Chứng minh: Nếu nhóm tự do có hạng bằng hay bằng thì
và khẳng định của mệnh đề 2.4 là tầm thờng. Nếu thì là nhóm tự do có hạng không nhỏ hơn . Theo phơng pháp quy nạp, ta chứng minh
không nhỏ hơn , thì không phải là nhóm Abel, còn là nhóm Abel
không tầm thờng, từ đó . Nh vậy ta nhận thấy rằng dãy hoán tập là giảm ngặt, và điều đó cho phép nhận đợc kết luận của mệnh đề 2.4.
Trong , Neilsen đã xét tích tự do của một số hữu hạn các nhóm xyclic hữu hạn và hạt nhân (thờng đợc gọi là nhóm con Descartes
của nhóm ) của ánh xạ tự nhiên từ lên tích trực tiếp của các nhóm . Neilsen đã chứng minh đợc rằng là nhóm tự do (điều này cũng có thể suy ra
từ định lý Kurosh), nhận đợc cơ sở( hữu hạn) của và cho một phát biểu về hạng của . Năm 1965, M. Krol đã xét trờng hợp khi tất cả các nhóm là các
nhóm xyclic vô hạn nghĩa là là nhóm tự do và . Năm 1973, R. C đã nhận thấy rằng lập luận của Neilsen có thể chuyển sang trờng hợp các nhóm
tuỳ ý và trong trờng hợp tất cả các nhóm hữu hạn, phát biểu của Neilsen vẫn đúng đối với hạng của dựa vào hệ thức:
Có thể thấy rằng phát biểu này là sự tổng quát của sự phát biểu O. J. Schreier và của một số trờng hợp nào đó của Riman – Hurewicz, tuy nhiên phát biểu tổng quát thuộc về I. M. Chiswell (xem ).
Kết quả sau đây sẽ có ích trong nhiều trờng hợp.
2.5. Mệnh đề: Giả sử là nhóm tự do với cơ sở và là hai tập con của , sao cho mỗi đoạn ban đầu của các từ thuộc lại nằm trong . Giả