Tính ổn định của một số mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Lí thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Lí thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội- 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người thầy đáng kính trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt thời gian qua Em xin phép gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Nguyễn Thanh Diệu giúp đỡ em suốt trình làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy, cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2015 Học viên Trần Thu Ngà Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Vi phân Itô công thức Itô 1.1.1 Vi phân Itô 1.1.2 Công thức Itô tổng quát Lý thuyết ổn định 1.2.1 Hàm Lyapunov 1.2.2 Một số kết tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên 12 Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp vector bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 19 2.1 Giới thiệu 19 2.2 Mô hình 19 2.3 Phân tích tính ổn định mô hình ngẫu nhiên 23 2.4 Phân tích tính ổn định mô hình ngẫu nhiên có trễ 28 2.5 Mô số liệu 33 Tính ổn định toàn cục mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 39 3.1 Giới thiệu 39 3.2 Mô hình dịch ngẫu nhiên 39 3.3 Tính ổn định ngẫu nhiên điểm cân địa phương 43 3.4 Mô số liệu 49 Kết luận 53 Phụ lục 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Dịch tễ học khoa học nghiên cứu tình trạng sức khỏe yếu tố liên quan ảnh hưởng đến tình trạng sức khỏe, giúp xác định yếu tố nguy bệnh, phát triển tối ưu hóa phương thức điều trị Dịch tễ học nghiên cứu nhiều lĩnh vực từ thực hành: thời kỳ có bệnh dịch bộc phát, ảnh hưởng môi trường sinh sống, , đến lý thuyết: thống kê, tạo mô hình toán học dự đoán sức khỏe cộng đồng tương lai, phát triển bệnh dịch, triết học y tế, sinh học tâm lý học Nghiên cứu dịch tễ học dựa quan sát thí nghiệm, mục đích để tìm liên hệ bệnh yếu tố không thay đổi bẩm sinh, di truyền yếu tố "sửa chữa" thực phẩm, môi trường, giáo dục, vi sinh học, tâm lý học, v.v Ngày với biến đổi khí hậu, tình trạng ô nhiễm môi trường nguyên nhân chủ yếu dẫn đến phát triển loại bệnh gây ảnh hưởng tới sức khỏe người Vậy nên việc nghiên cứu mô hình dịch tễ ngày phát triển, giúp tìm nguyên nhân yếu tố góp phần tạo nên bệnh dịch Từ định nghĩa bệnh, liên hệ từ nguyên nhân đến triệu chứng tạo kế hoạch điều trị hay phòng ngừa Tuy nhiên việc biến đổi khí hậu hay tình trạng ô nhiễm môi trường, tác động khách quan chủ quan gây biến động Do việc nghiên cứu tính ổn định mô hình dịch tễ môi trường ngẫu nhiên không phần quan trọng Ở luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định số mô hình dịch tễ môi trường ngẫu nhiên thông qua mô hình toán học, từ tìm điều kiện thích hợp giúp để kiểm soát bệnh dịch Nội dung luận văn trình bày làm rõ kết hai báo [11, 12] Cấu trúc luận văn bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại số khái niệm vi phân Itô, công thức Itô tổng quát, hai định lý Lyapunov tính ổn định số kết ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên ⋄ Chương 2: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp vector bị nhiễu ngẫu nhiên Bệnh dịch lây truyền vector (vector-borne disease) bệnh gây loại vi khuẩn truyền nhiễm, lây truyền động vật chân đốt hút máu động vật có xương sống bị nhiễm bệnh lây truyền sang cá thể dễ bị nhiễm bệnh Từ góc nhìn bệnh truyền nhiễm, vector cá thể truyền dẫn sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh từ vật chủ khác Các vector thường gặp động vật không xương sống thường động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ cáo, gấu trúc, chồn hôi), tất truyền virus cho người Sức khỏe người bị ảnh hưởng trực tiếp qua vết cắn, đốt, phá hoại mô) gián tiếp thông qua lây nhiễm bệnh Đặc biệt mô hình bệnh sốt rét, nghiên cứu qua mô hình xác định nhiều tài liệu ([4, 7-10]) Trong chương ta tập chung nghiên cứu mô hình dịch tễ ngẫu nhiên bệnh sinh vật sinh với cách thức truyền trực tiếp điều chỉnh cản trở Chính xác hơn, ta mở rộng mô hình dịch tễ xác định cách đưa nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân địa phương ⋄ Chương 3: Tính ổn định toàn cục mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu ngẫu nhiên Ở chương này, ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục điểm cân địa phương mô hình SIR hai nhóm, bị nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân địa phương Và chứng minh điểm cân địa phương mô hình bị nhiễu ngẫu nhiên ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên Ngoài ra, ta thu điều kiện ổn định cách xây dựng hàm Lyapunov Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày số kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết luận văn Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T |f (t, ω)|dt E < ∞, N (0, T ) không gian Banach với chuẩn T ||f || = E |f (t, ω)| dt Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T E |f (t, ω)|dt < ∞, N (0, T ) không gian Banach với chuẩn T ||f ||2 = E 1.1 f (t, ω) dt Vi phân Itô công thức Itô Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown tiêu chuẩn Định nghĩa 1.1 Quá trình W = (Wt , t ∈ [0, T ]) xác định không gian xác suất (Ω, F , P) gọi trình Weiner tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn) nếu: W0 = (Wt ) trình có số gia độc t1 < t2 < t3 < t4 biến ngẫu nhiên Wt4 − Wt3 Wt2 − Wt1 độc lập Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn N(0, t − s) Với hầu hết ω quỹ đạo Wt (ω) liên tục 1.1.1 Vi phân Itô Giả sử rẳng X = (Xt , t ∈ [0, T ]) có dạng t Xt = X(r) + t f (s, ω)ds + r g(s, ω)dW (s) r f ∈ N (0, T ); g ∈ N (0, T ) với (s, t) : ≤ r < t ≤ T Khi ta nói X có vi phân Itô dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt viết gọn dX = f dt + gdW 1.1.2 Công thức Itô tổng quát Công thức Itô thực chất công thức đổi biến giải tích ngẫu nhiên Định lý 1.1 Cho u(t, x1 , x2 , , xd ) hàm liên tục xác định [0; T ] × Rd với đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với i, j ≤ d Đặt X(t) = ý ma trận B = (βij )2×2 biểu thị ma trận tiếp điểm, βij ≥ Các kết sau chứng minh [5] cần nhớ lại: Mệnh đề 3.1 Giả sử B = (βij ) bất khả quy ta có: Nếu R0 ≤ P0 điểm cân hệ (3.2) ổn định toàn cục Γ Nếu R0 > P0 không ổn định hệ (3.2) liên tục intΓ Bổ đề 3.1 Giả sử B = (βij ) bất khả quy Nếu R0 > (3.2) có điểm cân địa phương Bổ đề 3.2 Giả sử B = (βij ) bất khả quy Nếu R0 > (3.2) tồn điểm cân địa phương P ∗ P ∗ ổn định tiệm cận toàn cục intΓ Ở ta giả thiết B = (βij )2×2 bất khả quy Từ Bổ đề 3.2 R0 > tồn điểm cân địa phương P ∗ Giả sử nhiễu loạn ngẫu nhiên loại nhiễu trắng mà tỷ lệ thuận với khoảng ˙ ˙ ˙ cách từ giá trị S ∗ , I ∗ , R∗ tới S(t), I(t), R(t) tác động đến S(t), I(t), R(t) tương ứng Khi hệ (3.1) dẫn đến kết quả:  S˙ k = (1 − pk )Λk − (dSk + θk )Sk − βk1 Sk I1 − βk2 Sk I2     +σ1k (Sk − Sk∗ )ω˙ 1k (t)    I˙k       ˙ Rk = βk1 Sk I1 + βk2 Sk I2 − (dIk + ǫk + γk )Ik + σ2k (Ik − Ik∗ )ω˙ 2k (t) (3.6) ∗ ˙ (t) = pk Λk + θk Sk + γk Ik − dR 3k k Rk + σ3k (Rk − Rk )ω W (t) = (ω1k (t), ω2k (t), ω3k (t)), (k = 1, 2) chuyển động Brown độc lập > miêu tả cường độ ω (t), (i = 1, 2, 3) tương ứng Rõ tiêu chuẩn σik ik 42 ràng, hệ ngẫu nhiên (3.6) có điểm cân giống hệ (3.1) Trong phần tiếp theo, ta nghiên cứu tính ổn định điểm cân P ∗ hệ (3.6) 3.3 Tính ổn định ngẫu nhiên điểm cân địa phương Nếu R0 > hệ ngẫu nhiên (3.6) đặt vào điểm cân địa phương P ∗ = (S1∗ , I1∗ , R1∗ , S2∗ , I2∗ , R2∗ ) cách đổi biến: uk = Sk − Sk∗ , vk = Ik − Ik∗ , zk = Rk − Rk∗ Ta thu hệ :  u˙ k = −(dSk + θk − βk1 I1∗ − βk2 I2∗ )uk − βk1 Sk∗ v1 − βk2 Sk∗ v2     −βk1 uk v1 − βk2 uk v2 + σ1k uk ω˙ 1k (t)      v˙ k = (βk1 I ∗ + βk2 I ∗ )uk − (dI + ǫk + γk )vk + βk1 Sk∗ v1 + βk2 Sk∗ v2 k   +β u v + β u v + σ v ˙ 2k (t)  k1 k k2 k 2k k ω       R (3.7) z˙k = θk uk + γk vk − dk zk + σ3k zk ω˙ 3k (t) Dễ thấy tính ổn định hệ cân (3.6) tương đương với tính ổn định nghiệm không hệ (3.7) Từ bổ để 1.1, ta thu ổn định tiệm cận ngẫu nhiên điểm cân sau: Định lý 3.1 Giả sử B = (βij )2×2 bất khả quy R0 > điều kiện sau thỏa mãn: σ1k < 2(dsk + θk ), < σ2k 2(dIk + ǫk + γk )(βk1 I1∗ + βk2 I2∗ ) , βk1 I1∗ + βk2 I2∗ + dSk + θk + dIk + ǫk + γk (3.8) σ3k < 2dR k, điểm cân địa phương P ∗ ổn định tiệm cận ngẫu nhiên quy mô lớn 43 Chứng minh Ta cần chứng minh nghiệm không (3.7) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên quy mô lớn Giả sử xk (t) = (uk (t), vk (t), zk (t))T , k = 1, x(t) = (x1 (t), x2 (t))T Ta định nghĩa hàm Lyapunov sau: V (x) = 2 [ak vk2 + bk (uk + vk )2 + ck zk2 ], k = 1, (3.9) k=1 ak > 0, bk > 0, ck > số thực dương chọn sau Thì mô tả dạng bậc hai: V (x) = 2 xTk Qk xk k=1 bk bk bk ak + bk 0 ck Qk = ma trận đối xứng xác định dương Do V (x) xác định dương giảm Để đơn giản, (3.9) chia thành ba hàm: V (x) = V1 (x)+V2 (x)+V3 (x) V1 (x) = 2 ak vk2 , V2 (x) k=1 = 2 bk (uk + vk ) , V3 (x) = 2 k=1 44 ck zk2 , k = 1, k=1 Sử dụng công thức Itô, ta tính LV1 = k=1 ak vk [(βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk − (dIk + ǫk + γk )vk + βk1 Sk∗ v1 + βk2 Sk∗ v2 + βk1 uk v1 + βk2 uk v2 ] + 2 2 ak σ2k vk k=1 ak [−(dIk + ǫk + γk )vk2 + (βk1 Sk∗ v1 + βk2 Sk∗ v2 )vk ] = k=1 + k=1 = k=1 + 2 ak [ σ2k vk + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk ] ak Ik∗ −(dIk + ǫk + γk )Ik∗ ak k=1 = k=1 + ak k=1 βk1 Sk∗ I1∗ v1 v2 + βk2 Sk∗ I2∗ ∗ ∗ I1 I2 vk Ik∗ 2 σ v + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk 2k k ak Ik∗ vk2 + Ik∗2 −(β¯k1 + β¯k2 ) vk Ik∗ + v2 v1 β¯k1 ∗ + β¯k2 ∗ I1 I2 vk Ik∗ (3.10) 2 σ v + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk 2k k Tập β¯ij = βij Si∗ Ij∗ Ở ta chọn a1 I1∗ = β¯21 , a2 I2∗ = β¯12 , tức a1 = β21 S2∗ , a2 = β12 S1∗ Thay vào (3.10) ta LV1 = β¯21 −(β¯11 + β¯12 ) v1 I1∗ + β¯12 −(β¯21 + β¯22 ) v2 I2∗ + ak k=1 + v2 v1 β¯11 ∗ + β¯12 ∗ I1 I2 v1 I1∗ + v2 v1 β¯21 ∗ + β¯22 ∗ I1 I2 v2 I2∗ 2 σ v + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk 2k k 45 (3.11) v2 v1 − ∗ ∗ I1 I2 = β¯12 β¯21 + ak 2 σ2k vk + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk ak 2 σ2k vk + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk k=1 ≤ k=1 Tương tự từ công thức Itô, ta có LV2 = k=1 + bk (uk + vk )[−(dsk + θk )uk − (dIk + ǫk + γk )vk ] 2 2 (ak σ1k uk + bk σ2k vk ) k=1 = k=1 2 bk − dsk + θk − σ1k u2k − dIk + ǫk + γk − σ2k vk2 2 (3.12) − (dsk + θk + dIk + ǫk + γk ) uk vk , LV3 = k=1 = k=1 ck zk (θk uk + γk vk − dR k zk ) + 2 2 ck σ3k zk k=1 2 ck − d R k − σ3k zk + θk uk zk + γk vk zk Khi ta tính LV = LV1 + LV2 + LV3 ≤ ak k=1 + k=1 2 σ2k vk + (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ )uk vk + (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk 2 u2k − dIk + ǫk + γk − σ2k vk2 bk − dsk + θk − σ1k 2 − (dsk + θk + dIk + ǫk + γk ) uk vk , + k=1 2 ck − d R k − σ3k zk + θk uk zk + γk vk zk 46 (3.13) 2 1 2 u2k − bk dIk + ǫk + γk − σ2k − ak σ2k vk2 − bk dSk + θk − σ1k 2 = k=1 + [ak (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ ) − bk (dSk + θk + dIk + ǫk + γk )]uk vk − ck 2 − σ3k zk2 + ck θk uk zk + ck γk vk zk dR k (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk + k=1 ak (βk1 v1 + βk2 v2 )uk vk , = L0 V + k=1 L0 V =: k=1 − bk dSk + θk − σ1k u2k 1 2 − bk dIk + ǫk + γk − σ2k − ak σ2k vk2 2 ak (βk1 I1∗ + + βk2 I2∗ ) − bk (dSk + θk + dIk (3.14) + ǫk + γk ) uk vk 2 − ck d R k − σ3k zk + ck θk uk zk + ck γk vk zk , phần tuyến tính vế phải bất đẳng thức Trong (3.14) ta chọn ak (βk1 I1∗ + βk2 I2∗ ) − bk (dSk + θk + dIk + ǫk + γk ) = 0, bk = βk1 I1∗ + βk2 I2∗ , dSk + θk + dIk + ǫk + γk (3.15) tức b1 = β11 I1∗ + β12 I2∗ , dS1 + θ1 + dI1 + ǫ1 + γ1 b2 = β21 I1∗ + β22 I2∗ dS2 + θ2 + dI2 + ǫ2 + γ2 Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho θk uk zk γk vk zk ta thu θk2 u2k , R dk − σ3k γk2 vk2 R 2 γk vk zk ≤ (dk − σ3k )zk + R dk − σ3k 1 2 θk uk zk ≤ (dR k − σ3k )zk + 47 (3.16) Thay (3.15) (3.16)vào (3.14) ta thu  L0 V ≤  − bk dSk + θk − σ1k − ck k=1  θk2  u  k R dk − σ3k 2  − bk dIk + ǫk + γk − σ2k − ck − ak σ2k  1 2 − ck d R k − σ3k zk 2 (3.17)  γk2   σ dR − k 3k (3.18) (3.19) =− (3.20) (Ak u2k + Bk vk2 + Dk zk2 ), k=1 Ak = bk dSk − ck + θk − σ1k 2 Bk = bk dIk + ǫk + γk − σ2k θk2 , dR − σ k 3k − ck − ak σ2k 1 Dk = ck (dR k − σ3k ) 2 γk2 , R dk − σ3k Ta chọn ck cho < ck < 2 dR − σ3k dR k k − σ3k 1 2 I S σ (ak +bk )σ2k b b (d +ǫ +γ )− , d + θ − k k k k k 1k k k 2 2 θk γk Mặt khác, điều kiện (3.8) thỏa mãn nên Ak , Bk , Dk số dương Giả sử λ = mink=1,2 {Ak , Bk , Dk } λ > 0, từ (3.17), ta thấy LV ≤ −λ|x(t)|2 + o(|x(t)|2 ) Do LV (x, t) xác định âm lân cận đủ nhỏ x = cho t ≥ Theo Bổ đề 1.1 ta kết luận nghiệm không (3.7) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên quy mô lớn 48 3.4 Mô số liệu Mô máy tính mô hình toán học phù hợp với lý thuyết toán học Để khẳng định kết ổn định ta mô số nghiệm hệ ngẫu nhiên (3.6) Để đơn giản, ta giả thiết dk = dSk = dIk = dR k hệ (3.1) (3.6) Hơn nữa, giả sử Λ1 = 4, 725; d1 = 0, 5; γ1 = 0, 9; β11 = 0, 15; β12 = 0, 175; Λ2 = 2, 4; d2 = 0, 4; γ2 = 0, 8; β21 = 0, 1; β22 = 0, 25 Do ta thu S1∗ = 5, 25; I1∗ = 1, 5; R1∗ = 2, 7; S2∗ = 3; I2∗ = 1; R2∗ = Ta chọn giá trị ban đầu (S1 (0), I1 (0), R1 (0), S2 (0), I2 (0), R2 (0))T = (5, 5; 1; 2; 4; 0, 5; 1, 5)T Biểu đồ 3.1 ta mô tính ổn định toàn cục điểm cân địa phương hệ xác định (3.1), trường hợp nhiễu Mặt khác, ta thấy mô số liệu hệ ngẫu nhiên (3.1) vào hệ rời rạc cho t = 0, ∆t, 2∆t, , n∆t,  √ ∗ ) ∆tε S = S + (Λ − d S − β S I − β S I )∆t + σ (S − S  1,i 2,i k,i+1 k,i k k k,i k1 k,i k2 k,i 1k k,i 1k,i k     √      Ik,i+1 = Ik,i + (βk1 Sk,i I1,i + βk2 Sk,i I2,i − (dk + γk )Ik,i )∆t + σ2k (Ik,i − Ik∗ ) ∆tε2k,i √ Rk,i+1 = Rk,i + (γk I1,i − dk Rk,i )∆t + σ3k (Rk,i − Rk∗ ) ∆tε3k,i số gia thời gian ∆t > ε1k,i , ε2k,i , ε3k,i , k = 1, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N(0, 1) mà sinh tập số sinh giả ngẫu nhiên Trong biểu đồ 3.2 3.3, mô số liệu cho thấy điểm cân địa phương hệ (3.6) ổn định tiệm cận toàn cục điều kiện (3.8) Biểu đồ 3.2 3.3 thể động lực hệ cho σ11 = 0, 5; σ21 = 0, 7; σ31 = 0, 8; 49 σ12 = 0, 8; σ22 = 0, 6; σ32 = 0, 75, biểu đồ 3.4 3.5 tương ứng với σ11 = 0, 4; σ21 = 0, 45; σ31 = 0, 39; σ12 = 0, 3; σ22 = 0, 42; σ32 = 0, 35 Mặt khác, so sánh biểu đồ 3.2; 3.3 với biểu đồ 3.4; 3.5 cho thấy biến động giảm mức độ nhiễu giảm S (t) S2(t) R (t) R1(t) 2 I (t) I2(t) 0 10 Hình 3.1: Quỹ đạo xác định mô hình (3.1) 50 15 S1(t) R1(t) I1(t) 0 10 15 20 25 30 25 30 Hình 3.2: Quỹ đạo ngẫu nhiên mô hình (3.6) 4.5 3.5 S (t) 2.5 R (t) 2 1.5 I (t) 0.5 0 10 15 20 Hình 3.3: Quỹ đạo ngẫu nhiên mô hình (3.6) 51 S (t) R1(t) I (t) 1 0 10 15 20 25 30 25 30 Hình 3.4: Quỹ đạo ngẫu nhiên mô hình (3.6) 4.5 3.5 S (t) 2.5 R (t) 2 1.5 I (t) 0.5 0 10 15 20 Hình 3.5: Quỹ đạo ngẫu nhiên mô hình (3.6) 52 Kết luận Sau thời gian làm việc hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư luận văn hoàn thành Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định hai mô hình: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp vector bị nhiễu ngẫu nhiên mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu ngẫu nhiên Trong luận văn ta mở rộng mô hình dịch xác định cách đưa nhiễu loạn ngẫu nhiên xung quanh điểm cân địa phương Từ thu kết R0 ≤ hệ ta có điểm cân tức truyền bệnh tắt dần mô hình, R0 > điểm cân tồn điểm cân địa phương tức truyền bệnh tiếp diễn truyền bệnh có chu kỳ mô hình Bằng cách xây dựng công thức hàm Lyapunov thích hợp ta thu điều kiện ổn định, từ khống chế tham số ta làm cho truyền bệnh tắt dần Mô phần mềm Matlap chứng minh tính đắn kết đưa 53 Phụ lục 54 Tài liệu tham khảo [1] A Bahar, X Mao, Stochastic delay Lotka–Volterra model, J Math Anal Appl 292 (2004) 364–380 [2] Đặng Hùng Thắng(2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] J.C Beier, Malaria parasite development in mosquitoes, Annu Rev Entomol 43 (1998) 519–543 [4] H.-M Wei, X.-Z Li, M Martcheva, An epidemic model of a vector-borne disease with direct transmission and time delay, J Math Anal Appl 342 (2008) 895–908 [5] H.B Guo, M.Y Li, Z Shuai, Global stability of the endemic equilibrium of multigroup SIR epidemic models, Can Appl Math Q 14 (2006) 259–284 [6] H.M Wei, X.Z Li, M Martcheva, An epidemic model of a vector-borne disease with direct transmission and time delay, J Math Anal Appl 342 (2008) 895–908 55 [7] L Shaikhet, Some new aspects of Lyapunov type theorems for stochastic differential equations of neutral type, SIAM J Control Optim 48 (7) (2010) 4481–4499 [8] L Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic systems with delay, Math Notes 57 (1–2) (1995) 103–106 [9] L Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic hereditary systems, Dynam Syst Appl (2) (1995) 199–204 [10] L Shaikhet, Stability of predator-prey model with aftereffect by stochastic perturbation, SACTA (1) (1998) 3–13 [11] Miljana Jovanovic, Marija Krstic, Stochastically perturbed vector - borne disease models with direct transmission.Appl.360 (2009) 235 - 244 [12] Ningzhong, Jiajia Yu, Daqing Jiang, Global stability of two - group SIR model with random perturbation.Appl.36 (2012) 5214 - 5228 [13] N Chitnis, J.M Cushing, J.M Hyman, Bifurcation analysis of a mathematical model for malaria transmission, SIAM J Appl Math 67 (1) (2006) 24–45 [14] P Borne, V Kolmanovskii, L Shaikhet, Stabilization of inverted pendulum by control with delay, Dynam Syst Appl (2000) 501–514 [15] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 56 [...]... 1, trong đó δ > 0 đủ nhỏ Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định ngẫu nhiên 18 Chương 2 Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 2.1 Giới thiệu Trong chương này ta phác thảo mô hình dịch tễ xác định được trình bày trong [4], trên cơ sở đó chúng ta xây dựng mô hình ngẫu nhiên Bằng cách sử dụng các hàm Lyapunov, ta nghiên tính ổn định tiệm cận ngẫu nhiên của. .. điểm cân bằng E ∗ là ổn định tiệm cận địa phương phía trong của hình nón (2.3) 22 2.3 Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên Sự biến động môi trường có ảnh hưởng đáng kể trên tất cả các khía cạnh của cuộc sống thực, cho nên hợp lý khi đi nghiên cứu những biến động ảnh hưởng đến các mô hình dịch tễ học được trình bày trong phần trước Vì thế, ta đưa các điều kiện nhiễu ngẫu nhiên vào hệ (2.2) Giả... của định lý 1.3 Thật vậy V (x, y) ≥ 0 và V (t, 0, 0) = 0; dV dV = −(4x4 + 6y 4) ≤ 0 và = 0 khi x = 0, y = 0 dt dt Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận 1.2.2 Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên Định nghĩa 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình vi phân có một hoặc nhiều số hạng là một quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.6 Cho trước các hàm ngẫu nhiên. .. vấn đề liên quan đến sự ổn định của trạng thái cân bằng của hệ ngẫu nhiên phi tuyến, ta có thể quy vể tính ổn định của các nghiệm của hệ tuyến tính Xét các dạng tuyến tính của phương trình (1.2): dx(t) = F (t)x(t)dt + G(t)x(t)dW (t), t ≥ t0 (1.3) Định lý 1.5 Nếu hệ tuyến tính (1.3) với các hệ số hằng, tức là (F (t) = F, G(t) = G) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và các hệ số của hệ (1.2) và (1.3) thỏa... nhiên là phần tuyến tính của hệ này có nghiệm tầm thường ổn định bình phương trung bình Khi đó nếu các điều kiện (2.19) - (2.25) được thỏa mãn thì nghiệm tầm thường của hệ (2.17) là ổn định ngẫu nhiên 2.5 Mô phỏng số liệu Trong phần này, ta thấy rằng các mô phỏng máy tính của mô hình ngẫu nhiên mô tả một bệnh truyền nhiễm là sốt rét tương thích với các kết quả toán học thu được trong các phần trên... thái cân bằng địa phương ở mô hình được xét Sau đó, ta đưa thời gian trễ vào mô hình bệnh dịch lây truyền do vector bị nhiễu ngẫu nhiên và sử dụng phiếm hàm Lyapunov, ta đưa ra các điều kiện đủ về tính ổn định ngẫu nhiên của điểm cân bằng địa phương của mô hình Cuối cùng trình bày các kết quả mô phỏng số tương thích với các kết quả toán học thu được 2.2 Mô hình Giả sử tổng số vật chủ tại thời điểm t,... dương Do đó theo định lý 1.4, các nghiệm tầm thường của hệ (2.7) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Mục tiêu tiếp theo ta đi chứng minh tính ổn định tiệm cận ngẫu nhiên của các nghiệm tầm thường cho bởi hệ (2.6) Định lý 2.2 Giả sử rằng R0 > 1 và các điều kiện (2.8) - (2.12) được thỏa mãn Thì nghiệm tầm thường của hệ (2.6) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Chứng minh Để chứng minh ta sử dụng định lý 1.5 và 2.1,... là ổn định tiệm cận bình phương trung bình theo định lý 1.6 Định lý 2.4 Giả sử rằng R0 > 1 và các điều kiện (2.19) - (2.25) được thỏa mãn Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.17) là ổn định ngẫu nhiên Chứng minh được bỏ qua vì thực tế hệ phi tuyến tính (2.17) có bậc lớn hơn 1, theo [8, 9] nếu bậc của hệ phi tuyến tính lơn hơn 1 thì điều kiện để nghiệm tầm thường của hệ phi tuyến tính ổn định ngẫu nhiên. .. dt + σ3 z˜(t)dw3 (t) Áp dụng các định lý 1.4, 1.5 và sử dụng hàm Lyapunov thích hợp xung quanh trạng thái cân bằng, ta có được các điều kiện ổn định tiệm cận ngẫu nhiên của nghiệm tầm thường cho bởi hệ tuyến tính (2.7) Thật vậy, ta sẽ đi chứng minh nghiệm tầm thường của hệ (2.7) luôn ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Định lý 2.1 Giả sử rằng R0 > 1 và các tham số của mô hình hệ (2.6) thỏa 24 mãn điều kiện:... gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô hướng W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho : V (t, x) ≤ −W (x) < 0 với |x| = 0 10 và V (t, 0) = W (0) = 0 Hàm xác định âm hay xác định dương gọi là có dấu xác định về phía W (x) Hai định lý của Lyapunov về tính ổn định Định lý 1.2 (Định lý thứ nhất của Lyapunov về tính ổn định) Nếu hệ (1.1) tồn tại một hàm vô hướng xác định dương, (1,1) V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), ... nghiên cứu tính ổn định mô hình dịch tễ môi trường ngẫu nhiên không phần quan trọng Ở luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định số mô hình dịch tễ môi trường ngẫu nhiên thông qua mô hình toán... tính ổn định mô hình ngẫu nhiên 23 2.4 Phân tích tính ổn định mô hình ngẫu nhiên có trễ 28 2.5 Mô số liệu 33 Tính ổn định toàn cục mô hình SIR hai...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: