MUC LUC Mór d a u Chucmg 0: P h a n c h u a n hi 0.1 Phàn tu' lùy dang va phàn rà on dinh 0.2 Ly thuyét bieu dien tóng quàt 0.3 Módun Weyl va càe bieu dién bàt khà quy cùa Fp[Mn] va Fp[GLn] 11 Chuong 1: Càe h a n g tur C a m p b e l l - Selick 15 1.1 Càe bang t u cùa Campbell va SeHck 16 1.2 Biéu dién bàt khà quy cùa P*„ trén Fp 22 1.3 Bieu dién modula cùa Pp*n xGal(Ppn/Pp) 24 Chuang 2: Phàn rà B{Z/p)^ qua bieu dién cùa nhóm F^^ vói m \ n 34 2.1 Biéu dién bàt khà quy cùa F*m trén Fp 34 2.2 Truóng hgp m = 35 2.3 Mot so két qua truóng hgp m — n 38 Chucmg 3: V e m a tran Cartan cùa Fp[GLn] v a Fp[Mn] 43 3.1 Ma tran Cartan C va C truóng hgp 7? = 44 3.2 Mot so truóng hgp dàn dén C^A = va e' ;^ = 52 K e t luan ^g Tài lieu t h a m khào ^g MÒ DAU Trào luu hien cùa tòpo -dai so khào sàt su phàn rà on dinh cua càe khòng gian tòpo, dac biet càe khòng gian phàn loai Bay chinh mot nhùng nguyén nhàn thùe day manh h a n viéc nghién cuu doi dong dieu va bieu dién nhóm cùa càe nhóm cu the Tu nàm 1984, Carlsson chùng minh d u g c D u doàn Segai [5], mot su phàt trien gàn day co y nghla nhàt ly thut dóng ln, càe nhà tòpo -dai so t r a nén quan tàm nhieu h a n ve tồn tìm nhùng phàn rà on dinh thành càe bang t u két cùa khòng gian phàn loai cùa nhóm hù*u han Cho p mot so nguyén tó, G ià mot nhóm h ù u han va P G + khòng gian phàn loai cùa G vói mot diem goc rói T u day ve sau, chùng ta xét moi khòng gian phàn loai càe khòng gian dugc day dù hồ tai p Moi phàn rà cùa P G + t u a n g d u a n g vói mot phàn tich cùa phàn t u don vi vành càe lóp dong luàn cùa càe ành xa on dinh { P G + , P G _ ^ } thành tong nhùng phàn t u lùy dang Càe phàn tich khòng tàm thng n h u the thng khó tìm dugc Mat khàe ky thuàt ve ành xa nhàp chung tò rang néu P p -nhóm Sylow cùa G càe bang tu cùa P G + xuàt hièn so càe bang t u cùa P P + Vi vay chùng ta co the truóc hét tàp trung vào càe p - nhóm Theo Du dồn Segai, tón tai mot dang càu vành giùa {BP^,BP^.}^ (day dù hoà p - adic cùa { P P ^ , P P + } ) va - ( P , P ) ; (day dù hoà p - adie cùa vành Burnside A{P,P)) Nhó dò tồn tĨpó ve phàn rà on dinh P P + t h n h càe hang t u két dugc quy ve toàn thuàn dai so ve phàn tich phàn t u d a n vi cùa vành ( P , P ) ; thành mot t^ng cùa càe phàn t^ lùy dàng truc giao Dà co nhieu tàc già dóng góp vào ehù de này, chang han Mitchell-Priddy (1983, 1984), Mitchell (1985), Harris (1985, 1992), Carhsle (1985), Nishida (1985), Wood (1986), Kuhn (1987), Harris-Kuhn (1988), CarHsle-Kuhn (1989), Campbell-Sehck (1990), Haxris-Hunter-Shank (1991), Martino-Priddy (1992) Benson-Feshbach (1992) Phàn rà on dinh doi vói p-nhóm aben dugc Harris va Kuhn nghién cuu [17], [20] Trong dò , Maxtino, Priddy, Benson va Feshbach nghién cuu chù yéu doi vói p-nhóm khòng aben [4], [28] Trong trng hgp p-nhóm aben co nhieu két qua thù vi va hàp dàn h a n trng hgp khòng aben Trong luan àn cùa mlnh [17], Harris d chixng tò ràng mot phàn tich truc giao (nguyén thùy) bàt ky cùa phàn t u d a n vi A(P, P ) Zfp luón luón d u g c nàng dén mot phàn tich truc giao (nguyén thùy) A{P,P)^ nghién cuu càu truc nhàn cùa A{P^P)^ P^[End(P)] vào A{P.P) ® Z/p Khi P aben, bang càch Harris tìm dugc mot phép nhùng cua T u dò Harris quy ve tồn d ò phùc tap h a n , dò phàn tich phàn tu don vi cùa P^[End(P)] thành mot tóng càe phàn t u lù}' dang truc giao Luu y rang két qua khòng dùng doi vói càe nhóm khòng aben Tiép dén, Harris va Kuhn quy tồn ve t r u ó n g hgp p - nhóm aben sa càp (Z/p)^ [20] Tuy nhién tồn ve phàn rà òn dinh cùa B(Z/p)^l hai tồn khó va mang tùih thói su nò dugc su quan tàm cua nhieu nhà tồn hoc trén the giói V"é mat ly thuyét, phàn rà òn dinh cùa B{Z/p)1 thành càe bang t u két khòng phàn tich dnqc t u a n g d u a n g vói phàn tich cùa thành càe phàn t u lùy dang truc giao nguyén thùy Fp[Mn{Z/p)] Phàn rà nhàt, nhung nói chung bau hét càe phàn t u lùy dang chua d u g c biet dén mot càch t u ó n g minh Tuy nhién Harris va Kuhn chùng minh dugc Fp mot trng phàn rà cùa Pp[M„(Z/p)] [20], nén bòi cùa moi bang t u khòng phàn tich d u g c phàn rà bang so chieu cùa módun bàt khà quy t u a n g ùng Nàm 1990, Campbell va Selick d u a mot phàn rà t u nhién cùa if®" thành mot tong truc tiép cùa ;;" - >^-módun [8], goi càe bang t u co luang Pn[j) vói j E Z / ( p " - ) Bang mot két qua cùa Adam, Gunawardena va Miller [3], càe bang t u eó lugng cùa Campbell va Sehck cho mot phàn tich cùa phàn t u d a n vi Pp[M„(Z/p)] thành mot tong cùa p " - phàn t u luy dang truc giao Dieu d u a dén mot phàn rà on dinh cùa B{Z/p)1 thành p" — bang t u két Trong bào cùa minh [16], Harris mó tà càe bang t u nhu két qua chinh chùng dugc ky bieu Yn{j)^ vói j G Z/(p^^ — 1) va goi càe bang t u Campbell-Selick De làm dieu này, Harris d u a mot tàp góm càe phàn t u lùy dang truc giao nguyén thùy dj Fp[Gn] càm sinh phàn rà cùa Campbell va Sehck, dò càm sinh càe Yn{j) (a day F*u va Gn = FpTi xGal{Fp^/Fp) dugc xem nhùng nhóm cùa nhóm GL„{Z/p)) Thàt càe phàn t u dj khòng phài d u a n g nhién thc Fp[Gn] n h u Harris trình bay T u viéc mó tà cùa Campbell va Selick de dàng thày rang 5'n(.? ) — ^'n(7P)i Harris dat Yn{i) — Yn{i) \/ W V„(zp''~^ ) dò Zj so mù k ducaig nhò nhàt vói rp ' = ?-(mod 7?" — 1) Harris dua mot tàp gom càe phàn t u lùy dàng truc giao nguyén thùy / , Fp{F*n] càm sinh càe bang t u két }'„(?) Càe /, dugc mó ta tuóng minh càe dj chua va su xuàt hión cùa càe bang t u khòng phàn tich dugc cùa P(Z/p)!j y'„(j) va V;,(?) rat khó xàc dinh Mue dieh cùa luan àn nghién cuu phàn rà óii dinh cùa khòng gian phàn loai B{Z/p)'^ qua bieu dién modula cùa mot so nhóm tu3^én tinh Dóng góp cùa chùng tói luan àn bao góm: 1) ho sung vào càe két qua cùa Harris; 2) tìm mot phàn rà òn dinh cùa P ( Z / p ) " thành càe bang t u két ma càe phàn tu lùy dàng t u a n g ùng dugc mó tà tng minh va dò boi cùa càe hang t u khòng phàn tich dugc moi bang t u déu dugc biet dén va 3) tìm dugc mot so két qua ve ma tran Cartan cùa Fp[Mn{Z/p)] va Fp[GLn{Z/p)] de phuc vu cho toàn phàn rà dò Cu the càe két qua d u g c trình bay di day Trong chuang 1, chùng tòi tìm dugc tàp sinh toi tbiéu cùa dai so P„(0) p = Dieu dac biet Pn(0) chua càe bàt bién Dickson va viéc tàp sinh toi thiéu nhu A - módun cùa dai so Dickson vàn toàn ma Két qua chua tìm dugc mot tàp sinh tói thieu nhu A - módun, vàn co n h ù n g dóng góp nhàt dinh vào viéc khào sàt bang t u Yn{0) va buóc dàu eung càp mot thóng tin cho tồn m a ve dai so Dickson dò Tiép dén, chùng tòi tìm d u g c mot phép t u a n g ùng 1-1 giùa tàp day dù góm càe bieu dién bàt khà quy cùa P*n trén Fp va tàp góm càe da thùc d a n he bàt khà quy f{x) cho e? I n va f{x) co bàc d Fp[x] ^ x Ngoài chùng tòi bò sung khang dinh cùa Harris, nghla chùng minh dj £ FplGn]Trong chuang 2, vói m | n chùng tòi mó tà phàn rà on dinh cùa B{Z/p)1 qua biéu dién modula cùa nhóm Fj% vói phép nhùng cùa Fj% vào F*n dò Khi 77? = L B{Z/p)]l dugc phàn rà thành p - hang tu ma càe phàn t u lùy dàng t u a n g ung dugc mó tà tuóng minh va dieu thù vi nhàt bòi cùa càe bang t u khòng phàn tich dugc moi bang t u déu d u g c biét dén Khi 777 = 77 chùng tòi mó tà su xt bién cùa mot so bang t u khòng phàn tich dugc cùa B{Z/p)\ càe bang tu r„(7) (cùng nhu i;(.?)) Dac hict p = va 77 > 3, chùng tòi chùng minh dugc ràng moi bang t u Yn{j) luón luón chua it nhàt mot hang t u Steinberg Trong chuang 3, chùng tói tìm dugc mot so két qua ve m a tran Cartan de phuc vu cho toàn phàn rà on dinh cùa B{Zjp)\ cu the ma tran Cartan C va G' cùa Fp\M^{Zlp)\ Dàu tién chùng tòi mó tà va Fp\GL^{Zlp)\ n = va p sÓ nguyén tÓ bat ky Khi n > 2, chùng tòi d u a mot sĨ thòng tin de xàc dinh cu the mot so phàn t u cùa ma tran cartan C va G' Chircrng : ^ PHAN CHUAN BI Trong chuang chùng tói xàc dinh càe ky biéu va nhàc lai mot so khài niem va két qua càn thiét cho luàn àn Dàu tién, mói quan he giùa phàn rà òn dinh va nhùng phàn t u luy dàng vành càe ành xa on dinh d u g c mò tà Ké dén, chùng tòi tóm tàt mot so két qua t u ly thuyét bieu dién tóng quàt cùa càe dai so Cuoi chùng tòi nhàc dén mot so khài niém va ket qua ve Fp[Mr,{Z/p)]- va Fp[GL„{Z/p)]-hìéu dién KY HIÉU Trong st luan àn này, chùng tói su dimg càe quy uóc ve ky biéu sau day Fj,n: truóng dac so p co p " phàn tu F%: nhóm nhàn góm ềc phàn t u khà Fpr, GaI{Fj,T, /Fp): nhóm Galois cua truóng Fpn trén Fp G„ = P^*n xGal{Fp^/Fp): Mn — Mn[Z/p): tich nùa truc tiép cùa F'n va GaI{FpT,/Fp) vành càe ma tran vuóng càp n lày he so trén Z/p Fp[M„]: vành n ù a nhóm cùa n ù a nhóm nhàn M^ GLn = GLn{Z/p): nhóm tu3'-én tinh tong quàt trén {Z/p)^ Fp[G]: vành nhóm cùa nhóm G, vói G mot nhóm cùa nhóm GLnE[UQ, ,Wn-i] (t.u Fp[tQ, ,^n-i]) ky biéu dai so (t.u thùc) co n phàn t u sinh UQ, ,Wn_i (t.u t o , ,tn-\) H = H*{B{Z/p); v v i é t J7®" ^Fp[to, da trén Fp Fp) dugc xem nhu mot módun trén dai so Steenrod A ,tn-i]^E[uo, ti- Chù y ràng J?®" doi dong dieu cùa ,t/„_i], vai fiiuk) = tk vkV\tk) BiZ/p)"" = P h a n tur luy d n g va phàn rà on dinh Trong doan này, chùng ta sé thày tồn tòpo ve phàn rà òn dinh BPJ^ ( P mot p-nhóm) thành càe bang t u két dugc quy ve toàn thuàn dai so ve phàn tich phàn t u dan vi cùa vành -4(P, P ) ^ thành mot tong cùa càe phàn t u luy dàng truc giao Bang càch nghién cùu cu the càu trùc nhàn cua vành 4(P, P ) dugc cho bòi May [27], toàn dugc Harris quy ve toàn dai so de h a n phàn tich phàn tu dan vi cùa Pp[End(P)] thành mot tóng càe phàn t u luy dàng truc giao [17] \ ' e khài niém pham trù on dinh, chùng tói tham khào a [32] Dac biét càe dinh nghla ve pho, ành xa òn dinh, két, telescope, v.v co the tìm thay dò Vói ềc khòng gian dugc dành dàu X va }', ky biéu {X Y} nhóm càe ành xa òn dinh t u A' vào F , nglùa nhóm càe ành xa giùa càe phò treo cùa chùng j ^ o o ^Y^ Y°^ ^']- Khòng gian dugc dành dàu A' va phò treo cùa nò Yl ^ *3cu dugc ky biéu A" Trong truóng hgp A'' = V {A' A*} mot vành Vói e mot phàn t u cua {A' A'}, ky bieu eA' telescope Tel(A' —^ A' -^ A ' ) DINH LV 0.1.1 ([20], 2.1) (i) Co mot tuang ùng 1-1 giùa càe jìluni tich phan tu luy dàng l — Y^i tTong {X X} va càe phàn ticli két X :^ VXj (ii) Cho ( va e' càe phan tu luy dàng {A' A'} Khi dò tX C:^ t'X va cliì néu e{A', A^} = e'{A', A''} nhu càe {X,X]-módun DjNH LY 0.1.2 ([17], 1.6) Clio P mot p~nhóm néu phài Khi dò co mot tuang ùng 1-1 giùa càe tap gòni càe phan tu luy dang { P P + , P P + } va { P P + , P P + } P , dò Op mot day dù hồ p-adic Bay gió két qua cùa du dồn Segai sé dugc mó tà Chùng tói bat dàu vói dinh nghla ve nhóm Burnside A{G, G'), dò G va G' n h ù n g nhóm hùu han bàt ky Ky bieu A'{G, G') tap càe lóp t u a n g d u a n g cùa càe G x G'-tàp G'-tu hùu han T a p tao thành mot mónòit cong vói phép tồn hgp rói Goi 4(G G') nhóm Grothendieck cùa mònóit nà}' Khi dò 4(G G') nlióm aben t u vói ca so eàc G x G'-tap G'-tu truyén ùng càe tàp the dugc mó tà bò*i GxG' = {Gx G')/Hp , p àó H G' mot dóng càu, va Hf, = {{h, p[h)) \ Ji e H] CómỊt dĨngcàuQ t ù > l ( G , G ' ) v o { P G + , B G V ) Néu = G x G' € -4(G,G') p Q dugc elio bai a ( ) : P G + -^ BH^ ^ BG\ , dò r ành xa chuyen Khi G = G', A{G, G) eó d u g c mot phép nhàn xàc dinh p(T, S) ~ S x T dò ^ G G tàc dong {s t) [sg^gt) Vói dinh nghìa này, a mot dóng càu vành DlNH LY 0.1.3 (Dlf D O À N CÙA S E G A L [5],[26]) Néu P mot p-nhóm o;:A{PP);^{BP+.BP+}; mot dàng cau vành T u eàc két qua trén, Harris dà chùng minh dugc rang DINH LY 0.1.4 ([17] l S ) Cho P mot p-nhóm dò (i) càe phàn rà on dinh cùa BPJ^ tuang duang vói càe phàn ticli phàn tu luy dang truc giao cùa phan tu dan vi A(P, P)^ va (n) mot hang tu on dinh khòng phàn tich dugc néu va clu néu phàn tu luy dang tuong ùng nguyén thùy Nhó dinh ly sau va Bo de 2.1 [17], Harris dà quy toàn ve viéc nghién cùu vành hùu han A{P,P) Z/p, vói P mot p-nhóm 0.1.5 ([14], 3.4) Néu = 6i -f • • •-htk mot phàn tich thành DINH LY phàn tu luy dàng truc giao A{P,P) nhùng ® Z/p, ton tai càe phàn tu luy dàng e, G 4(P, P ) ^ vói TT{e,) = e,, cliol -éi -\ \-tf, mot phàn tich thành nhùng phàn tu luy dàng truc giao A{P, P)p(Ò day TT : A(P, P ) ^ —* A(P, P ) (g) Z/p phép cliiéu.) Bang càch nghién cùu càu trùc nhàn cùa A{P, P ) , Harris dà tìm d u g c mot dan càu i : Fp[End(P)] —> 4(P, P ) Z/p va két qua sau: DINH LY 0.1.6 ([17], 2.7) Clio P mot p-nhóm aben (i) Néu ~ Ci-f- Jà mot phàn ticli thành nhùng phàn tu luy dàng truc giao f-e^- Fp[End{P)], = i(ei ) + •••-!- t{e^) mot phàn tich truc giao A{P, P) ® Z/p (ìi) Néu càe Ci nguyén thùy càe i(e,) nguyén thùy T u eàc ket qua trén va eàc ành xa P , [ E n d ( P ) ] ^ ^ ( P P ) ; - Z / P ^ ^ ( P P ) P ^ ^ [BP^.BP^] de dàng thày rang néu e mot phàn t u luy dang Fp\Ei\c\(P)] i{( ] mot phàn t u luy dàng 4(P P ) (_•: Z/p dò tón tai mot phàn t u luy dàng e -4(P, P ) ^ cho - ( ? ) = /.(e), cuoi e» = a{e) mot phàn t u lùy dàng D I N H LY {BP^.BP^} 0.1.7 ([17], 2.8) fij A'eu e , , ,tk nhùng phan tu luy dang Fp[End{P)] vói Y e: = 1- BP^ ~ e,,BP^ on dinh cùa BP^, V V e^^BP^ mot phan rà dò càe e,* dirgc xàc dinh nhu trén, va (ii) càe d ngun thùy néu va chi néu ềc e^^BPj^ khòng phàn tich Tuy nhién ve sau chùng ta vàn viét e P P + thay vi 0.2 Ly t h u y é t bié'u dién tò'ng quàt dugc e^BP^ Doan tóm tàt mot so két qua tu ly thuyét biéu dién tong quàt cùa dai so Trong doan A dugc cho mot dai so hùu han cliiéu co d a n vi trén mot truóng A' Tón tai mot tàp nhàt góm ềc idéan bai phia khòng phàn tich dugc P i Bs gg\ ềc khoi, cho A = ®f=iPn tong truc tiép cùa càe dai so ([7], 55.2) Moi khói chùa mot phàn t u dan vi , h^, va P , = Ah^ Càe hi eàc phàn tu lùy dàng truc giao, thuóc tàm, tàm nguyén thùy, va = ^ ò^ ([7], Bài tàp 55.2) Néu M mot A-mòdun trai bàt ky M = ©f^jAfòj Néu chi mot càe bang tu này, chang han Mò^ ^ 0, M d u g c goi thc khói Bj Rò ràng néu M khòng phàn tich dugc M phài thc vào mot khói dò Chùng ta thè xem A nhu mot 4-módun trai va phàn tich nò thành nhùng idéan trai Néu chùng ta viét A = ©,^=]Pi, vói càe Pj nhung idéan trai khòng phàn tich dugc, Pi dirge goi 4-mòdun khòng phàn tich dugc cliinh Càe P, nói chung khòng nhàt; nhién, néu -4 — ^ — ^Qj mot i^hàn tich khàe nhu thè, h = k' va P, = Q, vói moi ? Mot so tinh chat cwa ềc módun duge tóm tàt dinh ly sau DlNH LY 0.2.1 ([7] 54.5 54.11, 54.13) Mot idéan P cùa A mot niòdun khòng phàn tich dune cliùili cua A neu va elii neu P = Ac vói e mot tu luy dàng nguyén thuy A dugc clunh P/p{P) Néu P mot A-mòdun phàn khòng phàn bàt kha quy, dò p{P) giao cùa càe tich módun Clic dai cùa P Hai A-inódun khòng phàn tich dugc chinh P va Q dàng cau néu va chi néu P/p{P) vai P/p{P) = Q/p{Q) Moi A-mòdun bàt khà quy dang càu vói módun khòng phàn tich dugc chinh P dò Do dinh ly trén, eó mot t u a n g ùng 1-1 giùa càe lóp dang càu cùa càe ^ - m ò d u n bàt khà quy V va ềc A-mòdun khòng phàn tich d u g c chinh P{V) O day P{V) ky biéu j4-mòdun khòng phàn tich d u g c chinh V m ò d u n t h u a n g bàt khà quy nhàt cùa nò (Mòdun thng dugc goi phù xa ành cùa V.) T ù ma tran này, chùng ta eó the thày ràng co phàn tù lux dàng khói o'^ ó'^ cùa B dim5^^_^^j ;= Ai + ([15]) nén phàn t ù dan vi eò thè duge phàn tich thành 60 i)hàn t ù lùy dàng truc giao nguyén thùy e' trone; B Giùa càc (j)'j e, ềc he thùc sau: é\ = e; + + e^ + e; + + + eL + e'„ Re[ = P,'o 0,, Re', = P,'„ 2)- ^ = R< = ^4 T>J Ci; = ^('2,,, R^ = R^ ^ pi