hữu hạn của và là nhóm con hữu hạn sinh của sao cho . Khi
đó là tập con tự do của nhóm với chỉ số hữu hạn trong , mà cũng có giao với bằng rỗng.
Chứng minh: Giả sử là một cơ sở của . Chúng ta xét một tập con của trong . Nếu , thì sẽ là ký hiệu của đại diện của trong , xác
định bởi điều kiện , . Theo mệnh đề 2.5, cơ sở của nhóm con
là tập hợp gồm tất cả các phần tử không tầm thờng , trong đó , . Chúng ta ký hiệu là hợp của các tập hợp các phần tử
và sao cho , cùng với tập hợp các phần tử với mọi . Khi đó . Bây giờ giả sử gồm tất cả các đoạn ban đầu của các
phần tử thuộc , vì và là hệ Schreier nên . Vì nhóm con hữu hạn sinh nên hữu hạn, mà hữu hạn nên cũng hữu hạn. Do đó hữu
hạn.
Với đã cho, giả sử là tập hợp tất cả các phần tử sao cho . Chúng ta định nghĩa bởi đẳng thức . Khi đó
là một – một, vì suy ra , nên
do đó , mà do , nên từ đó . Điều này cho phép mở rộng đến phép thế lên tập hợp , bởi vậy chúng ta nhận đợc tác động
Đổi chổ và , chúng ta nhận thấy rằng từ , và từ suy ra
. Nếu thì theo quy nạp chúng ta
thấy . Bởi vậy và thoả mãn
các giả thiết của mệnh đề 2.5.
Giả sử và đợc liên hệ với và nh trong mệnh đề 2.5. Vì là tập con Schreier của và hữu hạn, nên có chỉ số hữu hạn. Giả thiết rằng
thuộc cơ sở của , khi đó theo giả thiết của , xảy ra bao
hàm thức và (theo định nghĩa của ). Do đó,
thuộc cơ sở của nhóm . Nhng từ bao hàm thức suy ra là tập con tự do của nhóm . Để kiểm tra , ta giả thiết rằng . Vì , và , chúng ta nhận đợc
. Vì , , nên từ suy ra .