bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề một số bài TOÁN tổ hợp LIÊN QUAN đến PHỦ HÌNH CHỮ NHẬT

Với các bài toán dạng này, thường ta đánh số hoặc tô màu các ô vuông đơn vị của hình chữ nhật, có hai cách tô màu cơ bản: Cách 1: Tô màu đen và trắng xem kẽ trên mỗi hàng và mỗi cột Nếu

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP LIÊN QUAN ĐẾN PHỦ HÌNH CHỮ NHẬT

Một hình chữ nhật (có m dòng và n cột) được phân chia thành m.n ô vuông đơn vị.

Ta sẽ nghiên cứu bài toán phủ hình chữ nhật này bằng các hình được ghép từ các ô vuông đơn vị Với các bài toán dạng này, thường ta đánh số hoặc tô màu các ô vuông đơn vị của hình chữ nhật,

có hai cách tô màu cơ bản:

Cách 1: Tô màu đen và trắng xem kẽ trên mỗi hàng và mỗi cột

Nếu có một trong hai số m, n chẵn thì số ô đen và trắng

là bằng nhau

Nếu cả hai số đều lẻ thì màu nào được tô vào ô đầu tiên

sẽ nhiều hơn màu kia 1 đơn vị

Cách 2: Tô màu giống nhau trên 1 hàng (hoặc cột) và xen

kẽ trên 1 cột (hoặc hàng)

Nếu có một trong hai số m, n chẵn thì số ô đen và

trắng là bằng nhau

Nếu cả hai số đều lẻ thì màu nào được tô vào ô đầu

tiên sẽ nhiều hơn màu kia m ô (nếu tô màu giống nhau theo mỗi cột).

Các dạng hình sử dụng để phủ hình chữ nhật:

Dạng 1: Monomino là một ô vuông đơn vị

Dạng này không xét riêng, bởi đơn giản Ta sẽ tìm hiểu chúng khi kết hợp với các loại khác

Dạng 2: Domino là hình được tạo từ 2 ô vuông đơn vị, ta sẽ gặp khi xét chung cho các loại thẳng.

Dạng 3: Trimino được tạo từ 3 ô vuông đơn vị, có 2 dạng:

Trimino thẳng (sẽ được xét trong phần monomino thẳng)

L - Trimino

Ta xây dựng điều kiện cần và đủ để hình chữ nhật bởi các L – trimino bằng các bài toán:

1 Một hình chữ nhật không phủ được bởi các L – trinimo bởi 20 không chia hết cho 3 Qua đây cho ta điều kiện cần để hình chữ nhật có thể được phủ bởi một hình được tạo từ

k ô vuông đơn vị:

2 Hai L – trimino phủ được một hình chữ nhật Vậy một hình chữ nhật

được phân chia thành các hình chữ nhật thì có thể được phủ bởi các

L – trimino

3 Tìm hình vuông nhỏ nhất có thể được phủ bởi các L – trinimo?

Hình vuông được phủ bởi L – trimino thì

Xét với thấy không thỏa mãn

Xét với , ta phủ bằng cách chia thành các hình chữ nhật

4 Tìm tất cả các số nguyên dương b sao cho hình chữ nhật có thể được phủ bởi các

L – trimino

Nhận thấy: Nếu không phủ được

Nếu hình chữ nhật được phân thành các hình chữ nhật , suy ra phủ được bởi các L – trimino, vậy là tất cả các số b thỏa mãn.

5 Tìm tất cả các số nguyên dương b sao cho hình chữ nhật có thể được phủ bởi các

L – trimino

Muốn phủ hình chữ nhật thì cần phủ ô vuông đầu tiên, nhận thấy có 3 cách như sau:

Với trường hợp c thấy không thể phủ được dòng cuối Với hai trường hợp còn lại muốn phủ được dòng cuối cần tạo ra các hình chữ nhật Vậy muốn phủ được thì

Từ 5 bài toán trên, ta có định lý 1: Cho các số nguyên dương a, b với và Hình chữ nhật có thể được phủ bởi các L-trimino khi và chỉ khi

Tuy nhiên định lý chỉ đưa ra điều kiện cho hình chữ nhật có 1 trong hai cạnh là 2 hoặc 3, ta sẽ xét các hình chữ nhật mà cả hai cạnh đều lớn hơn 3 Cùng đến với một số bài toán sau:

6 Chứng minh rằng hình chữ nhật có thể được phủ bởi các L – trimino.

Nhận thấy có thể chia thành các hình chữ nhật

7 Chứng minh rằng hình chữ nhật có thể được phủ bởi các L – trimino

Chỉ rõ một cách phủ như sau:

8 Từ bài 7 hãy chứng minh rằng hình chữ nhật có thể được phủ bởi các L – trimino

Gộp thêm các hình chữ nhật vào hình chữ nhật để được hình chữ nhật

9 Từ đây nhận thấy: Nếu hình chữ nhật với phủ được bởi các L – trimino thì hình chữ nhật cũng phủ được (Dễ dàng chứng minh như ý 8)

10 Chứng minh rằng hình chữ nhật với có thể được phủ bởi các L – trimino Hình chữ nhật như trên được ghép bởi các hình và

11 Chứng minh rằng hình chữ nhật với có thể được phủ bởi các

L – trimino

Nếu thì phân chia thành các hình chữ nhật

Nếu thì chia thành hình chữ nhật và

12 Ta có định lý 2: Hình chữ nhật với có thể được phủ bởi các L – trimino khi

và chỉ khi (nghĩa là cần 1 trong hai số chia hết cho 3)

Nếu thì hình chữ nhật có thể được phủ bởi các L – trimino đã được chứng minh bởi các bài toán trên, cụ thể như sau:

Giả sử có và a chẵn thì có thể phân chia thành các hình chữ nhật

Giả sử có và a lẻ thì do phủ được nên cũng phủ được, lúc này đã qua

hết tất cả các hình chữ nhật có cạnh a lẻ.

Gộp cả hai định lý 1 và định lý 2 ta có định lý:

Cho là các số nguyên thỏa mãn: Hình chữ nhật có thể được phủ bởi các L – trimino khi và chỉ khi một trong các điều sau:

i và b chẵn.

Dạng 4: Tetramino

Là dạng được tạo từ 4 ô vuông đơn vị, có các dạng sau:

Tetramino thẳng

1 Với dạng O – tetramino

Hình chữ nhật phủ được bởi các O – tetramino khi và chỉ khi đều chẵn

2 Với S – tetramino và Z – tetramino

Một hình chữ nhật không thể được phủ nếu chỉ dùng S – tetramino và Z – tetramino

muốn phủ được thì phải phủ ô vuông đầu tiên,

với mỗi loại cho ta một cách phủ ô đầu

khi đó tiếp tục sẽ chỉ có một cách để phủ ô

tiếp theo trên hàng 1, cứ như vậy sẽ không phủ

được ô cuối cùng trên hàng 1

3 Với J – tetramino và L – tetramino

Hình chữ nhật được phủ chỉ bởi các J – tetramino hoặc L – tetramino nếu và chỉ nếu

Một số bài toán gợi ý để giải quyết ý trên (Xét với L – tetramino, với J – tetramino hoàn toàn tương tự)

a Tổng số lượng L – tetramino là số chẵn

Chứng minh

Giả sử hình chữ nhật được tô bởi k , suy ra

, cần chứng minh k chẵn.

Nhận thấy trong hai số m, n có ít nhất 1 số chẵn,

giả sử là n.

Tô mầu như hình bên, có nhận xét rằng:

Số ô đen và trắng bằng nhau

Mỗi L – tetramino khi đặt vào hình chữ nhật sẽ phủ hoặc 3 ô trắng 1 ô đen, hoặc 3 ô

đen 1 ô trắng Gọi a là số L – tetramino khi đặt vào hình chữ nhật sẽ phủ 3 ô trắng 1 ô đen và b là số L – tetramino khi đặt vào hình chữ nhật sẽ phủ 3 ô đen 1 ô trắng Khi đó

số ô trắng trên hình chữ nhật là và số ô đen là ,

suy ra , ta có điều phải chứng minh

b Hình chữ nhật với m chẵn và sẽ được phủ bởi các L – tetramino

Do hình chữ nhật được phủ bởi 2

L – tetramino nên chia nhỏ hình thành

các hình

c Hình chữ nhật phủ được bởi các J –

tetramino và L – tetramino

4 Với T – tetramino

 Chứng minh rằng hình chữ nhật được phủ bởi các T – tetramino thì số lượng

T – tetramino phải chẵn (chứng minh tương tự như với L – tetramino)

 Tìm số hình vuông nhỏ nhất có thể được phủ bởi các T – tetramino

xét hình vuông được phủ bởi k T – tetramino

suy ra với k chẵn, hay

xét với thấy thỏa mãn

Định lý (DW.Walkup, tạp chí Amer Math Monthly – T11, 1965): Hình chữ nhật phủ được bởi các T – tetramino nếu và chỉ nếu và cùng chia hết cho 4

Dạng 5: Polimino thẳng

Vấn đề 1: Tìm tất cả các hình chữ nhật có thể được phủ bởi k – omino thẳng (hình chữ

nhật )

1.1 Chứng minh rằng nếu m hoặc n chia hết cho k thì hình chữ nhật có thể được phủ

bởi k – omino thẳng.

1.2 Chứng minh rằng nếu m hoặc n cùng không chia hết cho k thì hình chữ nhật

không thể được phủ bởi k – omino thẳng.

Chứng minh: Thực hiện phép chia có dư: với

Đánh số hình chữ nhật theo quy tắc sau: Trên mỗi cột các số được đánh giống nhau, trên

mỗi hàng các số được xếp liên tiếp theo thứ tự 1, 2, …, k, 1, 2, … đến hết, trên mỗi hàng sẽ

kết thúc tại

Nhận xét mỗi k – omino thẳng khi đặt vào hình chữ nhật sẽ phủ các ô cùng đơn vị hoặc phủ

đủ các ô từ 1 đến k

Đặt là số ô được đánh số i, suy ra

Do cách đánh số suy ra số được đánh nhiều hơn số đến m đơn vị, suy ra

, điều này vô lí

2 Một hình chữ nhật có thể được phủ bởi 1 monomino và một số k – omino thẳng khi nào?

Nếu được thì đặt monomino ở vị trí nào?

Bài toán: Nếu hình chữ nhật được phủ bởi 1 monomino và một số k – omino thẳng

khi và chỉ khi

Nếu hình chữ nhật được phủ bởi 1 monomino và một số k – omino thẳng thì hiển

nhiên ta có

Ta chứng minh điều ngược lại

Xét trường hợp với , suy ra đều lẻ

Ta xếp monomino ở một ô thuộc cột hoặc dòng có thứ tự lẻ (tính từ dòng đầu hoặc cột đầu)

Với .

Vị trí của ô vuông đơn vị là giao của dòng x và cột y được kí hiệu

Bài toán được giải quyết khi hoặc

Một số bài toán

Bài 1: Cho hình chữ L như hình vẽ

Chứng minh rằng không thể phủ hình này bởi các trimino

thẳng

Ta vẫn giải quyết bài toán theo cách như đã dùng với

monomino thẳng

Tô màu như hình dưới

Một trimino thẳng khi đặt vào hình sẽ phủ hoặc 3 ô cùng màu, hoặc 3 ô có đủ cả 3 màu

Gọi tương ứng là số ô bị phủ mang màu đen, gạch và trắng

Muốn phủ được thì phải có điều kiện

Ta tính cụ thể các giá trị từ hình vẽ

Vậy điều kiện không thỏa mãn, nghĩa là không phủ được

Bài 2: Cho hình chữ nhật Có thể bỏ đi một ô nào để phần còn lại có thể được phủ bởi các quân trimino thẳng

Giải

Khi làm bài toán, chúng ta sẽ dùng tư tưởng cách làm của dạng 5 phần 2 để giải quyết.

Nhận thấy

Vậy ta có thể bỏ đi những ô là giao của dòng x, cột cột y thỏa mãn

Cần chỉ ra hai ý:

Ý 1: Tồn tại cách phủ với mọi cách bỏ đi 1 trong các ô thỏa mãn điều trên.

Đánh số các ô như hình vẽ, ta sẽ bỏ đi các ô bị bôi đen

Dễ thấy được cách phủ với các quân

Ý 2: Chứng minh nếu bỏ đi một ô nào khác thì không thể

phủ được

Gọi là số các ô được đánh số i sau khi bỏ đi 1 ô

Suy ra điều kiện để phủ được là

(điều này đã được nêu rõ trong chứng minh định lý:

Mỗi quân khi đặt vào hình chữ nhật thì phủ được 3 ô cùng số hoặc 3 ô có đầy đủ 3 số)

Mà số các ô 2 và 3 là bằng nhau nên không thể bỏ đi ô được đánh một trong hai số này

Điều này có nghĩa ta sẽ phải bỏ đi ô được đánh số 1

Quay ô vuông một góc và tìm giao của các dòng, cột mang số 1 ta sẽ được các ô cần tìm

Bài 3 (Russia 1996): Cho hình chữ nhật Một số người phủ các ô vuông đơn vị của hình chữ nhật bởi các L – trimino Hỏi có thể xảy ra trường hợp mỗi ô vuông đơn vị của hình chữ nhật được phủ bởi cùng số lượng L – trimino (ở đây mỗi người thực hiện việc phủ một số ô vuông đơn vị của mình, để nguyên như thế đến lượt người tiếp theo lại phủ các ô vuông đơn vị, khi đó mỗi ô có thể được phủ nhiều lần hoặc không được phủ lần nào)

Giải

Đánh dấu các ô như hình vẽ

Nhận thấy mỗi L – trimino khi đặt vào hình chữ nhật

sẽ chỉ phủ được tối đa 1 ô được đánh dấu

Giả sử mỗi ô của hình chữ nhật được phủ bởi đúng

k quân L – trimino, suy ra số lượng L – trimino tối

thiểu là

Nghĩa là sẽ phủ được không ít hơn ô đơn vị của hình chữ nhật (các ô có thể được đếm nhiều lần)

Bên cạnh đó chỉ có đúng ô đơn vị được phủ, số lượng này nhỏ hơn m suy ra vô lí

Bài 4 (Korea 2004): Có thể hay không để phủ một hình chữ nhật bởi các L – tetramino? Giải

Theo dạng 4: Hình chữ nhật được phủ chỉ bởi các L – tetramino nếu và chỉ nếu

Do suy ra không phủ được

Bài 5: Ở hai góc trên cùng của một mảnh đất hình vuông có kích

thước (được chia thành ô vuông đơn vị),

người ta trồng hai cột trụ, mỗi cột lấy đi 1 phần đất hình chữ nhật

có kích thước Cần lát gạch toàn bộ phần đất còn lại của nền

đất, được phép sử dụng các viên gạch hình L –

tetramino (có thể xoay nhưng không được lật) Với các giá trị nào

của m thì có thể thực hiện được việc lát.

Giải

Ta cần chỉ ra hai điều: Điều kiện cần của m và với điều kiện đó ta có thể phủ được

Với cách tô màu đen và trắng như hình vẽ

Bằng cách chứng minh như trên, ta được số lượng L –

Tetramino cần dủng phải là số chẵn

Suy ra

Xét hình chữ nhật gồm 2 dòng đầu, có dạng có tích hai cạnh chia hết cho 8, nên phủ được

Phần còn lại là hình chữ nhật có tích hai cạnh chia hết cho 8, nên phủ được Vậy điều kiện cần và đủ là

Bài 6 (IMO Shortlist 2002): Cho n là số nguyên dương lẻ Tô màu hình vuông bởi màu

đen và trắng xen kẽ (như hình ảnh của bàn cờ vua) sao cho 4 góc là 4 ô được tô đen Tìm n để có

thể phủ tất cả các ô đen bởi L – trimino Trong trường hợp phủ được hãy tìm số lượng L – trimino tối thiểu phải dùng

Giải

Nhận xét với không thỏa mãn

Với Đánh dấu các ô như hình vẽ

Suy ra phải có tối thiếu 9 L – trimino , suy ra số ô vuông đơn

vị sinh ra là không ít hơn ô, số lượng này lớn hơn thực tế

là 25 ô

Với , ta chỉ ra được một cách phủ thỏa mãn, cần dùng

Chứng minh với mọi ta có thể phủ được, số lượng L –trimino tối thiểu là

Giả sử hình vuông được phủ bởi tối thiểu

Với hình vuông được sinh ra từ hình vuông bằng cách gắn thêm vào các hình chữ nhật và , hai hình chữ nhật này cần tối thiểu quân L – trimino

Vậy số lượng L – trimino tối thiểu cần dùng là ,

ta có điều phải chứng minh

Bài toán 7 (VMO – 2006) Xét bảng ô vuông Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần đặt 4 viên bi vào 4 ô của bảng, mỗi ô một viên bi, sao cho 4 ô đó tạo thành một trong các hình dưới đây:

Hỏi sau một số lần ta có thể nhận được bảng mà số bi trong các ô bằng nhau được không nếu:

a)

b)

Giải

a) Bảng đã cho có thể chia thành các hình chữ nhật nên có thể nhận được trạng thái mà số bi trong các ô bằng nhau.

b) Tô màu các ô như hình vẽ

Dễ thấy, mỗi lần đặt bi có 2 viên được đặt vào các ô màu đen và 2

viên được đặt vào ô màu trắng Do đó, nếu gọi là số bi trong

các ô màu đen và là số bi trong các ô màu trắng sau lần đặt

bi thứ n thì là đại lượng bất biến Ta có

Vì là số lẻ nên nếu nhận được trạng thái mà số bi trong các ô bằng nhau thì

vô lý.

Nhận thấy câu hỏi ý 2 tương tự bài Russia 1996, ta suy nghĩ hướng giải dựa trên tư tưởng đó, và có lời giải thứ 2. Lời giải 2

Đánh dấu các ô như hình vẽ, khi đó mỗi hàng và mỗi

cột đều có 1003 viên bi

Nhận thấy mỗi lần đặt bi có nhiều nhất 1 ô trong số

các ô được đánh dấu sẽ có bi

Giả sử mỗi ô của hình chữ nhật được đặt đúng k viên bi, suy ra số lượng bi tối thiểu là

Bên cạnh đó chỉ có đúng viên bi được đặt, số lượng này nhỏ hơn suy

ra vô lí

Bài 8 (IMO – 2004): Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu là hình gồm 6 ô vuông

đơn vị như hình vẽ dưới đây, hoặc hình nhận được do lật hình đó (sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hoặc hình nhận được do xoay hình đó đi một góc.

Hãy xác định tất cả các hình chữ nhật , trong đó m, n là các số nguyên dương sao cho

có thể lát hình chữ nhật đó bằng các viên gạch hình móc câu?

Lời giải Dễ thấy Chi hình chữ nhật đã cho thành các ô vuông và đánh số các hàng, các cột từ dưới lên trên, từ trái sang phải Ta gọi ô là ô nằm ở giao của hàng thứ p và cột thứ q Hai viên gạch hình móc câu chỉ có thể ghép lại để được một trong hai hình dưới đây:

(H1)

(H2)

Do đó, để lát được hình chữ nhật thì phải chia hết cho 12 Nếu ít nhất một trong hai số m, n chia hết cho 4 thì có thể lát được Thật vậy, giả sử được m chia hết cho

4 Ta có thể viết n dưới dạng: , do đó có thể lát được.

Xét trường hợp m, n đều không chia hết cho 4 Ta chứng minh trường hợp này không thể lát được Giả sử ngược lại, khi đó m, n đều chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Ta tạo bất biến như sau: Xét ô Nếu chỉ một trong hai toạ độ p, q chia hết cho 4 thì điền số 1 vào ô đó Nếu cả hai toạ độ p, q chia hết cho 4 thì điền số 2 Các ô còn lại điền

số 0 Với cách điền số như vậy ta thu được bất biến là tổng các số trong hình (H1) và tổng các số trong hình (H2) đều là số lẻ Do m, n chắn nên tổng các số trong toàn bộ hình chữ nhật là số chẵn Để lát được thì tổng số hình (H1) và (H2) được sử dụng phải là số chẵn Khi đó, chia hết cho 24, vô lý.

Bài 9 (Belarus 1999): Có 1 nền đất hình vuông được chia thành 49 ô vuông đơn vị Thực hiện việc lát nền đất bởi 3 loại gạch lát nền:

Loại 1: Monomino ( )

Loại 2: Trimino thẳng ( )

Loại 3: L – trimino (có 3 ô đơn vị, hình chữ L)

Giả sử A có 1 viên loại 3 và rất nhiều viên loại 2, B có 1 viên loại 1

a Chứng minh rằng B có thể lát viên gạch của mình lên một ô vuông đơn vị nào đó trên nền đất

mà A không thể lát kín phần còn lại

b Giả sử A có thêm 1 viên loại 3 nữa Chứng minh rằng dù B lát viên gạch của mình ở đâu thì A cũng lát kín được phần còn lại

Giải

Đánh số các ô vuông đơn vị của hình chữ nhật như hình

vẽ, ô màu đen là ô B lát viên gạch của mình

Số các số 1 là 17, số 2 là 15, số 3 là 16

Nhận xét về các quân của A khi đặt nên hình chữ nhật

này:

Với Trimino thẳng, sẽ phủ được 3 ô có đủ 3 số lượng 1,

2 và 3

L – trimino sẽ phủ được hoặc 3 số 1, 2, 3 hoặc 3 ô có 2

số giống nhau (ví dụ 2 ô 1 và 1 ô 3…)

Nếu A chỉ dùng Trimino thẳng thì hiển nhiên không phủ được