Phương pháp phân tích định lượng - Chương 6 Một số bài toán đặc biệt liên quan đến hoạch định tuyến tính

Trang 2

C6 Một số Bài toán đặc biệt

3. Bài toán dòng chảy tối đa

(Maximum Flow Problem)

4. Bài toán đường đi ngắn nhất

Trang 3

1 Bài toán vận tải

(Transportation Problem)

1.1 Thiết lập Bài toán vận tải (Transportation Problem)

 Các điểm nguồn (Sources) (i) và Khả năng cung cấp của từng điểm nguồn (Supply) (si).

 Các điểm đích (Destinations) (j) và Nhu cầu của từng điểm đích (Demand) (dj).

 Chi phí vận chuyển cho 1 đơn vị hàng hóa từ Điểm nguồn đến Điểm đích (c ij).

 Ký hiệu:

• m: Tổng số Điểm nguồn.

• n: Tổng số Điểm đích.

• s i: Khả năng cung cấp của Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m).

• d j: Nhu cầu của Điểm đích j (j = 1, 2, …, n).

• x ij: Lượng hàng chuyên chở từ Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) đến Điểm đích j (j = 1,

2, …, n).

• c ij: Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) đến Điểm đích j (j = 1, 2, …, n).

Trang 4

1 Bài toán vận tải (tt1)

1 2

Trang 5

 Dạng QHTT của Bài toán vận tải

n

1 j

ij

ijx c Min Z

ji,0

x

n1,2, ,j

dx

m1,2, ,i

sx

:Rb

ij

m

1 i

j ij

n

1 j

i ij

n

1 j

j

s

Điều kiện:

Trang 6

 Dạng cân bằng (Balanced Model) của Bài toán vận tải

n

1 j

ij

ijx c Min Z

ji,0

x

n1,2, ,j

dx

m1,2, ,i

sx

:Rb

ij

m

1 i

j ij

n

1 j

i ij

Trang 7

VD 1:

Một doanh nghiệp nhỏ có 3 kho chứa hàng (10 loại hàng) trung chuyển với khả năng cung cấp hàng ngày là 120, 140 và 100 sản phẩm Giả sử hàng ngày phải được vận chuyển đến 4 điểm bán lẻ với nhu cầu là 100, 60, 80, 120 sản phẩm Bài toán đặt ra là xác định PA vận chuyển để tốn ít chi phí nhất nếu chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng hóa giữa các kho trung chuyển và điểm bán lẻ được cho trong bảng sau:

Trang 8

Bài toán QHTT được thiết lập:

Trang 9

Chuyển BTVT Dạng không cân bằng về Dạng cân bằng

1. Nếu

• Tạo 1 điểm đích giả (Dummy Demand Node) với Nhu cầu bằng

• Gán chi phí vận chuyển đơn vị từ mọi điểm nguồn đến điểm đích giả bằng

0 Tức là c i, n+1 = 0; i = 1, 2, …, m.

2. Nếu

• Tạo 1 điểm nguồn giả (Dummy Supply Node) với Khả năng cung cấp bằng

• Gán chi phí vận chuyển đơn vị từ điểm nguồn giả đến mọi điểm đích bằng

n 1 j j

i d s

n

1 j j

n 1 j j i

m 1 i i j

Trang 10

Dạng bảng của Bài toán vận tải (Transportation Tableau)

1. Thiết lập 1 ma trận, với các hàng -> các Điểm nguồn, các

cột -> các Điểm đích.

2. Lập 1 cột sau cùng của bảng -> Khả năng cung cấp của từng Điểm nguồn và 1 hàng sau cùng -> Nhu cầu của

từng Điểm đích.

3. Giá trị của các ô -> Lượng hàng vận chuyển giữa Điểm

nguồn và Điểm đích tương ứng.

Trang 11

VD: Xét VD 1, nghiệm ban đầu của VD 1 xác định theo pp góc Tây Bắc

Trang 12

1.2 Tìm lời giải ban đầu cho Bài toán vận tải

B1 Tìm lời giải ban đầu và kiểm tra xem nó tối ưu chưa Nếu chưa, chuyển sang B2.

B2 Cải thiện nghiệm ban đầu cho đến khi đạt được điều kiện tối ưu.

Cũng như BT QHTT, việc tìm ra 1 nghiệm khả dĩ ban đầu cho BTVT

là rất quan trọng Để tìm lời giải ban đầu cho BTVT ở dạng bảng, một

số pp đã được đề nghị

PP góc Tây Bắc (The Northwest Corner Method)

Trang 13

1.2.1 Phương pháp góc Tây Bắc (The Northwest Corner Method)

Khởi đầu từ ô nằm ở góc Tây Bắc của bảng (ô trên cùng bên phải) và hàng đầu tiên:

1. Cung cấp tối đa từ khả năng của 1 điểm nguồn cho các điểm đích theo thứ tự ưu tiên của các điểm đích từ trái qua phải cho đến khi điểm nguồn đó đã hết khả năng trước khi chuyển sang 1 hàng mới (tức là 1 điểm nguồn mới sẽ được xem xét)

2. Đáp ứng tối đa nhu cầu của 1 điểm đích từ các điểm nguồn theo thứ tự

ưu tiên của các điểm nguồn từ trên xuống dưới cho đến khi nhu cầu của điểm đích đang xét đã được thỏa mãn trước khi chuyển sang 1 cột mới (tức là 1 điểm đích mới sẽ được xem xét)

Trang 14

VD: Xét VD 1, nghiệm ban đầu của VD 1 xác định theo pp góc Tây Bắc

Trang 15

1.2.2 Phương pháp chi phí bé nhất (The Minimal Cost Method)

Nguyên nhân chủ yếu là do pp góc Tây Bắc không hề lưu ý đến Chi phí vận chuyển giữa các điểm nguồn và các điểm đích (cij)

Để khắc phục nhược điểm trên, pp chi phí thấp nhất đã được đề nghị.

• Ô ứng với chi phí vận chuyển đơn vị nhỏ nhất trong bảng vận tải sẽ được ưu tiên đáp ứng tối đa (đáp ứng toàn bộ nhu cầu nếu khả năng cung cấp là đủ hoặc cung cấp toàn bộ khả năng nếu nhu cầu là lớn hơn)

• Loại bỏ Điểm nguồn đã hết khả năng hoặc Điểm đích đã được cung cấp đủ cùng các ô liên quan và xác định lại ô có chi phí nhỏ nhất

• Thực hiện lặp lại 2 bước nêu trên cho đến khi toàn bộ nhu cầu đã được thỏa mãn (toàn bộ khả năng cung cấp đã sử dụng hết)

Trang 16

VD: Xét VD 1, nghiệm ban đầu của VD 1 xác định theo pp chi phí nhỏ nhất

360 120

80 60

100 Tổng cầu

2

Điểm bán lẻ Kho

Trang 17

 Trước tiên ô (3,4) được xét do là ô có chi phí thấp nhất: giá trị vận chuyển được gán trong ô này bằng với khả năng cung cấp tối đa của kho 3 Sau khi gán giá trị cho ô (3,4), kho 3 hết khả năng cung cấp và do vậy các ô (3,1), (3,2) và (3,3) sẽ không được xem xét tiếp.

 Ô có chi phí nhỏ nhất kế tiếp được xét là các ô (1,1) và (2,4): giá trị vận chuyển tối đa gán được cho các ô này là 100 và 20 Sau khi gán, điểm bán lẻ

1 và 4 đã được cấp đủ nhu cầu và do vậy các ô (2,1) và (1,4) sẽ bị loại bỏ trong bước xem xét tiếp theo.

 Trong các ô còn lại: (1,2), (1,3), (2,2), (2,3); hai ô (1,2) và (2,2) có cùng chi phí vận chuyển đơn vị nhỏ nhất là 7 Tuy nhiên, lượng vận chuyển tối đa có thể gán được cho ô (1,2) chỉ là 20, trong khi lượng vận chuyển tối đa có thể gán được cho ô (2,2) là 60 Vì vậy, ô (2,2) được chọn để gán giá trị trong bước này Sau khi gán, điểm bán lẻ 2 đã được cấp đủ nhu cầu và do vậy ô (1,2) bị loại bỏ.

 Trong hai ô còn lại là (1,3) và (2,3), các giá trị của lượng hàng vận chuyển duy nhất có thể gán được phải là 20 và 60 theo thứ tự đó.

Trang 18

 Nếu so sánh chi phí của nghiệm ban đầu trong 2 pp: pp

góc Tây Bắc và pp chi phí nhỏ nhất, thì pp chi phí nhỏ

nhất cho nghiệm ban đầu tốt hơn:

• CTây Bắc = 100*5 + 20*7 + 40*7 + 80*10 + 20*5 + 100*1 = 1.920

• CChi phí bé nhất = 100*5 + 20*9 + 60*7 + 60*10 + 20*5 + 100*1 = 1.900

Trang 19

1.2.3 Phương pháp xấp xỉ Vogel (The Vogel’s

Approximation Method – VAM)

 PP xấp xỉ Vogel là pp xác định lời giải ban đầu tốt nhất cho BTVT.

 Trong nhiều TH, nghiệm ban đầu xác định từ pp này cũng chính là nghiệm tối ưu.

Trang 20

PP xấp xỉ Vogel

Việc thực hiện pp VAM tuân theo các bước:

1 Ứng với mỗi hàng và cột của bảng VT, xác định độ chênh lệch giữa 2 chi phí vận chuyển nhỏ nhất Các giá trị xác định được biểu diễn chênh lệch về chi phí VT giữa con đường VT tốt nhất và con đường VT tốt thứ 2 trên từng hàng/ cột Đây cũng chính là chi phí cơ hội do không chọn con đường tốt nhất trên từng hàng/cột.

2 Xác định hàng hoặc cột ứng với chi phí cơ hội lớn nhất.

3 Phân bổ tối đa lượng hàng có thể vận chuyển được trong ô có chi phí vận

chuyển nhỏ nhất ứng với hàng/cột đã chọn trong B2.

4 Loại bỏ hàng đã dùng hết khả năng cung cấp hoặc cột đã được thỏa mãn toàn

bộ nhu cầu sau sự phân bổ trong B3 Đánh dấu X vào các ô trống của hàng/cột

bị loại bỏ.

5. Tính toán lại các chi phí cơ hội trong B1 ứng với bảng VT đã loại bỏ các

Trang 21

PP xấp xỉ Vogel

VD 5: Xét VD 1, nghiệm ban đầu xác định theo pp xấp xỉ Vogel được

thực hiện theo trình tự sau:

1 1 5*

Trang 22

Trang 23

1 2*

Trang 24

Trang 25

Trang 26

• Do nghiệm ban đầu có được từ pp VAM, nếu không tối ưu, cũng thường rất gần với nghiệm tối ưu nên trong nhiều BTVT thực tế, người ta không tìm cách cải thiện để đạt lời giải tối ưu nữa.

• Trong quá trình áp dụng pp VAM, đôi khi chi phí cơ hội lớn nhất tồn tại trên nhiều hàng/cột của bảng VT Trong trường

hợp đó, hàng/cột được chọn trong B2 là hàng/cột giúp phân

Trang 27

1.3 Phương pháp tìm nghiệm tối ưu

 Trong phần này, các pp tìm nghiệm tối ưu của BTVT trong TH không suy biến (Non-Degenerate) sẽ được trình bày Lưu ý rằng 1 BTVT là không suy biến nếu như trong bảng VT, số ô

có gán giá trị bằng: m + n – 1.

1.3.1 Phương pháp duyệt tuần tự (The Stepping-Stone Method)

1.3.2 Phương pháp phân phối cải tiến – MODI (The Modified

Distribution Method)

Trang 28

1.3.1 Phương pháp duyệt tuần tự (The Stepping-stone Method)

PP duyệt tuần tự được thực hiện như sau:

Trước tiên, xác định lời giải ban đầu cho BTVT bằng 1 trong các pp đã biết Sau khi có được lời giải ban đầu, thực hiện cải tiến lời giải này thông qua việc tính lặp Tại từng bước lặp, các bước sau đây được tiến hành: 3 bước

1 Tính Chỉ số cải tiến I ij cho tất cả các ô rỗng (i, j) trong bảng VT như sau

a Ứng với 1 ô rỗng (i, j) nào đó, vẽ 1 đường đi kín nối ô này với các ô có gán giá trị trong bảng VT bằng các đoạn nằm ngang hoặc thẳng đứng.

b Gán dấu cho các đỉnh của đường đi vẽ trong phần trên sao cho 2 đỉnh thuộc cùng 1 đoạn có dấu khác nhau, bắt đầu bằng dấu cộng cho ô rỗng đang xét.

Trang 29

1.3.1 Phương pháp duyệt tuần tự (The Stepping-stone Method)

PP duyệt tuần tự được thực hiện như sau: (tt)

2. Nếu Chỉ số Iij của mọi ô rỗng đều có giá trị không âm, lời giải hiện hành là tối ưu Nếu tồn tại một số giá trị Iij âm, chọn ra ô có Iij nhỏ nhất (tức là có giá trị tuyệt đối lớn nhất) và điều chỉnh lượng hàng vận chuyển trên các ô liên quan như sau:

 Xác định giá trị nhỏ nhất x trong các ô được gán dấu trừ

 Lượng hàng vận chuyển trên các ô được gán dấu trừ sẽ được trừ đi một lượng x

 Lượng hàng vận chuyển trên các ô được gán dấu cộng sẽ được cộng thêm một lượng x

3. Xác định lại bảng VT và quay trở lại B1.

Trang 30

• Đường đi ứng với 1 ô rỗng nào đó là duy nhất.

• So với pp đơn hình, các ô có gán giá trị trong bảng VT tại 1 bước lặp nào đó tương ứng với biến cơ sở, còn các ô rỗng thì ứng với những biến không cơ sở Các giá trị Chỉ số cải tiến Iij của các ô rỗng chính là chi phí rút giảm ứng với các biến không cơ sở.

• Sau 1 bước lặp, sẽ có 1 ô cơ sở chuyển thành ô không cơ sở

Trang 31

PP duyệt tuần tự

VD 6: Xét VD 1 với nghiệm ban đầu xác định theo pp góc Tây Bắc

Các ô rỗng cần khảo sát là (1,3), (1,4), (2,1), (3,1), (3,2), (3,3)

Trang 32

-Chỉ số cải tiến ứng với ô (1,3) là: I13 = +9 – 10 + 7 – 7 = – 1

=> Chưa thỏa điều kiện tối ưu

Trang 33

I14 = 1, I21 = 1, I31 = 6, I32 = 3, I33 = 2

ưu bị vi phạm Việc cải tiến nghiệm được thực hiện như sau:

) x , min(x

Trang 34

VD 6: (tt2) Bảng VT sau điều chỉnh có dạng sau:

Trang 35

Xét ô (2,1): I21 = + 6 – 5 + 9 – 10 = 0 (không âm) => Ô (2,1) thỏa điều kiện tối ưu.

+

+ -

Trang 36

-1 Bài toán vận tải (tt33)

Xét ô (3,1): I31 = +7 – 5 + 9 – 10 + 5 – 1 = 5 => Ô (3,1) thỏa điều kiện tối ưu

+ -

-+

Trang 37

Xét ô (3,2): I32 = +6 – 7 + 5 – 1 = 3 => Ô (3,2) thỏa điều kiện tối ưu

+

+ -

Trang 38

Xét ô (3,3): I33 = + 8 – 10 + 5 – 1 = 2 => Ô (3,3) thỏa điều kiện tối ưu.

+

+ -

Trang 39

VD 7: Xét BTVT với lời giải ban đầu như sau:

Ta có: I13 = 18, I14 = – 2, I21 = – 5, I31 = –15, I32 = 9, I33 = 9 (Z = 1.420)

Trang 40

Trang 41

I11 = 17, I12 = 2, I13 = 20, I21 = 10, I32 = 9, I33 = 9

Trang 42

1.3.2 Phương pháp phân phối cải tiến – MODI (The Modified Distribution

Method)

 PP phân phối cải tiến (PP thế vị) là pp trong đó việc tính toán các chỉ số cải

tiến của bảng VT dựa trên BT đối ngẫu của BTVT.

 Nguyên lý: Nếu gọi ui (i = 1, 2, …, m), v j (j=1, 2, …, n) là các biến đối ngẫu ứng với các điểm nguồn i và các điểm cấp j, thì

1 I ij = c ij – (u i + v j ) = 0 tại tất cả các ô (i,j) có gán giá trị.

2 I ij = c ij – (u i + v j ) ≠ 0 tại các ô rỗng.

Dựa trên hệ PT có được từ các ô có gán giá trị, ta có thể xác định được tất cả các giá trị ui (i = 1, 2, …, m), vj (j = 1, 2, …, n) (trong đó sẽ có 1 giá trị cần được định trước, thường là chọn u 1 = 0) Do vậy, các chỉ số cải tiến tại các

ô rỗng có thể xác định được nhanh chóng.

Trang 43

VD 8: Xét bài toán vận tải VD7.

Trang 44

Trang 45

Thực hiện xác định lại các giá trị ui và vj tương tự như trong bước lặp 1,

ta sẽ có nghiệm tối ưu sau bước lặp 2 như trong VD 7 (slide 40).

Trang 46

1.4 TH suy biến (Degenerate) của BTVT

Một BTVT sẽ suy biến nếu như tổng số các ô có gán giá trị trong bảng VT nhỏ hơn (m + n – 1).

Có 2 TH có thể xảy ra:

TH1: Sự suy biến xảy ra trong lời giải ban đầu Trong TH

này, phải gán giá trị 0 vào 1 ô rỗng nào đó (và xem như

Trang 47

VD 9: Xét BTVT với nghiệm ban đầu xác định bằng pp góc Tây Bắc

10 7

Để có thể giải được, ta phải gán giá trị 0 vào ô (1,2) (hoặc bất kỳ ô nào khác trừ ô (3,2))

Trang 48

 TH2: Sự suy biến xảy ra sau khi thực hiện 1 bước lặp nào

đó Điều này là do khi chọn 1 ô rỗng để đưa vào tập các ô

cơ sở, có ít nhất 2 ô có gán dấu trừ trên đường đi ứng với

ô rỗng đang xét có cùng giá trị nhỏ nhất (và như vậy các ô

này sẽ cùng chuyển thành ô rỗng sau khi thực hiện phép lặp) Trong TH này, phải gán giá trị 0 vào 1 trong các ô đó

sau khi thực hiện phép lặp, thường là chọn ô có chi phí

Trang 49

VD 10: Xét BTVT với nghiệm ban đầu xác định bằng

15 3

Trang 50

Sau bước lặp 1 (xét ô (3,1)), bảng VT có dạng sau:

15 3

Trang 51

15 3

Ta có thể thấy: có đến 2 ô (2,1) và (3,3) trở thành ô rỗng => BT bị suy biến.

Do đó, giá trị 0 phải được gán vào 1 ô Trong TH này, ô được chọn để gán giá trị

0 là ô (3,3) do có chi phí vận chuyển nhỏ nhất.

Trang 52

1.5 Bài toán vận tải đa nghiệm

Cũng như BT QHTT, 1 BTVT sẽ có nhiều hơn 1 nghiệm tối ưu nếu trong bảng VT tối ưu sau cùng,

có tồn tại ít nhất 1 chỉ số cải tiến ứng với các ô rỗng bằng 0 Tại ô rỗng có chỉ số cải tiến bằng 0, nếu ta thực hiện điều chỉnh lượng hàng vận tải theo đường

đi tương ứng thì 1 kế hoạch vận tải mới sẽ được

Trang 53

1.6 Một số trường hợp đặc biệt:

Có thể chuyển bài toán Max về bài toán Min.

- Các giá trị lợi nhuận vận chuyển đơn vị sẽ được biểu diễn bằng những giá trị âm trên bảng VT ở dạng chi phí.

- Các pp giải được thực hiện theo trình tự như đã trình bày trong các phần trên.

Trang 54

b) BTVT với ràng buộc về đường đi

Trên thực tế, ta có thể gặp phải TH việc vận chuyển giữa 1 cặp điểm nguồn – điểm đích nào đó là không thể (đường bị cấm, đường không tồn tại, đường không an toàn…).

Để giải quyết TH như vậy, chi phí vận chuyển đơn vị giữa cặp điểm nguồn – điểm đích đó sẽ được gán cho 1 giá trị dương cực cao (TH lợi nhuận: giá trị âm cực thấp) và tiến hành giải như không có tồn tại những ràng buộc về đường đi Với cách thức thực hiện như vậy, trong bảng VT tối ưu sau cùng, ô tương ứng

Định dạng
Số trang	116
Dung lượng	3,02 MB