Phương pháp phân tích định lượng - Chương 6 Một số bài toán đặc biệt liên quan đến hoạch định tuyến tính
Chương Một số Bài tốn đặc biệt có liên quan đến Quy Hoạch Tuyến Tính C6 Một số Bài tốn đặc biệt có liên quan đến QHTT Bài tốn vận tải (Transportation Problem) Bài tốn phân cơng (Assignment Problem) Bài tốn dịng chảy tối đa (Maximum Flow Problem) Bài toán đường ngắn (Shortest Path Problem) Bài toán vận tải (Transportation Problem) 1.1 Thiết lập Bài toán vận tải (Transportation Problem) Các điểm nguồn (Sources) (i) Khả cung cấp điểm nguồn (Supply) (si) Các điểm đích (Destinations) (j) Nhu cầu điểm đích (Demand) (dj) Chi phí vận chuyển cho đơn vị hàng hóa từ Điểm nguồn đến Điểm đích (cij) Ký hiệu: • • • • • m: Tổng số Điểm nguồn • cij: Chi phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) đến Điểm đích j (j = 1, 2, …, n) n: Tổng số Điểm đích si: Khả cung cấp Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) dj: Nhu cầu Điểm đích j (j = 1, 2, …, n) xij: Lượng hàng chuyên chở từ Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) đến Điểm đích j (j = 1, 2, …, n) Bài tốn vận tải (tt1) Điểm đích Điểm nguồn s1 s2 si (c11, x11) d1 2 d2 i (cij, xij) j dj (cmn, xmn) n dn sm m Bài toán vận tải (tt2) Dạng QHTT Bài toán vận tải m n i =1 j=1 Min Z = ∑ ∑ c ij x ij Rb : n ∑x j=1 ij ≤ si i = 1,2, , m ij ≥ dj j = 1,2, , n m ∑x i =1 x ij ≥ Điều kiện: m ∀ i, j n ∑s ≥ ∑d i =1 i j=1 j Bài toán vận tải (tt3) Dạng cân (Balanced Model) Bài toán vận tải m n i =1 j=1 Min Z = ∑ ∑ c ij x ij Rb : n ∑x j=1 ij = si i = 1,2, , m ij = dj j = 1,2, , n m ∑x i =1 x ij ≥ Điều kiện: m ∀ i, j n ∑s = ∑d i =1 i j=1 j Bài toán vận tải (tt4) VD 1: Một doanh nghiệp nhỏ có kho chứa hàng (10 loại hàng) trung chuyển với khả cung cấp hàng ngày 120, 140 100 sản phẩm Giả sử hàng ngày phải vận chuyển đến điểm bán lẻ với nhu cầu 100, 60, 80, 120 sản phẩm Bài toán đặt xác định PA vận chuyển để tốn chi phí chi phí vận chuyển đơn vị hàng hóa kho trung chuyển điểm bán lẻ cho bảng sau: Kho Điểm bán lẻ 6 10 Bài toán vận tải (tt5) Bài toán QHTT thiết lập: Min 5x11 + 7x12 + 9x13 + 6x14 + 6x21 + 7x22 + 10x23 + 5x24 + 7x31 + 6x32 + 8x33 + x34 Rb: x11 + x12 + x13 + x14 = 120 x21 + x22 + x23 + x24 = 140 x31 + x32 + x33 + x34 = 100 x11 + x21 + x31 = 100 x12 + x22 + x32 = 60 x13 + x23 + x33 = 80 x14 + x24 + x34 = 120 xij ≥ i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, Lưu ý: Trong ràng buộc trên, có ràng buộc thừa loại bỏ Bài toán vận tải (tt6) Chuyển BTVT Dạng không cân Dạng cân m Nếu • n ∑s > ∑d i =1 i j=1 j Tạo điểm đích giả (Dummy Demand Node) với Nhu cầu m n i =1 j=1 d n +1 = ∑ s i − ∑ d j • Gán chi phí vận chuyển đơn vị từ điểm nguồn đến điểm đích giả Tức ci, n+1 = 0; ∀i = 1, 2, …, m m Nếu • • ∑s i =1 n i < ∑dj j=1 Tạo điểm nguồn giả (Dummy Supply Node) với Khả cung cấp n m s m +1 = ∑ d j − ∑ s i j=1 i =1 Gán chi phí vận chuyển đơn vị từ điểm nguồn giả đến điểm đích Tức cm+1, j = 0; ∀j = 1, 2, …, n Bài toán vận tải (tt7) Dạng bảng Bài toán vận tải (Transportation Tableau) Thiết lập ma trận, với hàng -> Điểm nguồn, cột -> Điểm đích Lập cột sau bảng -> Khả cung cấp Điểm nguồn hàng sau -> Nhu cầu Điểm đích Giá trị -> Lượng hàng vận chuyển Điểm nguồn Điểm đích tương ứng Góc -> Chi phí vận chuyển đơn vị Điểm nguồn Điểm đích tương ứng 10 Bài tốn dịng chảy tối đa (tt) 3.2 BT với cung không định hướng Trong thực tế nhiều lúc phải giải BTDCTĐ mạng mà có cung khơng định hướng, tức cung hàng hóa lưu thơng chiều VD loại BT mạng giao thơng có đường lưu thông chiều (cung không định hướng) đường lưu thông chiều (cung định hướng) Trong TH vậy, Giải thuật Ford-Fulkerson áp dụng để tìm lời giải tối ưu Tuy nhiên, việc gán nhãn cho nút mạng diễn theo chiều có đến biến QĐ x ij, xji cho cung không định hướng (i, j) 102 Bài tốn dịng chảy tối đa (tt) VD 17: 10 20 30 40 10 10 30 20 20 20 30,20 10 30 20 40 Bước lặp 1: Nút 1: [–, ∞] Nút 3: [1+, 30] Nút 5: [3+, 20] Đường dẫn: 1-3-5 Nghiệm khả dĩ: x13 = x35 = 20, biến khác = 103 20,20 VD 17: (tt) 10 20 30,20 10,10 10 40 30 20 20,20 20,10+10 30,20 10,10 30 20,10 40,10 20,20 Bước lặp 2: Nút 1: [–, ∞] Nút 2: [1+, 20] Nút 4: [3+, 10] Nút 3: [2+, 20] Nút 5: [4+, 10] Đường dẫn: 1-2-3-4-5 Nghiệm khả dĩ: x12 = x23 = x34 = x45 = 10, x13 = x35 = 20, biến khác = Bước lặp 3: Nút 1: [–, ∞] Nút 4: [1+, 10] Nút 5: [4+, 10] Đường dẫn: 1-4-5 Nghiệm khả dĩ: x14 = 10, x12 = x23 = x34 = 10, x45 = 20, x13 = x35 = 20, biến khác = VD 17: (tt2) 10,10 20,10+10 10,10 30 30,20 20,10 Bước lặp 4: 40,10 20,20 10,10 20,10+10 10,10 10 30,20+10 0,10+ 20,10+10 40,10–10 Nút 1: [–, ∞] Nút 2: [1+, 10] Nút 5: [2+, 10] Đường dẫn: 1-2-5 Nghiệm khả dĩ: x14 = 10, x12 = 20, x23 = x34 = 10, x45 = 20, x13 = x35 = 20, Bước lặp 5: x25 = 10 x43 = Nút 1: [–, ∞] Nút 3: [1+, 10] Nút 2: [3–, 10] Nút 5: [2+, 10] Đường dẫn: 1-3-2-5 Nghiệm khả dĩ: x14 = 10, x12 = 20, x23 = 0, x34 = 10, x45 = 20, x13 = 30, x35 = 20, x25 = 20 x43 = 20,20 Bài tốn dịng chảy tối đa (tt) VD 17: (tt3) 10,10 20,10+10 10,10 10 30,20+10 0,10+ 20,10+10 20,20 10,10 20,20 30,30 10,10 30,20 20,20 40,10–10 Bước lặp 6: 40 20,20 Nút 1: [–, ∞] Không tìm đường dẫn X = {1}, X = {2,3,4,5} Nghiệm thời tối ưu Dòng chảy tối đa là: c(X, X) = c12 + c13 + c14 = 20 + 30 + 10 = 60 106 Bài toán đường ngắn (Shortest Path Problem) 4.1 Dạng QHTT toán Xét mạng gồm m nút (i = 1, 2, …, m) với n cung (i, j) định hướng, có “chi phí” vận chuyển cij Đường với chi phí nhỏ nút nút m tìm được, thơng qua giải BT QHTT Min m n ∑∑ c i = j =1 Rb ∑x j ij ij x ij − ∑ x ki k 1 = 0 − neáu neáu neáu i =1 i = 2, , m − i=m x ij = hoaëc ∀ cung (i, j) Trong đó, xij = 0: cung (i, j) không nằm đường chọn xij = 1: cung (i, j) nằm đường chọn Giải BT ĐĐNN, Quy hoạch động (C7) Giải thuật gán nhãn 107 Bài toán đường ngắn (tt) 4.2 Giải thuật gán nhãn tổng quát BT ĐĐNN giải giải thuật gán nhãn sau: B1: Gán nhãn L(i) = [-, vi] cho nút, v1 = 0, v2 = v3 = … = vm = ∞ B2: 1.Nếu với cung (i, j), ta có v j ≤ vi +cij, toán đạt đến tối ưu 2.Nếu tồn cung (p, q) cho v > vp + cpq, gán lại nhãn cho nút q sau: L(q) = [p, vq = vp + cpq], sau quay lại bước kiểm tra 2.1 q 108 VD 18: Xét BT đường có “chi phí” nhỏ từ nút đến nút 2 –4 –1 –6 Bước lặp 1: v1 = 0, v2 = v3 = v4 = ∞ => L(1) = [–, 0] Bước lặp 2: ∞ = v3 > v1 + c13 = –1 => v3 = –1, L(3) = [1, –1] Bước lặp 3: ∞ = v2 > v1 + c12 = => v2 = 2, L(2) = [1, 2] Bước lặp 4: => v3 = –2, L(3) = [2, –2] => v4 = 6, L(4) = [2, 6] –1 = v3 > v2 + c23 = –2 Bước lặp 5: ∞ = v4 > v2 + c24 = Bước lặp 6: = v4 > v3 + c34 = –8 => v4 = –8, L(4) = [3, –8] BT đạt tối ưu, vj ≤ vi + cij với cung (i, j) Đường tối ưu 1-2-3-4 với chi phí nhỏ v4 = –8 Bài toán đường ngắn (tt) Trong trình thực gán nhãn nêu trên, cần lưu ý: Số bước lặp tối đa cần thực hiện, để tìm nghiệm tối ưu với số cung có mạng Các giá trị nhãn sau nút mạng “chi phí” đường tối ưu nhất, tính từ nút khởi đầu mạng đến nút xét Như vậy, thông qua Giải thuật gán nhãn tổng quát nêu trên, xác định đường với “chi phí” nhỏ từ điểm khởi đầu mạng đến nút mạng 110 Bài toán đường ngắn (tt) 4.3 Giải thuật gán nhãn TH có chi phí khơng âm Trong TH " chi phí" cung mạng không âm, giải thuật gán nhãn khác sử dụng sau : Đặt N = {1,2,3, , m} tập nút mạng Bước : Gán nhãn v1 = tập X = {1} Bước : Đặt X = N - X, (X, X) = {cung (i, j) | i ∈ X, j ∈ X} Choïn cung (p, q) ∈ (X, X) cho : v p + c pq = {v i + c ij} ( i , j )∈( X , X ) Gaùn v q = v p + c pq điều chỉnh tập X = X ∪ {q} Thực bước (m - 1) lần ngưng : Nghiệm tối ưu đạt 111 Bài tốn đường ngắn (tt) VD 19: Xét tốn đường có “chi phí” ngắn từ nút đến nút 2 4 5 Bước lặp 1: v1 = 0, X = {1}, X = {2,3,4,5} ⇒ (X, X) = {(1,2), (1,3), (1,4)} : v1 + c12 = 2, v1 + c13 = 2, v1 + c14 = Choïn (p, q) = (1,2) 112 VD 19: (tt) 2 4 5 Bước lặp 2: v = 2, X = {1,2}, X = {3,4,5} ⇒ (X, X) = {(1,3), (1,4), (2,5)} : v1 + c13 = 2, v1 + c14 = 3, v + c25 = Choïn (p, q) = (1,3) Bước lặp 3: v3 = 2, X = {1,2,3}, X = {4,5} ⇒ (X, X) = {(1,4), (2,5), (3,5)} : v1 + c14 = 3, v + c25 = 7, v3 + c35 = Choïn (p, q) = (1,4) VD 19: (tt2) 2 4 5 Bước lặp 4: v = 3, X = {1,2,3,4}, X = {5} ⇒ (X, X) = {(2,5), (3,5), (4,5)} : v + c25 = 7, v3 + c35 = 7, v + c45 = Choïn (p, q) = (4,5) Bước lặp 5: v = 3, X = {1,2,3,4,5 }, X = {∅} Đường có chi phí ngắn 1-4-5 Giá trị tối ưu chi phí (nhỏ nhất) v5 = Bài toán đường ngắn (tt) Tương tự Giải thuật gán nhãn tổng quát, giá trị nhãn gán cho nút mạng bước lặp Giải thuật gán nhãn “chi phí” đường tối ưu tính từ nút khởi đầu mạng đến nút xét Lưu ý: Trong TH cần phải tìm nghiệm cho BT đường dài (TH “lợi nhuận”), ta chuyển BT dạng đường ngắn cách đổi dấu tất giá trị “lợi nhuận” cung áp dụng Giải thuật gán nhãn trình bày 115 END 116 ...C6 Một số Bài tốn đặc biệt có liên quan đến QHTT Bài toán vận tải (Transportation Problem) Bài tốn phân cơng (Assignment Problem) Bài tốn dịng chảy tối đa (Maximum Flow Problem) Bài toán. .. xét c Tính Chỉ số cải tiến Iij cho xét Chỉ số tổng đại số chi phí vận chuyển ô liên quan đến đường tương ứng với dấu dấu gán b 28 Bài toán vận tải (tt 26) 1.3.1 Phương pháp duyệt (The Stepping-stone... điều kiện tối ưu 20 60 100 60 + 10 + 80 Tổng cung 20 100 120 + - 120 140 100 360 36 Bài toán vận tải (tt34) VD 6: (tt5) Xét ô (3,2): I32 = +6 – + – = Kho Điểm bán lẻ 100 60 - Tổng cầu => Ô (3,2)