Phương pháp phân tích định lượng - Chương 4 Hoạch định tuyến tính

Phương pháp phân tích định lượng - Chương 4 Hoạch định tuyến tính

Chương 4

Quy Hoạch Tuyến Tính

C4 Quy Hoạch Tuyến Tính

1 Giới thiệu về Bài toán QHTT

2 Phương pháp giải bài toán QHTT:

Phương pháp đồ thị

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình

4 Giới thiệu cách giải bài toán QHTT và phi

tuyến bằng phần mềm Excel

Rj = rj(x1, x2, …, xn) Trong đó, z và rj là biểu thức tuyến tính

đối với x1, x2, …, xn.

1 Giới thiệu về Bài toán QHTT (tt1)

 Một số bài toán điển hình:

• Bài toán phối hợp sản xuất sản phẩm (Product – mix)

Một nhà máy sản xuất 2 loại lều: thường và chuyên dụng mỗi tuần với số liệu sau:

Mỗi tuần nhà phân phối không thể bán hơn 12 lều loại chuyên dụng Số lượng lều mỗi loại cần sản xuất mỗi tuần là bao nhiêu?

Loại lều Công đoạn Thường Chuyên

dụng

Giờ công sẵn

có Cắt (giờ/cái) 1 2 32 Ráp (giờ/cái) 3 4 84 Lợi

nhuận/cái $50 $80

1 … j … n

1

… i

… m

j

jx c Max Z

n , 2, 1, j

0

x

m , 2, 1, i

b

x a

j

n

1 j

i j

1 Giới thiệu về Bài toán QHTT (tt3)

Một người làm vườn muốn tạo một hỗn hợp phân bón từ 2 loại sản phẩm Giá mua đơn vị, lượng dưỡng chất trong mỗi đơn vị cho như sau:

Số đơn vị sp 1 và sp 2 cần mua là bao nhiêu?

Thành phần

Loại sản phẩm

Dưỡng chất yêu cầuSản phẩm 1 Sản phẩm 2

jx c Min Z

n , 2, 1, j

0

x

m , 2, 1, i

b

x a

j

n

1 j

i j

…i

…m

1 Giới thiệu về Bài toán QHTT (tt5)

Bài toán vận tải

Có 2 trạm phân phối chất đốt A và B cung cấp hàng cho 3 đại lý 1, 2 và

3 Tổng cung, tổng cầu và chi phí vận chuyển/mỗi đơn vị chất đốt cho như sau:

Vận chuyển như thế nào để có tổng chi phí bé nhất?

Trạm phân phối Đại lý Tổng cung

Tổng cầu 60 70 110

… i

… m

n

1 j

ij

ijx c Min Z

n , 2, 1, j

m;

, 2, 1, i

0

x

n , 2, 1, j

d

x

m , 2, 1, i

s

x

ij

m

1 i

j ij

n

1 j

i ij

2 PP giải Bài toán QHTT: PP đồ thị

Lý thuyết nền tảng của bài toán QHTT

j

jx c Max Z

n) , 2, 1, j

( 0;

x m)

, 2, 1, i

(

; b x

n

1 j

i j

j

jx c Min Z

0

bi 

n) , 2, 1, j

( 0;

x m)

, 2, 1, i

(

; b x

n

1 j

i j

2 PP giải Bài toán QHTT: PP đồ thị (tt1)

Lý thuyết nền tảng của bài toán QHTT (tt)

2 PP giải Bài toán QHTT: PP đồ thị (tt2)

Lý thuyết nền tảng của bài toán QHTT (tt)

2.3 Phương pháp đồ thị (cho bài toán có 2 biến)

 B1 Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ và xác định vùng khả dĩ.

 B2 Vẽ 1 đường thẳng có phương trùng với hàm mục tiêu Z Di chuyển tịnh

tiến đường thẳng này sao cho giá trị Z được cải thiện Xác định giao điểm của đường thẳng với biên của vùng khả dĩ, đó là nghiệm tối ưu

 Ghi chú:

 Ràng buộc tích cực/trói buộc (Binding constraint)

 Ràng buộc không trói buộc

 Nghiệm bài toán (nếu có) luôn là một điểm cực biên (đỉnh) của vùng

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình

(Simplex method)

 Không thể dùng phương pháp đồ thị nều số biến > 3

=> Phương pháp đơn hình (thuật toán, giải bằng tay)

3.1 Phương pháp đơn hình:

Khái niệm biến bù, nghiệm khả dĩ cơ sở, biến cơ sở và biến không cơ sở:

a Để chuyển các ràng buộc (≤) thành các hệ phương trình (để …) ta dùng

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

b Lời giải cơ sở: cho (n – m) biến có giá trị = 0 và giải các biến còn lại => Số

điểm cực

 Số lời giải cơ sở (Basic Solution) là: n!/[m!(n – m)!

 VD: Cho 2 biến có giá trị = 0 giải hệ 3 pt 3 ẩn sẽ có 10 lời giải cơ sở sau:

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

c Các lời giải (nghiệm) cơ sở nằm trong niềm khả dĩ gọi là lời giải khả dĩ cơ sở (Basic Feasible Solution).

d Trong nghiệm khả dĩ cơ sở, biến gán giá trị = 0 gọi là biến không cơ sở, các biến còn lại gọi là biến cơ sở.

Giải thuật đơn hình (Simplex Method)

Là phương pháp đại số lặp đi lặp lại, để chuyển từ 1 lời giải khả

dĩ cơ sở của bài toán sang 1 lời giải khả dĩ cơ sở khác và kiểm tra giá trị hàm mục tiêu cho đến khi đạt tối ưu.

Về mặt hình học, điều này tương ứng với chuyển từ cực biên này sang cực biên khác của miền khả dĩ cho đến khi có lời giải tối ưu.

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

3.2 Phương pháp đơn hình cho bài toán MAX với ràng buộc đều là ≤ và RHS dương:

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

B2 Lập bảng đơn hình ban đầu

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

B3 Xác định giá trị xoay

- Giao điểm của cột xoay và hàng xoay

- Cột xoay là cột có trị âm nhỏ nhất trong hàng dưới cùng…

- Hàng xoay là hàng có tỷ số dịch chuyển nhỏ nhất…

- Tỷ số dịch chuyển = RHS/Giá trị dương trong cột xoay

- Nếu cột xoay không có giá trị dương => Không có lời giải

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

B4 Thực hiện xoay cho đến khi hàng dưới không âm

- Chuyển giá trị xoay thành = 1.

- Chuyển các giá trị khác trong cột xoay = 0.

Nghiệm khả dĩ cơ sở mới (8, 12, 0, 12, 0) và Z = 1360.

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

3.3 Phương pháp đơn hình cho bài toán MAX với ràng buộc ≤ và cả ≥ và =:

VD: Giải bài toán QHTT

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

B1 Chuẩn hóa bài toán

Làm cho tất cả giá trị RHS thành dương; (nhân -1, đổi dấu)

Với ràng buộc ≤, thêm biến bù (ký hiệu s i )

Với ràng buộc ≥, thêm biến trừ (-s i ) và biến nhân tạo…

Với ràng buộc =, thêm biến nhân tạo (ký hiệu a i )

Cộng –Ma i vào hàm mục tiêu Z, trong đó M là hằng số rất lớn…

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

B2 Lập bảng đơn hình sơ bộ và ban đầu

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

B3 Thực hiện xoay đến khi hàng dưới không âm

Nghiệm khả dĩ cơ sở ban đầu (0, 0, 5, 20, 0, 0, 5), Z = -5M+15

Hàng dưới không âm, nghiệm khả dĩ (0, 5, 5, 15, 0, 0, 0)

Vì các biến nhân tạo a1, a2 đều = 0, bài toán có nghiệm là:

x = 0, x = 5, x = 5 và Max Z = 10

R1 – R3

R4 + (M – 1) R3

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình (tt)

3.4 Phương pháp đơn hình cho bài toán Min:

như bài toán Max.

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình

3 Giới thiệu phương pháp đơn hình

Hàng dưới không âm, nghiệm khả dĩ (9, 3, 7, 0, 0, 0, 0, 0).

Vì các biến nhân tạo a1, a2, a3 đều = 0, bài toán có nghiệm là

x1 = 9, x2 = 3 và Max Z* = - 30

Vậy bài toán gốc có Min Z = 30

4 Giải bài toán QHTT bằng máy tính

• Dựa vào thuật toán

• Khả năng tính nhanh (hàng triệu phép thử/giây)

• ABQM, QSB, LINDO, EXCEL…

(Sinh viên xem tài liệu phát kèm theo bài giảng)

33