Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————— —————— NGUYỄN THỊ THUỶ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————— —————— NGUYỄN THỊ THUỶ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy Hà Nội-2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định nghiệm tối ưu đa mục tiêu tuyến tính” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thủy v Mục lục Bảng kí hiệu viết tắt vii Mở đầu Nội dung Sự tồn cấu trúc nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sự tồn cấu trúc tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . Phương pháp đơn hình 10 2.1 Một số kết bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Phương pháp đơn hình cho toán tuyến tính đơn trị . 16 2.3 Phương pháp đơn hình cho toán đa mục tiêu tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Đặc trưng tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu vectơ có tham số 31 3.1 Một số kết bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 44 vi Tài liệu tham khảo 45 vii Bảng kí hiệu viết tắt ·, · : Tích vô hướng Rn . int(A) : Phần tập A. cl(A) : Bao đóng tập A. co(A) : Bao lồi tập A. cone(A) : Bao nón lồi tập A. ∂f (x) : Dưới vi phân hàm f x. R : Tập hợp số thực. Rn : Không gian thực n chiều. domA : Miền xác định hữu hiệu A. gphF : Đồ thị ánh xạ F . . n : Chuẩn Euclid không gian Rn . M T : Ma trận chuyển vị ma trận M . MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Cho T không gian tôpô compact khác rỗng L[Rn , Rm ] (tương ứng C[T, R]) không gian toán tử tuyến tính A : Rn → Rm (tương ứng không gian ánh xạ liên tục b : T → R) với chuẩn cho A đó, . k L := max A x x n =1 ( b m ∞ := max |b(t)| ) t∈T Euclid Rk với k ∈ N. Cho P := L[Rn , Rm ] × C[T, R], P cho chuẩn . = . L + . ∞. Với p := (A, b) ∈ L[Rn , Rm ] × C[T, R] ta xét toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính (LSV O)p : A x , x ∈ C(p), m R≥ đó, C(p) = {x ∈ Rn | B(t), x ≤ b(t), t ∈ T }, B : T → Rn ánh xạ m liên tục, Rm ≥ = {x = (x1 , .xm ) ∈ R | xk ≥ ∀k = 1, ., m} orthant không âm Rm ký hiệu ., . tích vô hướng Rn . Trong trường hợp T tập hữu hạn phần tử, Naccache [24] thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ nghiệm Pareto toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính nhiễu liên tục có vế phải miền ràng buộc. Dưới nhiễu tuyến tính tập ràng buộc hàm mục tiêu hàm đồng nhất, Davidson [13] thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz ánh xạ điểm cực biên tối ưu Pareto (giao tập nghiệm Pareto tập điểm biên miền ràng buộc). Trong [10], tác giả thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục nửa liên tục toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tổng quát nhiễu hàm hàm mục tiêu miền ràng buộc. Gần đây, điều kiện đủ cho tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm Pareto nhiễu vế phải ràng buộc nhiễu tuyến tính hàm mục tiêu trình bày [11]. Một câu hỏi mở [11] điều kiện đặt hai vectơ vô hướng nghiệm vô hướng hai vectơ dường không cần thiết. Với mong muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi tìm hiểu lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính nên chọn đề tài: "Tính ổn định nghiệm tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" cho nghiên cứu mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể tồn tại, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình tính ổn định ánh xạ nghiệm trường hợp đặc biệt tập T có hữu hạn phần tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tồn tại, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, tối ưu có tham số, tồn nghiệm, phương pháp giải tính ổn định nghiệm. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi lý thuyết tối ưu. 6. Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày tổng quan tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể tồn nghiệm, phương pháp giải tính ổn định nghiệm. 33 Ánh xạ đa trị S : P ⇒ Rn gán p tương ứng với tập tất nghiệm Pareto S(p) gọi ánh xạ nghiệm Pareto (LSV O). Tập số hoạt x ∈ C(p) xác định Tp (x) = {t ∈ T | B(t), x = b(t)}. Bổ đề 3.1.1. Ánh xạ đa trị T : P × Rn ⇒ T, (p, x) → Tp (x) nửa liên tục (p0 , x0 ) ∈ P × Rn . Chứng minh. Lấy tùy ý (p0 , x0 ) := (A0 , b0 , x0 ) ∈ P × Rn dãy n k { (pk , xk ) := (Ak , bk , xk )}∞ k=1 P × R cho (pk , x ) → (p0 , x ) k k → ∞. Với {tk }∞ k=1 ⊂ T tk ∈ T (pk , x ). Có thể lấy dãy cần, ta giả sử tk → t0 k → ∞. Ta cần t0 ∈ T (p0 , x0 ). Do B bk liên tục T với k = 1, 2, . nên suy B( t0 ), x0 − b0 (t0 ) = lim k→∞ B( tk ), xk − bk (tk ) . Điều có nghĩa t0 ∈ Tp0 (x0 ) = T (p0 , x0 ). Bổ đề chứng minh. Ta nói C(p) thỏa mãn điều kiện Slater ∃ˆ x ∈ Rn cho B(t), xˆ < b(t) ∀t ∈ T . Trong trường hợp này, xˆ gọi điểm Slater C(p). Bổ đề 3.1.2. Cho p := (A, b) ∈ P . Khi đó, C(p) thỏa mãn điều kiện Slater 0n ∈ / co { B(t) | t ∈ Tp (¯ x)} với ∀ x¯ ∈ C(p) mà Tp (¯ x) = ∅. Chứng minh. Định nghĩa hàm g : Rn → R sau g(x) := max { B(t), x − b(t)} t∈T 34 Dễ thấy, g hàm lồi C(p) = {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0}. Vì T tập compact khác rỗng hàm (t, x) → B(t), x − b(t) hàm liên tục nên g hàm liên tục. Hơn nữa, với x¯ ∈ C(p) mà Tp (¯ x) = ∅ ta có g(¯ x) = max { B(t), x¯ − b(t)} = 0. t∈ T Khi đó, C(p) thỏa mãn điều kiện Slater không tồn x¯ ∈ C(p) mà Tp (¯ x) = ∅ cho cực điểm g. Điều tương đương với 0n ∈ / ∂g(¯ x). (3.1) Bởi Theorem VI 4.4.2 [20], ta có ∂g (x) = co ({ B(t)| t ∈ Tp (x)}) . (3.2) Từ (3.1) (3.2) suy 0n ∈ / co ({B(t)| t ∈ Tp (x)}). Nón đặc trưng liên kết với miền ràng buộc p cho B (t) 0n Kp := cone ∈ Rn × R| t ∈ T ∪ ∈ Rn × R b (t) Cho (u, α) ∈ Rn × R, ta nói u, x ≤ α hệ C(p) u, z ≤ α , ∀z ∈ C(p). Để thu kết sau, áp dụng bổ đề Farkas không ([20, Theorem III 4.3.4]), đặc tính bất đẳng thức tuyến tính u, x ≤ α hệ C(p) xác định u α ∈ cl (Kp ) . , Điều có nghĩa ∃ λk (T ) ⊂ R≥ u α µk ⊂ [0, +∞) cho λkt = lim k→+∞ t∈T B (t) b (t) + µk 0n 35 (T ) đó, R≥ định nghĩa tập tất hàm số λ : T → R≥ nhận giá trị dương điểm T . Để biết thêm thông tin tham khảo thêm báo Goberna López [15]. Kết sau từ [15, Theorem 5.3 7.1]. Bổ đề 3.1.3. Cho p = (A, b) ∈ P , u ∈ Rn cho x0 ∈ C(p). Giả sử C(p) thỏa mãn điều kiện Slater. Khi đó, ta có khẳng định sau: a) Kp tập đóng. b) x0 ∈ argmin{< u, x > | x ∈ C(p)} −u ∈ cone B(t) : t ∈ Tp (x0 ) . Bổ đề sau đưa điều kiện đủ cho tính nửa liên tục ánh xạ tập ràng buộc C sử dụng phần tiếp theo. Bổ đề 3.1.4. Cho p := (A, b) ∈ P . Khi đó, ta có khẳng định sau: a) C đóng p b) Nếu C(p) thỏa mãn điều kiện Slater C lsc p. Chứng minh. a) Xem [15, p. 128]. b) Khẳng định suy từ [4, Theorem 2.1] [15, Theorem 6.9]. Cho p := (A, b) ∈ P (p, x) ∈ gph S. Nếu ∃ σ ∈ Rm ≥ mà σ m = cho x ∈ arg { σA, z , z ∈ C (p)} x gọi nghiệm vô hướng hóa σ. Bổ đề 3.1.5. Cho p := (A, b) ∈ P . Nếu (p, x) ∈ gph S x nghiệm vô hướng cho σ ∈ Rm ≥. Chứng minh. Lấy (p, x) ∈ gph S. Rõ ràng m A(C(p)) + Rm ≥ := { Az : z ∈ C(p)} + R≥ 36 tập lồi. Do x ∈ S(p) nên (A x − int Rm ≥) (A(C(p)) + Rm ≥ ) = ∅. Theo định lý tách [21, Theorem 3.16], có σ ∈ Rm \ {0m } số thực α thỏa mãn σ , A x − c1 ≤ α ≤ σ , y + c2 (3.3) m ∀ c1 , c2 ∈ Rm ≥ y ∈ A(C(p)). Ta σ ∈ R≥ . Thật vậy, ta cần σ , c ≥ ∀ c ∈ Rm ≥. Nếu ∃ c0 ∈ Rm ≥ cho σ , c0 σ , A x − λc0 = σ, Ax < − λ σ , c0 → +∞, λ → +∞, điều mâu thuẫn với (3.3). Do đó, σ ∈ Rm ≥ \ {0m }. Không tính tổng quát, ta giả sử σ σ, Ax ≤ m = 1. Từ (3.3) σ, Az ∀ z ∈ C(p). Điều có nghĩa x ∈ argmin { σA , z | z ∈ C(p)} Bổ đề chứng minh. 3.2 Tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm Mục đích phần thiết lập điều kiện đủ cho tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính trường hợp đặc biệt T có hữu hạn phần tử. Định lý 3.2.1. Cho p0 = (A0 , b0 ) ∈ P (p0 , x0 ) ∈ gphS. Giả sử có điều kiện sau i) C(p0 ) thỏa mãn điều kiện Slater; ii) Không có T0 ⊂ Tp0 (x0 ) mà |T0 | < n thỏa mãn − σ0 A0 ∈ cone ({ B(t) | t ∈ T0 }) với σ0 ∈ Rm ≥ mà x nghiệm vô hướng hóa σ0 . Khi đó, S giả Lipschitz (p0 , x0 ). (3.4) 37 Trước chứng minh Định lý 3.2.1, cần thiết lập bổ đề sau. Bổ đề 3.2.1. Dưới giả thiết Định lý 3.2.1, ta có phát biểu sau a) Tồn lân cận W p0 cho C(p) thỏa mãn điều kiện Slater với p ∈ W ; b) Với dãy pk , xk := Ak , bk , xk ∞ k=1 ⊂ gph S hội tụ tới p0 , x0 := A0 , b0 , x0 ∈ gph S, tồn k0 ≥ cho n −σk Ak = 1=1 λki B (ti ) ∀ k ≥ k0 k k đó, σk ∈ Rm ≥ cho x nghiệm vô hướng hóa cho σk ; λi > 0; ti ∈ Tpk (xk ) ∀ i = 1, 2, ., n {B (t1 ) , ., B (tn ) } độc lập tuyến tính Rn . Chứng minh. a) Suy trực tiếp từ định nghĩa nên ta bỏ qua chứng minh. pk , xk := b) Cho Ak , bk , xk ∞ k=1 dãy gphS cho hội tụ tới p0 , x0 = A0 , b0 , x0 ∈ gph S. Do pk , xk pk , x k → p0 , x0 nên từ a) ∃ k0 ≥ cho C(p) thỏa mãn điều kiện Slater ∀ k ≥ k0 . Áp dụng Bổ đề 3.1.5, ta khẳng định với k ≥ k0 , ∃σk ∈ Rm ≥ với σk m = cho xk nghiệm vô hướng cho σk , nghĩa xk ∈ arg { σk Ak , z | z ∈ C(pk )}. Từ Bổ đề 3.1.3 ta có − σk Ak ∈ cone B (t) | t ∈ Tpk xk Nếu tồn số nguyên dương k1 cho Tpk xk (3.5) = ∅ ∀ k ≥ k1 σk Ak = 0. Nếu cần lấy dãy con, ta giả sử lim σk = k→∞ σ∈ Rm ≥ σ m = 1. Do đó, σ A0 = 0. Rõ ràng x0 ∈ arg { σ A0 , z | z ∈ C(p0 )}. 38 Cho T0 = ∅ ⊂ Tp0 (x0 ). Khi đó, − σ0 A0 ∈ cone ({B (t) | t ∈ T0 }). Điều mâu thuẫn với giả thiết ii) Định lý 3.2.1. Không tính tổng quát, ta giả sử Tpk xk = ∅ ∀ k ≥ k0 . Từ (3.5) ∃ q ∈ N , λki ≥ tki ∈ Tpk xk , i ∈ {1, ., q} cho q λki B tki − σk Ak = (3.6) i=1 Do tki ∈ Tpk xk , Bổ đề 3.1.1 tính hữu hạn T tki = ti với k đủ lớn ti ∈ Tp0 x0 . Từ định lý Caratheodory, ta giả sử q ≤ s , λki > ∀ i = 1, q { B (ti )| i = 1, ., q} hệ độc lập tuyến tính. q k λki , k ≥ k0 . Ta khẳng định q = n. Ngược lại, giả sử q < n. Đặt µ := i=1 k Ta tồn số thực dương α cho µ ≤ α ∀k ≥ k0 . Thật vậy, việc sai (nếu cần đưa dãy con) giả λki µk sử lim µk = +∞ k→+∞ k≥k0 hội tụ tới µi ≥ với i ∈ {1, ., q}. Chia hai vế (3.6) cho µk cho k → +∞, ta q 0n = q µi B (ti ) i=1 Nghĩa là, 0n ∈ co B (t) : t ∈ Tp0 x0 µi = với i=1 , điều mâu thuẫn với khẳng định Bổ đề 3.1.2 vấn đề ta trên. Do đó, dãy λki bị chặn α. Không tính tổng quát, ta giả sử lim σk = σ0 ∈ Rm ≥ , σ0 k→+∞ m =1 lim λki = λi ≥ với i ∈ {1, ., q} k→+∞ Cho k → +∞ (3.6) ta q λi B (ti ) với {t1 , ., tq } ⊂ Tp0 x0 − σ0 A = q < n. (3.7) i=1 Điều Bổ đề 3.1.3 x0 nghiệm vô hướng cho σ0 , mâu thuẫn giả thiết ii) Định lý 3.2.1. Do đó, q = n. Bổ đề chứng minh. 39 Bổ đề 3.2.2. Nếu giả thiết định lý 3.2.1 giữ nguyên ta có phát biểu sau a) Với σ0 ∈ Rm ≥ cho x tương ứng nghiệm vô hướng hóa arg { σ0 A0 , z | z ∈ C (p0 )} = x0 ; b) Với {pk }∞ k=1 ⊂ P mà hội tụ tới p0 tìm phần tử xk ∈ S(pk ) cho xk → x0 k → +∞. Chứng minh. a) Suy trực tiếp từ [6, Theorem 16 (iv)]. b) Giả sử ngược lại, ∃ {pk := (Ak , bk )}∞ k=1 ⊂ P tập mở U ∈ N (x ) cho {pk } hội tụ tới p0 := (A0 , b0 ) S (pk ) ∩ U = ∅ ∀k. (3.8) Chọn hình cầu mở tâm x0 , bán kính r > 0, kí hiệu B(x0 , r) cho clB(x0 , r) ⊂ U . Từ giả thiết i) Định lý 3.2.1, C(p0 ) thỏa mãn điều kiện Slater. Bổ đề 3.1.4 C lsc p0 . Chúng ta tồn số nguyên k0 ≥ 1; xk ∈ C(pk ) ∩ B(x0 , r) với xk − x0 n < k z k ∈ C (pk ) \B x0 , r cho Ak z k − Ak xk ∈ −Rm ≥ \ {0m } ∀k ≥ k0 . (3.9) Thật vậy, việc sai với k ≥ tồn tập mở W (x0 ) ∈ N (x0 ) W (x0 ) ⊂ B(x0 , r) cho với x ∈ W (x0 ) z ∈ C (pk ) \B x0 , r thỏa mãn Ak (z) − Ak (x) ∈ / −Rm ≥ \ {0m } . (3.10) Kí hiệu S (Ω, Ak ) tập nghiệm Pareto Ak với tập Ω tập điểm chấp nhận C(pk ). Bổ đề 3.1.4 C(pk ) đóng 40 với K. Do tính compact C(pk ) ∩ clB(x0 , r) tính liên tục Ak nên S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak = ∅. Xét hai trường hợp xảy + Nếu S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak ∩ W x0 = ∅ ∃z ∈ S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak ∩ W x0 . Ta có z¯ ∈ S(pk ). Thật vậy, z¯ ∈ / S(pk ) z ∈ S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak nên ∃ z ∈ C (pk ) \B x0 , r cho Ak (z) − Ak (z) ∈ −Rm ≥ \ {0m }, Trái ngược với (3.11) z ∈ W x0 . Do đó,z ∈ S (pk ) z ∈ S (pk ) ∩ W x0 ⊂ S (pk ) ∩ B x0 , r ⊂ S (pk ) ∩ U . Điều mâu thuẫn với (3.9). + Nếu S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak ∩ W x0 = ∅ với y ∈ W x0 \S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak , có phần tử zy ∈ C (pk ) ∩ cl B x0 , r thỏa mãn Ak ( zy ) − Ak (y) ∈ Rm ≥ \ {0m } . (3.11) Đặt: D := x ∈ C (pk ) ∩ cl B x0 , r : Ak (x) − Ak ( zy ) ∈ −Rm ≥ . Dễ dàng kiểm tra S (D, fx ) = ∅ S (D, Ak ) ⊂ S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak . Cho z¯ thuộc S (D, Ak ), ta có z ∈ S (pk ). Thật vậy, z ∈ / S (pk ) z ∈ S C (pk ) ∩ cl B x0 , r , Ak , ∃y ∈ C (pk ) \B x0 , r cho Ak (y) − Ak (z) ∈ −Rm ≥ \ {0m } . (3.12) Với z ∈ D, Ak (z) − Ak ( zy ) ∈ −Rm ≥ . Kết hợp điều với (3.12) (3.13), cho ta: Ak (y) − Ak (y) ∈ −Rm ≥ \ {0m } 41 trái ngược với (3.11). Do đó, z ∈ S (pk ). Từ z¯ ∈ D dẫn tới z ∈ S (pk ) ∩ cl B x0 , r ⊂ S (pk ) ∩ U . Điều mâu thuẫn với (3.9). Kết hợp điều cho ta vấn đề cần ra. Tiếp theo ta xét hai trường hợp: (+) Nếu z k k≥k0 n bị chặn (có thể đưa dãy cần), ta giả sử z k → z ∈ R \B x0 , r . Từ tính chất đóng C p0 , Bổ đề 3.1.4 z ∈ C (p0 ). Một mặt, cho k → +∞ (3.10), ta được: A0 z − A0 x0 ∈ −Rm ≥. (3.13) Do đó, A0 z = A0 x0 với x0 ∈ S (p0 ). Mặt khác, p0 , x0 ∈ gph S, từ Bổ đề 3.1.5 x0 nghiệm vô hướng hóa cho σ0 ∈ Rm ≥ . Do đó, σ0 A0 , z = σ0 A0 , x0 . Nghĩa z ∈ arg { σ0 A0 , z | z ∈ C (p0 )} . (3.14) Từ khẳng định a) bổ đề arg { σ0 A0 , z : z ∈ C (p0 )} = x0 Từ (3.15), (3.16) ta có z = x0 , mâu thuẫn với z ∈ Rn \B x0 , r . (+) Nếu z k k≥k0 không bị chặn, ta giả sử zk n → +∞ zk zk → zˆ ∈ Rn n Do bk → b0 , có số thực α cho |bk (t)| ≤ α, ∀t ∈ T, ∀k ≥ k0 . (3.15) 42 Chia z k n bất đẳng thức B (t) , z k ≤ bk (t) cho k → ∞, ta B (t) , zˆ ≤ ∀t ∈ T . Một mặt, với λ > ta có B (t) , x0 + λˆ z = B (t) , x0 + λ B (t) , zˆ ≤ b0 (t) ∀t ∈ T . Nghĩa là: x0 + λˆ z ∈ C(p0 ) với λ > 0. Mặt khác, chia z k n vào (3.10) cho k → +∞, ta A0 (ˆ z ) ∈ −Rm ≥. Do A0 x0 + λˆ z − A0 x0 = λA0 (ˆ z ) ∈ −Rm ≥ , ∀λ > 0. Vậy A0 x0 + λˆ z = A0 x0 với x0 ∈ S(p0 ). Cũng cách làm này, ta x0 + λˆ z = x0 điều xảy ra. Bổ đề chứng minh xong. Chứng minh định lý 3.2.1 Giả sử khẳng định định lý sai. Khi phải tồn dãy xk ∞ k=1 ⊂ Rn hội tụ tới x0 , dãy {pk := (Ak , bk )}∞ k=1 pk := Ak , bk ∞ k=1 thuộc P hội tụ tới p0 cho ∀k ≥ 1, xk ∈ S (pk ) d xk , S (pk ) > k.d (pk , pk ) . (3.16) Từ Bổ đề 3.2.2, ∃ xk ∈ S (pk ) thỏa mãn xk → x0 k → ∞. Từ (3.16) max bk (t) − bk (t) = bk − bk t∈T ∞ ≤ d (pk , pk ) ≤ k x − xk k n ∀k ≥ 1. Dễ dàng với k xk = xk : max bk (t) − bk (t) t∈T xk − x k n ≤ . k (3.17) Theo Bổ đề 3.2.1, ∃k0 ≥ cho n n λki B − σk Ak = i=1 k (ti ) ; −σ k Ak = λi B (ti ) ∀k ≥ k0 i=1 (3.18) 43 m k k đó, σk ∈ Rm ≥ (tương ứng σ k ∈ R≥ ) cho x (tương ứng x ) k nghiệm vô hướng tương ứng, λki > 0, λi > 0, ti ∈ Tp0 x0 , i = 1, 2, ., n {B (t1 ) , ., B (tn )} vectơ độc lập tuyến tính Rn . Như k chứng minh Bổ đề 3.2.1 ta giả sử λki k≥k0 λi hội k≥k0 ¯ i . Cho qua giới hạn (3.18) dễ dàng tụ tới λi λ n n − σA0 = λi B (ti ) , − σA0 = i=1 với σ, σ ∈ Rm ≥ mà σ m λi B (ti ) (3.19) i=1 = σ m = 1. Từ (3.19) Bổ đề 3.1.3 có thể kết luận x0 nghiệm vô hướng cho σ σ ¯ . Giả thiết ii) ¯ i > ∀i = 1, ., n với định lý Caratheodory đảm bảo λi > 0, λ {B (t1 ) , ., B (tn )} độc lập tuyến tính Rn . Một mặt, ti ∈ Tpk xk xk ∈ S (pk ) ⊂ C (pk ) nên với i ∈ {1, ., n} k ≥ k0 , xk − xk xk − xk bk (ti ) − bk (ti ) < k xk − xk n n xk − xk Cho dãy cần, ta giả sử xk − xk n B (ti ) , ≤ (3.20) hội tụ tới k≥k0 n z ∈ R với z n = 1. Cho k → ∞ (3.20), ta B (ti ) , z ≤ 0. Mặt khác, cách làm tương tự ta thấy với i ∈ {1, ., n} k ≥ k0 B (ti ) , xk = bk (ti ), B (ti ) , xk ≤ bk (ti ) B (ti ) , z ≥ 0. Ta suy B (ti ) , z = 0. Từ {B (t1 ) , ., B (tn )} độc lập tuyến tính suy z = 0, mâu thuẫn. Định lý chứng minh. 44 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu trình bày tổng quan lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể tồn nghiệm, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình giải toán tối ưu vectơ tuyến tính tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm. Nghiên cứu chương có hướng dẫn nhiệt tình PGS. TS Nguyễn Quang Huy. Do thời gian có hạn nên chưa thể sâu vào nghiên cứu toán tối ưu nửa vô hạn mà tập trung nghiên cứu vào toán tối ưu vectơ tuyến tính với hữu hạn ràng buộc. Chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp ý Quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS.TS. Đỗ văn Lưu, PGS.TS.Phan Huy Khải (2000) , Giải tích lồi, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [2] C.D. Aliprantis, K.C. Border (2006),Infinite Dimensional Analysis. A Hitchhiker’s Guider, third ed., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. [3] B. Brosowski (1984),Parametric semi-infinite linear programming. I. Continuity of the feasible set and of the optimal value. Sensitivity, stability and parametric analysis,,Mathemmatical Programming Study (21) 18-42. [4] M.J. Cánovas, A.L. Dontchev, M.A. Lóper, J. Parra (2005),Metric regularity of semi-infinite constraint systems Mathematical Programming, Series B 104 (2-3) 329 – 346. [5] M.J. Cánovas, F.J. Gómez-Senent, J. Parra,On the Lipschitz modulus of the Argmin mapping in linear semi-infinite optimization, Set-valued Analysis, doi: 10.1007/s11228-007-0052-x. 46 [6] M.J. Cánovas, D. Klatte, M.A. Lóper, J. Parra (2007),Metric regularity in convex semi-infinite optimization under canonical perturbations, SIAM Journal on Optimization 18 (3) 717-732. [7] M.J. Cánovas, M.A. López, J. Para, M.I. Todorov (1999),Stability and well-posedness in linear semi-infinite programming, SIAM Journal on Optimization 10 (1) 82-98. [8] M.J. Cánovas, M.A. López, J. Para, F.J. Toledo (2006),Lipschitz continuity of the optimal value via bounds on the optimal setin linear semi-infinite optimization,Mathematics of Operations Research 31 (3) 478-489. [9] M.J. Cánovas, M.A. López, J. Para, F.J. Toledo (2007),Sufficient conditions for total ill-posedness in linear semi-infinite optimization, European Journal of Operational Reesearch 181 (3) 11261136. [10] T.D. Chuong, N.Q. Huy, J.C. Yao,Stability of semi-infinite vector optimization problems under functional pertubation,Journal of Global optimization, doi: 10.1007/s10898-008-9391-x. [11] T.D. Chuong, N.Q. Huy, J.C. Yao (2010),Pseudo- Lipschitz property of linear semi-infinite vector optimization problems, European Journal of Operational Research 200 639-644. [12] R. Colgen, K. Schnatz (1981),Continuity properties in semi-infinite parametric linear optimization, Numerical Functional Analysis and Optimization (4) 451-460. [13] M.R. Davidson (1996),Lipschitz continuity of Pareto-optimal extreme points, Vestnik Moskov. Univ. Ser. XV Vychisl. Mat. Kibernet. (4) 41-45 (Russian). 47 [14] Dantzig, Goberna (1998), Linear Programming and extensions, Princeton University Press, Princeton, NJ. [15] M.A. Goberna, M.A. Lóper (1998),Linear semi-infinite optimization, John Wiley and Sons, Chichester, UK. [16] M.A. Goberna(2005),Linear semi-infinite optimization: recent advances, in: V. Jeyakumar, A. Rubinov (Eds.), Continuous optimization, Springer, New York, pp.3-22. [17] M.A. Goberna, S. Gómez, F. Guerra, M.I. Todorov (2007) ,Sensitivity analysis in linear semi-infinite programming: perturbing cost and right-hand-side coefficients, European Journal of operational research 181 (3) 1069-1085. [18] S. Helbig, M.I. Todorov (1998) ,Unicity results for general linear semi-infinite optimization problems using a new concept of active constraints, Applied Mathematics and optimization 38, 21-43. [19] R. Hettich (Ed.)(1979),Proceedings of a Workshop on semi-infinite programming, Bad Honnef, August 30-September 1, 1978, Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol, 15, SpringerVerlag, Berlin, New York. [20] J.B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993),Convex Analysis and Minimization Algorithms I, Springer-Verlag, Berlin. [21] J. Jahn (2004),Vector optimization. Theory , Application, and Extensions, Springer-Verlag , Berlin. [22] D.T.Luc (1988),Theory of Vector Optimization, , Springer-Verlag, Erlangen, West Germany. 48 [23] Matthias Ehrgott,Multicriteria Optimization, Springer, Auckland, 2005. [24] P.H. Naccache (1979),Stability in multicriteria optimization, Journal of Mathematica Analysis and Application, 441-453. [25] R. Reemtsen , J.J. Ruckmann (Eds.) (1998),Semi-infinite programming, Nonconvex optimization and its Applications, vol. 25, Kluwer Academic Publishers, Boston, MA. [26] M.I. Todorov (1996),Kuratowski convergence of the efficient sets in the parametric linear vector semi-infinite optimization,European Journal of operational research, 610-617. [27] S.W. Xiang, Y.H. Zhou (2006),Continuity properties of solutions of vector optimization, Nonlinear Analysis, 2496-2506. [...]... bài toán đa mục tiêu so với bài toán tuyến tính đơn trị Bổ đề 2.3.1 Nếu S(X , C x) = ∅ thì Xcó nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm hữu hiệu Chứng minh Do Định lý 2.1.3, tồn tại λ ∈ Rp sao cho min λT C x > x∈X T có một nghiệm tối ưu Từ Định lý 2.2.1, LP (λ) : min λ C x có một x∈X nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu, cũng chính là nghiệm hữu hiệu của M OLP (2.17) do Định lý 2.1.1 Định nghĩa... bây giờ 18 Định lý 2.2.1 1 Nếu (2.11) thực hiện được, nghĩa là, X = ∅ thì một nghiệm cơ sở chấp nhận được tồn tại 2 Nếu có thêm hàm mục tiêu cT x bị chặn dưới trên X thì tồn tại một nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu 3 Một nghiệm cơ sở chấp nhận được (xB , 0) là tối ưu nếu cN ≥ 0 ¯ Nếu (xB , 0) là nghiệm tối ưu thì B được gọi là cơ sở tối ưu Cho B là một cơ sở và (xB , 0) là một nghiệm cơ... tập nghiệm tối ưu của LP với hàm mục tiêu thứ k Giả thiết rằng p ∩ Xk = ∅ k=1 Giả thiết này đảm bảo rằng không có phương án chấp nhận được nào mà tất cả p mục tiêu cùng đạt cực tiểu Cho λ ∈ Rp Ta xét bài toán tối ưu tuyến tính LP (λ) min λT Cx với (2.2) Ax = b x ≥ 0 Định lý 2.1.1 Cho x ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán (2.2) Khi đó ˆ 1 Nếu λ 0 thì x là nghiệm hữu hiệu yếu ˆ 2 Nếu λ > 0 thì x là nghiệm. .. ngẫu (định lý 2.1.2): (2.24) có một nghiệm tối ưu nếu và chỉ nếu đối ngẫu của nó là min uT b + ω T C x0 : uT A + ω T C ≥ 0, ω ≥ e (2.25) có môt nghiệm tối ưu (ˆ, ω ) với uT A + ω T C x0 = eT z Khi đó, u cũng u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 29 là nghiệm tối ưu của LP min {uT b : ω T A ≥ − ω T C} ˆ (2.26) mà từ (2.25) cho ω = ω cố định Như trong chứng minh của định lý ˆ 2.1.3, đối ngẫu của (2.26) có một nghiệm tối ưu và... 1 Nếu (ˆ, z ) là một nghiệm tối ưu của (2.5) thì x là một nghiệm hữu x ˆ ˆ hiệu của (2.1) 2 Nếu (2.5) không bị chặn thì S(X, Cx) = ∅ 2.2 Phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính đơn trị Mục đích phần này là xem xét phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính đơn trị Nhiều thông tin và chứng minh tham khảo sách viết về bài toán tuyến tính như [14] Xét bài toán tối ưu tuyến tính đơn trị min {cT... ta sử dụng trong chứng minh của ˆ định lý 2.1.3 Từ Bổ đề 2.1.1, M OLP min{Cx : A x = b, x ≥ 0} có một nghiệm hữu hiệu nếu và chỉ nếu LP max {eT z : A x = b, C x + I z = C x0 , x, z ≥ 0} (2.24) có một nghiệm tối ưu Hơn nữa, x trong nghiệm tối ưu của (2.24) là ˆ nghiệm hữu hiệu của M OLP Tuy nhiên, ta không biết rằng nếu x là ˆ một nghiệm cơ sở chấp nhận được của M OLP và trong trường hợp tổng quát,... toán tuyến tính phụ được giải min eT z với (2.16) Ax + z = b x, z ≥ 0 LP (2.16) luôn luôn thực hiện được và (x, z) = (0, b) là một nghiệm cơ sở chấp nhận được, bởi vì b ≥ 0 theo giả thiết tổng quát Mệnh đề 2.2.2 LP (2.11) là thực hiện được (nghĩa là, X = ∅) nếu và chỉ nếu LP phụ (2.16) có một nghiệm tối ưu (ˆ, z ) với z = 0 x ˆ ˆ 20 2.3 Phương pháp đơn hình cho bài toán đa mục tiêu tuyến tính Trong. .. = max bT u x∈X u∈U và bT u = cT x với bất kỳ nghiệm tối ưu x ∈ X của (2.3) và bất kỳ ˆ ˆ ˆ nghiệm tối ưu u ∈ U của (2.4) ˆ Bổ đề 2.1.1 Một nghiệm chấp nhận được x0 ∈ X là hữu hiệu nếu và chỉ nếu bài toán tuyến tính max eT z với (2.5) Ax = b C x + I z = C x0 x, z ≥ 0 ở đó, eT = (1, , 1) ∈ Rp và I là ma trận đơn vị cấp p × p, có một nghiệm tối ưu (ˆ, z ) với z = 0 x ˆ ˆ Chứng minh Cho (x,... có một nghiệm tối ưu (ˆ, ω ) với uT b + ω T C x0 = 0 u ˆ ˆ ˆ Chứng minh Chú ý rằng (2.6) là đối ngẫu của (2.5) Do đó (ˆ, z ) là x ˆ một nghiệm tối ưu của LP (2.5) nếu và chỉ nếu LP (2.6) có nghiệm tối ưu (ˆ, ω ) sao cho u ˆ eT z = uT b + ω T C x0 = 0 ˆ ˆ ˆ Với bổ đề 2.1.2 ta có thể chứng minh rằng tất cả các nghiệm hữu hiệu của M OLP (2.1) có thể tìm được bằng việc giải LP tổng trọng (2.2) Trong chứng... Dưới đây diễn tả thuật toán đơn hình đa mục tiêu để tìm tất cả các cơ sở hữu hiệu và tất cả các nghiệm cơ sở chấp nhận được hữu hiệu, ta cần phải tích trữ vào L1 là tập các cơ sở hữu hiệu trong quá trình thực hiện, L2 là tập các cơ sở hữu hiệu cho ra và εN là tập các biến phi cơ sở hữu hiệu Thuật toán 2.3.1 < Thuật toán đơn hình cho bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính> Vào : Dữ liệu A, b, c của một . tối ưu vectơ tuyến tính nên tôi đã chọn đề tài: " ;Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính& quot; cho nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về lý thuyết tối ưu. bày tổng quan về tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn tại nghiệm, phương pháp giải và tính ổn định nghiệm. 4 Chương 1 Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 1.1. THUỶ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 —————— —————— NGUYỄN THỊ THUỶ TÍNH ỔN ĐỊNH