Một số lớp nhóm giải được tổng quát

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh Hoàng thị thu hiền số lớp nhóm giải đợc tổng quát luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2007 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh Hoàng thị thu hiền số lớp nhóm giải đợc tổng quát Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn quốc thi Vinh - 2007 Mục lục Trang Mở đầu Chơng 1: Nhóm giải đợc nhóm hữu hạn địa phơng Đ1 Nhóm giải đợc A Hoán tử đạo nhóm B Nhóm giải đợc C Nhóm tôpô giải đợc Đ2 Nhóm hữu hạn địa phơng A Nhóm hữu hạn địa phơng B Nhóm hữu hạn địa phơng tôpô .11 Chơng 2: Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát 15 Đ1 Tính chất nhóm giải đợc tổng quát 16 Đ2 Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát .18 A Nhóm giải đợc tổng quát RI với số hữu hạn lớp phần tử liên hợp B Nhóm giải đợc tổng quát RN với điều kiện cực tiểu nhóm C Nhóm giải đợc tổng quát RN với điều kiện cực đại nhóm D Nhóm tôpô giải đợc tổng quát với điều kiện cực tiểu nhóm đóng Kết luận .29 Tài liệu tham khảo .30 Mở đầu Lý thuyết nhóm lý thuyết quan trọng toán học đại, đặt móng cho việc nghiên cứu lĩnh vực toán học Ngoài ra, hiểu biết sâu sắc lý thuyết nhóm góp phần làm cho hiểu sâu sắc lớp nhóm quan trọng Trong lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm có lớp nhóm thu đợc từ việc mở rộng liên tiếp nhóm Abel, lớp nhóm giải đợc Lớp nhóm giải đợc không ứng dụng ngành Đại số mà ngành khác Đặc biệt, sở lý thuyết Galois, lý thuyết giải phơng trình thức Lớp nhóm giải đợc tổng quát suy rộng lớp nhóm giải đợc Nó có tác dụng lớn lớp nhóm giải đợc Nhóm G đợc gọi nhóm giải đợc tổng quát G có dãy chuẩn giải đợc tăng, ký hiệu G RN Đặc biệt, G có dãy bất biến giải đợc ký hiệu G RI Với lý đó, định lựa chọn đề tài nghiên cứu Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát Theo chúng tôi, đề tài mang ý nghĩa khoa học, có tính thời thiết thực phát triển toán học Chúng tham vọng chứng minh tính chất lớn, công việc khó khăn lâu dài Trong chừng mực định, muốn góp phần làm sáng tỏ số vấn đề Điều mở đờng nhiều hy vọng để thu đợc kết có ý nghĩa hơn, thời gian trớc mắt lâu dài Luận văn đợc chia thành hai chơng với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Các tài liệu dẫn đợc đánh số theo quy định hành Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông thờng Các kết trình bày theo số thứ tự chơng - - mục Ví dụ, Mệnh đề 2.2.10 Chơng 2, 2, mục 10 Chơng 1: Nhóm giải đợc nhóm hữu hạn địa phơng Trong chơng giới thiệu số khái niệm, kết làm tiền đề để nghiên cứu nội dung Chơng 2: Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát Nội dung Chơng đợc hai tính chất quan trọng nhóm giải đợc tổng quát Từ đó, có phần kết chính, là: Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn nhiệt tình, tận tâm Thầy giáo - GS.TS Nguyễn Quốc Thi Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - ngời đặt toán dành cho tác giả giúp đỡ tận tình, chu đáo, giúp tác giả mạnh dạn vững tin trình nghiên cứu Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ Trong trình học tập nghiên cứu, tác giả nhận đợc nhiều góp ý, trao đổi chân thành bạn bè, đồng nghiệp; đặc biệt học viên Nguyễn Thị Ngọc Diệp có nhiều ý kiến giá trị giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả biết ơn ghi nhận giúp đỡ quý báu Cuối cùng, tác giả xin nhận đợc góp ý chân tình Thầy, Cô giáo bạn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Chơng Nhóm giải đợc nhóm hữu hạn địa phơng Đ1 Nhóm giải đợc A Hoán tử đạo nhóm 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, x,y G, phần tử z = x-1y-1xy đợc gọi hoán tử x y Nếu xy = yx z = e Nói riêng, nhóm Abel hoán tử e 1.1.2 Định nghĩa Ký hiệu: G nhóm sinh hoán tử G G = G đợc gọi đạo nhóm G 1.1.3 Định lý Hoán tử luôn bất biến đồng cấu Nghĩa : G G (x-1y-1xy) = (x)-1(y)-1(x)(y) Suy G nhóm hoàn toàn đặc trng G + Nhóm thơng G K Abel K G + Nếu nhóm H G, H G H G + Nếu G = n Gi G = i =1 n G' i =1 i B Nhóm giải đợc 1.1.4 Định nghĩa Dãy nhóm giảm G G G G(n) đợc gọi dãy đạo nhóm, với (1) G(i) = [G(i-1), G(i-1)] = (G(i-1)) 1.1.5 Định nghĩa Dãy nhóm giảm G A1 A2 An (2) đợc gọi dãy giải đợc, A nhóm Abel Ai +1 Ai i Ai +1 Nhận xét: Trong dãy đạo nhóm nhóm (Gi) nhóm hoàn toàn đặc trng G G bất biến tự đồng cấu 1.1.6 Định nghĩa Nhóm G đợc gọi nhóm giải đợc G có dãy đạo nhóm hữu hạn G G G G(n) = {e} Ví dụ: Nhóm Abel nhóm giải đợc G = {e} tức độ dài dãy đạo nhóm 1.1.7 Định lý Nhóm nhóm thơng nhóm giải đợc nhóm giải đợc Tích trực tiếp số hữu hạn nhóm giải đợc nhóm giải đợc Chứng minh: Giả sử G nhóm giải đợc, A B nhóm G Ta có, A B A B Theo giả thiết A G nên A G ( Vì nhóm thơng ảnh đồng cấu nhóm G mà đạo nhóm G K ảnh đồng cấu G qua toàn cấu tự nhiên : G GK ( ) (G') = G K ' = e (vì (G') = e nên ( G K) ' = e) Đạo nhóm tích trực tiếp tích trực tiếp đạo nhóm Vì đạo nhóm {e} nên tích trực tiếp đạo nhóm {e} ) ' Gi ( ni ) = e m = max ni Gi ( m ) = e o 1.1.8 Định lý Nhóm G giải đợc G có dãy giải đợc hữu hạn G A1 An = {e} Chứng minh: Giả sử G giải đợc dãy đạo nhóm dãy giải đợc hữu hạn Ngợc lại, giả sử G có dãy giải đợc hữu hạn G A1 An = {e} Ta chứng minh: G giải đợc Ta có G A Abel G A Abel nên A1 G A1 A2 Abel nên A2 A1 G Tiếp tục nh vậy, ta có An G(n) mà An = {e} nên G(n) = {e} Vậy G giải đợc o 1.1.9 Định lý Nếu K ớc chuẩn giải đợc nhóm G cho nhóm thơng G giải đợc G nhóm giải đợc Chứng minh: Vì G giải đợc nên G tồn dãy giải đợc K K B B1 B G n = eK K K K K Mặt khác, K giải đợc nên K có dãy giải đợc K C1 Cm = {e} Khi đó, G có dãy K G B1 B2 Bn = K C1 C2 Cm = {e} Ta chứng minh dãy (*) giải đợc Thật Bi +1 B i Bi +1 Bi K K mặt khác Bi Bi B K K Abel, i Bi +1 Bi +1 Bi+1 K K suy ra, dãy (*) giải đợc có độ dài là: m+n (*) Định lý 1.1.9 đợc phát biểu cách khác là: Mở rộng nhóm giải đợc nhóm giải đợc nhóm giải đợc C Nhóm tôpô giải đợc 1.1.10 Định nghĩa Nhóm tôpô G đợc gọi nhóm giải đợc nhóm trừu tợng G nhóm giải đợc 1.1.11 Định lý Nếu G nhóm liên thông đạo nhóm G nhóm liên thông Chứng minh: Ký hiệu: P tập hợp tất hoán tử P = {x-1y-1xy | x, y G} Khi P = P-1 (x-1y-1xy)-1 = y-1x-1yx tức [x, y] = [y, x] nên P tập hợp đối xứng Ta chứng minh: P tập liên thông Xét ánh xạ: : GìG P (x, y) a x-1y-1xy 10 ta có ánh xạ liên tục G ì G nhóm liên thông (do G liên thông) Suy P = (G ì G) tập liên thông Vì G sinh hoán tử nên G = Pn i P P = P 123 i lần n =1 Xét ánh xạ: : P ì P P.P (x, y) a xy liên tục Do P liên thông nên P ì P liên thông suy (P ì P) = P.P = P2 liên thông Bằng quy nạp, ta có Pi liên thông, với i Vì P x-1x-1xx nên Pi chứa e Ta có G = tổng đếm đợc tập liên thông có chung điểm e Vậy G liên thông o 1.1.12 Bổ đề Giả sử H K nhóm G cho H K H Khi đó, K H Chứng minh: Xét ánh xạ : H ì H K H (x, y) a x-1y-1xy Khi ta có ( H ì H ) K ( H ì H ) K Ký hiệu: H = [H, H] suy ( H ì H ) K Vì ( H ì H ) tập sinh H Vậy ( H ì H ) H H ' 1.1.13 Định lý o 17 Chơng Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát Định nghĩa Nhóm G đợc gọi nhóm giải đợc tổng quát RN G có dãy chuẩn giải đợc tăng, tức G có dãy E A1 A = G (1) E đơn vị với Ai ớc chuẩn Ai+1 A i +1 Ai nhóm Abel Nhóm G đợc gọi nhóm giải đợc tổng quát RI G có dãy bất biến giải đợc, tức G có dãy E B1 B = G với Bi ớc chuẩn G B i +1 Bi nhóm Abel Ta thấy G có dãy (1) cha G có dãy (2) Bây ta nghiên cứu số tính chất nhóm RN RI (2) 18 Đ1 tính chất Nhóm giải đợc tổng quát 2.1.1 Định lý Nhóm giải đợc tổng quát RN hữu hạn địa phơng nhóm giải đợc địa phơng Chứng minh: Nếu G nhóm hữu hạn địa phơng RN Khi đó, nhóm hữu hạn sinh G nhóm hữu hạn Suy ra, nhóm hữu hạn sinh G nhóm giải đợc Mà nhóm hữu hạn sinh G nhóm giải đợc nên G nhóm giải đợc Vậy G nhóm giải đợc địa phơng o 2.1.2 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN xoắn nhóm hữu hạn địa phơng Chứng minh: Trớc hết, ta giả thiết G nhóm Abel Giả sử a1, a2, , ak G Khi đó, nhóm H sinh a1, a2, , ak A1.A2 Ak với Ai nhóm xiclic sinh phần tử ai, i = 1,k Vì G nhóm xoắn nên Ai nhóm hữu hạn Mặt khác, G nhóm Abel nên tích số hữu hạn nhóm hữu hạn nhóm hữu hạn Vậy H nhóm hữu hạn Vì G nhóm RN nên G có dãy tăng E A1 A = G Vì A nhóm Abel nên A1 nhóm Abel E Mặt khác, G nhóm xoắn nên A1 nhóm Abel xoắn Vậy theo chứng minh A1 nhóm hữu hạn địa phơng Bây giờ, ta chứng minh theo quy nạp 19 Nhóm Ai +1 Ai nhóm Abel nhóm xoắn Theo quy nạp Ai nhóm hữu hạn địa phơng Dựa vào Định lý Chơng "Mở rộng nhóm hữu hạn địa phơng nhóm hữu hạn địa phơng nhóm hữu hạn địa phơng" Mặt khác, ta có Ai +1 Ai +1 Ai Ai nhóm Abel xoắn nên theo chứng minh trên, nhóm hữu hạn địa phơng Mặt khác, theo quy nạp Ai nhóm hữu hạn địa phơng nên Ai+1 nhóm hữu hạn địa phơng, từ suy G hợp nhóm hữu hạn địa phơng Ta chứng minh G nhóm hữu hạn địa phơng Giả sử a1, a2, , ak G Khi đó, tồn số i để Ai a1, a2, , ak Vì Ai nhóm hữu hạn địa phơng nên H sinh a1, a2, , ak nhóm hữu hạn địa phơng Vậy G nhóm hữu hạn địa phơng o 2.1.3 Hệ Từ định lý ta suy tính chất hữu hạn địa phơng nhóm xoắn giải đợc tính chất hữu hạn địa phơng nhóm giải đợc địa phơng xoắn 20 Đ2 số lớp Nhóm giải đợc tổng quát A nhóm giải đợc tổng quát RI với số hữu hạn lớp phần tử liên hợp 2.2.1 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RI (đặc biệt nhóm giải đợc) với số hữu hạn lớp phần tử liên hợp nhóm hữu hạn Chứng minh: Thật vậy, có nhóm G với hữu hạn lớp phần tử liên hợp mà lại có dãy bất biến vô hạn Vì, ớc chuẩn G chứa phần tử chứa trọn vẹn lớp liên hợp phần tử Do đó, nhóm RI nhóm giải đợc Giả sử dãy E H1 Hk = G (1) dãy bất biến giải đợc G, nhóm thơng G H nhóm với hữu hạn k lớp phần tử liên hợp Mặt khác, G H nhóm Abel nên G H nhóm hữu hạn k k Bây giờ, ta chứng minh quy nạp Chứng minh Hk1 nhóm hữu hạn lớp phần tử liên hợp Vì, không nh Hk1 có tập vô hạn phần tử cặp không liên hợp với Hk1 Khi đó, ta tìm đợc tập vô hạn phần tử a1, a2, , ak, đôi không liên hợp với Hk1 mà lại liên hợp với G, tức chúng thuộc lớp liên hợp G Vì chúng liên hợp với nên tồn xi G để xi1.ai.xi = a1 , i = 1, (2) Bởi vì, nhóm thơng G H nhóm hữu hạn nên tìm đợc số i j, i k j để xj = xihk1 với hk1 Hk1 Từ (2) (3) suy = (xihk1xi1) aj(xihk1xi1)1 (3) 21 Bởi xihk1xi1 Hk1 nên ai, aj liên hợp với Hk1 (điều trái với giả thiết) Vậy Hk1 có số hữu hạn lớp phần tử liên hợp Bây giờ, ta chứng minh hữu hạn nhóm thơng Hk Vì Hk Hk nhóm Abel nên theo chứng minh trên, Hk nhóm Hk Hk hữu hạn Tiếp tục trình nhóm thơng dãy (1) sau số hữu hạn lần, ta có Hk nhóm hữu hạn Vậy G nhóm hữu hạn o B Nhóm giải đợc tổng quát RN với điều kiện cực tiểu nhóm Trong phần mô tả cấu trúc nhóm RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm 2.2.2 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm nhóm giải đợc Nhóm G giải đợc thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm G mở rộng nhóm Abel đầy đủ thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm nhóm giải đợc hữu hạn Chứng minh: Giả sử G nhóm giải đợc tổng quát RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm con, dãy chuẩn giải đợc G cần phải tăng thứ tự hoàn toàn Vậy G nhóm RN Mặt khác, từ điều kiện cực tiểu nhóm ta có G nhóm xoắn Suy G nhóm hữu hạn địa phơng nhóm hữu hạn địa phơng RN nhóm RI Vậy G nhóm RI Nhờ điều kiện cực tiểu nhóm con, nên G tồn nhóm F có số hữu hạn mà không chứa nhóm khác có số hữu hạn 22 Vậy F nhóm có tính chất Bởi vì, giao nhóm có số hữu hạn lại nhóm có số hữu hạn nên F ớc chuẩn G Bây giờ, ta chứng minh tâm F không trùng với E Nhóm F nh nhóm khác RI lại nhóm RI Do đó, F nhóm RI Vậy F có ớc chuẩn Abel khác E, A Từ mô tả nhóm Abel điều kiện cực tiểu nhóm ta có nhóm A chứa số hữu hạn phần tử có cấp cho Vì A ớc chuẩn F nên chuẩn tập F phần tử A có số hữu hạn F tức trùng với F Do suy A trùng với tâm F, A Z E (E đơn vị) Bây giờ, ta chứng minh Z trùng với F Thực vậy, Z F Z nhóm RI nên Z nhóm RI F Vậy Z thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm không chứa nhóm thực có số hữu hạn áp dụng việc xét trình nhóm F Z' Z Z ta có F Z có tâm với Z' Z Nếu z Z phần tử z" liên hợp với z' F đợc chứa lớp ghép z'Z có nghĩa z" = z'.z với z Z Bởi z' z" có cấp mà zz' = z'z nên suy cấp phần tử z cần phải ớc z' Những phần tử z nh F thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm có số hữu hạn tức phần tử z' có F có hữu hạn phần tử liên hợp Từ suy chuẩn tập z' F có số hữu hạn F Z trùng với F tức z' Z (trái nghĩa với giả thiết Z' Z) suy F = Z 23 Vậy F ớc chuẩn Abel G Ta biết rằng, nhóm Abel với điều kiện cực tiểu nhóm không chứa nhóm có số hữu hạn nên nhóm F nhóm đầy đủ Vậy F tích trực tiếp số hữu hạn nhóm p với p số nguyên Nhóm thơng G F nhóm hữu hạn đồng thời nhóm RI Suy G nhóm giải đợc hữu hạn nên G mở rộng đầy đủ Abel với F nhóm giải đợc hữu hạn Vậy G nhóm giải đợc o 2.2.3 Hệ Mọi nhóm giải đợc thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm nhóm đếm đợc 2.2.4 Hệ Nhóm giải đợc thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm nhóm thơng dãy giải đợc nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm C Nhóm giải đợc tổng quát RN với điều kiện cực đại nhóm Trong phần mô tả cấu trúc nhóm giải đợc tổng quát RN thỏa mãn điều kiện cực đại nhóm con, đồng thời mô tả cấu trúc nhóm giải đợc thỏa mãn điều kiện cực đại nhóm 2.2.5 Định lý Nếu G nhóm giải đợc có dãy chuẩn giải đợc mà tất thơng nhóm Abel hữu hạn sinh G thỏa mãn điều kiện cực đại nhóm Ngợc lại, nhóm G giải đợc thỏa mãn điều kiện cực đại nhóm tất nhóm thơng dãy giải đợc nhóm hữu hạn sinh Tức là, dãy mịn hóa đến dãy chuẩn mà thơng nhóm xiclic Chứng minh: 24 Thật vậy, giả sử thơng dãy giải đợc có dạng G = G0 G1 Gn1 Gn = E nhóm G có hữu hạn sinh Ta chứng minh G hữu hạn sinh cách nh sau: (4) Vì nhóm thơng Gn1 hữu hạn sinh (theo giả thiết) nên Gn1 hữu hạn sinh E Nếu hữu hạn sinh Gi đợc chứng minh, ta chứng tỏ điều với Gi1 Nhóm thơng Gi Gi có hữu hạn sinh mà phần tử đại diện cho lớp ghép theo Gi Khi ta thu đợc hệ hữu hạn phần tử Gi1 mà không thuộc Gi Hệ hữu hạn hợp với hệ hữu hạn sinh Gi tạo thành hệ sinh Gi1 Vậy Gi1 nhóm hữu hạn sinh đó, theo quy nạp G nhóm hữu hạn sinh Ngợc lại, U nhóm G U có dãy chuẩn mà thơng đẳng cấu với nhóm nhóm thơng dãy (4) Khi lại nhóm Abel hữu hạn sinh từ suy nhóm nhóm G hữu hạn sinh Suy G thỏa mãn điều kiện cực đại nhóm Điều ngợc lại hiển nhiên Từ bị dừng dãy chuẩn tăng nhóm nhóm giải đợc suy tính hữu hạn sinh tất nhóm nhóm giải đợc Điều tất thơng nhóm cuối có số hữu hạn sinh nhóm thơng dãy giải đợc Mỗi dãy chuẩn hữu hạn sinh với thơng nhóm xiclic Từ suy điều cuối Định lý o D Nhóm tôpô giải đợc tổng quát với điều kiện cực tiểu nhóm đóng Trong phần này, nghiên cứu số tính chất nhóm tôpô giải đợc tổng quát với điều kiện cực tiểu nhóm đóng 2.2.6 Định nghĩa 25 Nhóm tôpô đợc gọi thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng nh dãy nhóm đóng giảm G bị dừng sau hữu hạn bớc A0 A1 An1 = An Nhóm tôpô G đợc gọi nhóm RN nh có dãy chuẩn giải đợc nhóm đóng tăng 2.2.7 Mệnh đề Nếu G nhóm tôpô RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng G nhóm hữu hạn địa phơng tôpô Chứng minh: Giả sử g phần tử thuộc G Khi đó, ta ký hiệu: H = < g > bao đóng nhóm sinh phần tử g Theo [3] H nhóm compact nhóm xiclic vô hạn rời rạc Ta thấy, H nhóm xiclic cấp vô hạn đợc G có dãy nhóm Abel đóng, tức là: A = < g > < g > < g n > không bị dừng điều trái với giả thiết G thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm Abel đóng Do đó, H nhóm compact Điều có nghĩa với phần tử G phần tử compact hay G nhóm xoắn tôpô Do G nhóm RN nên G có dãy chuẩn tăng giải đợc (e) G1 G với Gi1 Gi Gi ta có G1 Gi ( e) nhóm Abel = G1 nhóm Abel (1) 26 Vì G1 nhóm xoắn tôpô G nên G1 nhóm xoắn tôpô Abel Theo [2] G2 G1 nhóm hữu hạn địa phơng tôpô, nhóm G1 G2 nhóm hữu hạn địa phơng tôpô nên Theo [2] G2 nhóm hữu hạn G1 địa phơng tôpô Bằng cách chứng minh quy nạp theo n, ta có Gi nhóm hữu hạn địa phơng tôpô, i = 1, n Vì vậy, dãy (1) dãy chuẩn tăng nhóm nhóm hữu hạn địa phơng tôpô Nhng G tổng nhóm Gi , i = 1,n nên giả sử g , g , , g t hữu hạn phần tử G tồn nhóm GS dãy (1) cho g 1, g 2, , g t GS Vì GS nhóm hữu hạn địa phơng tôpô nên K = < g1 , g , , g t > nhóm compact Vậy G nhóm hữu hạn địa phơng tôpô o 2.2.8 Mệnh đề Giả sử G nhóm tôpô liên thông RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng Khi đó, G nhóm xuyến Lie Chứng minh: Vì G nhóm compact địa phơng liên thông nên tồn lân cận V compact đối xứng đơn vị e G để G = Mặt khác, G nhóm RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng nên theo Mệnh đề 2.2.7, G nhóm hữu hạn địa phơng tôpô Nh G nhóm compact địa phơng hữu hạn địa phơng tôpô compact sinh nên Theo [4], G nhóm compact Vậy G nhóm compact liên thông RN nên Theo [1] G = lim suu u(G, , > ) 27 với G làm nhóm compact giải đợc liên thông nên G xuyến từ suy G xuyến Bây giờ, ta chứng minh G nhóm Lie Theo Định lý Yamabe, với lân cận U e G tồn ớc chuẩn H để G nhóm Lie H Khi đó, G không thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm Abel đóng từ dãy hệ lân cận đơn vị e G U1 U2 Un ta có dãy nhóm đóng không bị dừng tơng ứng HU1 HU2 HUn Vậy G nhóm Lie o 2.2.9 Mệnh đề Giả sử G nhóm RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng Khi đó, nhóm thơng G G nhóm xoắn trừu tợng với G0 thành phần liên thông đơn vị e Chứng minh: Giả sử phần tử g phần tử thuộc G < g > nhóm compact Abel đóng (theo Mệnh đề 2.2.7) ta có nhóm thơng < g > < g0 > nhóm compact Abel hoàn toàn không liên thông nhóm thơng < g > < g0 > hệ lân cận đơn vị U1 U2 Un ta chọn đợc dãy nhóm mở làm hệ lân cận đơn vị HU1 HU2 HUn (2) 28 nhóm thơng < g > < g0 > nhóm thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng Abel đóng nên dãy (2) dãy dừng Từ suy < g > < g0 > nhóm hữu hạn Hay nói cách khác, tồn số tự nhiên n để gn G0 o 2.2.10 Mệnh đề Giả sử G nhóm tôpô RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng Khi đó, tâm tập ZG(G0) ớc chuẩn có số hữu hạn với G thành phần liên thông đơn vị Chứng minh: Do G0 nhóm nhóm tôpô G thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng nên G0 có tính chất Mặt khác, G0 liên thông nên theo Mệnh đề 2.2.8, G0 xuyến Lie theo Mệnh đề 2.2.9, G G nhóm xoắn trừu tợng Ta ký hiệu A[G0] nhóm tự đẳng cấu A0 với tôpô tự nhiên Theo [5] A[G0] đẳng cấu với nhóm ma trận phần tử nguyên với tôpô Ơclít thông thờng Vậy A[G0] nhóm rời rạc A[G0] nhóm xoắn nhóm hữu hạn với g G Ta ký hiệu g tự đẳng cấu nhóm G sinh phần tử g ánh xạ : G A(G0) g a g ánh xạ đẳng cấu liên tục Suy (G0) = e Vì A(G0) nhóm rời rạc, (G) nhóm xoắn nhóm thơng nhóm xoắn trừu tợng nên (G) nhóm hữu hạn Ta có Ker = ZG(G0) G G0 29 Vậy ZG(G0) có số hữu hạn o 2.2.11 Mệnh đề Giả sử T xuyến Khi đó, T nhóm đầy đủ Chứng minh: Giả sử n số tự nhiên Xét ánh xạ: n : T T x a xn n đồng cấu tôpô nhóm T Vì T nhóm Abel compact nên kern nhóm xoắn đóng T Mà T có nhóm xoắn đóng hữu hạn nên ker n hữu hạn suy n(T) T phơng trình xn = g luôn có nghiệm với g T Vậy T nhóm đầy đủ o 30 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống khái niệm sở đặc trng Các kết thu đợc luận văn là: Nêu lên số tính chất nhóm giải đợc tổng quát: - Nhóm giải đợc tổng quát RN hữu hạn địa phơng nhóm giải đợc địa phơng - Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN xoắn nhóm hữu hạn địa phơng Thu đợc số lớp nhóm giải đợc tổng quát mô tả đợc cấu trúc nhóm giải đợc tổng quát với: số hữu hạn lớp phần tử liên hợp, điều kiện cực tiểu nhóm con, điều kiện cực đại nhóm Nghiên cứu đợc số tính chất nhóm tôpô giải đợc tổng quát với điều kiện cực tiểu nhóm đóng Hy vọng thời gian tới, thu đợc kết theo phơng hớng đặt 31 tài liệu tham khảo [1] Lê Quốc Hán, Lê Thị Khuyên (1994), Nhóm tôpô thỏa mãn điều kiện cực tiểu nhóm đóng, Thông báo Khoa học ĐHSP Vinh, số 10 (19-24) [2] Nguyễn Văn Giám (1995), Tính hữu hạn địa phơng tôpô nhóm RN, Thông báo Khoa học ĐHSP Vinh, số 12 (16-20) [3] L S Pontriagin (1966), Nhóm liên tục, M [4] (1966), , (1095-1105) [5] K Iwasawa (1949), On some types of topological, Ann of Math., J 50, No3 (507-558) [6] Yamabe H (1953), On the conjecture of Iwasawa and Gleason, Ann of Math., 58, No1 (48-54) [7] Yamabe H (1953), A generalization of a theorem of Gleason, Ann of Math., 58, No2 (351-365) [...]... phơng của nhóm xoắn giải đợc và tính chất hữu hạn địa phơng của nhóm giải đợc địa phơng xoắn 20 Đ2 một số lớp Nhóm giải đợc tổng quát A nhóm giải đợc tổng quát RI với một số hữu hạn lớp các phần tử liên hợp 2.2.1 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RI (đặc biệt là nhóm giải đợc) với một số hữu hạn lớp các phần tử liên hợp là nhóm hữu hạn Chứng minh: Thật vậy, vì không thể có nhóm G với hữu hạn lớp các... bày một cách có hệ thống những khái niệm cơ sở và những đặc trng cơ bản nhất Các kết quả thu đợc trong luận văn là: 1 Nêu lên một số tính chất của nhóm giải đợc tổng quát: - Nhóm giải đợc tổng quát RN hữu hạn địa phơng là nhóm giải đợc địa phơng - Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN xoắn là nhóm hữu hạn địa phơng 2 Thu đợc một số lớp nhóm giải đợc tổng quát và mô tả đợc cấu trúc của nhóm giải đợc tổng quát. .. cả các nhóm con của nhóm giải đợc Điều đó trong tất cả các thơng của nhóm cuối cùng có một số hữu hạn sinh trong nhóm thơng của dãy giải đợc Mỗi một dãy chuẩn hữu hạn sinh với thơng là nhóm xiclic Từ đó suy ra điều cuối cùng của Định lý o D Nhóm tôpô giải đợc tổng quát với điều kiện cực tiểu đối với nhóm con đóng Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của nhóm tôpô giải đợc tổng quát với... là nhóm Abel Nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc tổng quát RI nếu G có dãy bất biến giải đợc, tức trong G có dãy E B1 B = G với Bi là ớc chuẩn của G và B i +1 Bi là nhóm Abel Ta thấy rằng nếu G có dãy (1) cha chắc G đã có dãy (2) Bây giờ ta nghiên cứu một số tính chất của nhóm RN và RI (2) 18 Đ1 tính chất của Nhóm giải đợc tổng quát 2.1.1 Định lý Nhóm giải đợc tổng quát RN hữu hạn địa phơng là nhóm giải. .. trúc của nhóm RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con 2.2.2 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con là nhóm giải đợc Nhóm G giải đợc thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con khi và chỉ khi G là mở rộng của nhóm Abel đầy đủ thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con bởi nhóm giải đợc hữu hạn Chứng minh: Giả sử G là nhóm giải đợc tổng quát RN thỏa... với p là số nguyên nào đó Nhóm thơng G F là nhóm hữu hạn đồng thời là nhóm RI Suy ra G là nhóm giải đợc hữu hạn nên G là mở rộng đầy đủ Abel với F nhóm giải đợc hữu hạn Vậy G là nhóm giải đợc o 2.2.3 Hệ quả Mọi nhóm giải đợc thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con là nhóm đếm đợc 2.2.4 Hệ quả Nhóm giải đợc thỏa mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con khi nhóm thơng của dãy giải đợc là nhóm thỏa... Chứng minh: Nếu G là nhóm hữu hạn địa phơng RN Khi đó, các nhóm con hữu hạn sinh của G là nhóm hữu hạn Suy ra, nhóm con hữu hạn sinh của G là nhóm giải đợc Mà mọi nhóm con hữu hạn sinh của G là nhóm giải đợc nên G là nhóm giải đợc Vậy G là nhóm giải đợc địa phơng o 2.1.2 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN xoắn là nhóm hữu hạn địa phơng Chứng minh: Trớc hết, ta giả thiết G là nhóm Abel Giả sử a1,... cực tiểu đối với nhóm con C Nhóm giải đợc tổng quát RN với điều kiện cực đại đối với nhóm con Trong phần này chúng tôi mô tả cấu trúc của nhóm giải đợc tổng quát RN thỏa mãn điều kiện cực đại đối với nhóm con, đồng thời mô tả cấu trúc của nhóm giải đợc thỏa mãn điều kiện cực đại đối với nhóm con 2.2.5 Định lý Nếu G là nhóm giải đợc có dãy chuẩn giải đợc mà tất cả các thơng của nó là nhóm Abel hữu hạn... nên < h1 , , hk > - compact Vậy H là nhóm con hữu hạn địa phơng tôpô o 1.2.10 Định lý Nếu H là ớc chuẩn hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô G sao cho G H tôpô là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô thì G là nhóm hữu hạn địa phơng Chứng minh: Xem [1] 17 Chơng 2 Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát Định nghĩa Nhóm G đợc gọi là nhóm giải đợc tổng quát RN nếu G có dãy chuẩn giải đợc tăng, tức trong G có dãy E ... thiết) Vậy Hk1 có một số hữu hạn lớp các phần tử liên hợp Bây giờ, ta chứng minh sự hữu hạn của nhóm thơng Hk 1 Vì Hk 1 Hk 2 là nhóm Abel nên theo chứng minh trên, Hk 1 là nhóm Hk 2 Hk 2 hữu hạn Tiếp tục quá trình trên đối với nhóm thơng của dãy (1) sau một số hữu hạn lần, ta có Hk là nhóm hữu hạn Vậy G là nhóm hữu hạn o B Nhóm giải đợc tổng quát RN với điều kiện cực tiểu đối với nhóm con Trong phần ... Nhóm hữu hạn địa phơng tôpô .11 Chơng 2: Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát 15 Đ1 Tính chất nhóm giải đợc tổng quát 16 Đ2 Một số lớp nhóm giải đợc tổng quát .18 A Nhóm giải. .. phơng nhóm giải đợc địa phơng xoắn 20 Đ2 số lớp Nhóm giải đợc tổng quát A nhóm giải đợc tổng quát RI với số hữu hạn lớp phần tử liên hợp 2.2.1 Định lý Mọi nhóm giải đợc tổng quát RI (đặc biệt nhóm. .. phơng nhóm giải đợc địa phơng - Mọi nhóm giải đợc tổng quát RN xoắn nhóm hữu hạn địa phơng Thu đợc số lớp nhóm giải đợc tổng quát mô tả đợc cấu trúc nhóm giải đợc tổng quát với: số hữu hạn lớp