Phương pháp phân tích định lượng - Chương 7 Quy hoạch nguyên và quy hoạch động

Phương pháp phân tích định lượng - Chương 7 Quy hoạch nguyên và quy hoạch động

Chương 7

Quy Hoạch Nguyên – Quy Hoạch Động

C7 Quy Hoạch Nguyên – Quy Hoạch Động

1 Quy Hoạch Nguyên

2 Quy Hoạch Động

1 Quy Hoạch Nguyên

1.1 Giới thiệu BT quy hoạch nguyên

 Xét BT QHTT ở dạng chuẩn





n

1 j

j

jx c Min Z

n , 2, 1, j

0 x

m , 2, 1, i

0 b

x a

j

n

1 j

i j

 Nếu tất cả các biến của BT là số nguyên, thì BT có dạng QH

nguyên thuần túy (Pure Integer Programming).

 Nếu một vài biến của BT là số nguyên, thì BT có dạng QH

nguyên hỗn hợp (Mixed Integer Programming).

 Nếu các biến của BT chỉ nhận các giá trị nguyên 0 hoặc 1, thì BT

có dạng QH nguyên 0-1 (Zero-One Integer Programming).

1 Quy Hoạch Nguyên (tt1)

1.2 Các ví dụ về BT quy hoạch nguyên

 VD 7.1: BT Knapsack 0-1 (BT người mang vác hàng)

 VD 7.2: BT hoặc cái này hoặc cái kia (Either-Or Problem)

 VD 7.3: BT lập thứ tự công việc (Sequencing Problem)

 VD 7.4: BT thiết lập kho (Warehouse Problem)

 VD 7.5: BT người giao hàng (Traveling Salesman Problem)

1 Quy Hoạch Nguyên (tt2)

VD 7.1: BT Knapsack 0-1 (BT người mang vác hàng)

 Giả sử 1 người phải lựa chọn việc đem theo một số hàng hĩa trong n

mặt hàng đang cĩ Mặt hàng thứ j cĩ giá trị c j và trọng lượng a j

 VĐ: người ngày phải lựa chọn sao cho giá trị của các mặt hàng mang

theo là tối đa trong điều kiện giới hạn trọng lượng mang theo là K

 Giả sử Biến QĐ của BT





n

1 j

j

jx c

khôngj

mặt hàngnếu

0

chọnđược

jmặt hàngnếu

1x

j 1

0 x

K x

a

j

n

1 j

j j

1 Quy Hoạch Nguyên (tt3)

VD 7.2: BT hoặc cái này hoặc cái kia (Either-Or Problem)

j 1j x b (a) hay a x b (b) a

j 2j

j

1 1

j 1j

(2) y) - (1 M b

x a

(1) y

M b

1 0

y

k m y

y y

m 1,2, , i

y M (x) g

i

m 2

1

i i i

1 Quy Hoạch Nguyên (tt4)

VD 7.3: BT lập thứ tự công việc (Sequencing Problem)

việc i được bắt đầu là t i

1 Công việc i được thực hiện trước công việc j: t j ≥t i +p i

2 Công việc j được thực hiện trước công việc i: t i ≥t j +p j

biến nguyên 0-1 y ij ,

1 0

y

p t

t ) y (1 M

p t

t y

M

ij

i i

j ij

ij

j j

i ij ij

1 Quy Hoạch Nguyên (tt5)

VD 7.4: BT thiết lập kho (Warehouse Problem)

y i = 1 nếu kho được thiết lập tại địa điểm i, nếu không thì y i = 0; i = 1,2,…,m.

f i: Chi phí thiết lập kho hàng tại địa điểm i.

i 1 hay 0 y

j i, 0

x

j d

x

i y

s x

i ij

m

1 i

j ij

n

1 j

i i ij

y f x

c Cost

Min m

1 i

n

1 j

m

1 i

i i ij

ij

1 Quy Hoạch Nguyên (tt6)

VD 7.5: BT người giao hàng (Traveling Salesman Problem)

giữa 2 điểm giao hàng i và j.

BT: Người giao hàng phải lựa chọn đường đi như thế nào để tổng quảng đường

là ngắn nhất.

n 2,3, , i

nguyên hay

0 u

j i, 1

hay

0 x

j i n;

2,3, , j

i, 1

n nx

-u u

j 1

x

i 1

x

i ij

ij j

i

n

1 i

ij

n

1 j

x c

Min n

1 i

n

1 j

ij ij

1 Quy Hoạch Nguyên (tt7)

 BT người giao hàng cĩ dạng

n 2,3, , i

0 u

j i, 1

0 x

j i

n;

2,3, , j

i, 1

n nx

u u

j 1

x

i 1

x

i ij

ij j

i

n 1 i

ij

n 1 j

hoặc

: RB

x c

1 i

n 1 j

ij ij

1 Quy Hoạch Nguyên (tt8)

1.3 Phương pháp giải BT quy hoạch nguyên

VD 7.6: Xét BT QHTT

nguyênvà

0x

,x

459x

5x

303x

5x

2 1

2 1

2 1

8x 5x

Z Max 1 2

Nếu bỏ qua yêu cầu về tính nguyên của biến, thì nghiệm của BT là

x1 = 4,5; x2 = 2,5 Và làm trịn thành biến nguyên x1 = 5; x2 = 3

Nhưng Nghiệm tối ưu thực sự của BT quy hoạch nguyên này là

x1 = 0; x2 = 5 (khác với x1 = 5; x2 = 3)

1 Quy Hoạch Nguyên (tt9)

1.3 Phương pháp giải BT quy hoạch nguyên

 Giải BT quy hoạch nguyên khá phức tạp vì tùy thuộc vào Bản chất BT (thuần túy, hỗn hợp hay 0- 1), Số lượng các biến nguyên và Cấu trúc đặc thù.

 Có 2 pp giải BT quy hoạch nguyên:

• Giải thuật mặt cắt (Cutting Plane Algorithm)

• Giải thuật phân nhánh và chặn (Branch and Bound Algorithm).

2 Quy Hoạch Động

 BT quy hoạch động là 1 dạng BT tối ưu hóa, mà trong đó việc tìm ra

giải pháp tối ưu của BT được thực hiện thông qua việc tìm nghiệm tối

ưu của 1 chuỗi các BT con có liên quan đến BT ban đầu

 Quy hoạch động là 1 pp giải quyết tối ưu theo từng giai đoạn, thích

hợp với các QĐ theo tuần tự thời gian hoặc không gian.

 BT quy hoạch động cho biết Nghiệm tối ưu theo từng giai đoạn

Việc liên kết các giai đoạn của BT quy hoạch động được thực hiện

thông qua phép đệ quy Tùy thuộc vào Bản chất của BT mà phương

trình đệ quy tương ứng sẽ được thiết lập ở dạng xuôi dòng

(Forward Recursive Equation) hoặc ngược dòng (Backward

Recursive Equation).

2 Quy Hoạch Động (tt1)

 VD 7.9: Tìm đường đi ngắn nhất từ Nút 1 đến Nút 9, với thời gian di

chuyển được ghi trên từng cung đường

15

15 10

3

2 Quy Hoạch Động (tt2)

Giải BT bằng đệ quy ngược dòng

 Giả sử

• fi: Thời gian di chuyển nhỏ nhất từ nút i đến nút 9.

• tij: Thời gian di chuyển trên cung (i, j).

 Trên cung (i, j) bất kỳ,

Do vậy:

 Đường đi ngắn nhất từ i đến 9, buộc phải qua 1 nút nào đó, nên

9 i

} f {t

} f {t

i f

t

10

7minf

t

f

tmin

f

9 69

8 68

14

3minf

t

f

tmin

f

6 36

4 34

7

315

153

104

minf

t

ft

ft

ft

min

f

8 48

7 47

6 46

5 45

14

6minf

t

f

tmin

f

5 25

4 24

2

20

1minf

t

f

tmin

f

3 13

2 12

2 Quy Hoạch Động (tt2)

Giải BT bằng đệ quy xuôi dòng

 Giả sử

• fi: Thời gian di chuyển nhỏ nhất từ nút 1 đến nút i.

• tij: Thời gian di chuyển trên cung (i, j).

 Trên cung (i, j) bất kỳ,

Do vậy:

 Đường đi ngắn nhất từ 1 đến j, buộc phải qua 1 nút nào đó, nên

1 j

} f {t

} f {t

j f

t

1

6minf

t

f

tmin

f

3 34

2 24

4

1

12minf

t

f

tmin

f

4 45

2 25

2 Quy Hoạch Động (tt4)

Giải BT bằng đệ quy xuôi dòng

169

7

5

15minf

t

f

tmin

f

5 57

4 47

7

5

7minf

t

f

tmin

f

6 68

4 48

10

163

6

15minf

t

ft

f

tminf

8 89

7 79

6 69

65

3

2

4minf

t

f

tmin

f

4 46

3 36

15

15 10

3

END