cấu trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thị Phương Thảo CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thị Phương Thảo CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số : 60 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trải qua thời gian nghiên cứu, với kiến thức mà thầy cô trao dồi cho suốt thời gian học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đến hoàn thành luận văn Để đạt kết không nhờ nổ lực cá nhân mà có động viên giúp đở gia đình, thầy cô, bạn bè tập thể lớp Đại số Lý thuyết số K22, đặc biệt PGS TS Bùi Xuân Hải Với lòng kính trọng biết ơn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Bùi Xuân Hải khuyến khích, dẫn tận tình cho suốt thời gian nghiên cứu luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể quý Thầy Cô khoa Toán – Tin, cán phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, … tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho trong suốt trình học tập trường Xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ cho lời khuyên bổ ích suốt thời gian thực đề tài TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Học viên thực Võ Thị Phương Thảo MỤC LỤC Trang Mục lục Bảng kí hiệu MỞ ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CƠ SỞ T 1.1 Tính đơn nhóm thay phiên T T 1.1.1.Nhóm đơn T 0T 1.1.2 Nhóm thay phiên T 0T 1.1.3 Tính đơn nhóm thay phiên 11 T T 1.2 Nhóm tuyến tính trường hữu hạn 15 T T 1.2.1 Định nghĩa nhóm tuyến tính trường hữu hạn 15 T T 1.2.2 Cấp nhóm tuyến tính 17 T T 1.2.3 Một số tính chất nhóm tuyến tính 18 T T Chương - CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 24 T 2.1 Nhóm hoán tử 𝑮𝑳(𝒏, 𝑲) 24 0T T 2.2 Các – nhóm Sylow nhóm SL(2,3) 26 T T 2.3 Các p – nhóm Sylow nhóm 𝑺𝑳(𝟐, 𝟓) 30 0T T 2.4 Các nhóm PSL(2,2) PSL(2,3) 33 T T 2.5 Các nhóm 𝑷𝑺𝑳(𝟑, 𝟒) 𝑨𝟖 39 T 0T KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Bảng ký hiệu 𝐴𝑢𝑡 (𝐺) - Nhóm tự đẳng cấu nhóm G 𝐶𝐺 (𝐻) = {𝑥 ∈ 𝐺 𝑥ℎ = ℎ𝑥, ∀ℎ ∈ 𝐻} – tâm hóa tử H G 𝐸𝑖𝑗 - ma trận có vị trí (𝑖, 𝑗) vị trí lại 𝐹𝑞 – trường hữu hạn có q phần tử 𝑁𝐺 (𝐻) = {𝑥 ∈ 𝐺 𝑥 −1 𝐻𝑥 = 𝐻} – chuẩn hóa tử H G 𝑆𝑦𝑙𝑝 (𝐺) – tập hợp p- nhóm Sylow G (𝑎, 𝑏) – ước chung lớn hai số nguyên 𝑎, 𝑏 𝑘𝑛 – 𝑘 ước 𝑛 𝐻 ≤ 𝐺 − 𝐻 nhóm 𝐺 HG – H nhóm chuẩn tắc G 𝐾 ∗ − nhóm phần tử khả nghịch trường 𝐾 𝑍(𝐺) − tâm 𝐺 |𝐺| − cấp nhóm 𝐺 |𝑎| − cấp phần tử 𝑎 𝑎−1 − phần tử nghịch đảo phần tử 𝑎 𝐸 − ma trận đơn vị 𝑀𝑛 (𝐾) − vành ma trận vuông cấp 𝑛 𝐾 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 𝐾 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính đặc biệt bậc 𝑛 𝐾 PGL(n,K) – nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát bậc n K PSL(n,K) – nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n K 𝜏𝑣,𝜌 (𝑥) = 𝑥 + 𝑣𝜌(𝑥) − phép co 𝑡𝑖𝑗 (𝑎) = 𝐸 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 − phép co sơ cấp 𝑆𝑛 − nhóm đối xứng bậc 𝑛 𝐴𝑛 − nhóm thay phiên bậc 𝑛 〈𝑎〉 − nhóm sinh 𝑎 [𝐺: 𝐻] − số H G 𝑦 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝑦𝑥 −phần tử liên hợp với 𝑦 nhóm 𝐻 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝐻𝑥 −nhóm liên hợp với 𝐻 𝐺 ⁄𝐻 − nhóm thương G theo 𝐻 [𝑎, 𝑏] ≔ 𝑎−1 𝑏 −1 𝑎𝑏 −giao hoán tử 𝑎 𝑏 MỞ ĐẦU Các nhóm tuyến tính đóng vai trò quang trọng Lý thuyết nhóm nói riêng toán học nói chung Đó lí em chọn đề tài “Cấu trúc số nhóm tuyến tính trường hữu hạn” Luận văn mô tả số nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn Chủ yếu dựa ứng dụng Định lí Sylow; Định lí Jordan – Dickson tính đơn nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt; tính đơn nhóm thay phiên 𝐴𝑛 Luận văn đề cập đến p- nhóm Sylow tính đơn số nhóm tuyến tính Từ tìm mối liên hệ nhóm với số đối xứng nhóm thay phiên đặc biệt Trong nhóm tuyến tính cấp với nhóm thay phiên tương ứng, có nhóm đẳng cấu có nhóm không đẳng cấu với nhóm thay phiên Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương một: Kiến thức sở Chương chủ yếu trình bày kiến thức nhóm đơn, nhóm tuyến tính, nhóm đối xứng nhóm thay phiên Chương hai: Cấu trúc số nhóm tuyến tính trường hữu hạn Chương mô tả p- nhóm Sylow tính đơn số nhóm tuyến tính trường hữu hạn Từ tìm mối liên hệ nhóm với nhóm thay phiên có cấp Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tính đơn nhóm thay phiên 1.1.1.Nhóm đơn Định nghĩa 1.1.1.1 Nhóm G gọi nhóm đơn G ≠ có nhóm chuẩn tắc Định lý 1.1.1.2 Nếu G ≠ p- nhóm hữu hạn Z(G) ≠ Định lý 1.1.1.3 Cho G nhóm cấp n, p ước nguyên tố n Khi đó, số p- nhóm Sylow G ước n nguyên tố với p Chứng minh Gọi 𝑛𝑝 số p- nhóm Sylow G Kí hiệu 𝑆 = {𝑥𝑃𝑥 −1 : 𝑥 ∈ 𝐺} tập nhóm liên hợp với P Theo Định lí Sylow, S có 𝑛𝑝 phần tử Xét tác động G lên S phép liên hợp Tác động có quỹ đạo, S Theo công thức lớp, |𝑆| = 𝑛𝑝 = [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)], Do 𝑛𝑝 ước n Vì 𝑛𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) nên 𝑛𝑝 nguyên tố với p Định lý 1.1.1.4 Cho G nhóm đơn có cấp n p ước nguyên tố n Khi đó, số p– nhóm Sylow G nhiều Chứng minh Giả sử P p – nhóm Sylow G Theo chứng minh Định lí 1.1.1.3, [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)] = 𝑛𝑝 = 1, hay 𝐺 = 𝑁𝐺 (𝑃), 𝑥𝑃𝑥 −1 = 𝑃 với 𝑥 ∈ 𝐺 Như P phải nhóm chuẩn tắc thực G, điều mâu thuẫn với giả thiết G nhóm đơn Do số p– nhóm Sylow G phải nhiều Định lý 1.1.1.5 Cho nhóm G có cấp pq, với p, q hai số nguyên tố Khi i) Nếu 𝑝 = 𝑞 G nhóm aben Hơn nữa, G đẳng cấu với 𝑍𝑝2 G chứa phần tử cấp 𝑝2 đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 G không chứa phần tử cấp 𝑝2 ii) Nếu 𝑝 ≠ 𝑞 G không nhóm đơn Hơn nữa, 𝑞 ≢ 1(𝑚𝑜𝑑𝑝) G có p – nhóm Sylow chuẩn tắc Trong trường hợp G nhóm cyclic Chứng minh i) Với p = q, G nhóm aben Thật vậy, gọi 𝑍(𝐺) = {𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑥 ∈ 𝐺} tâm G C(a) = {x∈G: xa = ax} Trước hết ta chứng minh công thức: |𝐺| = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], {x i } i∈I R R R R phần tử không nằm tâm Xét tác động * : G×G→G, x*g = xgx-1, P P ∀x, g∈G nhóm G lên tập G Theo công thức phân tích thành quỹ đạo, ta có: = G Z (G ) + ∑ [G : Gxi ] i∈I Mặt khác: xi } {x ∈ G : xxi x −1 == xi } {x ∈ G : xxi = xi x} = C ( xi ) {x ∈ G : x * xi == Gxi =  G  xi ∈ Z (G ) ⇔ C ( xi ) = Như vậy, ta vừa chứng minh |𝐺| = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], {x i } i∈I phần tử không nằm tâm Suy |𝑍(𝐺)| = |𝐺| − R R R R ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], |𝑍(𝐺)| chia hết cho p Mặt khác, 𝑍(𝐺) ≠ ∅ nên |𝑍(𝐺)| ước p2 Khi |𝑍(𝐺)| = 𝑝 |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 Nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝 ta P P xét nhóm thương 𝐺/𝑍(𝐺), ta có |𝐺/𝑍(𝐺)| = 𝑝, suy 𝐺/𝑍(𝐺) =< 𝑥𝑍(𝐺) > Mặt khác |𝑍(𝐺)| = 𝑝 nên 𝑍(𝐺) =< 𝑦 >, phần tử G có dạng 𝑔 = 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 Do tính giao hoán x y nên G giao hoán Còn |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 dễ thấy 𝑍(𝐺) = 𝐺 nên G giao hoán Vậy, G đẳng cấu với Z p2 G chứa phần tử cấp p2 đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 G không chứa phần tử cấp P p2 P P P ii) Giả sử p < q Theo Định lý Sylow, tồn nhóm A, B G cho |𝐴| = 𝑝 |𝐵| = 𝑞 Hơn nữa, A p – nhóm Sylow G, B q – nhóm Sylow G Mà nhóm hữu hạn có cấp = A nguyên tố nhóm cyclic, nên ta xem = a ;B b với a, b ∈ G , cấp a p, cấp b q Gọi n p số p – nhóm Sylow G, nq số q – nhóm Sylow G Ta có nq = + kq, nq | p (do n q |pq, (n q ,q) = theo Định lý Sylow) R R R R p < q nên nq = Khi đó: B  G Vậy G không nhóm đơn Tương tự n p = + kp, n p | q Khi đó, ta có hai trường hợp Nếu 𝑛𝑝 = A nhóm chuẩn tắc G Ta chứng minh ab có cấp pq Thật vậy, ta có A ∩ B = {e} (do p q nguyên tố nhau), mà aba −1b −1 ∈ A ∩ B (do A B nhóm chuẩn tắc G) nên ab = ba Khi đó, cấp a b nguyên tố nên ab có cấp pq Như 𝐺 = 〈𝑎𝑏〉 = 𝑍𝑝𝑞 (do G có cấp pq) Trong trường hợp n p = q , G nhóm Abel Ta có tập tích AB nhóm G |𝐴𝐵| = |𝐴|.|𝐵| |𝐴∩𝐵| = 𝑝𝑞 Do G = AB Như vậy, ta vừa chứng minh G không nhóm đơn G có q- nhóm Sylow chuẩn tắc; q ≡/ 1( mod p ) G có p- nhóm Sylow chuẩn tắc Trong trường hợp G nhóm cyclic Định lý 1.1.1.6 Cho G nhóm cấp p2q, p, q số nguyên tố P P phân biệt Khi G không nhóm đơn G có p- nhóm Sylow chuẩn tắc G có q- nhóm Sylow chuẩn tắc Chứng minh Gọi 𝑛𝑝 , 𝑛𝑞 số p- nhóm Sylow số q- nhóm Sylow Giả sử G p- nhóm Sylow chuẩn tắc q- 28 2.2.4 Nhóm 𝑆𝐿(2,3) sinh hai phần tử x y 𝑆𝐿(2,3) Chứng minh Theo Định lí 1.2.3.1, ta có 𝑆𝐿(2,3) = 〈𝑡𝑖𝑗 (𝑎)〉𝑖≠𝑗,𝑎∈𝑍3∗ = 〈𝑡12 (1), 𝑡12 (−1), 𝑡21 (1), 𝑡21 (−1)〉 Mà 𝑡12 (1)2 = 𝑡12 (2) = 𝑡12 (−1) 𝑡21 (1)2 = 𝑡21 (2) = 𝑡21 (−1) nên Lấy 𝑥 = � minh 1 〉 𝑆𝐿(2,3) = 〈𝑡12 (1), 𝑡21 (1)〉 = 〈� �,� � 1 1 � ∈ 𝑆𝐿(2,3), 𝑦 = � � ∈ 𝑆𝐿(2,3) ta điều phải chứng 1 2.2.5 Nhóm 𝑆𝐿(2,3) có 3- nhóm Sylow Chứng minh Gọi 𝑛3 số 3- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,3) Theo Định lí Sylow, 𝑛3  𝑛3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) Khi đó, ta 𝑛3 = 𝑛3 = mà 1 〉 nhóm 𝑆𝐿(2,3) có nhóm cấp 〈� �〉 〈� � nên 𝑛3 = 1 Vậy nhóm 𝑆𝐿(2,3) có 3- nhóm Sylow 2.2.6 Nhóm 𝑆𝐿(2,3) có 2- nhóm Sylow chuẩn tắc 〈𝑥𝑦, 𝑦𝑥〉 nhóm Quaternion Chứng minh Đặt 𝐻 = 〈𝑎, 𝑏〉, với 𝑎 = 𝑥𝑦 = � 1 � , 𝑏 = 𝑦𝑥 = � � 1 2 2 Ta có: 𝑎2 = � � = −𝐸 = 𝑏 ; 𝑎3 = � � = 𝑎−1 ; 𝑏 = � � = 𝑏 −1 ; 2 2 29 2 𝑎4 = 𝑏 = 𝐸;𝑎𝑏 = � �;ba= � �;a𝑏 = � � = 𝑎−1 ;b𝑎2 = 2 0 2 � � = 𝑏 −1 ;(𝑎𝑏)2 = � � = −𝐸 = (𝑏𝑎)2 ;𝑏 𝑎 = � � = 𝑎𝑏; 𝑎𝑏 = 2 0 � � = 𝑏𝑎 Ta thấy a𝑏 = � 2 � = 𝑏𝑎−1 , 𝑏 −1 𝑎𝑏 = 𝑎−1 Suy 𝐻 = 〈𝑎, 𝑏 𝑎4 = 𝐸, 𝑏 = 𝑎2 , 𝑏 −1 𝑎𝑏 = 𝑎−1 〉 = {±𝐸, 𝑎, 𝑏, 𝑎−1 , 𝑏 −1 , 𝑎𝑏, 𝑏𝑎} thỏa tính chất nhóm Quaternion Vậy 𝐻 = 𝑄8 nhóm Quaternion cấp Gọi 𝑛2 số 2- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,3) Theo Định lí Sylow, 𝑛2  𝑛2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2) Khi 𝑛2 = 𝑛2 = Vì nhóm Quaternion cấp có nhóm cấp 〈−𝐸〉 – 𝐸 tự liên hợp Do đó, 𝑛2 = số phần tử có cấp ước nhóm 𝑆𝐿(2,3) 𝑛2 (8 − 2) + = 19 Mặt khác theo 2.2.5, số phần tử cấp 𝑆𝐿(2,3) 𝑛3 (3 − 1) = Do giá trị 𝑛2 = bị loại 19 + > |𝑆𝐿(2,3)| Vậy 𝑛2 = hay có 2nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,3) H nên H chuẩn tắc 𝑆𝐿(2,3) 2.2.7 Hai nhóm 𝑆𝐿(2,3) 𝑆4 cấp không đẳng cấu với Chứng minh Ta có |𝑆4 | = 4! = 24 = |𝑆𝐿(2,3)| nên hai nhóm 𝑆𝐿(2,3) 𝑆4 cấp, không đẳng cấu với Thật vậy, ta có � � =𝐸 nên 𝑆𝐿(2,3) có chứa phần tử cấp 𝑆4 không chứa phần tử cấp Từ ta điều phải chứng minh 30 2.3 Các p – nhóm Sylow nhóm 𝑺𝑳(𝟐, 𝟓) 2.3.1 Nhóm SL(2,5) 𝑎 Ta có 𝑆𝐿(2,5) = �� 𝑐 𝑏 �  𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 1, 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝜖𝑍5 � 𝑑 Theo Định lí 1.2.2.1, ta tính |𝑆𝐿(2,5)| = 120 = 23 3.5 Tâm 𝑆𝐿(2,5) 𝛼 𝑍�𝑆𝐿(2,5)� = �� 0 �  𝛼 = 1, 𝑣ớ𝑖 𝛼 𝜖𝑍5 � 𝛼 −1 = �� �,� 0 −1 �� = 〈� −1 0 �〉 −1 2.3.2 Nhóm 𝑆𝐿(2,5) sinh hai phần tử x y 𝑆𝐿(2,5) Chứng minh Theo Định lí 1.2.3.1, ta có 𝑆𝐿(2,5) = 〈𝑡𝑖𝑗 (𝑎)〉𝑖≠𝑗,𝑎∈𝑍5∗ = = 〈𝑡12 (1), 𝑡12 (−1), 𝑡12 (2), 𝑡12 (−2), 𝑡21 (1), 𝑡21 (−1), 𝑡21 (2), 𝑡21 (−2)〉 Mà 𝑡12 (1)2 = 𝑡12 (2) 𝑡12 (2)2 = 𝑡12 (−1) 𝑡21 (1)2 = 𝑡21 (2) 𝑡21 (2)2 = 𝑡21 (−1) nên 𝑆𝐿(2,5) = 〈𝑡12 (1), 𝑡21 (1)〉 = 〈� Lấy 𝑥 = � minh 1 �,� 1 〉 � 1 � ∈ 𝑆𝐿(2,5), 𝑦 = � � ∈ 𝑆𝐿(2,5) ta điều phải chứng 1 2.3.3 Nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 5- nhóm Sylow Chứng minh Gọi 𝑛5 số 5- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,5) Theo Định lí Sylow, 𝑛5  24 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) Khi 𝑛5 = 𝑛5 = mà nhóm 31 1 𝑆𝐿(2,5) có nhóm cấp 〈� �〉 〈� 1 Vậy nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 5- nhóm Sylow 〉 � nên 𝑛5 = 2.3.4 Nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 2- nhóm Sylow, nhóm Quaternion Chứng minh Trong 𝑆𝐿(2,5), xét phần tử 𝑖 = � �,𝑗 = −2 2 0 � �,𝑘 = � � Ta có: 𝑖𝑗 = � � = −𝑗𝑖 = 𝑘, 𝑗𝑘 = � �= 0 −2 −1 0 −𝑘𝑗 = 𝑖, 𝑘𝑖 = � � = −𝑖𝑘 = 𝑗 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = −𝐸 Do nhóm cấp −1 {±𝐸, ±𝑖, ±𝑗, ±𝑘} nhóm Quaternion Vì 2- nhóm Sylow liên hợp với nên ta kết luận 2- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,5) nhóm Quaternion Gọi 𝑛2 số 2- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,5) Theo Định lí Sylow, 𝑛2  15 𝑛2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2) Khi 𝑛2 ∈ {1,3,5,15} Vì nhóm Quaternion cấp có nhóm cấp 〈−𝐸〉 – 𝐸 tự liên hợp Do đó, 𝑛2 = 15 số phần tử 𝑆𝐿(2,5) có cấp ước 𝑛2 (8 − 2) + = 91 Theo 2.3.3, nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 𝑛5 (5 − 1) = 24 phần tử cấp Mặt khác, nhóm 𝑆𝐿(2,5) 〉, 〈 −2 〉, 〈 −1 〉, 〈 −2 〉, nhóm cấp 〈� � � � � � � � −2 −2 −2 〈�−2 −2�〉 nên 𝑆𝐿(2,5) có 5(3 − 1) = 10 phần tử có cấp −1 Do đó, 𝑛2 = 15 bị loại 24 + 91 + 10 > |𝑆𝐿(2,5)| Vậy 𝑛2 = hay nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 2- nhóm Sylow 2.3.5 Nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 10 3- nhóm Sylow Chứng minh Gọi 𝑛3 số 3- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,5) Theo Định lí Sylow, 𝑛3 40 𝑛3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) Khi 𝑛3 ∈ {1,4,10,40} Nếu 𝑛3 = 40 32 số phần tử cấp 𝑆𝐿(2,5) 𝑛3 (3 − 1) = 80 Theo 2.3.4, nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 𝑛2 (8 − 2) + = 31 phần tử có cấp ước Do 𝑛3 = 40 bị loại 24 + 80 + 31 > |𝑆𝐿(2,5)| Mặt khác, theo 2.3.4 nhóm 𝑆𝐿(2,5) nhóm cấp Do 𝑛3 = 10 hay nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 10 3- nhóm Sylow Nhận xét: Các 5- nhóm Sylow 3- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,5) có cấp số nguyên tố nên nhóm xyclic Các 2- nhóm Sylow 𝑆𝐿(2,5) nhóm Quarternion 2.3.6 Hai nhóm 𝑆𝐿(2,5) 𝑆5 cấp không đẳng cấu với Chứng minh Ta có |𝑆5 | = 5! = 120 = |𝑆𝐿(2,5)| nên hai nhóm 𝑆𝐿(2,5) 1 10 𝑆5 cấp, không đẳng cấu với Thật vậy, ta có � � =𝐸 nên 𝑆𝐿(2,5) có chứa phần tử cấp 10 𝑆5 không chứa phần tử cấp 10 Từ ta điều phải chứng minh 2.3.7 𝑆5 nhóm cấp 15 Chứng minh Giả sử 𝑆5 có nhóm cấp 15 P Khi P có 5- nhóm Sylow Q Q nhóm chuẩn tắc P Gọi 𝑛5 số 5- nhóm Sylow 𝑆5 Ta có 𝑛5 120 (|𝑆5 | = 5! = 120) 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) Suy 𝑛5 = {1, 6} Mặt khác, 𝑛5 ≠ 5- nhóm Sylow sinh từ 〈(12345)〉 nên 𝑛5 = hay nhóm 𝑆5 có 5- nhóm Sylow (mâu thuẫn) Vậy 𝑆5 nhóm cấp 15 33 2.4 Các nhóm PSL(2,2) PSL(2,3) 2.4.1 Nhóm PSL(2,2) Tâm �� �� 𝑆𝐿(2,2) 𝛼 𝑍�𝑆𝐿(2,2)� = �� 0 �  𝛼 = 1, 𝑣ớ𝑖 𝛼 𝜖𝑍2 � = 𝛼 Suy 𝑃𝑆𝐿(2,2) = 𝑆𝐿(2,2)� = 𝑆𝐿(2,2) 𝑍� 𝑆𝐿(2,2)� 1 1 1 0 = �� �,� �,� �,� �,� �� �,� 1 1 1 1 1 〉 = 〈� �,� � 1 Ta có |𝑃𝑆𝐿(2,2)| = = 2.3 Theo Định lí 1.1.1.5, nhóm PSL(2,2) không nhóm đơn, có 2- nhóm Sylow 3- nhóm Sylow chuẩn tắc Ta tìm 𝐻 = 〈� 1 〉 � nhóm cấp 3, nên 3- nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,2)� Sylow chuẩn tắc PSL(2,2) Mặt khác, 𝐻 nhóm cyclic (vì có cấp 2) nên giao hoán Theo Định lí 2.1.1, [𝑃𝑆𝐿(2,2), 𝑃𝑆𝐿(2,2)] ≤ 𝐻 nên [𝑃𝑆𝐿(2,2), 𝑃𝑆𝐿(2,2)] = 𝐻 2.4.2 Mọi nhóm cấp không giao hoán đẳng cấu với 𝑆3 Chứng minh Gọi G nhóm cấp không giao hoán Trước hết ta khẳng định G không chứa phần tử cấp chứa phần tử cấp G nhóm xyclic nên G nhóm giao hoán Vì G nhóm không giao hoán nên có phần tử 𝑎 ∈ 𝐺 mà |𝑎| = (vì phần tử G có cấp G lại nhóm giao hoán) Khi nhóm sinh a 〈𝑎〉 có số nên nhóm thương 34 𝐺� có phần tử Nếu 𝑏∉〈𝑎〉 𝑏� ∈ 𝐺� 𝑏� ≠ 𝑒 nên �𝑏�� = 2, suy 〈𝑎〉 〈𝑎〉 |𝑏| = Vậy 𝐺 = 〈{𝑎, 𝑏}〉 với |𝑎| = 3, |𝑏| = 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑎2 , 𝑏, 𝑎𝑏, 𝑎2 𝑏} thỏa hệ thức 𝑏𝑎 = 𝑎2 𝑏 Bây xét nhóm 𝑆3 hoán vị bậc 3, xem sinh phần tử 𝛼 = (1 3) 𝛽 = (1 2) Ta có 𝑆3 = {𝑒, 𝛼, 𝛼 , 𝛽, 𝛼𝛽, 𝛼 𝛽} thỏa 𝛽𝛼 = 𝛼 𝛽 Điều đảm bảo ánh xạ 𝜑: 𝐺 → 𝑆3 mà 𝜑(𝑒) = 𝑒, 𝜑(𝑎) = 𝛼, 𝜑(𝑎2 ) = 𝛼 , 𝜑(𝑏) = 𝛽, 𝜑(𝑎𝑏) = 𝛼𝛽, 𝜑(𝑎2 𝑏) = 𝛼 𝛽 song ánh bảo toàn phép toán Từ đó, 𝐺 ≅ 𝑆3 2.4.3 𝐺𝐿(2,2) = 𝑆𝐿(2,2) = 𝑃𝑆𝐿(2,2) ≅ 𝑆3 Từ suy nhóm hoán tử G𝐿(2,2) Chứng minh Theo 2.4.1, 𝑃𝑆𝐿(2,2) = 𝑆𝐿(2,2) Mà 𝑆𝐿(2,2) ⊂ 𝐺𝐿(2,2) |𝑆𝐿(2,2)| = = |𝐺𝐿(2,2)| nên G𝐿(2,2) = 𝑆𝐿(2,2) = 𝑃𝑆𝐿(2,2) 1 Mặt khác G𝐿(2,2) ≅ 𝑆3 Thật vậy, xét 𝑥 = � �,𝑦 = � � ∈ 𝐺𝐿(2,2) 1 1 1 Ta có: 𝑥𝑦 = � �, 𝑦𝑥 = � � Suy 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 Do G𝐿(2,2) không 1 giao hoán Theo 2.4.1, nhóm cấp không giao hoán đẳng cấu với 𝑆3 nên 𝐺𝐿(2,2) ≅ 𝑆3 Vậy 𝐺𝐿(2,2) = 𝑆𝐿(2,2) = 𝑃𝑆𝐿(2,2) ≅ 𝑆3 Từ suy [𝐺𝐿(2,2), 𝐺𝐿(2,2)] = [𝑃𝑆𝐿(2,2), 𝑃𝑆𝐿(2,2)] = 〈� 2.4.4 Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) Đặt 𝑍 = 𝑍�𝑆𝐿(2,3)� = 〈� 〉 � 𝑆𝐿(2,3)� �〉 Ta có 𝑃𝑆𝐿(2,3) = 𝑍 ta tính |𝑃𝑆𝐿(2,3)| = 12 Theo 2.2.1, ta có: 35 𝑥1 = � � ∈ 𝑍 𝑦1 = � � ∈ 𝑍⇒x�1 = y�1 = 1Z 1 2 2 x2 = � � ⇒x2−1 = � � ; y2 = � � ⇒x2−1 y2 = � �∈Z 1 2 ⇒x���2 = y ���2 1 2 x3 = � � ⇒x3−1 = � � ; y3 = � � ⇒x3−1 y3 = � �∈Z 1 2 ⇒x���3 = y ���3 1 x4 = � � ⇒x4−1 = � � ; y4 = � � ⇒x4−1 y4 = � �∈Z 1 2 2 ���4 ⇒x���4 = y 1 x5 = � � ⇒x5−1 = � � ; y5 = � � ⇒x5−1 y5 = � �∈Z 1 1 2 ⇒x���5 = y ���5 2 x6 = � � ⇒x6−1 = � � ; y6 = � � ⇒x6−1 y6 = � �∈Z 1 0 ⇒x���6 = y ���6 1 2 0 x7 = � � ⇒x7−1 = � � ; y7 = � � ⇒x7−1 y7 = � �∈Z 1 0 ���7 ⇒x���7 = y 1 2 0 x8 = � � ⇒x8−1 = � � ; y8 = � � ⇒x8−1 y8 = � �∈Z 2 0 ⇒x���8 = y ���8 2 0 x9 = � � ⇒x9−1 = � � ; y9 = � � ⇒x9−1 y9 = � �∈Z 1 2 36 X10 = � ⇒x�9 = y�9 2 2 −1 −1 =� y10 = � � ⇒x10 � ; y10 = � � ⇒x10 �∈Z 1 2 1 −1 =� x11 = � � ⇒x11 1 ���� ⇒x���� 10 = y 10 � ; y11 = � 2 ⇒x���� ���� 11 = y 11 2 −1 y11 = � � ⇒x11 2 2 −1 y12 = � � y12 = � � ⇒x12 �∈Z 2 1 −1 X12 = � =� � ⇒x12 2 ⇒x���� ���� 12 = y 12 Vậy 𝑃𝑆𝐿(2,3) = {x�1 , x���, ���, ���, ���, ���, ���, ���, x10 x����, x12 = x x x x x x x�9 , ����, 11 ����} = �� � � 𝑍, � 1 � Z, � 1 � Z, � 1 � Z, � �∈Z 2 � Z, � 1 � Z, � 0 � Z, � � Z, � 2 1 1 � Z, � � Z, � 1 1 � Z, � Z� 2.4.5 Trong 𝑃𝑆𝐿(2,3) tồn phần tử 𝑥, 𝑦 thỏa 𝑥 = 𝑦 = (𝑥𝑦)2 = 𝐸 𝑃𝑆𝐿(2,3) = 〈𝑥, 𝑦〉 Chứng minh Lấy 𝑥 = � Khi đó: 1 � 𝑍 ∈ 𝑃𝑆𝐿(2,3), 𝑦 = � � 𝑍 ∈ 𝑃𝑆𝐿(2,3) 1 1 1 𝑥2 = � � 𝑍; 𝑥 = � � 𝑍 = 𝐸; 𝑦 = � � 𝑍; 𝑦 = � � 𝑍 = 𝐸; 1 1 𝑥𝑦 = � � 𝑍; (𝑥𝑦)2 = � 1 � 𝑍 = 𝐸 Hiển nhiên x, y hai phần tử thuộc 𝑃𝑆𝐿(2,3) nên 𝑃𝑆𝐿(2,3)⊃ 〈𝑥, 𝑦〉 37 |〈𝑥, 𝑦〉| = 〈𝑥〉, 〈𝑦〉, 〈𝑥𝑦〉⊂ 〈𝑥, 𝑦〉 Ngược lại, ta thấy � ⇒� |〈𝑥, 𝑦〉| = 12 |〈𝑥〉| = |〈𝑦〉| = 3, |〈𝑥𝑦〉| = Mà {1, 𝑥, 𝑥 , 𝑦, 𝑦 , 𝑥𝑦, 𝑦𝑥}⊂ 〈𝑥, 𝑦〉 ⇒ |〈𝑥, 𝑦〉| ≥ ⇒ |〈𝑥, 𝑦〉| = 12 Vậy 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑃𝑆𝐿(2,3) 2.4.6 Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) có 3- nhóm Sylow Chứng minh Gọi 𝑛3 số 3- nhóm Sylow 𝑃𝑆𝐿(2,3).Theo Định lý Sylow, 𝑛3  𝑛3 ≡ (mod 3), mà |𝑃𝑆𝐿(2,3)| = 22 nên theo Định lí 1.1.1.11, 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhóm không đơn, suy 𝑛3 ≠ 1, 𝑛3 = Vậy nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) có 3- nhóm Sylow Ta chứng minh 𝑃𝑆𝐿(2,3) không nhóm đơn cách nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) đẳng cấu với nhóm không đơn, cụ thể 𝑃𝑆𝐿(2,3) ≅ 𝐴4 với 𝐴4 nhóm không đơn 2.4.7 Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhúng vào nhóm đối xứng 𝑆4 𝑃𝑆𝐿(2,3) ≅ 𝐴4 Từ suy 𝑃𝑆𝐿(2,3) không nhóm đơn Chứng minh Theo 2.4.6, 𝑃𝑆𝐿(2,3) có 3- nhóm Sylow Khi đó, với 𝐻 = 〈� �〉 ∈ 𝑆𝑦𝑙3 (𝐺), ta có �𝑃𝑆𝐿(2,3): 𝑁𝑃𝑆𝐿(2,3) (𝐻)� = 𝑛3 = Khi đó, tồn đồng cấu 𝜑: 𝑃𝑆𝐿(2,3) → 𝑆4 cho 𝑘𝑒𝑟𝜑 ≤ 𝐻, suy |𝑘𝑒𝑟𝜑| = |𝑘𝑒𝑟𝜑| = Nếu |𝑘𝑒𝑟𝜑| = 𝑘𝑒𝑟𝜑 = 𝐻, mà H không chuẩn tắc 𝑃𝑆𝐿(2,3) Vậy |𝑘𝑒𝑟𝜑| = 1, 𝜑 đơn cấu Suy 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhúng vào 𝑆𝑛3 = 𝑆4 Vì 𝑆4 có nhóm cấp 12 𝐴4 nên 𝑃𝑆𝐿(2,3) ≅ 𝐴4 Mặt khác, 𝐴4 không nhóm đơn nên 𝑃𝑆𝐿(2,3) không nhóm đơn 38 2.4.8 Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) có 2- nhóm Sylow chuẩn tắc [𝑃𝑆𝐿(2,3), 𝑃𝑆𝐿(2,3)] 1 Chứng minh Đặt 𝑎 = 𝑥𝑦 = � � 𝑍; 𝑏 = 𝑦𝑥 = � 1 1 � 𝑍 𝐻 = 〈𝑎, 𝑏〉 2 1 Ta có: (𝑥𝑦)(𝑦𝑥) = � � 𝑍 � �𝑍 = � � 𝑍 = (𝑦𝑥)(𝑥𝑦); (𝑥𝑦)2 = 1 2 (𝑦𝑥)2 = Suy 𝐻 = 〈𝑎, 𝑏 𝑎2 = 𝑏 = 1, 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎〉 = {𝐸, 𝑎, 𝑏, 𝑎2 , 𝑎𝑏} nhóm cấp Vậy H 2- nhóm Sylow 𝑃𝑆𝐿(2,3) Theo 2.4.6, 𝑃𝑆𝐿(2,3) có 3- nhóm Sylow nên 3- nhóm Sylow không chuẩn tắc 𝑃𝑆𝐿(2,3) Theo 1.1.1.6, nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) có 2- nhóm Sylow chuẩn tắc Vậy 𝐻 2- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝑃𝑆𝐿(2,3) Để chứng minh 𝐻 = [𝑃𝑆𝐿(2,3), 𝑃𝑆𝐿(2,3)], trước hết ta 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhóm chuẩn tắc cấp Thật vậy, nhóm cấp 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhóm cấp 𝐻 (vì 𝑃𝑆𝐿(2,3) có nhóm 2- Sylow 𝐻) Do 𝑃𝑆𝐿(2,3) có nhóm cấp 〈𝑎〉, 〈𝑏〉, 〈𝑎𝑏〉 Ta có 𝑥 −1 (𝑥𝑦)𝑥 = 𝑦𝑥∉ 〈𝑎〉; 𝑦 −1 (𝑦𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦∉ 〈𝑏〉; 𝑥 −1 (𝑥𝑦 𝑥)𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑦 −1 𝑥 −1 = (𝑥𝑦)−1 = 𝑥𝑦∉ 〈𝑎𝑏〉 Vậy 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhóm chuẩn tắc cấp Vì |𝑃𝑆𝐿(2,3)⁄𝐻| = nên 𝑃𝑆𝐿(2,3)⁄𝐻 nhóm aben Theo 2.1.1, [𝑃𝑆𝐿(2,3), 𝑃𝑆𝐿(2,3)] ≤ 𝐻 Mặt khác, [𝑃𝑆𝐿(2,3), 𝑃𝑆𝐿(2,3)]𝑃𝑆𝐿(2,3) 𝑃𝑆𝐿(2,3) không giao hoán, nhóm chuẩn tắc cấp nên [𝑃𝑆𝐿(2,3), 𝑃𝑆𝐿(2,3)] = 𝐻 39 2.5 Các nhóm 𝑷𝑺𝑳(𝟑, 𝟒) 𝑨𝟖 Định lí 2.5.1 (Schottenfels, 1900) 𝑃𝑆𝐿(3,4) 𝐴8 nhóm đơn bậc không đẳng cấu với Chứng minh Trong 𝐴8 , hai hoán vị (1 2)(3 4) (1 2)(3 4)(5 6)(7 8) đối hợp không liên hợp 𝐴8 chúng có cấu trúc chu trình khác Để chứng minh định lí ta cần tất đối hợp 𝑃𝑆𝐿(3,4) liên hợp Một ma trận không vô hướng 𝐴 ∈ 𝑆𝐿(3,4) tương ứng với đối hợp 𝑃𝑆𝐿(3,4) 𝐴2 vô hướng, 𝐴2 vô hướng (𝑃𝐴𝑃−1 )2 vô hướng với ma trận không suy biến P Như A thay ma trận đồng dạng với nó, ta giả thiết A có dạng tắc hữu tỉ Nếu A tổng trực tiếp ma trận bạn cấp × Khi 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 {𝛼, 𝛽, 𝛾} Nhưng 𝐴2 vô hướng kéo theo 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 , 𝐹4 có đặc trưng, suy 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 A vô hướng, mâu thuẫn Nếu A ma trận bạn cấp × 3, 𝛼 𝐴 = �1 0 𝛽 0� 𝛾 Khi 𝐴2 có vị trí (3,1), 𝐴2 không vô hướng Ta kết luận A tổng trực tiếp ma trận bạn cấp × ma trận bạn cấp 2× 𝛼 𝐴 = �0 0 0 𝛽 � 𝛾 Bây det 𝐴 = = 𝛼𝛽 (nhớ -1 = 1) cho 𝛽 = 𝛼 −1 , 𝐴2 vô hướng buộc 𝛾 = Như vậy, 40 𝛼 𝐴 = �0 0 0 𝛼 −1 � Như vậy, có ma trận dạng Nếu 𝜋 phần tử nguyên thủy 𝐹4 , chúng 0 𝜋 𝐴 = �0 1�; 𝐵 = � 0 Chú ý 0 𝜋2 𝜋 �; 𝐶 = � 0 0 0 𝜋� 𝐴2 = 𝐸, 𝐵2 = 𝜋 𝐸, 𝐶 = 𝜋𝐸 Tiếp theo, 𝑀 ∈ 𝑆𝐿(2,3) 𝑀2 = 𝐸 M đồng dạng với A Tức là, 𝑀 = 𝑃𝐴𝑃−1 , với 𝑃 ∈ 𝐺𝐿(3,4) Đặc biệt, 𝜋 𝐵 𝜋𝐶 hoán vị, có 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐺𝐿(3,4) với 𝑃𝐴𝑃 −1 = 𝜋 𝐵 𝑄𝐴𝑄−1 = 𝜋𝐶 Vì [𝐺𝐿(3,4): 𝑆𝐿(3,4)] = (vì 𝐺𝐿�𝑆𝐿 ≅ 𝐹4 ∗ ) ma trận 𝑑𝑖𝑎𝑔 {𝜋, 1,1} có định thức 𝜋 ≠ giao hoán với A, ta giả sử P Q nằm 𝑆𝐿(3,4) Suy A, B, C liên hợp 𝑃𝑆𝐿(3,4) 41 KẾT LUẬN Luận văn mô tả p- nhóm Sylow tính đơn số nhóm tuyến tính trường hữu hạn Từ nghiên cứu mối quan hệ nhóm với nhóm đối xứng, nhóm thay phiên Ta thu số kết tiêu biểu sau: - Nhóm hoán tử 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾), với 𝑛 ≥ 𝑛 = 𝐾 ≠ 𝐹2 - Nhóm 𝑆𝐿(2,3) không nhóm đơn, có 3- nhóm Sylow 2- nhóm Sylow chuẩn tắc nhóm Quaternion 𝑄8 Nhóm 𝑆𝐿(2,3) cấp không đẳng cấu với nhóm đối xứng 𝑆4 - Nhóm 𝑆𝐿(2,5) có 5- nhóm Sylow, 10 3- nhóm Sylow nhóm cyclic có 2- nhóm Sylow nhóm Quaternion 𝑄8 Nhóm 𝑆𝐿(2,5) cấp không đẳng cấu với nhóm đối xứng 𝑆5 - Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,2) không nhóm đơn, có 2- nhóm Sylow 〉 3- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝐻 = 〈� � trùng với nhóm 1 hoán tử 𝑃𝑆𝐿(2,2) Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,2) ≅ 𝐺𝐿(2,2) ≅ 𝑆𝐿(2,2) ≅ 𝑆3 Từ suy nhóm hoán tử 𝐺𝐿(2,2) H - Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) không nhóm đơn, có 3- nhóm Sylow 2- nhóm Sylow chuẩn tắc trùng với nhóm hoán tử 𝑃𝑆𝐿(2,3) Nhóm 𝑃𝑆𝐿(2,3) nhúng vào nhóm đối xứng 𝑆4 không đẳng cấu với 𝑆4 mà đẳng cấu với nhóm thay phiên 𝐴4 - Các nhóm 𝑃𝑆𝐿(3,4) nhóm thay phiên 𝐴8 cấp không đẳng cấu với 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (2011) , Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Bùi Xuân Hải (2013) , Trường Lý thuyết Galois, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Bùi Xuân Hải Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số đại, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Derek J.S Robinson (1991), A Course in the Theory of Group, Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York Joseph J Rotman (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York [...]... tuyến tính trên trường hữu hạn 1.2.1 Định nghĩa nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn Cho K là trường hữu hạn, V là một không gian vectơ m- chiều trên K Định nghĩa 1.2.1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát 𝐺𝐿(𝑉) là nhóm tất cả các phép biến đổi tuyến tính không suy biến trên V Một phép biến đổi tuyến tính có định thức bằng 1 được gọi là một phép biến đổi unimodular Nhóm tuyến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑉) là nhóm con của... thì theo Định lí 1.2.3.5, 𝐺 = 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾), ngoại trừ các trường hợp 𝑛 = 2, |𝐾| = 2 hoặc |𝐾| = 3 Do đó 𝐻 = 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Vậy 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) là nhóm đơn 24 Chương 2 CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 2.1 Nhóm con hoán tử của 𝑮𝑳(𝒏, 𝑲) Định lí 2.1.1 Cho G là một nhóm Khi đó: i) [𝐺, 𝐺]  𝐺 và 𝐺 ⁄[𝐺, 𝐺] là nhóm giao hoán ii) Nếu 𝐻  𝐺 và 𝐺 ⁄𝐻 là nhóm giao hoán thì [𝐺, 𝐺] ≤ 𝐻 Chứng minh i) Với mọi 𝑎,... không là R R R R nhóm đơn Nhóm cấp 40 không là nhóm đơn Thật vậy, lấy nhóm G cấp 40 = 23.5, P P ta có n 5 23 = 8 và n 5 ≡1(mod 5), do đó n 5 = 1 nên trong G có duy nhất nhóm R R P P R R R R con 5– sylow cũng là nhóm con chuẩn tắc của G tức G không là nhóm đơn Nhóm cấp 54 không là nhóm đơn Thật vậy, lấy nhóm G cấp 54 = 33.2, P P một 3– nhóm con Sylow của G có chỉ số 2 nên cũng là nhóm con chuẩn tắc... các nhóm đơn không abel cấp nhỏ hơn 60 Chứng minh Ta cần chứng minh các nhóm cấp nhỏ hơn 60 chỉ gồm nhóm abel; nhóm không đơn (có thể là nhóm abel) Trước hết, các nhóm có cấp p, p2, với p là số nguyên tố, là các nhóm abel, nên các nhóm có cấp 2, 3, 4, 5, 7, P P 9, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 53, 59 là nhóm abel Tất nhiên nhóm cấp 1 là nhóm abel Theo Định lí 1.1.1.10, mọi nhóm. .. 𝑥 2 , 𝑦 −1 𝑥𝑦 = 𝑥 −1 〉 Nhóm 𝑄2𝑛 có cấp 2𝑛 Đặc biệt, với 𝑛 = 3, nhóm 𝑄8 được biết là nhóm Hamilton-Quaternion Nhóm này cấp 8, gồm các phần tử (kí hiệu) 27 ±1, ±𝑖, ±𝑗, ±𝑘, trong đó −1 = 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 và 𝑖𝑗 = 𝑘 = −𝑗𝑖; 𝑗𝑘 = 𝑖 = −𝑘𝑗; 𝑘𝑖 = 𝑗 = −𝑖𝑘 Định lí 2.2.2 Một p- nhóm hữu hạn P có đúng một nhóm con cấp p khi và chỉ khi P là nhóm cyclic hoặc nhóm Quaternion tổng quát 2.2.3 Nhóm SL(2,3) 𝑎 Ta có 𝑆𝐿(2,3)... tổng quát 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗 � ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗 � ≠ 0} Nhóm tuyến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗 � ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗 � = 1} Nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾)/𝑍(𝑛, 𝐾) Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) = 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾)/𝑆𝑍(𝑛, 𝐾) Trong đó 𝑍(𝑛, 𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝛼 ≠ 0} 𝑆𝑍(𝑛, 𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝛼 𝑛 = 1} Với 𝐾 = 𝐹𝑞 là trường hữu hạn với 𝑞 = 𝑝𝑛 phần tử, ta có thể thay các ký hiệu 𝐺𝐿(𝑛,... 𝑎𝑏, 𝑏𝑎} thỏa tính chất của nhóm Quaternion Vậy 𝐻 = 𝑄8 là một nhóm Quaternion cấp 8 Gọi 𝑛2 là số các 2- nhóm con Sylow của 𝑆𝐿(2,3) Theo Định lí Sylow, 𝑛2  3 và 𝑛2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2) Khi đó 𝑛2 = 1 hoặc 𝑛2 = 3 Vì nhóm Quaternion cấp 8 chỉ có một nhóm cấp 2 là 〈−𝐸〉 và – 𝐸 tự liên hợp Do đó, nếu 𝑛2 = 3 thì số phần tử có cấp là ước của 8 trong nhóm 𝑆𝐿(2,3) là 𝑛2 (8 − 2) + 1 = 19 Mặt khác theo 2.2.5, số phần tử cấp... ta định nghĩa Nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑉) = 𝐺𝐿(𝑉)/𝑍(𝑉), Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt 𝑃𝑆𝐿(𝑉) = 𝑆𝐿(𝑉)/𝑆𝑍(𝑉), Nếu chọn một cơ sở được sắp (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 ) của V thì mỗi 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) xác định một ma trận 𝐴 = �𝑎𝑖𝑗 �, trong đó 𝑇𝑒𝑗 = ∑𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 (cột thứ j của A gồm các tọa độ của 𝑇𝑒𝑗 ) Ta có thể phát biểu định nghĩa 1.2.1.1 dưới dạng ma trận như sau: 16 Định nghĩa 1.2.1.2 Nhóm tuyến tính tổng quát... 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝), do đó 𝑞 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) Vì thế q > p, vô lí Định lý 1.1.1.7 Mọi nhóm cấp pqr (p, q, r là các số nguyên tố đôi một khác nhau) không là nhóm đơn Chứng minh Giả sử p < q < r Lấy G là nhóm cấp pqr Giả sử G là nhóm đơn Đặt n p , nq , nr lần lượt là số các p- nhóm con Sylow, q- nhóm con Sylow và r- nhóm con Sylow Do G đơn nên nó không có nhóm con chuẩn tắc thực sự Theo Định lí 1.1.1.4, n p > 1, nq > 1,... 2.2.5 Nhóm 𝑆𝐿(2,3) có 4 3- nhóm con Sylow Chứng minh Gọi 𝑛3 là số các 3- nhóm con Sylow của 𝑆𝐿(2,3) Theo Định lí Sylow, 𝑛3  8 và 𝑛3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) Khi đó, ta được 𝑛3 = 1 hoặc 𝑛3 = 4 mà 1 1 1 0 〉 nhóm 𝑆𝐿(2,3) có ít nhất 2 nhóm cấp 3 là 〈� �〉 và 〈� � nên 𝑛3 = 4 0 1 1 1 Vậy nhóm 𝑆𝐿(2,3) có 4 3- nhóm con Sylow 2.2.6 Nhóm 𝑆𝐿(2,3) có một 2- nhóm con Sylow chuẩn tắc là 〈𝑥𝑦, 𝑦𝑥〉 và đây là nhóm Quaternion Chứng minh ... nghĩa nhóm tuyến tính trường hữu hạn 15 T T 1.2.2 Cấp nhóm tuyến tính 17 T T 1.2.3 Một số tính chất nhóm tuyến tính 18 T T Chương - CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU... suy G không nhóm đơn (trái giả thiết) Vậy nhóm đơn cấp 60 đẳng cấu với