Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn

Trờng đại học vinh Khoa toán - - Nguyễn thị thu hà nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt trờng hữu hạn khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán lớp: e1-khoá 41 Cán hớng dẫn khoa học: PGS.TS Vinh, 2005 Lê Quốc Hán hK oá luận tốt nghiệp Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiệu ý nghĩa AB A tập B Nhóm sinh tập S Ai i =1 Hợp tập hợp Ai, i = 1,2 Ai Giao tập hợp Ai, i = 1,2 [a,b] Hoán tử a b [G,G] Hoán tập G A Lực lợng tập hợp A AB Tập hợp A đẳng cấu với tập hợp B i =1 Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp Lời nói đầu Nhóm ma trận đóng vai trò quan trọng Toán học nói riêng ngành khoa học khác Trong tài liệu nói nhóm biết, tác giả chủ yếu xét nhóm ma trận trờng số thực trờng số phứclà trờng vô hạn Dựa kết biết đó, khảo sát nhóm ma trận trờng hữu hạn thu đợc kết đáng quan tâm mà trình bày khoá luận Khoá luận đợc trình bày thành ba phần: Đ1: Nhắc lại số tính chất đơn giản trờng hữu hạn để làm sở cho tiết sau Đ2: Trình bày nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt (ĐN 2.3) trờng hữu hạn Từ xét tính chất quan trọng nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt trờng hữu hạn (Mệnh đề 2.4; mệnh đề 2.5; mệnh đề 2.10; mệnh đề 2.13; hệ 2.14) Đ3: Nghiên cứu nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn, nhóm thơng nhóm tuyến tính đặc biệt tâm Các kết đáng quan tâm nhóm đợc trình bày mệnh đề 3.2; mệnh đề 3.3; định lý 3.6; hệ 3.7; mệnh đề 3.9 mệnh đề 3.10 Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo- PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình chu đáo góp ý thiết thực cho trình hoàn thành khoá luận Chúng xin cảm ơn thầy giáo cô giáo tổ Đại số bạn sinh viên động viên, giúp đỡ hoàn thành khoá luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót, mong nhận đợc đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận đợc hoàn thiện Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán Tác giả hK oá luận tốt nghiệp Đ1 Một số tính chất đơn giản trờng hữu hạn 1.1 Mệnh đề Giả sử vành số nguyên modn, n> Khi n trờng n số nguyên tố Chứng minh Giả sử trờng n hợp số, tồn p, q nguyên cho < p, q < n p.q = n Khi đó: p.q = p.q = n = , p 0, q p q ớc không n, mâu thuẫn với n trờng Do n số nguyến tố Đảo lại: Giả sử n số nguyến tố k (0 < k < n) Khi (n, k) = nên l, m nl + km = = nl + km = n.l + k m = l + k m = k m Suy m nghịch đảo k Vì n vành giao hoán có đơn vị, phần tử khác không khả nghịch nên n trờng 1.2 Định nghĩa Giả sử K trờng với phần tử đơn vị e Nếu với số nguyên m 0, ta có me ta nói trờng K có đặc số không Nếu tồn số nguyên dơng nhỏ p cho pe = ta nói trờng K có đặc số p 1.3 Mệnh đề i) Đặc số trờng K tuỳ ý không, số nguyên tố ii) Đặc số trờng p p (trong p số nguyên tố) Chứng minh Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp i) Giả sử K có đặc số không p số nguyên dơng nhỏ thoả mãn điều kiện pe = Vì e nên p > Nếu p hợp số p = m.n với m, n số nguyên dơng thoả mãn điều kiện p = m.n; < m < p, < n < p Vì e = e nên (me).(ne) = mne = pe = me = ne = (vì K trờng) Suy mâu thuận với cách chọn p số nguyên tố dơng nhỏ thoả mãn pe = Vậy p số nguyên tố ii) Rõ ràng, p là số nguyên tố nhỏ thoả mãn điều kiện p.1 = p = nên đặc số p p 1.4 Mệnh đề Mọi trờng có trờng nhỏ (theo quan điểm bao hàm) đẳng cấu với trờng số hữu tỷ với trờng p, p số nguyên tố Chứng minh Giả sử trờng K có đặc số không Khi ánh xạ : K xác định bởi: r , m, n cho n > 0, (m, n) = r = m n Đặt (r) = (me).(ne)-1 Khi đơn cấu từ vào K Thật vậy: : K; (r) = (me).(ne)-1. ; m,n : n > 0, (m,n) = 1, r = Ta có: r, s , với r = m n m l , s = , m, n, l, t , (m, n) = 1, (l, t) = 1, t n n > 0, t > Ta có: r + s = m l mt + ln + = n t nt mt + ln = [(mt + ln)e](nte)-1 = (mte + lne)(nte)-1 Suy (r + s) = nt = (mte)(nte)-1 + (lne)(nte)-1 Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp = m.e.t.e-1.t-1.n-1+l.e.n.e-1.t-1.n-1 = met.t-1.e-1.n-1 + len.n-1.e-1.t-1 (vì n > 0, t > n-1, t-1 phép nhân giao hoán đợc) = me.(ne)-1 + le.(te)-1 = (r) + (s) Suy (r + s) = (r) = (s) r, r= (*) m , (m,n) = 1; m, n , n > n K ta có r = m m = n n (r) = (me)(ne)-1 = (me).(ne)-1 = .(r) (**) Từ (*) (**) suy : K (r) = (me)(ne)-1 đồng cấu từ vào K (***) Mặt khác: Ker = { r | (r) = eK} ={ m | (me)(ne)-1 = e} n ={ m m | = e}= {e} n n Suy đơn ánh từ vào K (****) Từ (***) (****) ta suy đơn cấu từ vào K Do P = Im trờng K Ta chứng minh P trờng nhỏ K ( P Q) Thật vậy: Giả sử P trờng K thoả mãn P Q Ta chứng minh P P Do P Q tồn đơn cấu trờng : Q P, Ta có (1) = e (do đơn cấu trờng, 0) (1) + + (1) (1 + + + 1) = = m.(1) = me (m ) (m) = m số hạng m số hạng Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp (0) = (- m + m) = (m) + (- m) (- m) = - me Suy (m) = me ( m ) Với r Q: r = p (p, q ; q > 0; (p, q) = 1) q ( p ) = pe ta có: ( p) = (q p ) = (q). ( p ) = qe. ( p ) q q q p p Suy pe = qe.( ) ( ) = (pe).(qe) q q Do : Q P Im = {(me)(ne)-1: m, n ; m > 0; (m, n) = 1} (1) (2) Từ (1) (2) Im Im P P P Suy đpcm Giả sử K trờng đặc số không ánh xạ : p K, 0kp k ke xác định đơn cấu trờng P = Im() trờng K cần tìm Chú ý: Một trờng đợc gọi trờng nguyên tố không chứa trờng thực Nh p trờng nguyên tố từ mệnh đề suy truờng chứa trờng nguyên tố đẳng cấu với , đẳng cấu với p tuỳ theo đặc số K không hay p 1.5 Mệnh đề i) Nếu A miền nguyên hữu hạn A trờng ii) Nếu A trờng hữu hạn A có đặc số khác không iii) Giả sử A trờng hữu hạn p đặc số trờng A Khi |A| = pn với n số nguyên dơng xác định Chứng minh Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp i) Giả sử A miền nguyên hữu hạn gồm n phần tử, A = {a 1,a2, , an} chẳng hạn a1 = 0, a2 phần tử đơn vị Xét B = {a2, , an} với j = a, 3, , n ta có {aja2, , ajan} n - phần tử khác khác không A (vì A miền nguyên), B = {a ja2, , ajan} Suy tồn số i, i n cho aj.ai = a2 =1 nghịch đảo aj Vậy A trờng ii) Giả sử đặc số trờng A không Khi A chứa vô hạn phần tử me, m = 1, 2, mâu thuẫn với giả thiết A hữa hạn Vậy đặc số thờng A khác không iii) Theo mệnh đề 3, đặc số A số nguyên tố p Giả sử A có q phần tử Theo mệnh đề suy A chứa trờng đẳng cấu với trờng p Có thể xem p trờng A Khi xem A không gian vectơ trờng p dim A hữu hạn Giả sử dim A =n, {u1, , un} sở A trờng p phần tử thuộc K có dạng a1u1 + a2u2 + + anun, p (*) Mỗi nhận p giá trị, có tất pn phần tử dạng (*), hay q = pn A = pn Vậy suy mệnh đề đợc chứng minh 1.6 Mệnh đề Giả sử K trờng hữu hạn U nhóm nhân phần tử K Khi U nhóm xyclic Chứng minh Giả sử K trờng có hữu hạn số phần tử - Chẳng hạn có p phần tử, K* = K \ {0} lập thành nhóm phép nhân Giả sử m cấp lớn phần tử thuộc K* u K* phần tử cấp m Thế m q - ta chứng minh đợc m = q -1 phần tử K * luỹ thừa u, hay K * nhóm xyclic Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp Trớc hết ta chứng minh nhóm hữu hạn K *, có phần tử x y có cấp r s tơng ứng tồn phần tử có cấp bội chung nhỏ k r s Nếu (r, s) = dễ thấy phần tử xy có cấp k = r.s Trong trờng hợp tổng quát, dùng cách phân tích r s thành tích thừa số nguyên tố ta biểu diễn r s dới dạng r = r0r1, s = s0s1, (r0, s0) = 1; k = r0.s0 Thế phần tử x r y s có cấp tơng ứng r0 s0 thoả mãn (r0, s0) = Do 1 phần tử x r y s có cấp k = r0.s0 1 Nh m cấp lớn phần tử thuộc K * cấp phần tử thuộc K* ớc m, nghĩa phần tử thuộc K * nghiệm đa thức tm - Nhng trờng hợp tuỳ ý, đa thức bậc m có không m nghiệm nên q - m Mà theo lập luận trên: m q - Do m = q - mệnh đề 1.6 đợc chứng minh 1.7 Mệnh đề Giả sử K trờng hữu hạn với q phần tử Khi với x K có xq = x Chứng minh Theo mệnh đề 1.6, phần tử khác không trờng K thoả mãn điều kiện tq-1-1 = 0, cón phần tử không trờng K thoả mãn điều kiện t = Vậy phần tử thuộc K thoả mãn phơng trình: t(tq-1 - 1) = 0, hay tq- t = tq = t suy điều phải chứng minh Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán hK oá luận tốt nghiệp Đ2 Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt trờng hữu hạn 2.1 Định nghĩa: Cho S tập nhóm X Ta gọi nhóm X sinh tập S nhóm nhỏ chứa tập S Kí hiệu Nh vậy, nhóm sinh tập S có hai tính chất: i) nhóm X ii) Nếu A nhóm X A S A 2.2 Mệnh đề: Mọi tập S nhóm X tồn nhóm sinh tập S Chứng minh Gọi A họ tất nhóm X chứa S X A nên A Ta chứng minh: < S >= B B A Theo định nghĩa ta cần chứng minh = C nhóm Thật vậy, 1X B với B A nên 1X C Nếu x, y C x, y B với B A Do B nhóm nên xy-1 B với B A Vậy xy-1 C Theo tiêu chuẩn nhóm suy C nhóm X Vậy ta có điều phải chứng minh 2.3 Định nghĩa Tập hợp GL(n; K) tất ma trận khả nghịch cấp n vành giao hoán K với đơn vị lập thành nhóm với phép nhân ma trận Nó đợc gọi nhóm tuyến tính tổng quát cấp n K (hay gọi nhóm ma trận tổng quát K) GL(n; K):= {a = [aij]n.n det a 0; aij K} Nhóm SL(n; K):= {a GL(n; K) det a = 1} đợc gọi nhóm tuyến tính đặc biệt Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 10 hK oá luận tốt nghiệp ii) [ax, bx] = [x-1ax, x-1bx] = x-1a-1x.x-1b-1x.x-1ax.x-1bx = x-1a-1b-1xab [a,b]x = (a-1b-1ab)x = x-1a-1b-1xab Vậy [a, b]x = [ax, bx] 2.8 Định nghĩa: Giả sử G nhóm M : = {[a, b] a, b G} Khi nhóm sinh M đợc gọi hoán tập G Kí hiệu: [G, G] 2.9 Tính chất hoán tập: i) Với nhóm G, có [G, G] G Chứng minh Từ tính chất [a, b]-1 = [b, a] [G, G] = {s1, s2, , sn | si M} Vì si M si = [ai, bi] s ix = [a i , b i ]x = [a ix , b ix ] M x G, h [G, G]: h = s1s2 sn, si M có hx = (s1s2 sn)x = s1x s 2x s nx [G, G] [G, G] G ii) Từ định nghĩa ta có kết quả: G nhóm Aben [G, G] = {e} 2.10 Mệnh đề i) [GL(n; K), GL(n; K)] = SL(n; K) (1) ii) [SL(n; K), SL(n; K)] = SL(n; K) (2) trừ nhóm GL(2, 2) (1) nhóm SL(2, 2), SL(2, 3) (2) Chứng minh Thật vậy, định thức hoán tử nên bao hàm thức hiển nhiên Mặt khác, SL(n; K) sinh ma trận dạng t ij(), i j (theo mệnh đề 2) nên theo công thức: [tik(), tkj()] = tij( ) với i j (3) i [tij(), gia g(1, 2, , n)] = t ij i (4) ta có bao hàm thức trờng hợp n Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 14 hK oá luận tốt nghiệp Bây giờ, ta xét trờng hợp n = Vì K > 2, theo (4) chọn , nên công thc (1) với nhóm, trừ GL(2, 2) Mặt khác, K> 3, chọn 2, 1.2 = 1, nên công thức (2) đợc chứng minh trừ trờng hợp SL(2, 2), SL(2, 3) Các nhóm GL(2, 2), SL(2, 2), SL(2, 3) công thức (1) (2) không 2.11 Chú ý: SL(2, 2) = GL(2, 2) tính trực tiếp đợc i) [SL(2, 2), SL(2, 2)] ii) [GL(2, 2), GL(2, 2)] Chứng minh a c Ta có : GL(2, 2) = b d b a : a, b, c, d K, K = 2, c c Khi K = {0, 1} (phần tử phần tử đơn vị) GL(2, 2) = 0 ; 1 ; ; 1 ; ; 1 Suy G(2, 2): || = GL(2, 2) = SL(2, 2) Đặt = = 0 = e; = 1 1 ; = 1 ; = 1 ; = 1 ; Dễ dàng thấy: = ; = ; 51 = ; = e 1 [GL(2, 2); GL(2, 2)] = { i j i j | i, j 6} =6 =3 =6 ; ; Do =3 =6 =4 Suy [GL(2, 2); GL(2, 2)] = {e; 3; 6} = 0 ; ; 1 1 Vì SL(2, 2) = GL(2, 2) Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 15 hK oá luận tốt nghiệp Suy [SL(2, 2); SL(2, 2)] = {e; 3; 6} = 0 ; ; 1 1 2.12 Định nghĩa: Giả sử M tập H nhóm G Khi tập hợp: C H(M):= {x | x H, mx = m, m M} đợc gọi tâm hoá tập hợp M nhóm H Cái tâm hoá toàn nhóm G đợc gọi tâm nhóm G đợc kí hiệu C(G) Từ định nghĩa suy ra: G nhóm Aben C(G) = G Nếu C(G) = {e} G đợc gọi nhóm không tâm 2.13 Mệnh đề Tâm nhóm GL(n; K) SL(n; K) tập hợp tất ma trận vô hớng thuộc nhóm Chứng minh Giả sử K trờng Khi đó, ma trận vô hớng hiển nhiên nằm tâm (a = e 0) Ngợc lại, a phần tử thuộc tâm nhóm này, giao hoán đợc với ma trận tij:= tij, nghĩa a.tij = tij.a aij = 0, aii = ajj, i j, nghĩa a ma trận vô hớng Trong việc tính toán chi tiết, ta ý ma trận x viết đợc dới dạng: x := x rs e rs ta sử dụng bảng nhân: e j = r e ij e rs = is j r 2.14 Hệ i) C(GL(n, q)) = q -1 ii) C(SL(n, q)) = d, d = (n, q - 1) Chứng minh i) Ta có C(GL(n, q)) = {e: K, 0} Do K = q có (q - 1) phần tử K Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 16 hK oá luận tốt nghiệp Suy C (GL(n, q)) = {: K, 0} = q - ii) Rõ ràng: C(SL(n, q)) = {e SL(n, q): K, 0} e SL(n, q) e = n = Mặt khác, theo 1.6: K* = K \ {0} nhóm nhân xyclic phần tử K có cấp q - Gọi u phần tử sinh K* K* = {um: m q -1} Khi ta có: = u m u mn = m (q 1) u =1 Do u có cấp q -1 m.n q - q = dk Đặt d = (n, q - 1) n = dl , (l, d) = mn = mdl dk ml k m k m = {k, 2k, , dk} Suy { e C(SL(n, q))} = | {m | m k} = d Vậy C(SL(n, q)) = d = (n, q - 1) Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 17 hK oá luận tốt nghiệp Đ3 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn 3.1 Định nghĩa Giả sử K trờng n số nguyên duơng cho trớc Nhóm thơng nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n; K) tâm đợc gọi nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh Kí hiệu: SL( n; K ) C(SL( n; K )) := PSL(n; K) 3.2 Mệnh đề Tập hợp tất hàm phân tuyến tính f ( x ) = ax + b với hệ số trcx + d ờng K định thức ad - bc = với phép toán hàm hợp lập thành nhóm đẳng cấu với nhóm PSL(2; K) Chứng minh ax + b a, b, c, d K, ad - bc = Trên G xác định phép toán Giả sử G = f ( x ) = cx + d hàm hợp thông thờng Khi G nhóm với đơn vị hàm : x x Xét ánh xạ : SL(2; K) G a = c a Giả sử = c b d f(x) = b a' , = d c' ax + b cx + d b' SL(2; K); () = f(x), () = g(x) d' ad bc = Khi det = det = hay a ' d'b' c' = a Và = c b a ' d c' b' aa ' + bc' = d' ca ' + dc' ab' + bd' cb' + dd' Vì det() = det() det() = 1.1 = nên (aa + bc)(cb + dd) - (ca + dc)(ab + bd) = Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 18 hK oá luận tốt nghiệp Khi đó: () = (aa '+ bc' ) x + (ab'+ bd' ) G (ca '+dc' ) x + (cb'+dd' ) ag ( x) + b = Mặt khác: ( f g )( x) = f [ g ( x)] = f cg ( x) + d = a ' x + b' +b c' x + d ' a ' x + b' c +d c' x + d ' a (aa'+bc' ) x + (ab'+bd ' ) = () (ca'+ dc' ) x + (cb'+ dd ' ) Suy ()o () = () Hiển nhiên, toàn ánh toàn cấu a Mặt khác: = c b Ker ad - bc = () = f(x) = d ax + b = x ,x ax + b = cx2 + dx a = d, c = b = 0, mà ad- bc = nên cx + d a = d = 1 Vậy = 0 hay = 0 C(SL(2; K)) - Suy Ker C(SL(2; K)) Chiều ngợc lại hiển nhiên Do Ker = C(SL(2; K)), nên theo định lý đồng cấu nhóm, ta có: SL(2; K ) C ( SL( 2; K )) G, hay PSL(2; K) G 3.3 Mệnh đề: PSL( n, q) = n 1 (q n q i ) , d = (n, q-1) d(q 1) i = Chứng minh n n (q q i ) Theo mệnh đề 2.3 ta có: SL(n , q ) = q i=0 theo hệ 2.7, có: C(SL(n, q)) = d, với d (n, q - 1) Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 19 hK oá luận tốt nghiệp Mặt khác, theo định nghĩa: Nên PSL( n, q) = SL(n, q) C(SL( n, q )) := PSL(n, q) n 1 ( q n q i ) d(q 1) i = 3.4 Bổ đề Trong trờng hữu hạn K, phơng trình x2 - y2 = a giải đợc với phần tử tự a K Chứng minh Nếu trờng K có đặc số 2, tạo thành từ nghiệm phơng trình z2m - z = 0, với a K, a số phơng nên phơng trình x2 - y2 = a có nghiệm, chẳng hạn x = a, y = x + y = a Nếu đặc số trờng K khác 2, hệ phơng trình giải đợc x y = K: x = 2-1(a + 1); y = 2-1(a - 1) Nghiệm hệ nghiệm phơng trình x2 - y2 = a Chú ý rằng: Khi đặc số trờng K khác 2, lập luận đợc giữ nguyên trờng tuỳ ý, không thiết hữu hạn 3.5 Định nghĩa Nhóm G đợc gọi đơn, có hai ớc chuẩn {e} G 3.6 Định lý Đối với trờng hữu hạn K, nhóm PSL(n: K) đơn, trừ hai trờng hợp PSL(2, 2) PSL(2, 3) Chứng minh a) Trớc hết xét trờng hợp n = Do mệnh đề 3.3, có nhóm PSL(2, 2) PSL(2, 3) có cấp tơng ứng 12, nên theo kết biết, chúng nhóm không đơn Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 20 hK oá luận tốt nghiệp Giả sử K 4, ta chứng tỏ rằng: H ớc chuẩn SL(n; K) chứa tất ma trận vô hớng ma trận ma trận vô hớng, H = SL(2; K) Nhóm H chứa ma trận dạng t12(), * Thật vậy, trớc hết giả sử a21 = 0, nghĩa a = Nếu = 1, ma trận dạng t12() cần tìm ứng với (chú ý: tij() = e + eij) Nếu 1, lấy hoán tử [a, t 11] = t12(1 - 2) tij kí hiệu ngắn gọn tij(1) = e + eij (Chú ý: t12(1 2) = e + (1 - 2)e12) = + (1 ) 0 1 - = 1 nên [a, t12] = t12(a - 2) t12(1) = e + e12 = Vì H ớc chuẩn SL(n; K) a SL(n; K) nên [a , t12 ] = a 1t12 a.t12 H.H = H Bây giờ, ta xét trờng hợp a21 Khi với phần tử khác không K xác định ma trận a * 11 b= SL(2; K) nên H chứa ma trận a 21 a11 c = - b aba = -1 * Nếu K tồn K thoả mãn điều kiện 1, ma trận cần tìm dạng t12() lấy trờng hợp hoán tử [c, t12] = t12(1 - 4) Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 21 hK oá luận tốt nghiệp Còn lại phải xét trờng hợp K = (a11 + a 22 ) Chọn = 1, đó: c = t12 a 21 Nếu vết ma trận tra = a11 + a22 c ma trận cần tìm Nếu tra = ta thay ma trận a ma trận a* = [a , t12 ] , đó: tra * = + a 221 Nhóm H chứa tất ma trận dạng t ij() với i j H = SL(2; K) {tij() | K, i j} tập sinh SL(2; K) Thật vậy: H chứa tất ma trận dạng t12(), .t12 (). = t12 ( ) t12(2).t12(2) = t12((2 - 2)) - chạy qua tất phần tử K với , tuỳ ý (xem bổ đề 3.4) Cuối cùng, ta ý rằng: - .t12 (). - = t12 () Do đó, việc xét trờng hợp n = kết thúc b) Bây giờ, ta xét trờng hợp n 3, K trờng tuỳ ý Giả sử H ớc chuẩn SL(n; K), chứa tất ma trận vô hớng ma trận a ma trận vô hớng Ta chứng tỏ H = SL(n; K) Trong tính toán sau đây, ta viết ma trận W dới dạng: Ư W = wrs ers sử dụng bảng nhân sau đây: e j = r e ij e rs = is j r Bởi a ma trận vô hớng nên không giao hoán với ma trận dạng tij() Thay đổi dòng cột cần, ta giả thiết x = [a, t12] e Kí hiệu y = a-1 Khi tính toán trực tiếp ta có: Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 22 hK oá luận tốt nghiệp * y12 a12 * y 22 a12 x = e * y a n 12 Nhóm H chứa ma trận * * z = * * * y12 a1n y 22 a1n y n a1n e khác ma trận đơn vị Điều rõ ràng, a12 = = a1n = Bây ta giả sử a 12 Khi chọn z = u -1xu, đó: u=e n a1i a 2i a12 i =1 0 Nhóm H chứa ma trận: v = **1 Thật vậy, có: khác ma trận đơn vị e [z, t31] = e - (z11 - 1)e31 - z12.e32 [z, t32] = e - (z22 - 1)e32 - z21.e31 Nếu hoán tử khác ma trận đơn vị chọn chúng làm ma trận v Giả sử hai hoán tử ma trận đơn vị Khi z = * e Nếu n = hay zi1 = zi2 = 0, i 4, chọn v = z Nếu vô hớng z41, z42 không đồng thời 0, chọn v hoán tử: [z, t34] = e - z41.e31 - z42.e32 Nhóm H chứa ma trận dạng t ij() Thật vậy, v32 = chọn v Nếu v32 chọn ma trận: t12()-1.v t21() = e + (v31 + v32)e31 + v32.e32, với thích hợp Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 23 hK oá luận tốt nghiệp Nhóm H chứa tất ma trận dạng t ij() trùng với SL(n; K) Thật vậy, ta có: f ik t ij ().f ik = t kj () f ij t kj ().f ij = t kl ( ) d ik (à) t ij ().d ik (à) = t ij (à ) Trong i, j đôi khác nhau: fik = e - eil - ekk + eik - ekl dik(à) ma trận đờng chéo mà phần tử dòng i, cột k với 0, phần tử lại Định lý 3.6 đợc chứng minh 3.7 Hệ Giả sử K = m vành số nguyên modm Khi đó: i) PSL(n, m) nhóm đơn m số nguyên tố ii) PSL(n, m) không nhóm đơn m hợp số 3.8 Định nghĩa Giả sử G nhóm hữu hạn Nhóm A nhóm G đợc gọi nhóm tín hiệu kép |A| số |G: NG(A) | số lẻ 3.9 Mệnh đề Trong nhóm PSL(7, q) với q số lẻ, tồn nhóm tín hiệu kép không Aben Chứng minh Xét nhóm G = SL(7, q) nhóm A, B bao gồm ma trận dạng: ( x , y) 0 A= x với (x, y) = detx.dety o y * * B = e2 * 0 e Trong ek ma trận đơn vị cấp k phân ngăn hai lần giống Do công thức: n n SL(n , q ) = (q q i ) q i =0 Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 24 hK oá luận tốt nghiệp n GL( n, q ) = (q n q i ) i =0 ta có: | G | = (q 1)(q q) (q q ) q | A | = qm với m số tự nhiên B = (q2 - 1) (q2 - q) (q4 - 1) (q4 - q) (q4 - q2) (q4 - q3) Từ trực tiếp suy |A|, |G: B| số lẻ Vì B chuẩn hoá A, nên số |G: NG(A) | lẻ Nếu nhân tử hoá G theo tâm C(G) cấp nhóm A số chuẩn hoá G lẻ, nghĩa A nhóm tín hiệu kép PSL(7, q) Nhng A C(G) = nên A A, A nhóm Aben 3.10 Mệnh đề Tồn nhóm cho tâm xác định nhóm thơng đơn nhng không tách đợc thành hạng tử trực tiếp Chứng minh Nếu nhóm G = SL(2; 5), tâm C gồm ma trận vô hớng e, có / phần bù trực tiếp H, ma trận 0 nằm H, phần tử sinh trờng nhân tính gồm phần tử Nhng bình phơng - e ma trận nằm giao C H, điều đợc Suy điều phải chứng minh Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 25 hK oá luận tốt nghiệp Kết luận Khoá luận thu đợc kết sau: -Tổng quan nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt, nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn -Đa đợc tính chất nhóm -Tìm đợc tâm, hoán tập nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt Việc khảo sát tính chất nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt, nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn vấn đề mà tiếp tục nghiên cứu Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 26 hK oá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSPVinh, 1997 2.Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ, Bài tập Đại số, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp,1978 Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số đại cơng, NXB GD,2001 StenHu, Đại số đại, 1973 Hoàng Xuân Sính,Đại số đại cơng, NXB GD, 2001 Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 27 hK oá luận tốt nghiệp Mục lục Chỉ dẫn ký hiệu Lời nói đầu Đ1 Một số tính chất đơn giản trờng hữu hạn Đ2 Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt trờng hữu hạn Đ3 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn Kết luận Tài liệu tham khảo Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán Trang 17 25 26 28 [...]... đợc tâm, hoán tập của nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt Việc khảo sát các tính chất của các nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt, nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trên trờng hữu hạn là những vấn đề mà chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 26 hK oá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo 1 Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSPVinh, 1997 2.Trần... tốt nghiệp Đ3 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trên trờng hữu hạn 3.1 Định nghĩa Giả sử K là một trờng và n là số nguyên duơng cho trớc Nhóm thơng của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n; K) trên tâm của nó đợc gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh Kí hiệu: SL( n; K ) C(SL( n; K )) := PSL(n; K) 3.2 Mệnh đề Tập hợp tất cả các hàm phân tuyến tính f ( x ) = ax + b với hệ số trên trcx + d ờng K và định thức ad... nhân tính gồm 5 phần tử Nhng khi đó bình phơng - e của ma trận này nằm trong giao C H, đó là điều không thể đợc Suy ra điều phải chứng minh Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 25 hK oá luận tốt nghiệp Kết luận Khoá luận đã thu đợc những kết quả sau: -Tổng quan về nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt, nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trên trờng hữu hạn -Đa ra đợc các tính chất của các nhóm trên. .. và Trung học chuyên nghiệp,1978 3 Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số đại cơng, NXB GD,2001 4 StenHu, Đại số hiện đại, 1973 5 Hoàng Xuân Sính,Đại số đại cơng, NXB GD, 2001 Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 27 hK oá luận tốt nghiệp Mục lục Chỉ dẫn ký hiệu Lời nói đầu Đ1 Một số tính chất đơn giản của trờng hữu hạn Đ2 Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt trên trờng hữu hạn Đ3 Nhóm tuyến tính đặc. .. = m là vành các số nguyên modm Khi đó: i) PSL(n, m) là nhóm đơn nếu m là số nguyên tố ii) PSL(n, m) không là nhóm đơn nếu m là hợp số 3.8 Định nghĩa Giả sử G là nhóm hữu hạn Nhóm con A của nhóm G đợc gọi là nhóm tín hiệu kép nếu |A| và chỉ số |G: NG(A) | đều là số lẻ 3.9 Mệnh đề Trong nhóm PSL(7, q) với q là số lẻ, tồn tại nhóm con tín hiệu kép không Aben Chứng minh Xét nhóm G = SL(7, q) các nhóm con... con và H là nhóm con của G Khi đó tập hợp: C H(M):= {x | x H, mx = m, m M} đợc gọi là cái tâm hoá của tập hợp M bởi nhóm H Cái tâm hoá của toàn bộ nhóm G đợc gọi là tâm của nhóm G và đợc kí hiệu là C(G) Từ định nghĩa suy ra: G là nhóm Aben C(G) = G Nếu C(G) = {e} thì G đợc gọi là nhóm không tâm 2.13 Mệnh đề Tâm của các nhóm GL(n; K) và SL(n; K) là tập hợp tất cả các ma trận vô hớng thuộc các nhóm. .. nên detd() = , và do đó =1, hayd() =e Do đó a = t1.t2 tr.tr+1 ts Suy ra SL(n; K) sinh bởi các ma trận dạng t ij() , suy ra điều phải chứng minh 2.5 Mệnh đề ( n 1 n i i) GL(n , q) = q q i=0 ) ( ) 1 n 1 n q qi ii) SL(n , q ) = q 1 i =0 Chứng minh i) Xét nhóm tuyến tính tổng quát trên một trờng hữu hạn Giả sử p là một số nguyên tố và m, n là hai số tự nhiên (m, n 1), q = pm Khi đó, nhóm GL(n,q)... là trờng hữu hạn có q phần tử và K* = K \ {0} Khi đó K* = q-1 Vì f là toàn cấu và Ker f = {a GL(n, q) f(a) = 1} = {a GL(n, q) det a = 1} = SL(n, q) nên theo định lý cơ bản về đồng cấu ta có: GL(n, q) ( n 1 SL( n, q) K* ) n i Vì GL( n, q ) = q q và K* = q - 1 nên i =0 SL(n , q ) = ( ) 1 n 1 n q qi q 1 i =0 (Theo định lý Lagrăng mở rộng: nếu G là nhóm hữu hạn, H là nhóm con của G và G : H là... nhân tử hoá của G theo tâm C(G) thì cấp của nhóm con A và chỉ số của cái chuẩn hoá của nó trong G cũng lẻ, nghĩa là A là nhóm tín hiệu kép trong PSL(7, q) Nhng vì A C(G) = 1 nên A A, và A không phải là nhóm Aben 3.10 Mệnh đề Tồn tại một nhóm sao cho tâm của nó xác định một nhóm thơng đơn nhng không tách đợc thành hạng tử trực tiếp Chứng minh Nếu trong nhóm G = SL(2; 5), tâm C gồm các ma trận vô... đợc gọi là đơn, nếu nó chỉ có hai ớc chuẩn là {e} và G 3.6 Định lý Đối với mọi trờng hữu hạn K, nhóm PSL(n: K) đơn, trừ hai trờng hợp PSL(2, 2) và PSL(2, 3) Chứng minh a) Trớc hết xét trờng hợp n = 2 Do mệnh đề 3.3, có nhóm PSL(2, 2) và PSL(2, 3) có cấp tơng ứng là 6 và 12, nên theo một kết quả đã biết, chúng là những nhóm không đơn Nguyễn Thị Thu Hà - 41E1 - Toán 20 hK oá luận tốt nghiệp Giả sử K ... sau: -Tổng quan nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt, nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn -Đa đợc tính chất nhóm -Tìm đợc tâm, hoán tập nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến. .. Đ2: Trình bày nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt (ĐN 2.3) trờng hữu hạn Từ xét tính chất quan trọng nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt trờng hữu hạn (Mệnh đề 2.4;... Lời nói đầu Đ1 Một số tính chất đơn giản trờng hữu hạn Đ2 Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt trờng hữu hạn Đ3 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trờng hữu hạn Kết luận Tài liệu tham