chuẩn tắc và của các phần tử và là các nhóm con chuẩn tắc tự do
hạng bằng , trong khi đó là nhóm con chuẩn tắc tự do hạng
vô hạn.
Chứng minh: Chúng ta xét nhóm . Nếu thay thế
bởi và với sử dụng biến đổi J. Titse, chúng ta nhận đợc biễu diễn
; do đó có tự đẳng cấu chuyển thành và giữ
nguyên . Giả sử là bao đóng chuẩn tắc đối với trong và là
bao đóng chuẩn tắc đối với . Ký hiệu là toàn cấu
chính tắc, nhóm Abel tự do đợc sinh bởi các phần tử và , ảnh của và t- ơng ứng qua . Khi đó và . Nếu và thì khi và chỉ khi , và khi và chỉ khi
, nghĩa là . Nhóm con là tâm của nhóm , hơn nữa . Bởi vậy, , ảnh của trong
, là tích tự do của nhóm xyclic vô hạn
và cấp hai. Vì là bao đóng chuẩn tắc của phần tử trong không chứa , nên nó có giao tầm thờng với nhóm con tuỳ ý liên hợp với , và khi đó theo định lý Kurosh về nhóm con thì là nhóm tự do. Hơn nữa, phần tử
nằm trong khi và chỉ khi nó có một số chẵn các nhân tử , nghĩa là
có dạng . Giả sử , khi đó . Bởi
vậy, và sinh ra , hơn nữa từ suy ra chúng tạo thành một cơ sở của . Bởi vậy, các phần tử và của nhóm , ánh xạ thành và , tạo thành cơ sở của . Nh vậy và là nhóm tự do hạng bằng hai.
Bởi vậy, có một cơ sở gồm các phần tử và . Hơn
nữa, , trong đó là nhóm xyclic vô hạn mà phần tử của
nó là ảnh của phần tử . Bởi vậy là bao đóng chuẩn tắc của phần tử cơ sở của nhóm trong nhóm đó. Trong trờng hợp này có cơ sở N- rút gọn đợc (đối với và ) gồm tất cả các phần tử , , nghĩa là có hạng vô