Một số bài toán giải được liên quan đến nhóm con của nhóm tự do

1 bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------------------ phạm khắc quý một số bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2007 2 bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------------------ phạm khắc quý một số bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do Chuyên ngành: đại số & lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. lê quốc hán Vinh - 2007 Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Danh mục ký hiệu 4 Chơng 1. Nhóm tự do. Nhóm con của nhóm tự do 5 Đ1. Nhóm tự do 5 Đ2. Nhóm con của nhóm tự do. Phơng pháp Neilsen 12 Chơng 2. Một số bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do 20 Đ1. Một số bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do 20 Đ2. Hạng của nhóm con của nhóm tự do 30 Đ3. Nhóm con của nhóm tự do với chỉ số hữu hạn 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 3 lời nói đầu Công cụ chủ yếu để nghiên cứu nhóm tự do là lý thuyết rút gọn. Năm 1921, Neilsen lần đầu tiên đã sử dụng phơng pháp dựa trên Lý thuyết rút gọn để chứng minh rằng nhóm con hữu hạn sinh của một nhóm tự do hữu hạn sinh là một nhóm tự do. Sáu năm sau(1927), Schreier đã sử dụng một phơng pháp khác đã chứng minh khẳng định trên mà không cần đến giả thiết hữu hạn sinh, khẳng định này đợc gọi là Định lý Neilsen-Schreier về nhóm con và đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết nhóm tổ hợp. Hơn nữa, ta có thể sử dụng các phép rút gọn để khảo sát tính giải đợc của một số lớp nhóm con đặc biệt của nhóm tự do. Các vấn đề liên quan đến nhóm tự do đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều hớng khác nhau, nhng trong phạm vi của luận văn này trọng tâm chúng tôi nêu lên một số bài toán liên quan đến nhóm con của nhóm tự do và khảo sát xem có tồn tại hay không một thuật toán mà qua hữu hạn bớc thực hiện chúng ta có thể đa ra khẳng định bài toán đó đúng hay sai. Đây là một vấn đề đang đợc nhiều tác giả trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu. Luận văn chia làm 2 chơng Chơng 1: Nhóm tự do, nhóm con của nhóm tự do. Chúng tôi trình bày một số kiến thức về nhóm tự do. Đặc biệt để phục vụ cho việc nghiên cứu nhóm con của nhóm tự do, chúng tôi đã trình bày phơng pháp Neilsen. Kết quả chính của chơng này là 1.4, 1.7, 1.8, 2.6, 2.7. Chơng 2: Một số bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do. Chơng này đợc chia làm 3 phần. Phần 1 là trọng tâm của luận văn. Chúng tôi nêu lên một kết quả tơng tự với trờng hợp riêng của định lý Grusko-Neumann trong đại số tuyến tính (1.1). Nêu ra một số bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do (1.3, 1.9, 1.10, 1.11, 1.16). 4 Phần 2 trình bày các kết quả về hạng của nhóm con của nhóm tự do. Chứng minh chi tiết định lý về nhóm con của nhóm tự do trong trờng hợp tổng quát (2.6). Phần 3 trong phần này, chúng tôi xem xét một trờng hợp đặc biệt, đó là nhóm con của nhóm tự do với chỉ số hữu hạn (3.1, 3.3, 3.10). Luận văn đợc thực hiện từ tháng 3 năm 2007 và hoàn thành tại Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã đặt vấn đề, thờng xuyên giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô giáo trong khoa toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tôi trong thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại trờng. Cũng nhân dịp này, tôi xin cảm ơn các bạn học viên Cao học 13 chuyên ngành Đại số, khoa Sau đại học, trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 10 năm 2007 danh mục ký hiệu 5 Trong toàn bộ luận văn, trừ các trờng hợp đã đợc nói rõ trong các mục, còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau: : hợp . : giao . : là tập con của . : thuộc : Hạng của tập hợp . : Hạng của nhóm . : Chỉ số của trong . : Hoán tập của . : là ớc chuẩn của . : Nhóm thơng của theo ớc chuẩn . : Nhóm thơng của theo quan hệ tơng đẳng trên . 6 7 Chơng 1 Nhóm tự do - Nhóm con của nhóm tự do Đ1.Nhóm tự do 1.1. Định nghĩa: Giả sử là một tập con của một nhóm nào đó. Thế thì đợc gọi là nhóm tự do với cơ sở nếu điều kiện sau đây đợc thoả mãn: Với mọi ánh xạ từ tập hợp vào nhóm tuỳ ý tồn tại duy nhất một mở rộng của nó, là đồng cấu từ nhóm vào nhóm . Rõ ràng điều kiện duy nhất của mở rộng tơng đơng với điều kiện sinh ra . 1.2. Mệnh đề: Giả sử và là các nhóm tự do với các cơ sở và tơng ứng. Thế thì nếu và chỉ nếu và có cùng lực lợng. Chứng minh: : Giả thiết rằng là ánh xạ một một từ lên . Đặt . Khi đó và xác định các ánh xạ và . Thế thì và cảm sinh ra các đồng cấu và là mở rộng tơng ứng của và . Đồng cấu tác động trên nh ánh xạ đồng nhất và do đó là mở rộng của ánh xạ nhúng . Vì ánh xạ đồng nhất cũng là mở rộng của và là 8 nhóm tự do, nên . Tơng tự, có và do đó là đẳng cấu. Còn phải chứng minh nhóm xác định bản số . Thật vậy, nhóm con của do đợc sinh bởi bình phơng của tất cả các phần tử của là ớc chuẩn của , hơn nữa là nhóm Abel sơ cấp hạng ( chẳng hạn nếu là tập hợp hữu hạn thì , nếu bản số vô hạn thì ). 1.3. Hệ quả: Tất cả các cơ sở của một nhóm tự do có cùng lực lợng, ( lực lợng ấy đợc gọi là hạng của nhóm tự do ). 1.4. Mệnh đề: Nếu một nhóm đợc sinh bởi một tập hợp gồm phần tử, thì đẳng cấu với nhóm thơng của một nhóm tự do hạng . Chứng minh: Giả sử là một tập sinh gồm phần tử của và là ánh xạ một một từ tập hợp tuỳ ý nào đó lên ( có thể lấy và là ánh xạ đồng nhất của ). Xét nhóm tự do sinh bởi . Khi đó xác định ánh xạ , và mở rộng đợc thành đồng cấu , trong đó là 9 nhóm tự do sinh bởi . Vì ảnh của tập hợp qua sinh ra , nên ánh xạ lên toàn bộ nhóm và do đó . Chú ý rằng, trong chứng minh mệnh đề 1.4 ta không sử dụng giả thiết hữu hạn. Do đó ta dễ dàng thu đợc kết quả: Giả sử là một nhóm với tập sinh . Khi đó đẳng cấu với nhóm thơng của một nhóm tự do hạng nào đó. Lớp các nhóm tự do có thể đặc trng không cần xét các cơ sở của chúng. Điều này suy ra từ kết quả quả quen thuộc: Trong phạm trù các nhóm, các vật chiếu là tự do. 1.5. Định nghĩa: Nhóm đợc gọi là nhóm xạ ảnh nếu thoả mãn điều kiện sau: Đối với hai nhóm và tuỳ ý và các đồng cấu , với toàn ánh, tồn tại đồng cấu sao cho . 1.6. Định nghĩa: ánh xạ từ nhóm lên nhóm con gọi là phép co rút và đợc gọi là cái co rút của , nếu hay tơng đơng: thu hẹp của trên là phép đồng nhất của . 1.7. Mệnh đề: Giả sử là nhóm xạ ảnh. Khi đó là cái co rút của một nhóm tự do nào đó. Chứng minh: Theo định nghĩa 1.5, lấy , trong đó là nhóm tự do sinh bởi tập sinh nào đó của với toàn cấu tơng ứng( 10