Một số lớp nhóm ABEN chia được và nhóm ABEN tuần hoàn

Mục lục Trang * Mục lục 1 * Mở đầu 2 Đ1. Nhóm cộng các số hữu tỷ Q 3 Đ2. Nhóm tựa xyclic kiểu C(p ) 12 Đ3. Nhóm Aben chia đợc 18 Đ4. Nhóm Aben tuần hoàn 25 * Kết luận 31 * Tài liệu tham khảo. 32 Lời nói đầu Ngay từ lúc mới ra đời, lý thuyết nhóm nói chung và lý thuyết nhóm Aben đã tỏ ra có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các vấn đề toán học và thực tiễn. Ngày nay, mặc dù có khá nhiều giáo trình về lý thuyết nhóm, nhng các vấn đề đợc trình bày trong chúng vẫn thiên về lý thuyết tổng quát. Các lớp nhóm cụ thể, hoặc chỉ đợc đa ra nh là các ví dụ minh hoạ, hoặc các bài tập áp dụng nên cha đợc khảo sát một cách có hệ thống và các đặc trng của chúng cha đợc phát biểu và chứng minh một cách đầy đủ, chi tiết. Luận văn này nghiên cứu hai lớp nhóm Aben quen thuộc: nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm tựa xyclic C(p ) nhằm bổ sung một phần khiếm khuyết trên. Luận văn đợc chia làm 4 phần: Trong tiết 1, chúng tôi sẽ khảo sát các tính chất của nhóm cộng các số hữu tỷ Q nh: tập sinh, tính xoắn, sự phân tích và nhóm con tối đại, cũng nh vành tự đồng cấu End(Q) và nhóm các tự đẳng cấu Aut(Q). Các kết quả đáng quan tâm đợc trình bày trong các mệnh đề 1.2; 1.5; 1.7; 1.11; 1.13; 1.15 và 1.16. Trong tiết 2, chúng tôi xây dựng nhóm tựa xyclic C(p ) và thu đợc các kết quả tơng tự nh nhóm cộng các số hữu tỷ Q - tuy cách chứng minh có phức tạp hơn (xem chứng minh mệnh đề 2.4). Tiết 3 nghiên cứu nhóm Aben chia đợc. ở đây, chúng tôi thu đợc kết quả kinh điển trong lý thuyết nhóm: Giả sử G là nhóm Aben chia đợc khác không. Khi đó G phân tích đợc thành tổng trực tiếp của các nhóm con hoặc đẳng cấu với nhóm cộng các số hữu tỷ Q hoặc các nhóm tựa xyclic C(p ) với các số nguyên tố khác nhau. Tiết 4 nghiên cứu nhóm Aben tuần hoàn. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình, tận tâm của thầy giáo, TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên cùng khoá đã động viên chúng tôi hoàn thành bản luận văn. Vì trình độ và thời gian có hạn nên luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong bạn đọc lợng thứ và góp ý. Tác giả 2 Đ1. Nhóm cộng các số hữu tỷ Q Giả sử Q là tập hợp các số hữu tỉ. Khi đó mỗi phần tử x Q có thể viết dới dạng q p x = , trong đó p, q Z, q > 0 và ( p, q) = 1. Ta đa vào Q phép cộng thông thờng: 'qq q'p'pq 'q 'p q p + =+ Khi đó Q trở thành một nhóm Aben vô hạn. Định nghĩa 1.1. Giả sử G là một nhóm Aben. Khi đó G đợc gọi là nhóm Aben tuần hoàn nếu mọi phần tử của G đều có cấp hữu hạn. G đợc gọi là nhóm phi xoắn nếu mọi phần tử khác không của G đều có cấp vô hạn. Mệnh đề 1.2. i) Q là nhóm phi xoắn ii) Q/ Z là nhóm tuần hoàn. Chứng minh. i) Giả sử x Q và x có cấp hữu hạn. Khi đó tồn tại số nguyên dơng n sao cho: nx = 0. Vì x Q nên tồn tại p, q Z, q >0, (p, q) = 1 sao cho x = q p . Từ nx = 0 suy ra: q np = 0 np = 0, mà n 0 nên p = 0. Do đó x = 0. Theo định nghĩa 1.1 suy ra Q là nhóm phi xoắn. ii) Giả sử x + Z là một phần tử tuỳ ý của Q/ Z , và x = q p , trong đó p, q Z, q > 0, (p, q) = 1 thì: q(z+ Z) = p + Z = 0 vì p Z. Do đó x + Z có cấp hữu hạn (vì q >0) nên Q/ Z là nhóm tuần hoàn. Định nghĩa 1.3. Giả sử G là nhóm Aben tuỳ ý. Tập hợp hữu hạn phần tử g 1 , g 2 , . , g k của nhóm G đợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số nguyên n 1 , n 2 , . , n k không đồng thời bằng không sao cho: n 1 g 1 + n 2 g 2 + . + n k g k = 0. Hệ tuỳ ý các phần tử của G đợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó phụ thuộc tuyến tính. 3 Hệ các phần tử của G đợc gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính. Ngời ta đã chứng minh đợc rằng: Với mỗi nhóm Aben tuỳ ý cho trớc đều tồn tại hệ độc lập tuyến tính tối đại và các hệ độc lập tuyến tính tối đại của G đều có cùng lực lợng. Lực lợng của một hệ độc lập tuyến tính tối đại nào đó của G đợc gọi là hạng của nhóm Aben G và đợc kí hiệu là r(G). Mệnh đề 1.4. i) Nhóm Aben tuần hoàn có hạng bằng không. ii) Nhóm Aben khác không không xoắn có hạng bằng một khi và chỉ khi nó đẳng cấu với nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ Q. Chứng minh. i) Giả sử G là nhóm Aben tuần hoàn. Khi đó, với mọi phần tử g G, tồn tại số nguyên dơng n sao cho ng = 0. Do đó: hệ chỉ gồm 1 phần tử của G luôn luôn phụ thuộc tuyến tính. Suy ra G không chứa hệ độc lập tuyến tính nên r(G) = 0. ii) Giả sử G là nhóm con khác không của Q. Khi đó: g 1 , g 2 G; g 1 , g 2 0, tồn tại p 1 , q 1 , p 2 , q 2 Z; q 1 , q 2 > 0 ; (p 1 , q 1 ) =1, (p 2 , q 2 ) =1 sao cho: g 1 = 1 1 q p , g 2 = 2 2 q p . Vì g 1 , g 2 0 nên p 1 , p 2 0. Đặt n 1 = p 2 q 1 , n 2 = p 1 q 2 thì: n 1 0, n 2 0 và n 1 g 1 = p 2 q 1 . 1 1 q p = p 2 p 1 = p 1 p 2 = p 1 q 2 . 2 2 q p = n 2 g 2 . Do đó: hệ {g 1 , g 2 } phụ thuộc tuyến tính. Suy ra r(G) = 1. Đảo lại. Giả sử G là nhóm Aben khác không phi xoắn có hạng bằng 1. Lấy phần tử g 0 cố định thuộc G, g 0 0. Khi đó, với mỗi phần tử tuỳ ý g của G, tồn tại các số nguyên m, n sao cho: ng =mg 0 (vì r(G) = 1). Nếu g 0 thì m, n 0. Ta xác định đợc tơng ứng : G Q g n m Ta chứng minh là đơn cấu. + là ánh xạ: Thật vậy, giả sử n 1 , m 1 Z sao cho n 1 g = m 1 g 0 . Khi đó m 1 ng = m 1 mg 0 và mn 1 g = nm 1 g 0 nên m 1 ng = mn 1 g 4 (m 1 n - mn 1 )g = 0. Nếu g 0 thì: do G phi xoắn nên m 1 n - mn 1 = 0. Do đó: 1 1 n m n m = . Nếu g = 0 thì : m, m 1 = 0 (do g 0 0) nên 1 1 n m n m = = 0. + là đồng cấu: Thật vậy, giả sử (g) = n m và (g ) = s t Thì : do ng = mg 0 , sg = tg 0 nên: ns(g+g ) = sng + sng = smg 0 + n.tg 0 = (sm + nt)g 0 (g+g ) = s t n m ns ntsm += + = (g) + (g ) Do đó là đồng cấu. + đơn ánh: Thật vậy: giả sử (g 1 ) = (g) trong đó: (g 1 ) = k , (g) = n m thì : kg 1 = g 0 , ng = mg 0 và k = n m n = mk. Do đó: mk(g-g 1 ) = mkg - mkg 1 = n g- kmg 1 = mg 0 - m g 0 = 0. Do G là nhóm phi xoắn nên: g - g 1 = 0 g = g 1 là đơn ánh. Vậy là đơn cấu và do đó: G (G) Q. Mệnh đề 1.4 đợc chứng minh. Để khảo sát sâu hơn các tính chất của Q, ta hãy xác định tập sinh của Q. Mệnh đề 1.5. Tập hợp { n 1 | n = 1,2, .} là một tập sinh của Q. Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của Q sinh bởi tập { n 1 | n = 1,2, .} ta chỉ cần chứng minh Q H. Thật vậy: giả sử x Q, khi đó tồn tại p, q Z, q > 0 (p, q) =1 sao cho x = q p . Khi đó: q 1 H, mà p Z nên x = p. q 1 H. Do x bất kỳ thuộc Q nên Q H. Hiển nhiên H Q. Vì vậy Q = H. Định nghĩa 1.6. Nhóm Aben G đợc gọi là nhóm xyclic địa phơng nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của G là nhóm xyclic. 5 Mệnh đề 1.7. i) Nhóm cộng các số hữu tỉ Q không phải là nhóm xyclic ii) Nhóm cộng các số hữu tỉ Q là nhóm xyclic địa phơng. Chứng minh. i) Trớc hết ta chú ý rằng: các nhóm xyclic vô hạn đều đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z, và nhóm cộng các số hữu tỉ Q là vô hạn nên ta chỉ cần chứng minh Q không đẳng cấu với Z. Giả sử f : Q Z là một đồng cấu tuỳ ý. Nếu f(1) = 0 thì p Z, p > 0 ta có: f(p) = pf(1) = 0. Do đó f(n) = 0, n Z. Khi đó x Q, x = q p , trong đó p, q Z, q > 0 và (p, q) =1, ta có: f(p) = 0 nên f(xq) = 0 qf(x) = 0 f(x) = 0 (do q> 0). Vì thế f là đồng cấu không f không phải là đẳng cấu. Thật vậy: giả sử f là đẳng cấu, thế thì f(1) = q 1 0. Do đó tồn tại q 2 Z, q 2 > 1 : (q 1 , q 2 ) = 1. Giả sử f( 2 1 q ) = n Z thì q 1 = f(1) = f(q 2 . 2 1 q ) = q 2 .f( 2 1 q ) = q 2 .n q 2 \ q 1 (q 1 , q 2 ) = q 2 > 1. Mâu thuẫn. Vậy f không phải là đẳng cấu. Do đó Q không đẳng cấu với Z hay Q không phải là nhóm xyclic. ii) Giả sử A là nhóm con hữu hạn sinh của Q. A = n n q p , ., q p , q p 2 2 1 1 , trong đó: p i , q i Z, q i > 0 , (p i , q i ) =1, i = n,1 Thế thì: A n n q p , ., q p , q p , 2 2 1 1 1 Kí hiệu B = n n q p , ., q p , q p , 2 2 1 1 1 và C = n q , ., q , q 111 21 Ta hãy chứng minh B = C. Thật vậy: vì 1 = q i . 1 1 q 1 C. i i i i q .p q p 1 = C. nên B C. (1) Vì (p i , q i ) =1 nên tồn tại i , i Z sao cho: i p i + i q i = 1 Suy ra: 1 1 . q p . q qp q i i i i i iiii i += + = B nên C B (2) 6 Từ (1) và (2) suy ra : B = C. Giả sử q = BCNN (q 1 , q 2 , . , q n ). Ta có: q = k i q i , trong đó k i Z, k i > 0, i = n,1 và k i nguyên tố cùng nhau. Gọi A q là nhóm con xyclic của Q sinh bởi phần tử q 1 Vì C = q k , ., q k , q k n21 , trong đó q .k q k i i 1 = A q C A q (3) Mặt khác, d(k 1 , k 2 , . , k n ) = 1 nên tồn tại 1 , 2 , ., n Z sao cho 1 k 1 , 2 k 2 , ., n k n = 1. q k q k . q k . q n n +++= 2 2 1 1 1 C. A q C. (4) Từ (3) và (4) suy ra: C = A q . Do đó C là nhóm xyclic, mà A là nhóm con của C nên A là nhóm xyclic. Suy ra Q là nhóm xyclic địa phơng. Mệnh đề 1.7 đợc chứng minh. Định nghĩa 1.8. Giả sử là họ các nhóm con nào đó của nhóm G. Khi đó: nhóm con H của G đợc gọi là nhóm con tối đại của họ nếu H và từ điều kiện H H G, H , H G thì H = H. Nếu là họ tất cả các nhóm con của G thì khi đó H đợc gọi là nhóm con tối đại của G. Nhóm con Fratxinhi (G) của nhóm G là giao của các nhóm con tối đại của G nếu giao đó tồn tại và là G trong trờng hợp ngợc lại. Định nghĩa 1.9. Phần tử x G đợc gọi là phần tử vô sinh của G nếu với mọi tập con S của G đều thoả mãn điều kiện: <x, S> = G, ta suy ra (S)= G. Mệnh đề 1.10. Tập hợp M tất cả các phần tử vô sinh của G trùng với nhóm con Fratxinhi (G). Chứng minh. Gọi M là tập hợp tất cả các phần tử vô sinh của G. Ta chứng minh M = (G). M (G): Thật vậy: 7 Nếu G không có nhóm con tối đại, thì M (G) là hiển nhiên. Giả sử x M và H là nhóm con tối đại tuỳ ý của G. Nếu x G thì <x, H> = G, H G <H> = G: điều này mâu thuẫn với giả thiết x M. Do đó x H, với H là nhóm con tối đại của G. x (G) nên M (G) (1) (G) M: Thật vậy: nếu ngợc lại, tồn tại phần tử x (G) mà x M. Khi đó, tồn tại tập con S của G sao cho <x, S> = G nhng <S> G. Theo bổ đề Zoóc, tồn tại nhóm con H tối đại trong họ các nhóm con chứa S nhng không chứa x. Rõ ràng, tất cả các nhóm con này là nhóm con tối đại của G, và khi đó chúng thuộc (G) và do đó chứa x. Mâu thuẫn. Suy ra (G) M. (2) Từ (1) và (2) suy ra M = (G) Mệnh đề 1.10 đợc chứng minh. Mệnh đề 1.11. Nhóm cộng các số hữu tỉ Q không chứa nhóm con tối đại. Nói cách khác (Q) = Q. Chứng minh. Vì Q = <{ n 1 | n Z, n > 0}> nên ta chỉ cần chứng minh mỗi phần tử sinh của Q đều là phần tử vô sinh. Thật vậy: giả sử n 1 là một phần tử sinh của Q. Khi đó: 2 1 n cũng là phần tử sinh của Q. Mà n 1 = n. 2 1 n nên ta có thể bỏ phần tử sinh n 1 của Q thì tập sinh còn lại cũng sinh ra Q. Do đó mọi phần tử thuộc Q đều vô sinh. Theo mệnh đề 1.10 ta có: (Q) = Q. Do đó Q không có nhóm con tối đại. Ta chuyển sang khảo sát sự phân tích của Q. Định nghĩa 1.12. Nhóm Aben G gọi là phân tích đợc nếu tồn tại các nhóm con A, B khác không của G sao cho G = A B. Mệnh đề 1.13. Nhóm cộng các số hữu tỉ Q không phân tích đợc. 8 Chứng minh. Giả sử Q = A B trong đó A, B là các nhóm con khác không của Q. Khi đó: tồn tại a A, b B sao cho a, b 0. Vì a, b Q nên tồn tại p 1 , q 1 , p 2 , q 2 Z; q 1 > 0, q 2 > 0, (p 1 , q 1 ) = 1, (p 2 , q 2 ) = 1 sao cho : a = 1 1 q p , b = 2 2 q p . Khi đó q 1 q 2 ab 0. và q 1 q 2 ab = 2 2 1 1 21 q p . q p qq = q 1 p 2 . 1 1 q p = p 1 q 2 .a A đồng thời q 1 q 2 ab = 2 2 1 1 21 q p . q p qq = q 2 p 1 . 2 2 q p = q 2 p 1 .b B. Do đó q 1 q 2 ab (A B) A B điều này mâu thuẫn với Q = A B. Vậy Q không phân tích đợc. Mệnh đề 1.13 đợc chứng minh. Với mỗi số nguyên tố p cho trớc, ta kí hiệu Q(p) = { n p m | m, n Z, n > 0}. Định nghĩa 1.14. Giả sử G là nhóm Aben tuỳ ý. Khi đó tập con C p (G) gồm tất cả các phần tử của G mà cấp là luỹ thừa của số nguyên tố p đợc gọi là p-thành phần nguyên sơ của G. Mệnh đề 1.15. i) Q(p) là nhóm con của Q. ii) Q(p)/ Z là p-thành phần nguyên sơ của Q/ Z . iii) Q/ Z = p Q(p)/ Z . Chứng minh. i) Giả sử x, y Q(p). Khi đó: x = 1 1 n p m , y = 2 2 n p m , trong đó: m i , n i Z, n i > 0 (i = 1,2) x-y = 1 1 n p m - 2 2 n p m = 21 12 21 nn nn p pmpm + Q(p) (vì m 1 p n 2 - m 2 p n 1 Z, n 1 + n 2 Z, n 1 + n 2 > 0). Vậy Q(p) là nhóm con của Q. ii) Giả sử n p m + Z Q(p)/ Z . Khi đó p n .( n p m + Z) = m + Z = 0 nên n p m + Z có cấp là ớc của p n , mà p n là số nguyên tố nên ớc của p n có dạng p k với k Z, k >0. 9 Vì vậy n p m + Z thuộc p-thành phần nguyên sơ của Q/ Z . Đảo lại. Nếu x + Q Q/ Z sao cho x + Q có cấp là p r thì p r là luỹ thừa nguyên dơng bé nhất của p để p r (x+ Z) = 0 p r x Z. Do x Q nên tồn tại a, b Z, b> 0 (a,b) =1 sao cho x = b a p r x = p r . b a Z b\p r b = p với Z, >0. Do đó x + Z Q(p)/ Z . iii) Vì Q/ Z là nhóm tuần hoàn nên dựa vào kết quả: Mọi nhóm tuần hoàn đều phân tích đợc thành tổng trực tiếp của các p-thành phần nguyên sơ của nó nên theo ii) ta suy ra: Q/ Z = p Q(p)/ Z . Mệnh đề 1.15 đợc chứng minh. Ta chuyển sang nghiên cứu vành các tự đồng cấu và nhóm các tự đẳng cấu của nhóm cộng các số hữu tỉ Q. Giả sử G là nhóm Aben tuỳ ý và End(G) là tập hợp các tự đồng cấu của G. Xác định trên End(G) phép toán cộng nh sau: Giả sử , End(G) thì + : G G xác định bởi: ( + ) (x) = (x) + (x), C x G. Khi đó ( + ) End(G). Thế thì End(G) trở thành một vành với phép nhân là phép hợp thành hai ánh xạ và phép cộng xác định nh trên. Kí hiệu Aut(G) là nhóm các tự đẳng cấu của G, thì Aut(G) (End(G)) * , trong đó: (End(G)) * là tập hợp các phần tử khả nghịch của G. Mệnh đề 1.16. i) End(Q) Q. ii) Aut(Q) Q*, trong đó Q* là nhóm nhân các số hữu tỉ khác không. Chứng minh. Ta thấy ii) đợc suy ra trực tiếp từ i) và Aut(G) (End(G)) * . Do đó ta chỉ cần chứng minh i). Giả sử Q. khi đó ánh xạ f : Q Q x x 10