuận của hệ thống đa tác tử đã được nghiên cứu rộng rãi trong các ứng dụng khác nhau, bao gồm các phương tiện bay không người lái, các mạng cả

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

Đề tài: Quantised scaled consensus of linear multiagent systems on faulty networks (S ng thu n theo t l ự đồ ậ ỷ ệ lượ ng t ử

hóa c a h ủ ệ đa tác ử t tuy n tính trên m ng b l ế ạ ị ỗi)

Contents

1 Giới thiệu 1

2 Lý thuyết đồ thị và các định lý h u ích 3ữ 2.1 Lý thuyết đồ thị 3

2.2 Mô tả ệ thống h 4

2.3 Bộ lượng tử hóa 6

2.4 Giao thức đồng thuận theo tỷ lệ: bị tấn công 7

2.5 Đồng thuận theo tỷ lệ 10

2.6 Phân tích sự không đồng thuận không lãnh đạo 11

3 Các điều kiện đồng thuận 13

3.1 Sự đồng thuận giữa lãnh đạo và theo sau 13

3.2 Sự đồng thuận quy mô không có người lãnh đạo 16

4 Mô phỏng 20

5 Kết luận 23

1

Tóm tắt: Bài báo này nghiên c u v vứ ề ấn đề điều khiển đồng thu n t l bình ậ ỉ ệphương thực tế của các hệ thống đa tác tử Mạng được xem xét bao gồm các tác tử lấy các trạng thái được lượng tử hóa dưới các kênh truyền thông không hướng Đầu tiên, chúng tôi đề xuất một giao thức đồng thuận tỉ lệ bình phương được phân tán sử dụng thuật toán lượng tử xác suất Thứ hai, phân tích không đồng thuận tỉ lệ bằng phương pháp ổn định trung bình bình phương được cung c p Cuấ ối cùng, các điều kiện đủ ề ất v b

đẳng thức ma trận tuyến tính được trình bày để thu được tỉ lệ đồng thuận tỉ lệ bình phương cho cả trường hợp không có lãnh đạo và lãnh đạo - theo sau Các kết quả lý thuyết được trình bày được kiểm tra thông qua hai ví dụ mô phỏng

1 Giới thiệu

Các phương pháp điều khiển đồng thuận của hệ thống đa tác tử đã được nghiên cứu rộng rãi trong các ứng dụng khác nhau, bao gồm các phương tiện bay không người lái, các mạng cảm biến, và nhiều hơn nữa Đạt được sự đồng thuận là một yêu cầu cần thiết cho sự hợp tác của các hệ thống đa tác Nhiều nỗ lực đã được dành cho việc tửnghiên cứu về các vấn đề đồng thuận Ví dụ, đồng thuận không có lãnh đạo được nghiên

truyền thông ngẫu nhiên Ngoài ra, đồng thuận không lãnh đạo được nghiên cứu cho các

Zhang, 2010) Ngoài ra, đã có một số kết quả đáng chú ý về các vấn đề đồng thuận đã được đề cập như đồng bộ hóa (He et al., 2018; H Li et al., 2018), đàn (flocking) (Sun et al., 2019; Zou et al., 2019), và đám đông (swarming) (Liang et al., 2016; Teodorovic, 2003)

Hầu hết các nghiên cứu nói trên chủ yếu tập trung vào các mô hình truyền thông

lý tưởng mà không xem xét việc lượng tử hóa Tuy nhiên, độ chính xác của bộ điều khiển

và băng thông truyền thông bị ràng buộc và giới hạn Do đó, các đo lường thực tế tạo ra sai số có thể ảnh hưởng đến hiệu suất của các thuật toán đồng thuận Vì lỗi lượng tử hóa

là không thể tránh khỏi, đồng thuận qua các kênh truyền thông lượng tử hóa đã trở thành một chủ đề nghiên cứu tích cực (xem Dong et al., 2016; Hu et al., 2020; Lin et al., 2020; Parivallal et al., 2020 và các tài liệu tham khảo liên quan)

2

Các giao thức đồng thuận phân tán đáng tin cậy đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng vì sự cố và tấn công trên các kênh truyền thông là không thể tránh khỏi

cơ chế hiệu quả vì nó bảo vệ hệ thống khỏi các cuộc tấn công có thể xảy ra Ví dụ, công trình của L Liu et al (2020) nghiên cứu về giao thức đồng thuận an toàn phân tán cho

được phát triển để đạt được sự đồng thuận dịch chuyển theo thời gian với nhiều kẻ thù trong W Xu et al (2019) Ngoài ra, một kiểm soát an toàn dự đoán cho các hệ thống đa tác tử trong các cuộc tấn công DoS đã được nghiên cứu trên các mạng lượng tử (H Yang

et al., 2019)

Đáng lưu ý rằng hầu hết các kết quả hiện có về đồng thuận trong các cuộc tấn công DoS và hiệu ứng lượng tử hóa chỉ được phát triển cho đồng thuận thông thường Mặt khác, đồng thuận tỉ lệ được coi là một sự tổng quát hóa của đồng thuận thông thường Đồng thuận tỉ lệ được định nghĩa lần đầu tiên bởi Roy (2015), trong đó trạng thái

tụ về các hằng số đã được quy định trước đó Với quan sát này, đồng thuận thông thường (Ge & Han, 2016; L Ma et al., 2016; Z Zhang et al., 2016) và đồng thuận nhóm (M Liu

et al., 2018; C.-Q Ma & Xie, 2018; Qin et al., 2017) trở thành các trường hợp đặc biệt

đã suy ra các điều kiện đủ và cần thiết cần thiết để đạt được đồng thuận tỉ lệ hữu hạn cho động lực bậc nhất Hou et al (2016) đã nghiên cứu về đồng thuận cụm tỉ lệ cho các hệ

cụm mong muốn được nghiên cứu sâu hơn Ví dụ, hầu hết các kết quả hiện có đã áp đặt các điều kiện nghiêm ngặt để đạt được đồng thuận cụm (xem Han et al., 2015; Qin & Yu, 2013; Shang, 2015; H Su et al., 2013; Wu et al., 2008; Xia & Cao, 2011; C B Yu et al., 2014; J Yu & Wang, 2012) Cụ thể hơn, các lợi thế kết nối nên âm hoặc dương và có tổng bằng không cho đồng bộ giữa các cụm Tuy nhiên, các trọng số kết nối thường được lưu trữ phân tán trên đồ thị Ngoài ra, ràng buộc kết nối tổng bằng không thường khó đáp ứng Được truyền cảm hứng bởi công việc của Roy (2015), một đồng thuận cụm tỉ lệ

3

được nghiên cứu trong đó không có điều kiện được áp đặt trên topologie mạng trong Hou

et al (2016)

Nghiên cứu này tập trung vào vấn đề đồng thuận tỉ lệ (scaled consensus) trong hệ

đa tác tử chịu ảnh hưởng của tấn công từ chối dịch vụ (DoS) và lỗi lượng tử hóa Ba đóng góp chính của nghiên cứu:

• Mở rộng kết quả đồng thuận tỉ lệ từ hệ động lực bậc hai sang bậc cao hơn

• Phân tích giao thức phân tán mới để xử lý tác tử bị tấn công, trong đó tác tử có thể bị cô lập hoàn toàn khỏi mạng

• Sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính để thiết kế điều khiển an toàn cho cả hai trường hợp đồng thuận tỉ lệ lãnh đạo và không lãnh đạo

Tóm lại, nghiên cứu này giải quyết vấn đề chưa được nghiên cứu đầy đủ liên quan đến đồng thuận tỉ lệ với lỗi lượng tử hóa và mạng lỗi, mang lại đóng góp mới trong lĩnh vực hệ thống đa tác tử an toàn

Phần còn lại của bài báo gồm:

Trong nghiên cứu này, đồ thị vô hướng G = (V, E, A) được sử dụng để mô tả cấu

là ma trận Laplacian

cạnh và ma trận kề

𝑙𝑖𝑗 = −𝑎𝑖𝑗nếu i ≠ j và 𝑙𝑖𝑗 = 𝛴𝐽=1𝑁 𝑎𝑖𝑗

➔ Định lý này được sử dụng trong nghiên cứu để chứng minh rằng giao thức phân tán được đề xuất đạt được đồng thuận trung bình thực tế.

Định lý 2.2

𝑄 = [𝑄1 𝑄2

𝑄3] < 0 Khi và chỉ khi 𝑄3 < 0 và 𝑄1 - 𝑄2𝑄⁻¹𝑄𝑇 ² < 0

• Điều kiện đủ: 𝑄3 < 0 và 𝑄1 - 𝑄2𝑄⁻¹𝑄𝑇 ² < 0 đều th a mãn, thì ma tr n Q chỏ ậ ắc chắn âm ( < 0) 𝑄

• Điều ki n c n: N u ma tr n âm ( < 0), ệ ầ ế ậ 𝑄 𝑄 thì cả hai điều kiện 𝑄3 < 0 và 𝑄1 -

𝑄2𝑄⁻¹𝑄𝑇 ² đều phải thỏa mãn

Điều này cho biết rằng phân tích ma trận khối theo cách này có thể giúp xác định chính xác khi nào một ma trận thực đối xứng âm, dựa trên các tính chất của các ma trận con của nó

2.2 Mô t h ả ệ thống

Giả thi t c a h ế ủ ệthống đa tác tử:

Nghiên cứu này xem xét một hệ thống đa tác tử bao gồm N tác tử giống nhau với động lực tuyến tính tổng quát Mỗi tác tử được mô hình bằng phương trình trạng thái như sau:

• 𝑢𝑖( )k ∈ 𝑹𝑚là vectơ điều khiển của tác tử i tại thời điểm k.

• A và B là các ma trận có kích thước phù hợp và không đổi theo thời gian

Động lực t ng h p c a hệ ổ ợ ủ thống được biểu diễn bằng:

• 𝑥0(𝑘) ∈𝑹𝑛: Trạng thái của tác tử lãnh đạ tại thời điểm k.o

Điều quan trọng cần lưu ý là hệ thống đa tác tử được đưa ra trong (1) và (3) là sự tổng quát hóa của động lực tích hợp đơn và tích hợp kép

Để có được các giải pháp khả thi cho các điều kiện đồng thuận theo tỷ lệ được đề xuất, các giả thiết sau đây là quan trọng:

1 Tính khả điều khiển: Ma trận B có cấp điều khiển đầy đủ (rank(B) = m)

2 Tính quan sát: Hệ thống có khả quan sát (tương đương với việc ma trận khả quan sát được xây dựng từ A và B có cấp đầy đủ)

3 Không có vòng điều khiển: Mạng tương tác của hệ thống không chứa vòng lặp.Những giả thiết này đảm bảo rằng hệ thống đa tác tử có khả năng đạt được các mục tiêu điều khiển mong muốn, bao gồm cả đồng thuận theo tỷ lệ

Giả thiết 2.1: Cặp (A, B) được giả định là khả điều khiển Điều này ngụ ý rằng hệ

đa tác tử có khả năng đạt được bất kỳ trạng thái mong muốn nào trong không gian trạng thái bằng cách lựa chọn các điều khiển thích hợp Giả thiết này khá phổ biến trong nghiên cứu các bài toán hợp tác của hệ đa tác tử tuyến tính

Giả thiết 2.2: Đồ thị G được giả định là liên thông Điều này có nghĩa là tồn tại ít nhất một đường đi giữa bất kỳ hai tác tử nào trong hệ Điều kiện này đảm bảo rằng thông

6

tin có thể được truyền tải giữa tất cả các tác , đóng vai trò quan trọng trong quá trình tửđạt được đồng thuận

Điểm nhấn:

• Giả thiết 2.1 khá nhẹ nhàng so với các nghiên cứu về đồng thuận trong hệ đa tác

tử tuyến tính, không yêu cầu điều kiện cụ thể nào trên các trị riêng của ma trận trạng thái

A Điều này mở rộng tính khả dụng của các kết quả nghiên cứu

• So với một số nghiên cứu hiện có về bài toán đồng thuận nghiên cứu này không

áp đặt bất kỳ giả thiết nào về các trị riêng của ma trận A, mang lại tính tổng quát cao hơn Tóm lại:

Giả thiết 2.1 và 2.2 là những điều kiện cơ bản nhưng cần thiết để đảm bảo khả năng thực hiện và tính chất liên kết của hệ đa tác , đồng thời mở rộng tính áp dụng của tửnghiên cứu so với các công trình trước đây

2.3 Bộ lượng tử hóa

Giả thiết:

• 𝑥𝑖𝑗∈ [−𝛥 , 𝛥 ] là một phép đo vô hướng cần được lượng tử hóa

• Dữ liệu được truyền bởi mỗi tác tử được giả định là các gói với m bit Do đó, có

2𝑚mức lượng tử hóa đồng cách đều và mỗi mức được biểu diễn bằng 𝛥𝑝=2𝛥

𝑥𝑖− 𝑘𝛥𝑝

𝛥𝑝

𝑘𝛥𝑝 ≤ 𝑥 < (𝑘 + 1)𝛥𝑖𝑗 𝑝

Ký hiệu lỗi lượng tử hóa là 𝛥𝑖𝑗(𝑘) = Q(𝑥𝑖𝑗(k)) - 𝑥𝑖𝑗(k)

Giá trị kỳ vọng và phương sai của ij(k) cho bộ lượng tử như vậy được đưa ra trong ᚲ_Aysal et al (2007), Chen et al (2013) và Guan et al (2012):

𝐸[(𝑄(𝑥𝑖𝑗)] = 𝑥 𝑣à 𝐸 (𝛥 ( )𝑖𝑗 𝑖𝑗𝑘 )2≤𝛥𝑝 2

4

Nghiên cứu sẽ sử dụng biểu diễn sau của lỗi lượng tử hóa xếp chồng của tác tử i:

𝛥𝑖(𝑘)= 𝑄 𝑥( 𝑖(𝑘)) − (𝑥𝑖( )𝑘 )

7

với:

𝑥𝑖(k) = [𝛥𝑖1(𝑘) 𝛥𝑖2(𝑘) 𝛥𝑖𝑛(𝑘)]𝑇

2.4 Giao thức đồng thuận theo tỷ lệ: bị tấn công

Giả thiết một bối cảnh trong đó dữ liệu được lượng tử hóa trước khi truyền, đồng thời giới thiệu giao thức đồng thuận tỉ lệ phân tán chịu ảnh hưởng của lỗi lượng tử và ngắt kết nối

• Dữ liệu được lượng tử hóa trước khi truyền bằng bộ lượng tử xác suất Q(·)

• Giao thức đồng thuận tỉ lệ phân tán được thể hiện như sau:

• 𝑢𝑖(𝑘): Điều khiển của tác tử i tại thời điểm k

• K: Ma trận hệ số tăng tỉ lệ cần thiết kế

• 𝑎𝑖𝑗: Phần tử (i, j) của ma trận kề đồ thị

• 𝛼𝑖𝑗: Tỷ số tỉ lệ giữa tác tử i và j

• 𝛽𝑖𝑗: Hệ số liên lạc giữa tác tử i và j, phụ thuộc vào 𝛽𝑖(k): và 𝛽𝑗(k):

• 𝛽𝑖(k): Biến nhị phân Bernoulli của tác tử i tại thời điểm k, có khả năng bằng 0 hoặc 1

• Q(x): Bộ lượng tử hóa áp dụng lên giá trị x

• ζ𝑖𝑗(k) = Q(𝑥𝑖𝑗(𝑘)) - 𝑥𝑖𝑗(𝑘)và ζ𝑖(k) = Q(𝑥𝑖(𝑘))- 𝑥𝑖(𝑘): Lỗi lượng tử hóa của các giá trị 𝑥𝑖(𝑘)và 𝑥𝑗( )𝑘

Đặc điểm của giao thức:

• Giao thức sử dụng lượng tử hóa dữ liệu trước khi truyền, dẫn đến sai số lượng tử hóa ζ𝑖𝑗(k) và ζ𝑖(k)

• Hệ số liên lạc 𝛽𝑖𝑗 phụ thuộc vào 𝛽𝑖(k) và 𝛽𝑖(k) cho phép mô hình các trường hợp hỏng hóc giữa các tác tử

8

• Khi hỏng hóc xảy ra giữa tác tử i và j, 𝛽𝑖𝑗 = 0, đồng nghĩa với việc 𝛽𝑖(k) =

0 hoặc 𝛽𝑖(k) = 0

• Nếu 𝛽𝑖 = 0, tác tử i bị cô lập hoàn toàn, không thể giao tiếp với bất kỳ tác tử nào

• Biến 𝛽𝑖(k) độc lập với 𝛽𝑖(k) (ngoại trừ trường hợp i = j)

• Xác suất 𝛽𝑖(k) = 1 = 𝛽 𝑖, gọi là xác suất tồn tại liên kết của tác tử i

• Xác suất 𝛽𝑖(k) = 0 = 1 - 𝛽 𝑖, gọi là xác suất cô lập của tác tử i

1 Tính độc lập của các chuỗi Bernoulli:

• Khẳng định rằng các chuỗi Bernoulli liên quan đến khả năng kết nối giữa các tác

tử 𝛽𝑖𝑗(k) là độc lập với nhau theo cặp (i ≠ j) Điều này có nghĩa là sự ngắt kết nối của một cặp tác tử không ảnh hưởng đến khả năng kết nối của các cặp khác

• Giá trị kỳ vọng của 𝛽𝑖𝑗(k) được tính toán dựa trên tính độc lập này Khi i = j (tức

là xét khả năng kết nối của một tác tử với chính mình), giá trị kỳ vọng là xác suất tồn tại liên kết của tác tử đó (𝛽 𝑖) Khi i ≠ j (tức là xét khả năng kết nối giữa hai tác tử khác nhau), giá trị kỳ vọng là tích của hai xác suất tồn tại liên kết riêng biệt (𝛽 𝑖 𝛽 𝑗)

2 Ảnh hưởng của tấn công DoS:

• Lưu ý rằng do tấn công DoS (Denial-of-Service), cấu trúc mạng liên kết của hệ đa tác tử (được mô tả trong phương trình (1) ban đầu) không còn cố định Điều này có nghĩa

là liên kết giữa các tác tử có thể thay đổi theo thời gian, gây ra các thách thức trong việc duy trì giao thức đồng thuận ổn định

➔ Nhấn mạnh đến tính độc lập của các chuỗi Bernoulli trong mô hình hệ đa tác tử

và cảnh báo về sự phức tạp của vấn đề do tấn công DoS gây ra Những yếu tố này cần

Giả thiết này ngụ ý rằng:

• Các lỗi lượng tử hóa được tạo ra bởi bộ lượng tử hóa không phụ thuộc vào trạng thái kết nối của mạng do các cuộc tấn công DoS

• Tác động của lỗi lượng tử hóa và ngắt kết nối có thể được xem xét riêng rẽ Tầm quan trọng:

• Giả thiết này đơn giản hóa việc phân tích giao thức đồng thuận bằng cách tách riêng ảnh hưởng của lỗi lượng tử hóa và ngắt kết nối

• Giả thiết này có thể hợp lý trong một số trường hợp, chẳng hạn như khi bộ lượng

tử hóa được triển khai ở cấp phần cứng của thiết bị và không bị ảnh hưởng trực tiếp bởi các tấn công mạng

Nhận xét 2.1: Ngắt kết nối hoàn toàn vs mờ kênh truyền

Nghiên cứu của J Xu et al (2020) chỉ xem xét mờ kênh truyền, khiến tác tử không nhận được dữ liệu nhưng vẫn gửi phép đo

Nghiên cứu này, 𝛽𝑖(k) = 0 ngụ ý tác tử i bị cô lập hoàn toàn, không gửi/nhận thông tin Đây là tấn công trực tiếp vào tác tử, không phải kênh truyền

Tấn công này tạo ra ngắt kết nối tức thời và là dạng DoS nghiêm trọng

Mô hình 𝛽𝑖𝑗 riêng cho từng cạnh (Zhou và Xiao, 2013) mô tả ngắt kết nối từng liên kết độc lập Tuy nhiên, tấn công kênh truyền có thể không tạo ra ngắt kết nối toàn

bộ Chẳng hạn, tấn công với xác suất khác nhau cho từng tác tử ít có khả năng cô lập hoàn toàn một tác tử

Dựa trên công thức điều khiển (4), véc điều khiển tổng hợp được biểu diễn như sau:

Trong đó:

• ∆(k) là véc lỗi lượng tử hóa tổng hợp

10

• là ma trận chéo chứa các hệ số tỉ lệ

• là ma trận Laplacian của hệ đa tác tử bình thường

• là ma trận Laplacian của hệ khi bị tấn công

• Khi tác tử i bị tấn công, 𝛽𝑖 = 0, dẫn đến 𝛽𝑖𝑗 = 0 cho mọi j Điều này nghĩa là khi

= -1, tất cả các kênh kết nối với tác tử i bị loại bỏ khỏi ma trận L

Thay thế công thức điều khiển vào động lực tổng thể, ta có:

2.5 Đồng thuận theo tỷ lệ

Dựa trên các định nghĩa về đồng thuận mạnh mẽ trung bình phương bình phương trong Guan et al (2012), J Xu et al (2020), Y Zhang và Tian (2010) và định nghĩa về đồng thuận tỉ lệ trong Roy (2015), nghiên cứu đưa ra định nghĩa sau về đồng thuận tỉ lệlượng tử trung bình phương bình phương thực tế:

Định nghĩa 2.3: Một nhóm N tác tử (hệ đa tác ) đạt được đồng thuận tỉ lệ lượng tử

tử trung bình phương bình phương thực tế với nghịch đảo các tỉ lệ tỉ lệ (𝛼1−1, , 𝛼𝑁 −1 ), nếu tồn tại một hàm tăng đơn điệu c(·) thỏa mãn 𝑙𝑖𝑚𝛥𝑝 −> 0𝑐 (𝛥𝑝) = 0 sao cho:

𝑙𝑖𝑚

𝑡→∞𝐸 [ǁ𝑥𝑖 (𝑘)

𝛼𝑖 − 𝑥𝑗 (𝑘)

𝛼 𝑗 ǁ2] ≤ 𝑐 𝛥( 𝑝) , ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉 trong đó các giá trị vô hướng 𝛼1 , 𝛼𝑁được giả thiết khác không Khi 𝛥𝑝 = 0, tức là không có lượng tử hóa, hệ đa tác tử được cho là đạt được đồng thuận tỉ lệ trung bình phương bình phương

Ngoài ra, đồng thuận lãnh đạo -người theo tỉ lệ lượng tử trung bình phương bình phương thực tế được coi là đạt được nếu:

𝑙𝑖𝑚

𝑡→∞𝐸 [ǁ𝑥𝑖 ( ) 0

𝛼 𝑖 − 𝑥𝑗 ( ) 0

𝛼𝑗 ǁ2] ≤ 𝑐(𝛥𝑝) ∀𝑖 = 1,2, , 𝑁 ∈ 𝑉, Giải thích:

• Định nghĩa này mô tả mức độ đồng thuận của một hệ đa tác tử với lượng tử hóa

dữ liệu

11

• Các tác tử đạt được đồng thuận tỉ lệ lượng tử khi giá trị trung bình của các tích tỉ

lệ và trạng thái của chúng theo thời gian hội tụ về nhau, với lỗi giới hạn phụ thuộc vào độ chính xác của lượng tử hóa (p)

• Hàm c(·) thể hiện mức độ ảnh hưởng của lỗi lượng tử hóa đến sự hội tụ

• Khi không có lượng tử hóa (p = 0), định nghĩa này trở thành định nghĩa thông thường của đồng thuận tỉ lệ trung bình phương bình phương

• Định nghĩa mở rộng cho trường hợp có tác tử lãnh đạo, trong đó các tác tử theo sau giá trị trung bình của tích tỉ lệ và trạng thái của tác tử lãnh đạo

Đạt được đồng thuận tỉ lệ (scaled consensus) có nghĩa là các trạng thái của các tác

tử hội tụ về tỷ lệ đã được xác định trong tình huống cực tiểu Nói cách khác, hệ thống đa tác tử được cho là đạt được đồng thuận tỉ lệ nếu tỷ lệ giữa các quỹ đạo của các tác tử hội

tụ về các hằng số đã biết trước Ví dụ, tỷ lệ 𝑥𝑖(𝑘)/𝑥𝑗( )𝑘 hội tụ về 1/2 khi các tỷ lệ được chọn như sau: 𝛼𝑖 = 1 và 𝛼𝑗 = 2 Mục tiêu của bài báo này là nghiên cứu vấn đề đồng thuận tỉ lệ giữa lãnh đạo và theo sau, cũng như vấn đề đồng thuận tỉ lệ không lãnh đạo thông qua các giao thức phân tán

2.6 Phân tích sự không đồng thuận không lãnh đạo

Vector bất đồng tỉ lệ được định nghĩa và biểu diễn dưới dạng gọn:

• Hai đặc điểm quan trọng của r:

o 𝑟𝑇𝑟 = 1: Tổng các phần tử của r bằng 1, thể hiện nó là một vectơ đơn vị

o r là eigenvector phải chuẩn tắc của M với eigenvalue 0: Mr = 0 Điều này nghĩa là khi nhân r với ma trận M, kết quả là vectơ không