Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn và nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp

-1- Lời nói đầu Khái niệm liên hợp nhóm đợc ứng dụng rộng rãi, đợc xem nh công cụ quan trọng nghiên cứu lớp nhóm cụ thể, nh nghiên cứu tính chất tổng quát nhóm Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất quan hệ liên hợp nhóm,sau vận dụng kết thu đợc vào nghiên cứu hai lớp nhóm Đó nhóm với lớp liên hợp phần tử hữu hạn lớp nhóm có số hữu hạn lớp liên hợp Hai lớp nhóm nói dự vị trí quan trọng lý thuyết nhóm bao gồm nhóm hữu hạn lớp nhóm Aben Nội dung luận văn gồm hai chơng Chơng I: Quan hệ liên hợp nhóm Đ1 Lớp phần tử liên hợp Các nhóm liên hợp Đ2 Các phần tử liên hợp nhóm đối xứng bậc n Đ3 Phơng trình xn = c lớp liên hợp nhóm Chơng II: Nhóm lớp liên hợp hữu hạn nhóm hữu hạn lớp liên hợp Đ1 Nhóm với lớp liên hợp hữu hạn Đ2.Nhóm hữu hạn liên hợp Kết luận văn: Định lý 2.1: Hai phép Sn liên hợp với chúng có số vòng xích vòng xích có độ dài Định lý 3.1: Nếu G nhóm hữu hạn cấp m C lớp liên hợp có lực lợng h số nghiệm phơng trình xn=c (với c phần tử thuộc C) bội (h.n, m) Trong (h.n, m) UCLN h.n m (của chơng I) Định lý 1.2 Bất kỳ nhóm xoắn với lớp liên hợp hữu hạn nhóm chuẩn địa phơng ngợc lại Định lý 1.3 Giả sử G p-nhóm với lớp liên hợp hữu hạn khác e tâm Z G khác đơn vị e (Của chơng II) Luận văn đợc hoàn thành nhờ hớng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy, thầy cô giáo ngành Đại số giúp hoàn thành luận văn -2Do thời gian có hạn trình độ nhiều hạn chế nên luận văn nhiều sai sót Mong đợc góp ý thầy cô, tất bạn Xin chân thành cảm ơn! Vinh, ngày tháng năm 2002 Ngời thực Nguyễn Quốc Năm -3- Chơng I Quan hệ liên hợp nhóm Trong lý thuyết nhóm mối quan hệ phần tử, nhóm tập nhóm có vai trò quan trọng, đợc ứng dụng rộng rãi nghiên cứu lý thuyết nhóm Quan hệ quan hệ liên hợp, sau trình bày số tính chất quan hệ Đ1 Lớp phần tử liên hợp, nhóm liên hợp Định nghĩa 1.1: Cho G nhóm, g1, g2 hai phần tử nhóm G Phần tử g2 đợc gọi liên hợp với phần tử g1 G Nếu G tồn phần tử g thuộc G để g = g g g Ta định nghĩa tơng tự cho hai nhóm A1, A2 nhóm G Nhóm A2 đợc gọi nhóm liên hợp với nhóm A1 G nh tồn phần tử g thuộc G A = g A g Chú ý: Nếu nh phần tử g thuộc nhóm H G ta nói nhóm A2 liên hợp với nhóm A1đối với nhóm H có ta xét A1, A2 nhóm mà tập G Mệnh đề 1.1: Quan hệ liên hợp quan hệ tơng đơng Chứng minh: + Tính phản xạ: Với phần tử a thuộc G ta có a = e a e (với e phần tử đơn vị G) Vậy phần tử a liên hợp với + Tính đối xứng: Giả sử phần tử g liên hợp với phần tử g1 tồn phần tử g thuộc G để g = g g g Từ suy g = ( g ) g g Do phần tử g thuộc G nên phần tử g thuộc G Vậy phần tử g1 liên hợp với phần tử g2 + Tính bắc cầu: Giả sử phần tử g2liên hợp với phần tử g1, phần tử g1 liên hợp với phần tử g0 Ta phải chứng minh phần tử g2 liên hợp với phần tử g0 Thật vậy, phần tử g2 liên hợp với phần tử g1 nên tồn phần tử g thuộc G để: g = g g g (1) Cũng phần tử g1liên hợp với phần tử g0 nên tồn phần tử g thuộc G để: g = g' g g' (2) Thế (2) vào (1) -4ta đợc: g = g g' g g'g = (g'g ) g (g'g ) Do phần tử g, g thuộc G nên phần tử g' g thuộc G Vậy phần tử g2 liên hợp với phần tử g0 Định nghĩa 1.2: Tập hợp tất phần tử (nhóm con) liên hợp với phần tử g (nhóm A) G đợc gọi lớp phần tử liên hợp (lớp nhóm liên hợp) Do quan hệ liên hợp quan hệ tơng đơng nhóm G phân tích đợc: G = C1+ C2++ Cn+Trong Ci lớp phần tử liên hợp, i = 1,2,n, Mệnh đề 1.2: Giả sử Ci lớp liên hợp phần tử xi, lực lợng Ci ( C ) Khi phần tử x thuộc tâm Z G i i Chứng minh: Nếu phần tử xi thuộc Ci C i = Có nghĩa có phần tử xi thuộc lớp Ci Vậy với phần tử g thuộc nhóm G ta có: g x i g = x i Hay g x i = x i g Suy xi thuộc tâm Z G Ngợc lại: Nếu phần tử xi thuộc tâm Z nhóm g, phần tử g thuộc nhóm G ta có: g x i g = x i Từ suy C i = Mệnh đề 1.3: Số phần tử liên hợp với phần tử g (nhóm A) G số [ G : N G (g)] ( [ G : N G ( A)] ) Trong NG(g), NG(A) chuẩn tập phần tử g (nhóm A) Chứng minh: Ta đặt D = N G (g ) Khi D nhóm nhóm G G = D + g D + + g n D Giả sử x g x = y g y suy g = x y g y x = ( y x ) g ( y x ) Vậy y x thuộc NG(g) ngợc lại ngợc lại phần tử x thuộc NG(g) x g x = g Vậy số phần tử liên hợp với phần tử g (nhóm A) G [ G : N G (g)] Định lý 1.1: Giả sử A nhóm G Khi A * = g A g nhóm G (với g phần tử thuộc G) -5Chứng minh: Giả sử phần tử x 1* , x *2 thuộc A * Khi tồn phần tử x1, x2 thuộc A cho x 1* = g x g x *2 = g x g Khi ta có ( x 1* ) = ( g x g ) = g x g Do A nhóm nên phần tử x thuộc A hay x1* thuộc A* Mặt khác ta có: x 1* x *2 = g x g g x g = g x x g Do A nhóm nên phần tử x1 x thuộc A Vậy phần tử x 1* x *2 thuộc A * Từ ta suy A * nhóm nhóm G Định nghĩa 1.3: Tập K nhóm G đợc gọi tập bất biến có liên hợp với Mệnh đề 1.4: Tích hai tập bất biến K1, K2 tập bất biến Chứng minh: Giả sử phần tử k k thuộc K K Trong phần tử k1 thuộc K1, phần tử k2 thuộc K2 phần tử g thuộc G ta có: g k k g = g k g g k g Vì K1 K2 tập bất biến nên ta có phần tử g k g thuộc K1, phần tử g k g thuộc K2 nên phần tử g k k g thuộc K K Vậy K K tập bất biến Mệnh đề 1.5: Nếu K tập bất biến K -1 (các phần tử nghịch đảo K) tập bất biến Chứng minh: Lấy phần tử k thuộc K , với phần tử g thuộc nhóm G ta có: g k g = ( g k g ) (trong k thuộc K) Vì K tập bất biến nên phần tử g k g thuộc K Vậy phần tử g k g thuộc K-1 tức K-1 tập bất biến Mệnh đề 1.6: Nếu K1 K2 hai tập bất biến nhóm G Khi K K tập bất biến nhóm G Chứng minh: Giả sử phần tử k1 thuộc K K , phần tử k1 thuộc K1 phần tử k1 thuộc K2 -6Nếu k1 thuộc K1 phần tử g k g thuộc K1 (với phần tử g thuộc nhóm G) Suy phần tử g k g thuộc K K Tơng tự trờng hợp phần tử k1 thuộc K2 Nhận xét: Từ chứng minh ta thấy hợp tuỳ ý tập bất biến G tập bất biến nhóm Mệnh đề 1.7: Nếu nhóm A1 A2liên hợp với hữu hạn O(A1) = O(A2) (với O(A) cấp nhóm A) Chứng minh: Với phần tử g thuộc G Ta xét ánh xạ: g : A1 A a g a g Ta thấy g ánh xạ đẳng cấu Thật vậy: + g đồng cấu: Với phần tử a1, a2 thuộc A1 suy g (a a ) = g a a g = g a g g a g = g (a ) g (a ) + g đơn ánh: Với phần tử a1khác phần tử a2, phần tử a1, a2 thuộc A1 Khi phần tử g a g khác phần tử g a g phần tử g a g , g a g thuộc A2 + g toàn ánh: Vì với phần tử a2 thuộc A2 tồn phần tử g thuộc nhóm G phần tử a 1thuộc A1 cho g a g = a (vì A1 A2liên hợp với nhau) Vậy O(A1) = O(A2) Mệnh đề 1.8: Nhóm sinh tập bất biến nhóm bất biến (ớc chuẩn) Chứng minh: Giả sử H nhóm sinh tập bất biến M H = { M} Đặt V = M M Khi V tập bất biến (theo mệnh đề 1.5 1.6) H = V V V n Theo mệnh đề 1.4 tập V i tập bất biến, theo mệnh đề 1.6 H tập bất biến, H nhóm suy H ớc chuẩn -7Mệnh đề 1.9: Giả sử cấp nhóm hữu hạn G n, cấp phần tử x thuộc nhóm G m k số phần tử liên hợp với phần tử x G Khi n m Chứng minh: Ta ký hiệu X = { x} nhóm sinh phần tử x Theo k ớc số số nguyên mệnh đề 1.3 k = [ G : N G ( X ) ] nhng X nhóm thuộc nhóm N G ( X ) nên ta có k = [ G : N G ( X ) ] = [ G : X ] : [ N G ( X) : X ] Đặt t = [ N G (X) : X ] Vậy suy k= n n : t hay = kt m m Mệnh đề 1.10: Giả sử cấp nhóm G = n, cấp tâm Z G =m k số phần tử liên hợp với phần tử x G Khi k ớc số nguyên n m Chứng minh: Ta ký hiệu X = { x} nhóm sinh phần tử x thuộc nhóm G Vì tâm Z nhóm G thuộc vào N G(X) nên ta có k = [ G : N G ( Z ) ] = [ G : Z] : [ N G ( X ) : X ] = kt = n : t (với t = [ N G (X) : X ] ) Suy m n n n Vậy chia hết cho k Hay k ớc số nguyên m m m Mệnh đề 1.11: Nhóm G có cấp hữu hạn pr (với p số nguyên tố) Khi tâm Z nhóm G khác đơn vị e Chứng minh: Giả sử nhóm G phân tích đợc: G = C + C + + C k , với Ci lớp liên hợp, i = 1,2, ,k Cấp G pr, lực lợng |Ci| ớc pr lớp C1 có phần tử e thuộc C 1nên |C1| =1 Do cấp G chia hết cho p nên k C i =1 i chia hết cho p Theo ta có Ci hoặc chia hết cho p Trong có lực lợng C1=1 nên số lớp liên hợp có lực lợng lớp C1 mà phải có số lớp khác nữa, mà theo -8mệnh đề 1.2 phần tử xi thuộc lớp liên hợp Ci mà có lực lợng Ci = Ci thuộc tâm Z G Vậy tâm Z G khác đơn vị e -9Đ2 Phần tử liên hợp nhóm đối xứng Sn Trong tiết ta xét điều kiện để hai phép , thuộc Sn liên hợp với Định nghĩa 2.1: Một phép đợc gọi vòng xích có dạng ( , , , k ) = với ( i ) = i +1 (i = 0, , k 2) ( k ) = Số k đợc gọi độ dài vòng xích Nếu k=2 đợc gọi phép chuyển trị Hai vòng xích (a1, a2, , ak) (b1, b2,,br) đợc gọi độc lập nh khác bi, với i = 1,k; j = 1,,r Hay a , , a k b , , b k = Mệnh đề 2.1: Mọi phép thuộc Sn viết đợc dới dạng tích vòng xích độc lập Chứng minh: Với xi thuộc {1,2 , n} Nếu ( x i ) = x i (xi) vòng xích Trái lại ( xi ) xi ta đặt x = ( x ) Giả sử x1, x = ( x ) , x = ( x ), x k = ( x k ) phần tử đôi khác nhau, ( x k ) trùng với phần tử x 1, x2,,xk Ta khẳng định ( x k ) = x1 Thật vậy, giả sử ( x k ) x hay ( x k ) = x i (với i>1) Theo cách lấy ta có: ( x k ) = ( x i ) Do xk = xi-1 điều mâu thuẫn với x1, x2,,xk phần tử đôi khác Nh (x1, x2,,xk) vòng xích Mệnh đề 2.2: Giả sử T = (a11,,a1r) (a21,,a2s)(am1,,amt) a 11 , a 12 , , a 1r , a 21 , , a s , a , , a mt ta có: S= b , b , , b , b , , b , b , , b 1r 21 2s mt 11 12 m1 m1 S T S = ( b 11 , , b 1r )(b 21 , , b s ) (b m1 , , b mt ) Chứng minh: S T S Đối với bjk ta có: b jk a jk a jk +1 b jk +1 Vậy phép S T S chuyển bjk thành bjk+1 hay S T S = ( b 11 , , b 1r )(b 21 , , b s ) (b m1 , , b mt ) - 10 Định lý 2.1: Hai phép S n liên hợp với chúng có số vòng xích vòng xích có độ dài Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1 ta có điều kiện cần Bây ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử T = (a11,,a1r) (a21,,a2s)(am1,,amt); S = (b 11 , , b 1r )(b 21 , , b s ) (b m1 , , b mt ) T S có số vòng xích vòng xích có độ dài, có vòng xích có độ dài nên ta viết a 11 , a 12 , , a 1r , a 21 , , a s , a , , a mt Q= b , b , , b , b , , b , b , , b 1r 21 2s mt 11 12 m1 Khi m1 Q T Q = S Vậy T S liên hợp với Hệ quả: Nhóm S3 đối xứng bậc có lớp liên hợp sau: 1) (1,2) (1,3) (2,3) = C 2) (1,2,3) (1,3,2) = C 3) e = C1 Còn nhóm đối xứng bậc hai có hai lớp liên hợp C1 = e , C = (1,2) Nhóm S3 sinh C1 e C2 = S3 C3 = A3 Từ ta suy A3 ớc chuẩn thực S3 - 11 Đ3 Phơng trình xn = c nhóm Trong phần ta nghiên cứu số nghiệm phơng trình xn = c lớp liên hợp nhóm Định lý 3.1: Nếu G nhóm hữu hạn cấp m C lớp liên hợp có lực lợng h số nghiệm phơng trình xn=c (với c phần tử thuộc C) bội (h.n, m) Trong (h.n, m) UCLN h.n m Chứng minh: Ta ký hiệu A(K, n) tập hợp tất phần tử g thuộc G để cho gn thuộc K a(K, n) lực lợng A(K, n) Để chứng minh định lý ta chứng minh quy nạp Nếu m=1, ta có G = e (h.n, 1) =1 nên định lý với điều kiện Bây ta chứng minh quy nạp theo cấp T theo bậc phơng trình xn=c Ta coi định lý với m1 định lý với N G(c) số phần tử a(C,n) bội (n, m ) Từ chứng minh có tơng ứng 1-1 tập nghiệm xn =c h xn=c (với c liên hợp với c) ta có a(C,n) =h.a (c,n) bội h(n, m ) = (h.n, h m) Vậy định lý Giả sử h=1 n=n1.n2 với (n1,n2)=1 n1>1, n2>1 ta ký hiệu D=A(C,n2) Khi ta có A(c,n)=A(c,n1) D bao gồm số lớp phần - 12 tử liên hợp Theo quy nạp số (n1,m) ớc a(c,n), tơng tự (n2,m) ớc a(c,n) nhng (n1,m) (n2,m) nguyên tố tích chúng (n1,m).(n2,m)=(n1.n2,m) ớc a(c,n) Vậy định lý Ta chứng minh định lý với n hợp số Ta giả thiết m = pe (với p số nguyên tố) (m, u) = với u cấp phần tử c Vì h = nên ta suy c thuộc tâm G Các phần tử thuộc tâm cấp chúng không chia hết cho p tạo thành nhóm aben Bvà b cấp B không chia hết cho b Giả sử c1, c2 hai phần tử thuộc P, b không chia hết cho p, phơng trình c1 = c2 yn có B nghiệm y, nhng xn = c1 (x.y)n = c2 Do số a(c, n) c với c thuộc B Cuối theo công thức: m = a (C, n ) + ba (c, a ) cB Đợc tính m phần tử B, số hạng đầu phần tử không thuộc vào B, sau phần tử thuộc vào B Số (n, m) ớc lớp đợc tính b lần theo quy nạp theo phần riêng đợc chứng minh Mặt khác (n, m) ớc m số nguyên tố b, (n, m) ớc a(c,n) Vậy định lý hoàn toàn đợc chứng minh Hệ 1: Nếu c=e thuộc G Khi h=1, ta có: xm=e tất phần tử x thuộc G xn=e Do c=(n,m) từ xn=e suy xm=e Hệ 2: Nếu n ớc cấp G Tức m chia hết cho n số nghiệm phơng trình xn=e nhóm G bội n Chứng minh: Vì a(e,m) bội (h.n,m) m chia hết cho n nên h.n chia hết cho m Vậy a(e,n) bội n Chơng II Nhóm với lớp liên hợp hữu hạn nhóm có số hữu hạn lớp liên hợp Đ1 Nhóm với lớp liên hợp hữu hạn Giả sử G nhóm Aben Khi với phần tử g thuộc G phần tử a thuộc G ta có g a g = a g g = a Vì ta thấy nhóm Aben lớp liên hợp có phần tử Nhóm Aben thuộc lớp nhóm với lớp liên hợp hữu hạn Thế có nhóm khác nhóm Aben mà với lớp liên hợp hữu hạn Trong phần xét lớp nhóm với lớp liên hợp hữu hạn - 13 Định nghĩa: 1.1 Nhóm G đợc gọi nhóm xoắn nh phần tử G có cấp hữu hạn 1.2 Nhóm G đợc gọi nhóm chuẩn địa phơng nh tập hữu hạn g1, g2,,gk G đợc chứa ớc chuẩn có cấp hữu hạn G Ta thấy phần tử g thuộc G nhóm sinh g({g}) thuộc ớc chuẩn có cấp hữu hạn nhóm G nên g có cấp hữu hạn Vì G nhóm chuẩn địa phơng G nhóm xoắn Định lý 1.1: Nếu nhóm G, tập hữu hạn bất biến M gồm phần tử có cấp hữu hạn Khi nhóm sinh M nhóm hữu hạn Chứng minh: Giả sử M gồm có k phần tử g 1, g2,,gk m bội số chung nhở cấp phần tử g 1,g2,,gk Giả sử A nhóm sinh g1,g2,,gk A kí hiệu: A={ g1,g2,,gk} Bất kỳ phần tử a thuộc A viết dới dạng tích phần tử M Để chứng minh định lý ta cần phải chứng minh phần tử a thuộc A có không k(m-1) nhân tử viết a dới dạng tích phần tử M Giả sử a = a1.a2 as M , i=1,,s (1) Ta phải chứng minh s < k (m - 1) Giả sử ngợc lại s>k(m-1) có phần tử M Thí dụ gặp tích a (1) không nhỏ m lần Nếu a i phần tử (1) a0 ta đặt: a 01 a j a = a 'j Ta có a = a a a i1 a a j+1 a s = = a a 01 a a a 01 a a a 01 a i a a i +1 a s = = a a 1' a '2 a i +1 a s Đồng thời ta có a 'j M M bất biết Ta áp dụng kiểu làm nh phần tử từ a i+1,,as a0 Sau phần tử còm lại kiểu nh trên, thông qua số hữu hạn bớc phần tử viết dới dạng m tích a = a a a a s m Ta có a = e suy a viết đợc dới dạng (s m) phần tử M Vậy a phải nhóm hữu hạn m Định lý 1.2: Bất kỳ nhóm xoắn với lớp liên hợp hữu hạn nhóm chuẩn địa phơng ngợc lại - 14 Chứng minh: Giả sử G nhóm với lớp liên hợp hữu hạn G nhóm xoắn ta chứng minh G nhóm chuẩn địa phơng Giả sử g1,,gk tập hữu hạn phần tử G Khi ta phải chứng minh g 1, gk thuộc vào ớc chuẩn hữu hạn Ta ký hiệu Ci lớp phần tử liên hợp g i, i=1,,k Theo giả k thiết Ci có lực lợng hữu hạn Đặt C = C i Do C i hữu hạn suy i =1 C hữu hạn C tập bất biến Theo mệnh đề 1.8 nhóm sinh tập bất biến nhóm bất biến, hay ớc chuẩn, theo định lý 1.1 nhóm sinh C nhóm hữu hạn Vì vậy, nhóm {C} nhóm hữu hạn, ớc chuẩn chứa g1,,gk Vậy G nhóm chuẩn địa phơng Ngợc lại: Giả sử G nhóm chuẩn địa phơng ta phải chứng minh G nhóm với lớp liên hợp hữu hạn với phần tử g thuộc G G nhóm chuẩn địa phơng nên g phải thuộc ớc chuẩn hữu hạn K Vì K ớc chuẩn K chứa g K chứa trọn vẹn lớp phần tử liên hợp với g Vậy lớp hữu hạn Từ suy G nhóm với lớp liên hợp hữu hạn Định nghĩa 1.3: Nhóm G đợc gọi p-nhóm nh phần tử g thuộc G có cấp luỹ thừa p Trong p số nguyên tố Định lý 1.3: Giả sử G p-nhóm với lớp liên hợp hữu hạn khác e tâm Z G khác đơn vị e Chứng minh: Giả sử G p-nhóm ta lấy lớp liên hợp U có lực lợng hữu hạn Khi ta có A={U} nhóm sinh U A nhóm hữu hạn, A bất biến Từ suy phần tử đợc chứa lớp liên hợp hữu hạn nhóm G Vì A nhóm bất biến nên theo mệnh đề 1.3 số chuẩn tập phân tử hữu hạn luỹ thừa p Giả sử nhóm bất biến A phân tích đợc: A=C1 + C2 ++ Cq (với Ci lớp liên hợp, i=1,,q, có lực lợng p ,, p Giả sử cấp A p n , đó: q p n = p + p ++ p q Bởi lớp C1 có phần tử e thuộc C nên lực lợng |C1|=1 Do phải có lớp khác có lực lợng Từ suy A có tâm khác đơn vị e thuộc G Vì A nhóm bất biến nên suy G có tâm khác đơn vị e - 15 Định nghĩa 1.4: Nhóm G đợc gọi nhóm hữu hạn địa phơng nh nhóm hữu hạn sinh nhóm hữu hạn Ta dễ dàng thấy nhóm hữu hạn địa phơng nhóm xoắn Hệ quả: Nhóm xoắn với lớp liên hợp hữu hạn nhóm hữu hạn địa phơng - 16 Đ2 Nhóm có số hữu hạn lớp liên hợp Trong phần nghiên cứu lớp nhóm mà có hữu hạn lớp liên hợp Ta thấy nhóm hữu hạn thuộc lớp nhóm Do nhóm A ben lớp liên hợp phần tử, nhóm A ben mà thuộc lớp nhóm hiển nhiên phải nhóm A ben hữu hạn Trong phần ta tìm số lớp nhóm có số hữu hạn lớp liên hợp nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.5: Nhóm G đợc gọi nhóm giải đợc nh G tồn dãy hữu hạn ớc chuẩn: H1 H2 Hk-1 Hk=G với nhóm thơng Hi/Hi-1 nhóm A ben Mệnh đề 2.1: Nhóm hữu hạn có lớp liên hợp nhóm xiclíc cấp hai Chứng minh: Giả thiết G nhóm hữu hạn có cấp n G = C + C2 Với C1,C2 lớp liên hợp Vì C1 có lực lợng nên lực lợng C2 phải n-1 Mặt khác lực lợng C2 phải ớc cấp G nên suy n n-1 Điều xẩy n=2 Định lý 2.2: Giả sử G nhóm giải đợc có số hữu hạn lớp liên hợp Khi G nhóm có cấp hữu hạn Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu G nhóm có hữu hạn lớp liên hợp nhóm thơng G/K có hữu hạn lớp liên hợp (với K ớc chuẩn G) Chứng minh: Giả sử G = C1+ C2 ++ Cn Với Ci lớp hữu hạn, i=1, ,n Ta chứng minh xi yi thuộc lớp Ci xiK liên hợp yiK với G/K Vì yi Ci, xi Ci nên tồn phần tử gG để: y i = g x i g Khi ta có: y i K = g x i gK = g x i g g K g = g x i Kg (do K ớc chuẩn nên K = g K g g x i Kg = g Kx i KgK ) Vậy xiK yiK liên hợp vơi Mặt khác G cho k lớp liên hợp G/K có không k lớp liên hợp - 17 Chứng minh định lý: Giả sử dãy: H1 H2 Hk-1 Hk=G.(1) dãy giải đợc G Nhóm thơng G/Hk-1 nhóm A ben theo bổ đề có số hữu hạn lớp liên hợp nên suy G/Hk-1 nhóm hữu hạn Bây ta chứng minh Hk-1 nhóm có số hữu hạn lớp liên hợp Giả sử ngợc lại Hk-1 có vô số lớp liên hợp Khi chọn đợc tập vô hạn phần tử H k-1 a1,a2,,ai, (2) Từng đôi không liên hợp với Hk-1 nhng lại liên hợp với G Tức thuộc lớp liên hợp Ci G Vậy tồn phần tử xi G để: x i1 a j x i = a i i=1,2, (3) Vì nhóm thơng G/Hk-1 nhóm hữu hạn nên tìm đợc số i khác j để: xiHk-1=xjHk-1.(4) Hay xj=xi hk-1 Với hk-1 Hk-1.(5) Từ (3) (4) suy ra: a i = ( x j x i ) a j x j x i = ( x i h k x i1 ) a j x i h k x i1 Nhng x i h k x i1 H k (vì hk-1 ớc chuẩn nhóm G) Nên aj liên hợp với Hk-1 điều mẫu thuẩn với giả thiết đặt aj không liên hợp với H k-1 Vậy Hk-1 nhóm có số hữu hạn lớp liên hợp Bây ta chứng minh hữu hạn nhóm thơng Hk-1/Hk-2 tiếp tục trình chứng minh Do dãy nhóm giải đợc G hữu hạn nên ta có nhóm G nhóm hữu hạn - 18 - Kết luận Luận văn giải đợc vấn đề đặt nh: Chơng I: Quan hệ liên hợp nhóm Chơng II: Nhóm lớp liên hợp hữu hạn nhóm hữu hạn lớp liên hợp Hai lớp nhóm đợc nghiên cứu luận văn để lại phía sau nhiều vấn đề để nghiên cứu Chúng hy vọng có điều kiện tiếp tục nghiên cứu tính chất bản, hy vọng đến mô tả cấu trúc chúng - 19 - Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quốc Thi Một số lớp nhóm ĐHSP Vinh, 1998 [2] M.Hall Lý thuyết nhóm Mos, 1961 (tiếng Nga) [3] A.G.Knros Lý thuyết nhóm Mos, 1964 (tiếng Nga) [4] Serge Lang Đại số phần NXB Đại học THCN, 1974 (dịch tiếng Việt: Hoàng Kỳ Trần Văn Hạo) [...]... II Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn và nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp Đ1 Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn Giả sử G là nhóm Aben Khi đó với phần tử g thuộc G và phần tử a thuộc G ta có g 1 a g = a g 1 g = a Vì vậy ta thấy rằng nhóm Aben mỗi lớp liên hợp chỉ có một phần tử Nhóm Aben thuộc lớp nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn Thế thì có nhóm nào khác nhóm Aben mà với các lớp liên hợp hữu hạn. .. một số hữu hạn lớp liên hợp Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu lớp nhóm mà nó có hữu hạn lớp liên hợp Ta thấy rằng nhóm hữu hạn thì thuộc lớp nhóm này Do nhóm A ben mỗi lớp liên hợp là một phần tử, vì vậy nếu nhóm A ben mà thuộc lớp nhóm này thì hiển nhiên nó phải là nhóm A ben hữu hạn Trong phần này ta sẽ tìm một số lớp nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp là nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.5: Nhóm G... Giả sử G là nhóm giải đợc có một số hữu hạn lớp liên hợp Khi đó G là nhóm có cấp hữu hạn Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu G là nhóm có hữu hạn lớp liên hợp thì nhóm thơng G/K cũng có hữu hạn lớp liên hợp (với K là ớc chuẩn của G) Chứng minh: Giả sử G = C1+ C2 ++ Cn Với Ci là lớp hữu hạn, i=1, ,n Ta chứng minh rằng nếu xi và yi thuộc lớp Ci thì xiK cùng liên hợp yiK với nhau trong... lớp khác có lực lợng bằng 1 Từ đó suy ra A có tâm khác đơn vị e thuộc G Vì A là nhóm con bất biến nên cũng suy ra G có tâm khác đơn vị e - 15 Định nghĩa 1.4: Nhóm G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng nếu nh mọi nhóm con hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn Ta dễ dàng thấy rằng nhóm hữu hạn địa phơng là nhóm xoắn Hệ quả: Nhóm xoắn với các lớp liên hợp hữu hạn là nhóm hữu hạn địa phơng - 16 Đ2 Nhóm có một số. .. không liên hợp với nhau trong H k-1 Vậy Hk-1 là nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp Bây giờ ta có thể chứng minh sự hữu hạn của nhóm thơng Hk-1/Hk-2 và tiếp tục quá trình chứng minh trên Do dãy nhóm giải đợc của G là hữu hạn nên ta có nhóm G cũng là nhóm hữu hạn - 18 - Kết luận Luận văn đã giải quyết đợc những vấn đề đã đặt ra nh: Chơng I: Quan hệ liên hợp trong nhóm Chơng II: Nhóm các lớp liên hợp hữu. .. bổ đề có một số hữu hạn lớp liên hợp nên suy ra G/Hk-1 là nhóm hữu hạn Bây giờ ta chứng minh Hk-1 cũng là nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp Giả sử ngợc lại Hk-1 có vô số lớp liên hợp Khi đó có thể chọn đợc một tập vô hạn các phần tử trong H k-1 a1,a2,,ai, (2) Từng đôi một không liên hợp với nhau trong Hk-1 nhng lại liên hợp với nhau trong G Tức là nó thuộc lớp liên hợp Ci nào đó trong G Vậy khi đó... G là nhóm chuẩn địa phơng Ngợc lại: Giả sử G là nhóm chuẩn địa phơng ta phải chứng minh G là nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn với phần tử g thuộc G bất kỳ vì G là nhóm chuẩn địa phơng nên g phải thuộc ớc chuẩn hữu hạn K nào đó Vì K là ớc chuẩn K chứa g thì K chứa trọn vẹn lớp các phần tử liên hợp với g Vậy lớp đó là hữu hạn Từ đó suy ra G là nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn Định nghĩa 1.3: Nhóm G... xét lớp nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn - 13 Định nghĩa: 1.1 Nhóm G đợc gọi là nhóm xoắn nếu nh mọi phần tử của G đều có cấp hữu hạn 1.2 Nhóm G đợc gọi là nhóm chuẩn địa phơng nếu nh một tập hữu hạn g1, g2,,gk bất kỳ của G đều đợc chứa trong ớc chuẩn có cấp hữu hạn của G Ta thấy rằng nếu phần tử g thuộc G thì nhóm con sinh bởi g({g}) thuộc ớc chuẩn có cấp hữu hạn của nhóm G nên g sẽ có cấp hữu hạn. .. gk thuộc vào một ớc chuẩn hữu hạn Ta ký hiệu Ci là lớp các phần tử liên hợp của g i, i=1,,k Theo giả k thiết Ci có lực lợng là hữu hạn Đặt C = C i Do các C i là hữu hạn suy ra i =1 C là hữu hạn và C là tập bất biến Theo mệnh đề 1.8 nhóm con sinh bởi tập con bất biến là nhóm con bất biến, hay ớc chuẩn, theo định lý 1.1 nhóm con sinh bởi C là nhóm hữu hạn Vì vậy, nhóm con {C} là nhóm con hữu hạn, là... a = a 0 a 1 a 2 a s m Ta có a 0 = e suy ra a chỉ viết đợc dới dạng (s m) phần tử trong M Vậy a phải là nhóm hữu hạn m Định lý 1.2: Bất kỳ nhóm xoắn với lớp liên hợp hữu hạn là nhóm chuẩn địa phơng và ngợc lại - 14 Chứng minh: Giả sử G là nhóm với các lớp liên hợp đều hữu hạn và G là nhóm xoắn ta chứng minh G là nhóm chuẩn địa phơng Giả sử g1,,gk là tập hữu hạn các phần tử bất kỳ của G Khi đó ... thấy nhóm Aben lớp liên hợp có phần tử Nhóm Aben thuộc lớp nhóm với lớp liên hợp hữu hạn Thế có nhóm khác nhóm Aben mà với lớp liên hợp hữu hạn Trong phần xét lớp nhóm với lớp liên hợp hữu hạn. .. gọi nhóm hữu hạn địa phơng nh nhóm hữu hạn sinh nhóm hữu hạn Ta dễ dàng thấy nhóm hữu hạn địa phơng nhóm xoắn Hệ quả: Nhóm xoắn với lớp liên hợp hữu hạn nhóm hữu hạn địa phơng - 16 Đ2 Nhóm có số. .. nhóm giải đợc có số hữu hạn lớp liên hợp Khi G nhóm có cấp hữu hạn Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu G nhóm có hữu hạn lớp liên hợp nhóm thơng G/K có hữu hạn lớp liên hợp