căn cứ vào nó quyết định đợc với hai tập con hữu hạn và đã cho của
thì các nhóm con và có liên hợp với nhau hay không.
Chứng minh: Chúng ta ký hiệu qua độ dài cực đại của các phần tử thuộc và . Trớc hết chúng ta phát biểu khẳng định:
(*) Nếu với nào đó thì liên hợp trong với , trong đó là một phần tử nào đó thuộc thoả mãn điều kiện
.
Trớc hết ta chứng tỏ rằng mệnh đề 1.11 đợc suy ra từ (*). Thật vậy, giả sử (*) xảy ra. Khi đó có thể giả thiết hữu hạn sinh, hơn nữa số phần tử
thoả mãn điều kiện là hữu hạn. Đối với mỗi và mỗi có thể quyết đợc hay không. Sau khi rút ra kết luận đó, quyết định tiếp
hay không, và do đó quyết định hay không. Chúng ta tiến hành tất cả các bớc đó với bất kỳ thoả mãn điều kiện . Theo (*), một liên hợp nào đó với của nhóm con nằm trong hay không có thể làm sáng tỏ đợc. Lại theo (*), liên hợp với trong chính trờng hợp khi
với nào đó thoả mãn điều kiện . Chúng ta đã thấy việc tìm tất cả các thoả mãn sao cho đợc tiến hành nh thế nào. Bây giờ với mỗi nh vậy chúng ta có thể quyết đợc hay không, và do đó quyết định đợc hay không.
Còn lại phải chứng minh (*). Ta bỏ qua trờng hợp tầm thờng khi . Trong trờng hợp , nếu thay thế bằng một tập hợp liên hợp có thể xem
rằng chứa phần tử đợc rút gọn xyclic không tầm thờng. Cũng có thể giả thiết rằng là một tập hợp N- rút gọn đợc các phần tử sinh của . Nh vậy, giả sử
với nào đó. Nếu với , nào đó thì
nhóm con liên hợp trong với . Bởi vậy, tính chân thực của (*) đối với tơng đơng với tính chân thực của nó đối với . Chúng ta hãy chọn với độ dài nhỏ nhất nh vậy, chỉ cần chứng minh rằng . Để đơn giản ký hiệu, từ đây đến hết phép chứng minh mệnh đề 1.11 ta sẽ viết thay cho .
Chúng ta sẽ đa ra phép chứng minh bằng phản chứng. Giả thiết rằng
, nghĩa là với mọi . Chúng ta cố
định trong phần tử nào đó không tầm thờng và rút gọn đợc xyclic. Khi đó một trong các từ và rút gọn đợc, chẳng hạn do đó là từ . Tính cực tiểu của phần tử (chính xác là độ dài của nó) trong số các phần tử của lớp ghép đôi sao cho , từ đây suy ra rằng trong tích
. Vì nên tích đợc giữ lại hơn một nửa nhân tử và toàn bộ phần tử .
Vì nên với nào đó, , hơn
nữa không có chỉ số nào thực hiện đợc hệ thức . Nếu giữ nguyên giả thiết trớc đó của chúng ta, hãy chọn để cho số nhỏ nhất. Chúng ta chứng tỏ rằng . Thật vậy, giả sử . Từ tập hợp N- rút gọn đợc và sự vắng mặt của đẳng thức suy ra rằng tích
đợc kết thúc ít nhất một nửa từ . Bởi vì nó cũng đợc kết thúc trên toàn bộ từ và vì nên suy ra trong tích
đợc rút gọn không ít hơn nửa từ , từ đó , và trên thực tế do tính cực tiểu của từ nên chúng ta có . Từ đây có
mâu thuẫn với tính cực tiểu của . Bởi vậy chúng ta đã chứng tỏ đợc rằng .
Hơn nữa, từ đợc bắt đầu không ít hơn một nửa từ , và cả từ cũng vậy. Vì nên bắt đầu không ít hơn một nửa từ . Tuy nhiên, từ tính cực tiểu của từ suy ra , cho nên bắt đầu
không vợt quá một nửa từ . Tóm lại, đợc bắt đầu bằng đúng một nửa từ . Tơng tự, nó đợc kết thúc bằng một nửa từ . Giả thiết rằng . Vì đợc bắt đầu với một nửa từ , còn đợc kết thúc bằng một nửa từ , trong tích rút gọn đợc nửa từ , và tất cả các từ này đợc rút gọn đợc thành tích . Do và , điều này mâu thuẫn với tính N- rút gọn đợc của tập hợp . Tơng tự, nếu thì sẽ dẫn đến mâu thuẫn đợc rút gọn hoàn toàn trong tích .
Hai mệnh đề sau đây đợc dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng lập luận rút gọn.