nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc hai trên trường hữu hạn gồm chín phần tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Quân NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMODULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Quân NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMODULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, dựa vào kiến thức học trường, mà phải tự tìm hiểu, nghiên cứu; với động viên giúp đỡ nhiệt tình bạn bè, tập thể lớp Cao học Đại số Lý thuyết số k22 Đặc biệt giảng dạy hướng dẫn tận tình PGS.TS Bùi Xuân Hải Do đó, với tất lòng kính trọng biết ơn , xin gửi tới Thầy lời tri ân chân thành sâu sắc Đồng thời xin gửi lời cảm ơn quý thầy cô môn, Ban giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập thực luận văn Tôi không quên cảm ơn gia đình, người thân khuyến khích, động viên, giúp đỡ cách cách khác để hoàn thành luận văn Sau cùng, dù cố gắng thực hoàn thành luận văn không tránh khỏi mặt thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành quý thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 02 năm 2014 Nguyễn Minh Quân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các định lý Sylow 1.2 Nhóm đơn 1.3 Định lý Poincare 14 1.4 Cấp số nhóm tuyến tính trường hữu hạn 16 CHƯƠNG 2: NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMORDULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ 25 2.1 Các 3-nhóm Sylow G 25 2.2 Các 5-nhóm Sylow G 26 2.3 Các 2-nhóm Sylow G 26 2.4 Một số nhóm khác G 28 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 BẢNG KÝ HIỆU (a, b) – ước chung lớn hai số nguyên a, b k n – k ước n H ≤ G - H nhóm G H  G – H nhóm chuẩn tắc G 𝐾 ∗ − nhóm phần tử khả nghịch trường 𝐾 Fq - trường hữu hạn gồm q phần tử 𝑍(𝐺 ) − tâm 𝐺 |𝐺 | − cấp nhóm 𝐺 |𝑎| − cấp phần tử 𝑎 𝑎−1 − phần tử nghịch đảo phần tử 𝑎 𝐸 − ma trận đơn vị 𝑀𝑛 (𝐾) − vành ma trận vuông cấp 𝑛 𝐾 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 𝐾 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính đặc biệt bậc 𝑛 𝐾 PSL(n,K) – nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n K 𝜏𝑣,𝜌 (𝑥) − phép co 𝑡𝑖𝑗 (𝑎) − phép co sơ cấp 𝑆𝑛 − nhóm đối xứng bậc 𝑛 𝐴𝑛 − nhóm thay phiên bậc 𝑛 〈𝑎〉 − nhóm sinh 𝑎 [𝐺: 𝐻 ] − số H G 𝑦 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝑦𝑥 −phần tử liên hợp với 𝑦 nhóm 𝐻 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝐻𝑥 −nhóm liên hợp với 𝐻 𝑁𝐺 (𝐻 ) − chuẩn hóa tử H 𝐺 𝐺 ⁄𝐻 − nhóm thương G theo 𝐻 [𝑎, 𝑏] ≔ 𝑎−1 𝑏 −1 𝑎𝑏 −giao hoán tử 𝑎 𝑏 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm chuyên ngành quan trọng ngành toán lý thuyết nói chung Trong chương trình cao học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số hiểu biết, nắm bắt khối kiến thức Lý thuyết nhóm điều cần thiết cho thân môn học mà nhằm tạo điều kiện để nghhiên cứu môn học khác Nhằm tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu Lý thuyết nhóm, đặc biệt Lý thuyết nhóm hữu hạn, chọn cho đề tài luận văn cao học “nhóm nhóm tuyến tính xạ unimodular bậc hai trường hữu hạn gồm chín phần tử” Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu trình bày Định lý Sylow số ứng dụng; định nghĩa nhóm đơn số nhóm đơn; Định lý Poincare; Định lý Jordan-Dickson tính đơn nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt cấp số nhóm tuyến tính Chương 2: Nhóm nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc hai trường hữu hạn gồm chín phần tử Chương chủ yếu nói 2-nhóm Sylow; 3-nhóm Sylow; 5-nhóm Sylow PSL(2,9) số nhóm khác PSL(2,9) CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các định lý Sylow Định nghĩa 1.1.1 Cho G nhóm p số nguyên tố Khi đó: i) Nếu phần tử G có cấp lũy thừa p G gọi p-nhóm ii) Nếu H nhóm G H p-nhóm ta nói H p-nhóm G iii) Một p-nhóm tối đại G gọi p-nhóm Sylow G Tính chất 1.1.2: Nếu H  G G p-nhóm H G/H p-nhóm Chứng minh: Nếu G p-nhóm dễ thấy nhóm H G/H p-nhóm Ngược lại, giả sử H G/H p-nhóm, lấy g ∈ G g p ∈ H , với số n Khi đó, với số r n g p n+r = e suy g = p s Vậy G p-nhóm Tính chất 1.1.3: Cho H nhóm G, p số nguyên tố, P Q hai p-nhóm Sylow phân biệt H, P* ⊃ P, Q* ⊃ Q P* , Q* p-nhóm Sylow G P* ≠ Q* Chứng minh Giả sử P* = Q* P, Q p-nhóm H P < P, Q , điều mâu thuẫn Vậy P* ≠ Q* Ta gọi n p (G ) số p-nhóm Sylow Syl p (G ) tập hợp p-nhóm Sylow G Tính chất 1.1.4: Nếu H nhóm G p số nguyên tố n p ( H ) ≤ n p (G ) Chứng minh Gọi P ∈ Syl p ( H ) tồn P* ∈ Syl p (G ) để P* ⊃ P Theo Tính chất 1.1.3 ta suy n p ( H ) ≤ n p (G ) Định lý 1.1.5: (Định lý Sylow 1) Giả sử G = p m k với p số nguyên tố ( p, k ) = Khi với ≤ r ≤ m , tồn G nhóm có cấp p r Nói riêng, tồn G p − nhóm Sylow Định lý 1.1.6: (Định lý Sylow 2) Giả sử G nhóm hữu hạn p ước nguyên tố G Khi đó: Mọi p -nhóm H G nằm p -nhóm Sylow i) G ii) Tất p -nhóm Sylow G liên hợp với iii) Nếu r số p -nhóm Sylow G r ≡ (modp) Đinh lý 1.1.7: Giả sử G nhóm hữu hạn P p-nhóm Sylow G Khi đó: i) P p-nhóm Sylow G P chuẩn tắc G ii) [G: NG(P)] = np(G) Định lý 1.1.8 Cho nhóm G có cấp pq, với p, q hai số nguyên tố Khi i) Nếu 𝑝 = 𝑞 G nhóm aben Hơn nữa, G đẳng cấu với 𝑍𝑝2 G chứa phần tử cấp 𝑝2 đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 G không chứa phần tử cấp 𝑝2 ii) Nếu 𝑝 ≠ 𝑞 G không nhóm đơn Hơn nữa, q ≠ (mod p) G có p – nhóm Sylow chuẩn tắc Trong trường hợp G nhóm cyclic Chứng minh i) Với p = q, G nhóm aben Thật vậy, gọi 𝑍(𝐺 ) = {𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑥 ∈ 𝐺} tâm G C(a) = {x∈G: xa = ax} Trước hết ta chứng minh công thức: |𝐺 | = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], {xi}i∈Ilà phần tử không nằm tâm Xét tác động * : G×G→G, x*g = xgx-1, ∀x, g∈G nhóm G lên tập G Theo công thức = G Z (G ) + ∑ [G : Gx ] Mặt khác: phân tích thành quỹ đạo, ta có: i∈I i xi } {x ∈ G : xxi x −1 == xi } {x ∈ G : xxi = xi x} = C ( xi ) {x ∈ G : x * xi == Gxi =  G  xi ∈ Z (G ) ⇔ C ( xi ) = Như vậy, ta vừa chứng minh |𝐺 | = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], {xi}i∈I phần tử không nằm tâm Suy |𝑍(𝐺)| = |𝐺 | − ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], |𝑍(𝐺 )| chia hết cho p Mặt khác, 𝑍(𝐺 ) ≠ ∅ nên |𝑍(𝐺 )| ước p2 Khi |𝑍(𝐺 )| = 𝑝 |𝑍(𝐺 )| = 𝑝2 Nếu |𝑍(𝐺 )| = 𝑝 ta xét nhóm thương 𝐺/𝑍(𝐺), ta có |𝐺/𝑍(𝐺)| = 𝑝, suy 𝐺/𝑍(𝐺) =< 𝑥𝑍(𝐺) > Mặt khác |𝑍(𝐺 )| = 𝑝 nên 𝑍(𝐺 ) =< 𝑦 >, phần tử G có dạng 𝑔 = 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 Do tính giao hoán x y nên G giao hoán Còn |𝑍(𝐺 )| = 𝑝2 dễ thấy 𝑍(𝐺 ) = 𝐺 nên G giao hoán Vậy, G đẳng cấu với Z p G chứa phần tử cấp p2 đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 G không chứa phần tử cấp p2 ii) Giả sử p < q Theo Định lý Sylow, tồn nhóm A, B G cho |𝐴| = 𝑝 |𝐵| = 𝑞 Hơn nữa, A p – nhóm Sylow G, B q – nhóm Sylow G Mà nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố = A nhóm cyclic, nên ta xem = a ;B b với a, b ∈ G , cấp a p, cấp b q Gọi n p số p – nhóm Sylow G, nq số q – nhóm Sylow G Ta có nq = + kq, nq | p (do nq |pq (nq,q) = 1) (theo Định lý Sylow) p < q nên nq = Khi đó: B  G Vậy G không nhóm đơn Tương tự n p = + kp, n p | q Khi đó, ta có hai trường hợp Nếu 𝑛𝑝 = A nhóm chuẩn tắc G Ta chứng minh ab có cấp pq Thật vậy, ta có A∩ B = {e} (do p q nguyên tố nhau) ,mà aba −1b −1 ∈ A ∩ B (do A B nhóm chuẩn tắc G) nên ab = ba Khi đó, cấp a b nguyên tố nên ab có cấp pq Như 𝐺 = 〈𝑎𝑏〉 = 𝑍𝑝𝑞 (do G có cấp pq) Trong trường hai vào dòng đầu ta vị trí (1, 1) Trừ bội dòng đầu ta nhận cột đầu bên dường chéo Định thức thứ (1, 1) thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛 − 1, 𝐾) xử lí tương tự ta thu ma trận với dường chéo bên Hơn phép toán dòng đưa ma trận dạng đồng Do −1 −1 𝑇𝑘 𝑇𝑘−1 … 𝑇1 𝐴 = 1𝑛 với phép co biết 𝑇𝑖 , 𝐴 = 𝑇1−1 … 𝑇𝑘−1 𝑇𝑘 : Dĩ nhiên 𝑇𝑖−1 phép co phép co thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Định lý 1.4.5 Tâm SL(n, K ) GL(n,K) 𝑍(𝑛, 𝐾) Chứng minh Rõ ràng ma trận vô hướng giao hoán với ma trận 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) Ngược lại, cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) thuộc tâm 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) Viết 𝐸𝑖𝑗 ma trận sơ cấp cấp 𝑛 × 𝑛 với vị trí 𝑖𝑗 vị trí lại Như + 𝐸𝑖𝑗 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) 𝑖 ≠ 𝑗, A + 𝐸𝑖𝑗 giao hoán 𝐴𝐸𝑖𝑗 = 𝐸𝑖𝑗 𝐴 Hệ số thứ (𝑘, 𝑗) 𝐴𝐸𝑖𝑗 𝑎𝑘𝑖 𝐸𝑖𝑗 𝐴 𝑘 ≠ 𝑖 𝑎𝑗𝑗 trường hợp lại Do 𝑎𝑘𝑖 = 𝑘 ≠ 𝑖 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎𝑗𝑗 , suy A vô hướng Định lý 1.4.6 i) Tâm 𝐺𝐿(𝑉) 𝑍(𝑉) ii) Tâm 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) 𝑆𝑍(𝑛, 𝐾) Chứng minh i) Nếu 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) không phép biến đổi vô hướng có 𝑣 ∈ 𝑉 cho {𝑣, 𝑇𝑣} độc lập Mở rộng sở {𝑣, 𝑇𝑣, 𝑢3 , … , 𝑢𝑚 } V Dễ thấy {𝑣, 𝑣 + 𝑇𝑣, 𝑢3 , … , 𝑢𝑚 } sở V Do có phép biến đổi tuyến tính (không suy biến) 𝑆: 𝑉 → 𝑉 với 𝑆𝑣 = 𝑣, 𝑆(𝑇𝑣) = 𝑣 + 𝑇𝑣 𝑆𝑢𝑖 = 𝑢𝑖 với 𝑖 ≥ Bây T S không giao hoán, với 𝑇𝑆(𝑣) = 𝑇𝑣 𝑆𝑇(𝑣) = 𝑣 + 𝑇𝑉 Do 𝑇∉ 𝑍(𝐺𝐿(𝑉)), suy 𝑍(𝐺𝐿(𝑉 )) = 𝑍(𝑉 ) 18 ii) Giả sử 𝑇 ∈ 𝑆𝐿(𝑉), T không vô hướng, S phép biến đổi tuyến tính xây dựng i) Ma trận S tương sở {𝑣, 𝑇𝑣, 𝑢3 , … , 𝑢𝑚 } phép co sơ cấp 𝑡12 (1), det 𝑆 = 𝑆 ∈ 𝑆𝐿(𝑉) Theo i), 𝑇∉ 𝑍(𝑆𝐿(𝑉)) Tức, 𝑇 ∈ 𝑍(𝑆𝐿(𝑉 )) 𝑇 = 𝛼𝐸 với 𝛼 ∈ 𝐾 Cuối det(𝛼𝐸) = 𝛼 𝑚 , 𝛼 𝑚 = 1, 𝑆𝑍(𝑉 ) = 𝑍(𝑆𝐿(𝑉 )) Định lý 1.4.7 Nếu 𝑛 > hai phép co liên hợp với 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Chứng minh Trước hết ta xét phép co + 𝑎𝐸𝑖𝑗 + 𝑏𝐸𝑖𝑗 đặt 𝑐 = 𝑎−1 𝑏 Gọi D ma trận chéo cấp 𝑛 × 𝑛 với vị trí (𝑖, 𝑖), c vị trí (𝑗, 𝑗), 𝑐 −1 vị trí đường chéo vị trí lại đường chéo Khi 𝐷 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) 𝐷−1 �1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 �𝐷 = + 𝑏𝐸𝑖𝑗 Bây xét phép co + 𝑎𝐸𝑖𝑗 + 𝑎𝐸𝑟𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑟 Gọi P ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 khác 1𝑛 chổ vị trí (𝑟, 𝑖) vị trí (𝑖, 𝑖) (𝑟, 𝑟) Khi 𝑃 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Ta tính 𝑃−1 �1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 �𝑃 = + 𝑎𝐸𝑟𝑗 , 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑟 Tương tự 𝑄−1 �1+ 𝑎𝐸𝑟𝑗 �𝑄 = + 𝑎𝐸𝑟𝑠 , Q ma trận dạng với P Suy tất phép co liên hợp với 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Định lý 1.4.8 Nếu N nhóm chuẩn tắc 𝑆𝐿(2, 𝐾) chứa phép co 𝑁 = 𝑆𝐿(2, 𝐾) Chứng minh Lấy �1 𝑎� ∈ 𝑁, 𝑎 ≠ Ta chứng minh �1 𝑥 � ∈ 𝑁 với 𝑥 ∈ 𝐾 −1 Từ suy N chứa �0 −1� �1 𝑥 � �0 −1� = � 1 0 1 𝑁 = 𝑆𝐿(2, 𝐾) Do ta giả thuyết |𝐾| > −𝑥 �, theo 3.3.4 ta −1 0�, ta �1 𝑎𝑥 � Hơn N chứa ma trận Liên hợp �1 𝑎� với �𝑥 �1 0 𝑎𝑥 � �1 1 −1 𝑎𝑦 � = �1 𝑥 𝑎(𝑥 − 𝑦 )�, với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾 19 (1) Nếu K có đặc trưng khác 𝑏 = (2−1 (𝑏 + 1))2 − (2−1 (𝑏 − 1))2 , phần tử K khác bình phương kết suy từ (1) Giả sử K có đặc trưng Trong trường hợp N chứa �1 𝑟 � 1 𝑎 � thỏa 𝑎−1 𝑟 bình phương K Liên hợp ma trận 1 1 � � � � � � tương ứng Do N chứa −1 −𝑟 −𝑎 � � −𝑎 �� 𝑚 �� −𝑟 − 𝑚𝑟 �=� 𝑎𝑚𝑟 − 𝑎 − 𝑟 𝑚 �, − 𝑎𝑚 𝑎−1 𝑚 bình phương Giả sử ta chọn 𝑟 𝑚 để 𝑎𝑚𝑟 = 𝑎 + 𝑟 Khi N chứa 𝑦 tùy ý �� − 𝑚𝑟 𝑚 �,� − 𝑎𝑚 −𝑦 �� = �1 𝑚𝑦(1 − 𝑎)(1 − 𝑚𝑟)−1 � (2) Chọn 𝑙 ∈ 𝐾 ∗ cho 𝑙4 = 𝑙 tồn tất lũy thừa bốn 𝐾 ∗ 𝑙 |𝐾| = Đặt 𝑚 = 𝑎−1 (1 + 𝑙−1 ) 𝑟 = 𝑎𝑙2 Điều thỏa 𝑎𝑚𝑟 = 𝑎 + 𝑟 𝑎−1 𝑚 = (𝑎−1 (1 + 𝑙−1 ))2 , chọn lựa 𝑚 𝑟 Khi 𝑚𝑦(𝑟 − 𝑎)(1 − 𝑚𝑟)−1 = 𝑦(𝑙 −4 − 1), điều bao quát tất K giá trị 𝑦 Kết suy từ (2) Định lý 1.4.9 Cho N nhóm chuẩn tắc 𝑆𝐿(2, 𝐾) không chứa tâm |𝐾| > Khi 𝑁 = 𝑆𝐿(2, 𝐾) Chứng minh Vì N bị thay liên hợp 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) cần nên ta giả thiết N chứa phần tử không tâm A dạng tắc hữu tỉ Theo 1.4.8, ta giả thiết N không chứa phép co Trước hết giả sử 𝐴 = �𝑎 0 �, 𝑎 ≠ 𝑎−1 Nếu 𝐵 = � 𝑎−1 � N phải chứa −2 hoán tử [𝐴, 𝐵] = 𝐴−1 𝐵−1 𝐴𝐵 = �1 − 𝑎 � Đây phép co 𝑎2 ≠ 1 20 Suy A phải có dạng �0 1� Ở 𝑏 = det 𝐴 = Giao hoán tử �𝐴−1 , �1 −1 �𝑥 0 −1 � −𝑥 �� = � −𝑥 −𝑥 −1 � � −1 𝑥 −1 � � −1 2+𝑥 𝑏 𝑎 −𝑥 � ∈ 𝑁, với 𝑥 ∈ 𝐾 Liên hợp ma trận + 𝑥4 � Do N chứa ma trận + 𝑥4 1 4� = � 2+𝑦 𝑥 − 𝑦 �, với 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ Vì N không chứa phép co nên lũy thừa bậc bốn phần tử khác không K Nhưng đa thức 𝑡 − có nhiều bốn nghiệm K Do |𝐾| = 𝑞 hữu hạn 𝑞 − ≤ Vì 𝑞 > theo giả thiết nên 𝑞 = Trường hợp đòi hỏi chứng minh đặc biệt −1 � −2 � � −1 Ta biết N chứa � −1 �, việc cho 𝑥 = N chứa hoán tử −1 −2 −2 −2 𝑎 −1 � =� �, � � 𝑞 = Liên hợp � � � � 𝑎 −2 −2 −1 � thuộc 𝑆𝐿(2,5) � � N Sau N chứa −1 −1 1 −1 � � −1 1 �=� �, phép co Định nghĩa 1.4.10: Ta nói nhóm G GLn ( K ) bất biến phép biến đổi unimodular, σ Gσ −1 ≤ G, ∀σ ∈ SLn ( K ) Định lý 1.4.11: Giả sử n ≥ n = K chứa không phần tử Nếu G nhóm GLn ( K ) , bất biến phép biến đổi unimodular, G không nằm tâm GLn ( K ) G chứa SLn ( K ) Định lý 1.4.11 nhằm để chứng minh Định lý Jordan-Dickson Đi chứng minh Định lý 1.4.11 phước tạp vượt khả luận văn cao học, nên ta tham khảo [2], Định lý 6.4.4, trang 137 21 Định lý 1.4.12: (Jordan-Dickson): PSLn ( K ) nhóm đơn, ngoại trừ nhóm PSL2 ( F2 ) PSL2 ( F3 ) Chứng minh Giả sử H nhóm chuẩn tắc PSLn ( K ) Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : SLn ( K ) → SLn ( K ) / Ζ0 =PSLn ( K ) Đặt G = ϕ −1 ( H ) Khi đó, G SLn ( K ) Nếu G ⊆ Z H = Nếu G ⊄Z theo Định lý 1.4.11, G = SLn ( K ) , ngoại trừ trường hợp n = , K = F2 K = F3 Do H = PSLn ( K ) Theo định lý tiếng Wedderburn vành chia hữu hạn trường Bây ta xét K trường hữu hạn Ký hiệu GL(n, q ) , SL(n, q ) PSL(n, q ) tương ứng nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc n trường hữu hạn K = Fq gồm q phần tử Định lý 1.4.13: n i) Cấp GL(n,q) q n ( n −1)/2 ∏ (q i − 1) ii) Cấp SL(n,q) q n ( n −1)/2 ∏ (q i − 1) i =1 n i =2 iii) Cấp PSL(n,q) n ( n −1)/2 n i q ∏ (q − 1) , d ước chung lớn i =2 d n q-1 Chứng minh (i) Gọi V không gian vectơ n chiều Fq, {e1,…, en} sở V σ ∈ GL(V ) Đặt = ei' σ (ei ), ∀1 ≤ i ≤ n 22 Khi đó, {e1' , , en' } sở V Phần tử ei' chọn từ q n − phần tử khác V Giả sử ta chọn vectơ e1' , , ei' (i < n) Các vec tơ sinh không gian số chiều i, nên gồm q i phần tử Ta chọn vec tơ nằm không gian để làm vec tơ ei'+1 Có q n − q i khả chọn Vậy, tổng khả để chọn vec tơ {e1' , , en' } (q − 1)(q − q ) (q = −q ) q n n n −1 n n ( n −1)/2 n ∏ (q n − 1) i =1 Hiển nhiên cấp GL(n,q) (ii) Đặt K=Fq Rõ ràng SL(n,q) nhân toàn cấu det : GL(n, q) → K * Do SL(n, q ) = n GL(n, q ) GL(n, q ) n ( n −1)/2 q (q i − 1) = = ∏ * K q −1 i =2 (iii) Mỗi phần tử thuộc tâm SL(n,q) có dạng [α,…, α], với α ∈ K * thỏa α n = Do cấp Z(SL(n,q)) số nghiệm phương trình Xn=1 K* Trước hết nhận xét K * = q − nên ∀x ∈ K * , x q −1 =1 Do đa thức X q −1 phân rã thành nhân tử tuyến tính khác K Đặt= d (n, q − 1) ước chung lớn n q-1 Khi đó, tồn số nguyên r s cho d=nr + (q-1).s Từ αn = suy α d =⇔ Vậy, thay tìm số nghiệm khác phương trình Xn=1 K*, ta tìm số nghiệm khác phương trình α d = K* Đa thức X q −1 -1 có q-1 nghiệm khác K* nên X d − (là ước X q −1 -1) phải có d nghiệm khác K* Do đó, Z ( SL(n, q )) = d suy 23 PSL(n, q ) = SL(n, q ) d 24 CHƯƠNG 2: NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMORDULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ Đặt G = PSL(2,9) Khi theo Định lý 1.4.13 ta có n ( n −1) n 1 q Π (qi = 9.(92 = = −1) −1) 360 G = i (n, q −1) Trong Lý thuyết nhóm hữu hạn có kết nói tất nhóm đơn cấp 360 đẳng cấu với Theo Định lý 1.4.12 PSL(2,9) nhóm đơn Do A6 nhóm đơn cấp 360, PSL(2,9) ≅ A6 2.1 Các 3-nhóm Sylow G Mệnh đề 2.1: G có 10 3-nhóm Sylow Mọi 3-nhóm Sylow G đẳng cấu với  ×  Chứng minh G 360 = 23.32.5 Gọi n3 số 3-nhóm Sylow G Vì G Ta có = nhóm đơn, nên theo Định lý 1.2.2 n3 >1 Theo Định lý Sylow ta có n3 40 n3 ≡ (mod3) nên n3=4 n3=10 n3=40 Gọi P 3-nhóm Sylow G cấp P Nếu n3=4, theo Định lý 1.1.7, G : NG ( P )  = Do G có nhóm số 4, theo Hệ 1.3.6, suy cấp G ước 4!=24, điều vô lý với cấp G 360 Nếu n3 = 40 G : NG ( P )  = 40 hay N G ( P ) = Do P = NG ( P ) Hơn nữa, P NG ( P ) nên P = NG ( P ) Vì P = nên theo Định lý 1.1.8, P nhóm aben Do P ≤ CG ( P ) , suy P = CG ( P ) Vậy, NG ( P =) P= CG ( P ) Theo định lí 1.2.11, suy G không nhóm đơn, điều trái với giả thiết Vậy n3=10 hay G có 10 3-nhóm Sylow Mặt khác, 3-nhóm Sylow G có cấp Nhưng G ≅ A6 A6 phần tử cấp 9, nên G phần tử cấp Vậy theo Định lý 1.1.8, 3-nhóm Sylow G đẳng cấu với  ×  25 2.2 Các 5-nhóm Sylow G Mệnh đề 2.2: G có 36 5-nhóm Sylow Chứng minh Do PSL(2,9) ≅ A6 , nên số 5-nhóm Sylow G số 5-nhóm Sylow A6 Dưới ta mô tả tất 5-nhóm Slow A6 Vì 360 = 23.32.5 nên 5-nhóm Sylow A6 có cấp 5, nghĩa sinh phần tử cấp Rõ ràng phần tử cấp A6 có dạng 5-chu trình, nên 5-nhóm Sylow A6 có dạng ( a1a2a3a4a5 ) Bây giờ, ta xác định xem có tất 5-nhóm Sylow Để làm điều này, trước hết ta tính số phần tử cấp A6 Đặt X = {1,2,3,4,5,6} Số tập gồm phần tử X C65 = Xét tập gồm phần tử {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ⊂ X Ta có ( a1a2 a3a4 a5 ) chu trình độ dài nhận từ tập gồm phần tử nói Cố định a1 hoán vị vị trí phần tử a2 , a3 , a4 , a5 ta nhận tất 4! = 24 chu trình độ dài từ tập nói Như A6 có tất 6.24 = 144 chu trình độ dài Do nhóm cấp A6 chứa phần tử cấp khác nên số nhóm cấp A6 144 : = 36 Vậy, A6 có 36 5-nhóm Sylow 2.3 Các 2-nhóm Sylow G Bổ đề 2.3: Chuẩn hóa tử nhóm cấp G nhóm cấp 10 Chứng minh Gọi P nhóm G P = Vì n5 (G ) = 36 nên theo Định lý 1.1.7, suy [G : NG ( P)] = 36 Do đó, N G ( P) = 10 Bổ đề 2.4: G nhóm cấp 40 Chứng minh 26 Giả sử H nhóm cấp 40 G Do 40=5.8 nên theo Định lý Sylow, n5 ( H ) = Gọi P 5-nhóm Sylow H P = Theo Định lý 1.1.7, P chuẩn tắc H, suy H ≤ N G ( P) Theo Bổ đề 2.3, N G ( P) = 10 , điều mâu thuẫn với cấp H 40 Bổ đề 2.5: Mọi 2-nhóm Sylow G tự chuẩn hóa Chứng minh Ta có 360 = 23.32.5 Gọi n2 số 2-nhóm Sylow G Theo Định lý Sylow, n2 ∈ {1,3,5,9,15,45} Do G nhóm đơn nên n2 ≠ Gọi P 2-nhóm Sylow G đặt H = N G ( P) Theo Định lý 1.1.7, [G : H ] = n2 , suy G có nhóm số n2 Theo Hệ 1.3.6, cấp G ước n2! nên n2 ≠ 3;5 Do n2 ∈ {9,15,45} suy H ∈ {8;24;40} Theo Bổ đề 2.4, H ≠ 40 Vậy H ∈ {8;24} Giả sử H = 24 Vì P H = N G ( P) nên P 2-nhóm Sylow H Vì G ≅ A6 mà A6 có phần tử cấp 1,2,3,4,5 nên H có phần tử cấp 1,2,3,4 Do P nhóm cấp H nên phần tử nằm P có cấp 3, nghĩa H có 24-8=16 phần tử cấp Mặt khác, theo Định lý Sylow, H có tối đa nhóm cấp 3, H có không phần tử cấp Điều mâu thuẫn chứng tỏ H ≠ 24 , kéo theo H = Do P 2-nhóm Sylow G nên H N= P = Mà P H suy= P Vậy, 2-nhóm Sylow G tự G ( P) chuẩn hóa Hệ 2.6: G có 45 2-nhóm Sylow Chứng minh Với P 2-nhóm Sylow G, P = Khi đó, = n2 ) ] [G := P] [G : NG ( P= 360 = 45 27 2.4 Một số nhóm khác G Bổ đề 2.7: Mọi nhóm đơn cấp 60 đẳng cấu với A5 Chứng minh Giả sử B nhóm đơn cấp 60=22.3.5 Theo Định lý Sylow n2 ( B) 15 n2 ( B ) ≡ 1(mod2) , suy n2 ( B ) = 1,3,5,15 Nhưng B nhóm đơn nên n2 ( B ) ≠ Gọi P 2-nhóm Sylow B Khi n2 ( B ) =  B : N B ( P )  = Do B có nhóm có số 3, theo Hệ 1.3.6, suy cấp B ước 3!, điều vô lý Nếu n2 ( B ) = 15  B : N B ( P )  = 15 hay N B ( P ) = Do P = N B ( P ) Hơn nữa, P N B ( P ) nên P = N B ( P ) Vì P = nên theo Định lý 1.1.8, P nhóm aben Do P ≤ CB ( P ) , suy P = CB ( P ) Vậy, N B ( P =) P= CB ( P ) Theo Định lí 1.2.11, suy G không nhóm đơn, điều trái với giả thiết Vậy, n2 ( B ) = suy  B : N B ( P )  = Do B có nhóm có số Theo Định lý 1.3.5, B nhúng vào S5 Gọi B* nhóm S5 đẳng cấu với B Khi * B= B= 60, suy  S5 : B*  = Do B* nhóm chuẩn tắc S5 Nếu B* ∩ A5 = B* chứa phép lẻ, điều mâu thuẫn với B*  S5 Vì B* ∩ A5 ≠ , mà A5 nhóm đơn nên B* ∩ A5 = A5 suy B* = A5 Do đó, B ≅ A5 Vậy nhóm đơn cấp 60 đẳng cấu với A5 Hệ 2.8: Nhóm PSL(2,5) nhúng vào G Chứng minh Theo Định lý Jordan-Dickson, PSL(2,5) nhóm đơn Và theo Định lý 1.4.13, PSL(2,5) n ( n −1) n 1 = q ∏ (q i − 1) =.5.(52 − 1) 60 nên theo Bổ đề 2.7, PSL(2,5) ≅ (n, q − 1) i =2 A5 Mà A5 nhúng vào A6 A6 ≅ PSL(2,9) Do đó, PSL(2,5) nhúng vào PSL(2,9) 28 Định lý 2.9: Mọi nhóm cấp 24 G đẳng cấu với S4 Để chứng minh định lý ta cần số kết sau đây: Định nghĩa 2.10: Cho σ ∈ Sn σ = σ 1σ σ m phân tích σ thành tích chu trình độc lập, σ i = ki σ i = (ai1 ai2 aik ) Khi đó, với τ ∈ Sn , τ = τ 1τ τ m τ i , ∀i ∈1, m ta nói σ τ có cấu trúc chu trình σ = i Bổ đề 2.11: Cho σ = (ai1 ai2 aik ) k-chu trình τ ∈ Sn Khi đó, τστ −1 ( ) k-chu trình Nói xác τστ −1 = τ (ai1 )τ (ai2 ) τ (aik ) Mệnh đề 2.12: Cho σ ,τ ∈ Sn Khi đó, σ τ có cấu trúc chu trình σ τ liên hợp với Sn , nghĩa tồn γ ∈ Sn cho τ = γσγ −1 Chứng minh Giả sử σ τ liên hợp với Sn Khi với σ = σ 1σ σ m −1 = = τ γσγ (γσ 1γ −1 )(γσ 2γ −1 ) (γσ mγ −1 ) Theo Bổ đề 2.11, σ τ có cấu trúc chu trình Ngược lại, giả sử σ = σ 1σ σ m , τ = τ 1τ τ m có cấu trúc chu trình, σ i = (ai1 ai2 aik ) , τ i (bi1 bi2 bik ), ∀i ∈1, m Gọi γ ∈ Sn cho = γ (ai )= bi , ∀i ∈1, m, j ∈ i1 , ik j j i γ ( x) = x, ∀x ≠ j Khi đó, kiểm chứng τ = γσγ −1 Bổ đề 2.13: Cho σ ∈ An Nếu tồn phần tử τ ∉ An cho στ = τσ tất phần tử có cấu trúc chu trình với σ thuộc An liên hợp với An Chứng minh 29 Trước hết ta dễ dàng có, τστ −1= σ ⇒ ∀i ∈ ,τ iστ − i= σ i Xét γ ∈ Sn Theo Mệnh đề 2.12, γ có cấu trúc chu trình với σ γ = ασα −1 với α ∈ Sn Vì S= An ∪ Anτ nên α = βτ i , với β ∈ An ; i = 0,1 Do n = γ β (τ iστ −= ) β −1 βσβ −1 ∈ An Điều cho phép ta kết luận phần tử có cấu trúc chu trình với σ nằm An liên hợp với An Hệ 2.14: Số nhóm cấp An n! (n − 3)!3! Hệ qủa 2.15: Chẩn hóa tử nhóm cấp An có cấp (n − 3)!3 Chứng minh Gọi P nhóm cấp An Khi  An : N An ( P)  số nhóm An liên hợp với P An Theo Bổ đề 2.13, ta có  An : N An ( P)  số nhóm cấp An Từ suy N An ( P= ) An =  An : N An ( P)  n! n! ( n −3)!3! = (n − 3)!3 Hệ 2.16: Chuẩn hóa tử nhóm cấp A6 nhóm cấp 18 Sau ta chứng minh Định lý 2.9 Giả sử K nhóm cấp 24 G Gọi P nhóm cấp K Nếu P K K ≤ N G ( P) , điều mâu thuẫn với hệ 2.16 Vậy K có nhóm cấp Đặt H = N K ( P) , ta có [ K : H ] = suy H = Theo Mệnh đề 1.3.2, H K  H suy H K = 1,2,3 Do nhóm cấp K không chuẩn tắc nên H K ≠ Nếu H K = H = P.H K tích trực tiếp P H K Do đó, H nhóm xyclic cấp 6, điều mâu thuẫn A6 phần tử cấp Vậy H K = 1.Theo Hệ 1.3.4, K đẳng cấu với S4 30 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tìm hiểu, mô tả số p-nhóm Sylow PSL(2,9), số nhóm khác PSL(2,9) Đồng thời số mối liên hệ nhóm với nhóm khác Cụ thể ta thu kết sau: - Nhóm PSL(2,9) có tất 10 3-nhóm Sylow - Nhóm PSL(2,9) có tất 36 5-nhóm Sylow - Nhóm PSL(2,9) có tất 45 2-nhóm Sylow - Nhóm PSL(2,5) nhúng vào PSL(2,9) - Mọi 3-nhóm Sylow PSL(2,9) đẳng cấu với  ×  - Mọi nhóm cấp 24 PSL(2,9) đẳng cấu với S4 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số đại, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Bùi Xuân Hải (2011) , Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Joseph J Rotman (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York W.R.Scott, Group Theory, Dover Publications,INC, New York 32 [...]... ngoại trừ các trường hợp khi n = 2 , K = F2 hoặc K = F3 Do đó H = PSLn ( K ) Theo một định lý nổi tiếng của Wedderburn thì mọi vành chia hữu hạn đều là trường Bây giờ ta xét K là trường hữu hạn Ký hiệu GL(n, q ) , SL(n, q ) và PSL(n, q ) tương ứng là các nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt và nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc n trên trường hữu hạn K = Fq gồm q phần tử Định lý 1.4.13:... 1.4.1: Nhóm tuyến tính tổng quát 𝐺𝐿(𝑉) là nhóm tất cả ánh xạ tuyến tính không suy biến trên V Một ma trận (hoặc phép biến đổi tuyến tính) có định thức 1 được gọi là unimodular Nhóm tuyến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑉) là nhóm con của 𝐺𝐿(𝑉) gồm tất cả các phép biến đổi unimodular Ký hiệu Z(V) gồm tất cả các phép biến đổi vô hướng, 𝑆𝑍(𝑉) gồm tất cả các phép biến đổi vô hướng unimodular Khi đó ta định nghĩa Nhóm tuyến. .. 24 CHƯƠNG 2: NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMORDULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ Đặt G = PSL(2,9) Khi đó theo Định lý 1.4.13 ta có n ( n −1) n 1 1 q 2 Π (qi = 9.(92 = = −1) −1) 360 G = i 2 (n, q −1) 2 Trong Lý thuyết nhóm hữu hạn có một kết quả nói rằng tất cả các nhóm đơn cấp 360 đều đẳng cấu với nhau Theo Định lý 1.4.12 thì PSL(2,9) là nhóm đơn Do A6 cũng là nhóm đơn cấp... các 3 -nhóm con Sylow Mặt khác, mọi 3 -nhóm con Sylow của G có cấp 9 Nhưng do G ≅ A6 và A6 không có phần tử cấp 9, nên G không có phần tử cấp 9 Vậy theo Định lý 1.1.8, mọi 3 -nhóm con Sylow của G đều đẳng cấu với  3 ×  3 25 2.2 Các 5 -nhóm Sylow của G Mệnh đề 2.2: G có 36 các 5 -nhóm con Sylow Chứng minh Do PSL(2,9) ≅ A6 , nên số các 5 -nhóm con Sylow của G cũng chính là số các 5 -nhóm con Sylow của A6... cấp 5 của A6 chỉ chứa đúng 4 phần tử cấp 5 khác nhau nên số các nhóm con cấp 5 của A6 là 144 : 4 = 36 Vậy, A6 có 36 các 5 -nhóm con Sylow 2.3 Các 2 -nhóm con Sylow của G Bổ đề 2.3: Chuẩn hóa tử của nhóm con cấp 5 của G là nhóm con cấp 10 Chứng minh Gọi P là nhóm con của G và P = 5 Vì n5 (G ) = 36 nên theo Định lý 1.1.7, suy ra [G : NG ( P)] = 36 Do đó, N G ( P) = 10 Bổ đề 2.4: G không có nhóm con cấp... tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑉) = 𝐺𝐿(𝑉)/𝑍(𝑉), Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt 𝑃𝑆𝐿(𝑉) = 𝑆𝐿(𝑉)/𝑆𝑍(𝑉), Chọn một cơ sở được sắp {e1 , , en } của V, khi đó mỗi 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) xác định một ma trận, trong đó 𝑇𝑒𝑗 = ∑𝑖 𝛼𝑖𝑗 𝑒𝑖 (cột thứ j của A gồm các tọa độ của 𝑇𝑒𝑗 ) Ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.4.2: Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên K 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗 � ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗 � ≠ 0} Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc. .. tập con gồm 5 phần tử của X là C65 = 6 Xét một tập con bất kỳ gồm 5 phần tử {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ⊂ X Ta có ( a1a2 a3a4 a5 ) là một chu trình độ dài 5 nhận được từ tập gồm 5 phần tử nói trên Cố định a1 và hoán vị vị trí của các phần tử a2 , a3 , a4 , a5 ta sẽ nhận được tất cả 4! = 24 chu trình độ dài 5 từ tập con nói trên Như vậy trong A6 có tất cả 6.24 = 144 chu trình độ dài 5 Do mỗi nhóm con. .. tất cả các 5 -nhóm con Slow của A6 Vì 360 = 23.32.5 nên mọi 5 -nhóm con Sylow của A6 đều có cấp 5, nghĩa là nó sinh ra bởi một phần tử cấp 5 Rõ ràng mỗi phần tử cấp 5 của A6 đều có dạng một 5-chu trình, nên các 5 -nhóm con Sylow của A6 đều có dạng ( a1a2a3a4a5 ) Bây giờ, ta sẽ xác định xem có tất cả bao nhiêu 5 -nhóm con Sylow như vậy Để làm điều này, trước hết ta tính số các phần tử cấp 5 của A6 Đặt X... một số mối liên hệ của các nhóm con này với các nhóm khác Cụ thể ta đã thu được các kết quả như sau: - Nhóm PSL(2,9) có tất cả 10 các 3 -nhóm con Sylow - Nhóm PSL(2,9) có tất cả 36 các 5 -nhóm con Sylow - Nhóm PSL(2,9) có tất cả 45 các 2 -nhóm con Sylow - Nhóm PSL(2,5) có thể nhúng được vào PSL(2,9) - Mọi 3 -nhóm con Sylow của PSL(2,9) đều đẳng cấu với  3 ×  3 - Mọi nhóm con cấp 24 của PSL(2,9) đều đẳng... chỉ có các phần tử cấp 1,2,3,4 Do P là nhóm con cấp 8 duy nhất của H nên mọi phần tử nằm ngoài P đều có cấp 3, nghĩa là H có 24-8=16 phần tử cấp 3 Mặt khác, theo Định lý Sylow, H có tối đa 4 nhóm con cấp 3, do đó H có không quá 8 phần tử cấp 3 Điều mâu thuẫn này chứng tỏ H ≠ 24 , kéo theo H = 8 Do P là 2 -nhóm con Sylow của G nên ra H N= P = 8 Mà P H suy= P Vậy, mọi 2 -nhóm con Sylow của G đều tự ... nghĩa nhóm đơn số nhóm đơn; Định lý Poincare; Định lý Jordan-Dickson tính đơn nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt cấp số nhóm tuyến tính Chương 2: Nhóm nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc hai trường. .. 1.2 Nhóm đơn 1.3 Định lý Poincare 14 1.4 Cấp số nhóm tuyến tính trường hữu hạn 16 CHƯƠNG 2: NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMORDULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Quân NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMODULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ Chuyên ngành: Đại số