một tập con của một cơ sở nào đó của . Khi đó có cơ sở sao với
mỗi , có với mọi .
Chứng minh: Giả sử là cơ sở của với nào đó. Giả sử là
độ dài cực đại của các phần tử . Vì tập hợp có thể thay thế đợc bởi tập
N- rút gọn đợc bằng phơng pháp chuẩn nếu thay thế bởi , chúng ta có thể giả thiết là tập N- rút gọn đợc. Nếu một phần tử nào đó với
, chúng ta loại trừ nó ra khỏi và bổ sung vào , bởi vậy có thể giả thiết rằng , với mọi . Còn phải chứng minh rằng nếu sẽ dẫn tới mâu thuẫn.
Chúng ta sẽ xem rằng đợc chọn sao cho đại lợng với là nhỏ nhất. Vì , là rút gọn đợc riêng biệt nên nếu và các phần tử và hoặc cả hai nằm trong , hoặc cả hai nằm trong . Nếu , nghĩa là thì khi đó (N1) bị vi phạm, nên , và nếu thay thế bởi thì ta có thể làm giảm . Bởi vậy, (N1) đ- ợc thoả mãn. Chúng ta cũng có thể giả thiết rằng nếu và
hợp hay bắt đầu với . Khi đó, theo lập luận trớc đây, có đối với tất cả . Cũng có thể xem rằng bất đẳng thức này đợc thực hiện đối với chính các phần tử tuỳ ý thuộc . Còn lại phải xét trờng hợp khi và ít nhất một trong các phần tử và , chẳng hạn nằm trong . Khi đó, vì và không quá nửa từ của đợc rút gọn trong tích , ít hơn nửa từ đợc rút gọn trong . Cũng nh vậy, không quá nửa từ đợc rút gọn trong ; nghĩa là một phần nào đó của đợc giữ lại trong tích , suy ra điều kiện (N2) đợc thực hiện. Nh vậy, chúng ta đã chứng tỏ đợc rằng tập hợp là N- rút gọn đợc. Vì sinh ra , nên theo mệnh đề 1.2 suy ra rằng tất cả các phần tử của tập hợp này có độ dài bằng . Điều này mâu thuẫn với sự có mặt trong của phần tử mà đối với nó, có
.