Nhóm cơ bản và không gian phủ

Bộ giáo dục đào tạo TRNG I HC VINH ===== ===== TRN THPHNG THY N H ể M C B N V K Hễ N G GI A N P H Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2007 Bộ giáo dục đào tạo TRNG I HC VINH ===== ===== TRN THPHNG THY N H ể M C B N V K H ễ NG G I AN PH Chuyên ngành hình học - tôpô Mã số 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng i h ng d n khoa h c: TS NGUYN DUY BèNH Vinh 2007 Mục lục trang Lời nói đầu Chơng I: Nhóm Đ1 Phép đồng luân Đ2 Nhóm Chơng II: Các không gian phủ Đ1 Định nghĩa ví dụ không gian phủ 11 Đ2 Phép nâng 14 Đ3 Nhóm phép biến đổi phủ 22 Đ4 Không gian phủ phổ dụng 31 Đ5 Phân loại không gian phủ 34 Đ6 ứng dụng không gian phủ để tính nhóm số không gian 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời nói đầu Đại số tôpô hai chuyên nghành đóng vai trò quan trọng toán học, hai chuyên nghành dờng nhkhông có mối liên hệ nào, lại đợc kết hợp với môn học tôpô đại số Vì vậy, tôpô đại số mang lại nhiều lợi ích toán học nhtrong thực tiễn Chẳng hạn, việc chứng minh hai không gian không đồng phôi, điều không dễ dàng chứng minh trực tiếp Tuy nhiên, nhờ có tôpô đại số, cụ thể cách nhóm chúng không đẳng cấu, giải vấn đề cách đơn giản Trong khuôn khổ luận văn này, trình bày hai vấn đề tôpô đại số, nhóm không gian phủ Hai khái niệm có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, đặc trng đại số nhóm đ ợc chuyển sang ngôn ngữ hình học không gian phủ thông qua không gian phủ để tính nhóm số không gian Luận văn đợc trình bày hai chơng: Chơng I: Nhóm Trong chơng này, trình bày khái niệm nhóm c số vấn đề có liên quan Chơng chơng kiến thức sở luận văn Chơng II Các không gian phủ Trong ch ơng này, trình bày vấn đề không gian phủ, phân loại m t skhông gian phủ ứng dụng không gian phủ để tính nhóm số không gian Ngoài ra, vấn đề phép nâng, khái niệm gắn liền với khái niệm không gian phủ đợc trình bày ch ng ny Luận văn đợc thực hoàn thành Khoa Sau Đại học Trờng Đại học Vinh d ới h ớng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn thầy giáo tổ Hình học giảng dạy d n vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo làm việc Khoa Sau Đại học Ban Giám hiệu tr ờng Đại học Vinh, đồng nghiệp bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác gi chơng I: NHóM CƠ BảN Đ1 phép đồng luân 1.1.1 Định nghĩa Gis I 0,1và f , g : X Y ánh xạ liên tục không gian tôpô Một phép đồng luân từ f đến g ánh xạ liên tục F : X I Y thỏa mãn: F x,0 f x F x,1g x , x X Ta nói f đồng luân với g tồn phép đồng luân từ f đến g Kí hiệu f g Phép đồng luân F xác định họ ánh xạ liên tục ft : X Y cho: ft x F x, t với f0 f f1 g Họ ánh xạ có tính chất l với điểm x0 cố định X , ánh xạ t ft x0 liên tục 1.1.2 Ví dụ Giả sử X S1 Y S I Xét ánh xạ: f : S S I g : S S I x x,0f x x x,1g x Khi đó: f g Thật vậy, đặt Ta có: F : S1 I S1 I x, t F x, t x, t F x,0 x,0 f x F x,1 x,1g x Vậy f g 1.1.3 Định nghĩa nh xạ liên tục f : X Y gọi tơng đơng đồng luân tồn ánh xạ liên tục g : Y X cho : g f id X f g id Y Khi g đ ợc gọi ngợc đồng luân f Không gian X gọi t ơng đ ơng đồng luân với không gian Y tồn phép đồng luân f : X Y Đ2 Nhóm 1.2.1 Đờng không gian 1.2.1.1 Định nghĩa Gis X không gian tụpụ bất kỳ, x0 x1 điểm X Ký hiệu I 0,1 Đờng X ánh xạ liên tục f : I X thỏa mãn f x0 f x1 Khi ta nói đờng f từ x0 đến x1 hay f nối điểm x0 x1 X Nếu f đ ờng X f có hai điểm đầu mút trùng (tức x0 x1 ) f đợc gọi khuyên x0 x0 gọi điểm đánh dấu Hai đờng f :I X g:I X thỏa mãn f g f g gọi đồng luân tồn phép đồng luân F : I I X nối f g cho: F 0, t f g F 1, t f g 1.2.1.2 Hợp thành đờng không gian Cho f g đ ờng X thỏa mãn: f g Ký hiệu f g hợp thành f g , đ ợc xác định bởi: f t , t f g t t , t g 1.2.1.3 Mệnh đề i) Quan hệ đồng luân đờng quan hệ tơng đơng ii) Phép hợp thành đờng bảo toàn quan hệ đồng luân 1.2.2 Định nghĩa ví dụ nhóm 1.2.2.1 Định nghĩa Lớp tơng đ ơng đờng f với quan hệ tơng đ ơng phép đồng luân, ký hiệu f , gọi lớp đồng luân f Tập hợp lớp đồng luân khuyên X x0 , ký hiệu X , x0 , đợc gọi nhóm X điểm đánh dấu x0 Trên X , x0 ta định nghĩa phép toán nhsau: Với f , g X , x0 thì: f g f g , f g khuyên f 2t , t xác định bởi: f g t t , t g Nhận xét X , x0 lập thành nhóm với phép toán xác định nhtrên 1.2.2.2 Ví dụ Gis X tập lồi x0 điểm đánh dấu X Khi đó: X , x0 Thật vậy, với f0 f1 hai khuyên x0 X , f0 f1 hai khuyên đồng luân qua ánh xạ H : I I X , xác định H s , t s f0 t sf1 t Vậy X , x0 , hay X , x0 nhóm tầm thờng 1.2.2.3 Định lý Giả sử x0 x1 điểm đánh dấu X h đ ờng X từ x0 đến x1 Khi ánh xạ : X , x1 X , x0 đẳng cấu f h f h (trong h ký hiệu đ ờng ngợc đ ờng h ) Chứng minh: Ta có: g h f g h f f g h f h h g h h f h h g h g f Do đồng cấu Giả sử : X , x0 X , x1 , g h g h Khi ta có g h g h h h g h h g Do id X , x T ơng tự id X ,x1 song ánh Vậy đẳng cấu Từ định lý ta có nhận xét: Nếu X không gian liên thông đờng nhóm X không phụ thuộc vào việc chọn điểm đánh dấu Khi X , x0 đ ợc ký hiệu X 1.2.3 Định nghĩa Không gian tụpụ X đợc gọi đơn liên X liên thông đ ờng X 1.2.4 Định lý Không gian tôpô X đơn liên tồn lớp đồng luân đờng nối hai điểm X Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử X không gian đơn liên, X liên thông đ ờng X Lấy x0 , x1 X , giả sử f g hai đ ờng X từ x0 đến x1 Khi ta có: f g x0 g g x1 , x0 x1 lần l ợt khuyên x0 x1 Do f f x f g g x g g Vậy lớp đồng luân đờng từ x0 đến x1 Điều kiện đủ: Giả sử X có lớp đồng luân đ ờng nối hai điểm nó, X liên thông đờng Mặt khác, gọi f khuyên x0 thì: f x0 Do X X , x0 1.2.5 Đồng cấu cảm sinh Với cặp X , x0 ta có nhóm X , x0 t ơng ứng Xét ánh xạ f: X , x0 Y , y0 , ánh xạ f : X Y h f h thỏa mãn f x0 y0 , với x0 X h đ ờng X Khi f xác định nhtrên đồng cấu 1.2.5.1 Định lý i) idid ii) Giả sử f : X Y g : Y Z ánh xạ, Chứng minh: i) Ta có id : X X x0 x0 g f gf id: X , x0 X , x0 h h Nghĩa ánh xạ đồng không gian cảm sinh đồng cấu đồng nhóm điểm đánh dấu ii) Với h X , x0 ta có: g f h g f h g f h g f h g f h Vậy g f g f 1.2.5.2 Định lý Giả sử ánh xạ f : X Y tơng đơng đồng luân, với x X , f: X , x0 Y , f x0 đẳng cấu Chứng minh: Xét điểm x0 X x1 gf x0 , g ngợc đồng luân f , từ giả thiết ta có: g f id X f g idY Do g f id X nên ánh xạ F : X I X thỏa mãn : F x,0id X x F x,1gf x 28 A mở: Giả sử t A , đó: t U Từ t2 t2 liên tục nên tồn khoảng mở J cho t2 U , t2 J Mặt khác, với t2 J t2 t , đờng từ t đến t2 Từ t2 A , gọi đ ờng U , từ đến t , t , tức t H Nh ng t2 t2 t2 H Do dó t2 theo quan hệ tơng đơng , đ ờng U , từ đến t2 , nghĩa là: t2 ,U , t2 J Do J tập mở đợc chứa A A mở Tơng tự, ta chứng minh đợc B mở f liên tục Do X liên thông đ ờng X không gian phủ: Với x1 X , gọi U tập mở liên thông đ ờng U x1 , U thỏa mãn điều kiện : đ ờng U đồng luân với đờng cố định X Ta thấy thỏa mãn cho ,U ,U p ,U : ,U U toàn ánh với p p , tức Từ U liên thông đờng, p x1 29 `Hơn nữa, p đơn ánh: Giả sử ,U p p với , đ ờng U , từ x1 , đó: khuyên U đồng luân với đờng cố định X , ta ký hiệu đờng x1 , nghĩa là: x1 x1 H p U ,U với p x1 Nếu đờng U thỏa p x ,U mãn p U , giả sử đờng U , từ đến x1 , p ánh xạ mở: Giả sử V tập mở X , V hợp nên để chứng minh p mở, ta cần chứng minh x1 p U , giả sử x1 p , U tập mở U ,U mở Lấy p U Gọi U1 tập tất điểm U thỏa mãn tính chất: điểm nối với x1 đờng U Vì X liên thông đ ờng địa ph ơng nên U1 mở Rõ ràng x1 U1 , ta chứng minh U1 p U Ta có U1 p ,U Mặt khác, , đờng U , đó, với bất kỳ phần tử ,U có dạng 30 đ ,U U ờng U1 , từ đến ,U1 U p X , x H , x x : Giả sử đ ờng đờng X , từ x X , từ x , đợc xác định : liên tục Vì t2 , t2 t1 t2 t1 Khi t phủ p t2 p t2 t2 nên t Giả sử X , x Khi đó: p X , x khuyên X x x x theo quan hệ tơng đơng H Do đó: p X , x H 2.3.13 Định lý Giả sử X không gian liên thông đờng liên thông đờng G X / p X ,x X , x địa phơng, p : X X phủ chuẩn tắc p xx Khi đó: Chứng minh: (Xem [2]) 31 Đ4 không gian phủ phổ dụng 2.4.1 Định nghĩa Một ánh xạ phủ p : X X đợc gọi phủ phổ dụng X không gian đơn liên Khi X đ ợc gọi không gian phủ phổ dụng 2.4.2 Mệnh đề Tích phủ phổ dụng phủ phổ dụng Chứng minh: Giả sử p1 : X X p2 : Y Y phủ phổ dụng Ta cần chứng Y X Y p p1 p2 : X minh x, y p1 x, p2 y phủ phổ dụng Từ định lý 2.1.4 ta có p ánh xạ phủ Mặt khác, X Y nên theo định lý 1.2.6 ta có X Y X Y Vậy p phủ phổ dụng 2.4.3 Ví dụ nh xạ p : n T n phủ phổ dụng Thật vậy, ta có f : S1 ánh xạ phủ Đặt p f f f : n S S S T n n t1 ,t2 , ,t n e2it1 ,e2it2 , , e 2itn áp dụng định lý 2.1.4 p ánh xạ phủ Hơn nữa, n Do p : n T n phủ phổ dụng 32 2.4.4 Mệnh đề Giả sử X S j , X không gian phủ phổ j dụng Chứng minh: Để chứng minh định lý này, ta công nhận kết sau: S1 n Đặt En S1 pn exp exp exp id j j n S1 j n ánh xạ phủ, ánh xạ mũ exp ánh xạ phủ Giả sử ng ợc lại, X có phủ phổ dụng p : X X , với n pn f n p, pn : En X ánh xạ phủ f n : X En Từ f n ta có: en f n p , en ánh xạ mũ vị trí n ánh xạ đồng vị trí lại Do p đơn ánh nên ta có tất ánh xạ đơn ánh X En 1 En X j E nhóm Nên X S j 1 n j Do X En X n Giả sử U X phủ ánh xạ phủ p: X X Thay U tập mở U1 U U n S S , với j 1, , n , chọn u j U j , ánh xạ : S1 X đợc xác định bởi: j cu j j 1, , n ; 33 n id S1 j c j n Lu ý Im U , 0, ,0,1,0, X (trong vị trí n 1) j Giả sử T tầng p U , Im U pT đồng phôi nên có nâng , khuyên T Do đại diện cho thành phần X p Nhng X , điều mâu thuẫn với Do X không gian phủ phổ dụng 2.4.5 Định lý Giả sử p : X X ánh xạ phủ, X đơn liên, liên thông đờng địa phơng Khi đó: G X X Chứng minh: Định lý trờng hợp đặc biệt định lý 2.3.13 Do X không gian phủ phổ dụng nên X nhóm tầm th ờng p dụng định lý 2.3.13 ta có G X X 2.4.6 Định lý Giả sử G nhóm hoàn toàn gián đoạn phép đồng phôi không gian X X đơn liên Khi nhóm không gian th ơng X / G đẳng cấu với nhóm G , tức X / G G Chứng minh: Từ định lý 2.3.9 ta có nhóm G tơng ứng với nhóm phép / G , hay G G biến đổi phủ ánh xạ phủ p : X X X Từ định lý 2.4.5 ta có G X X /G Do X / G G 34 Đ5 Phân loại không gian phủ 2.5.1 Định lý Giả sử p : X , x X , x0 ánh xạ phủ, X , x X , x0 đơn ánh Do nhóm X đ ợc xét nhlà nhóm X , x0 Chứng minh: Giả sử hai khuyên X đại diện cho phần tử X , x giả sử khuyên cảm sinh phần tử X , x0 Ta chứng minh khuyên đại diện cho phần tử X , x0 Vì p p đại diện cho phần tử X , x0 nên chúng đồng luân X , gọi phép đồng luân h : I I X , phép đồng luân h : I I X có nâng h : I I X , hlà phép đồng luân từ đến Do đại diện cho phần tử X , x0 2.5.2 Định lý Giả sử p: X X ánh xạ phủ, x X x , x x Khi p X , x p X , x1 nhóm p liên hợp X , x0 Chứng minh: Giả sử : I X đờng X từ x đến x1 Từ định lý 1.2.2.3 ta có: X , x / X , x1 Do p X , x0 p h p / h p X , x1 p X , x 35 2.5.3 Định lý Ng ợc lại, giả sử g X Nếu xét điểm đánh dấu x X, ta có nhóm p X , x X , x , ta tìm đ ợc điểm đánh cảm sinh nhóm liên hợp g p dấu x1 X g X , x0 Chứng minh: Do g có đại diện khuyên : I X x0 Khi có nâng đ ờng từ x Đờng có điểm kết thúc điểm X , gọi điểm x1 , thỏa mãn p x0 x p dụng định lý 2.5.2 điểm x1 điểm cần tìm 2.5.4 Định lý Cho X X hai không gian phủ tơng ứng với ánh xạ phủ p1 : X X , x0 p2 : X , x X , x0 X Nếu 1, x nhóm X , x0 tơng ứng với không gian phủ liên hợp không gian phủ đẳng cấu Chứng minh: Xét biểu đồ sau: X , x p2 X , x p X , x X , x X , x p p Vì 1 1 2 nên lấy nâng ánh xạ đồng Tơng X 1, x1 X , x0 ta có ánh xạ : X X tự, ánh xạ : X2X : X1 X nâng ánh xạ đồng Do đó: nâng ánh xạ đồng 36 Mặt khác, phép nâng ánh xạ đồng phép nâng, nên ánh xạ đồng X1 T ơng tự, ánh xạ đồng X Do đồng cấu ánh xạ đẳng cấu không gian phủ 2.5.5 Định lý Giả sử X không gian liên thông đờng, liên thông đờng địa ph ơng Khi tồn song ánh tập lớp đẳng cấu không gian phủ p : X , x0 X , x0 tập nhóm X , x0 Nếu ta bỏ qua điểm đánh dấu tơng ứng song ánh lớp đẳng cấu không gian phủ p : X X với lớp liên hợp nhóm X Định lý đ ợc xem nhlà công cụ dùng thực hành để phân loại không gian phủ 37 Đ6 ứng dụng không gian phủ để tính nhóm số không gian 2.6.1 Định lý: S1 Chứng minh Giả sử : S 1, S 1, đại diện cho phần tử S 1, Xem nhlà khuyên Theo tính phép nâng đờng, từ ánh xạ exp : ,0 S1, ta có đờng nâng từ Do exp n Vì n phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp , nên ánh xạ : : S1 xác định nhtrên hợp lý đồng cấu: Thật vậy, giả sử , : S1 , S1 , đại diện cho phần tử S 1, , : I nâng , đ ờng từ Đặt n m Giả sử t t n Khi nâng đờng từ n đến n m , đ ờng từ đến n m Mặt khác: exp nâng . .nên Do . .n m đơn ánh: Giả sử , : I nâng , đờng từ Từ định nghĩa có điểm cuối , đại diện cho phần tử exp 38 Mặt khác đơn liên nên , tức toàn ánh: Lấy n , giả sử đờng từ n đến Đặt exp : I S khuyên S1 n Ngoài ra, áp dụng định lý 2.4.5 ta có S1 2.6.2 Hệ \ 2.6.3 Mệnh đề P n , n Chứng minh: Xét ánh xạ p : S n P n Ta chứng minh p phủ phổ dụng nhóm phép biến đổi phủ phủ p ánh xạ mở: Giả sử U tập mở S n , ánh xạ : S n S n cho x x đồng phôi, U mở S n Vì p1 p U U U nên tập mở S n , p U mở P n p ánh xạ phủ: Lấy y P n , chọn x p y U lân cận đủ nhỏ x S n , U chứa z , z điểm xuyên tâm đối Sn Do ánh xạ p : U p U song ánh Từ tính liên tục mở, đồng phôi T ơng tự, p : U p U p U đồng phôi Do tập p p U hợp hai tập mở rời U U mà tập đồng phôi với p U Vậy p ánh xạ phủ 39 Với n S n đơn liên nên S n Do p phủ phổ dụng Nhóm phép biến đổi phủ phủ Ta có id , id id : S n S n id : S n S n x x x x Khi id id phép biến đổi phủ phủ Gọi f : S n S n phép biến đổi phủ Ta chứng minh f x x x f x x x Xét A x S n / f x x B x S n / f x x Khi A đóng: Thật vậy, giả sử xn A xn x , ta cần chứng minh x A Từ xn A ta có f xn xn , mặt khác f xn f x nên f x x x A T ơng tự, B đóng Với n , S n liên thông nên A B Do f x x x f x x x nhóm phép biến đổi phủ phủ phổ dụng p : S n P n Từ định lý 2.4.5 ta có P n 40 Ví dụ sau mô tả trực quan không gian phủ S1 S1 : 2.6.4 Ví dụ Cho không gian đáy X S S Không gian phủ phổ dụng , nhóm , nhóm phép biến đổi phủ tập hợp phép biến đổi x, y x m, y n Xét nhóm 32 tất m , n m chẵn n bội Nhóm phép biến đổi phủ G tơng ứng tập ánh xạ x, y x k , y 3l Mỗi điểm tơng đ ơng qua nhóm G với điểm hình chữ nhật x 3,0 y Dán biên trái biên phải, cạnh cạnh đáy hình chữ nhật, ta đ ợc hình xuyến, gọi X nh xạ phủ p biến hình vuông hình chữ nhật (bao gồm hình vuông) vào hình xuyến ban đầu, phủ gồm tầng 41 Kết luận Trong lu n v n ny chỳng tụi dó thu c cỏc k t qusau: Trình bày chứng minh số tính chất nhóm không gian phủ Chng minh đợc tích ánh xạ phủ ánh xạ phủ (m nh 2.1.4) Chng minh c tích ánh xạ phủ phổ dụng ánh xạ phủ phổ dụng (m nh 2.4.2), chứng minh đợc n T n phủ phổ dụng (ví dụ 2.4.3) Tính đợc nhóm số không gian thông qua không gian phủ (ví dụ 2.6.3) Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu không gian phủ, biểu diễn không gian phủ thông qua phép hoán vị v ứng dụng không gian phủ vào việc tính nhóm số không gian a t p phc 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh: [1] Allen Hatcher (2002), Algebraic Topology , Cambridge University Press [2] I M Singer, J A Thorpe (1967), Lecture on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin, 175 Fifth Avenue, New York, N Y 10010, U S A [3] J Kelley (1955), General Topology, D Van Nostrand, New York [4] Len Evens, Rob Thompson (2003), Algebraic Topology, NorthWestern University, City University of New York [5] Michio Kuga (1993), Galois Dream: Group Theory and Differential Equations, Birkhauser-Boston-Basel-Berlin [6] Richard Koch (2006), Classifying Covering Spaces [...]... Giả sử X là không gian liên thông đờng và liên thông đờng G X / p 1 X ,x 1 X , x địa phơng, p : X X là phủ chuẩn tắc và p xx Khi đó: Chứng minh: (Xem [2]) 31 Đ4 không gian phủ phổ dụng 2.4.1 Định nghĩa Một ánh xạ phủ p : X X đợc gọi là phủ phổ dụng nếu X là không gian đơn liên Khi đó X cũng đ ợc gọi là không gian phủ phổ dụng 2.4.2 Mệnh đề Tích của các phủ phổ dụng là một phủ phổ dụng... x1 đến x2 và I V , trong đó I 0,1 Đ1 Định nghĩa và ví dụ về không gian phủ 2.1.1 Định nghĩa nh xạ liên tục p : X X đợc gọi là ánh xạ phủ nếu: i) p là toàn ánh ii) Với mỗi x X thì tồn tại lân cận mở U x sao cho p1 U là hợp của các tập con mở rời nhau Si của X và với mỗi i thì Si đồng phôi với U Khi đó không gian X đ ợc gọi là không gian phủ và X đ ợc gọi là không gian đáy của ánh xạ phủ Chú ý... X là không gian phủ phổ dụng nên 1 X là một nhóm tầm th ờng p dụng định lý 2.3.13 ta có G X 1 X 2.4.6 Định lý Giả sử G là nhóm hoàn toàn gián đoạn các phép đồng phôi của không gian X trong đó X đơn liên Khi đó nhóm cơ bản của không gian th ơng X / G đẳng cấu với nhóm G , tức là 1 X / G G Chứng minh: Từ định lý 2.3.9 ta có nhóm G tơng ứng với nhóm các phép / G , hay G G biến đổi phủ của... 2.3.2 Định nghĩa Giả sử p1 : X 1 X và p2 : X 2 X là các ánh xạ phủ Hai không gian phủ X 1 và X 2 đợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại đồng phôi f : X 1 X 2 thỏa mãn p1 p2 f 2.3.3 Định lý Giả sử X là không gian liên thông đ ờng, liên thông đờng 2 X là các ánh xạ phủ Khi đó hai địa ph ơng, p1 : X 1 X và p2 : X không gian phủ X1 và X2 đẳng cấu khi và chỉ p1 1 X 1, x 1 p2 1 X 2,x2 ... Vậy flà đẳng cấu 1.2.6 Định lý Giả sử X và Y là các không gian liên thông đờng, khi đó: 1 X Y 1 X 1 Y Chứng minh: (Xem [1]) 11 Chơng II: Các không gian phủ Tr ớc khi đi vào tìm hiểu các không gian phủ, chúng ta cần xét khái niệm không gian liên thông đờng địa ph ơng Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là liên thông đờng địa ph ơng nếu với mỗi x X và với mỗi tập mở V x thì tồn tại một tập mở U với... mãn p x0 x 1 p dụng định lý 2.5.2 thì điểm x1 chính là điểm cần tìm 2.5.4 Định lý Cho X 1 và X 2 là hai không gian phủ tơng ứng với các ánh xạ phủ p1 : X X , x0 và p2 : X 2 , x X , x0 của X Nếu các 1, x 1 2 nhóm con của 1 X , x0 tơng ứng với các không gian phủ này là liên hợp thì các không gian phủ này đẳng cấu Chứng minh: Xét biểu đồ sau: X , x 2 p2 X , x p X , x X , x X , x ... của ánh xạ phủ p : X X X Từ định lý 2.4.5 ta có G X 1 X /G Do đó 1 X / G G 34 Đ5 Phân loại các không gian phủ 2.5.1 Định lý Giả sử p : X , x 0 X , x0 là một ánh xạ phủ, khi đó 1 X , x 0 1 X , x0 là một đơn ánh Do đó nhóm cơ bản của X có thể đ ợc xét nhlà một nhóm con của 1 X , x0 Chứng minh: Giả sử và là hai khuyên trong X đại diện cho các phần tử của 1 X , x 0 và giả sử... xạ phủ là một ánh xạ phủ Chứng minh: Giả sử p1 : X X và p2 : Y Y là các ánh xạ phủ Ta chứng minh Y X Y p p p : X 1 2 x, y p1 x , p2 y là ánh xạ phủ Lấy x, y X Y , khi đó tồn tại lân cận U x Vy x, y và U x Vy là một lân cận mở trong X Y , trong đó U x và V y lần lợt là các phủ đều của 1 của X và Y Vì p1 là ánh xạ phủ nên p1 U x U x , trong đó U x là các tập mở rời nhau trong X và. .. t m Do đó h là đồng cấu có dạng m Vậy nhóm các phép biến đổi phủ của phủ đã cho là 2) Cho ánh xạ p : S n P n , nhóm các phép biến đổi phủ là 2 Chúng ta sẽ trở lại ví dụ này sau 2.3.6 Định lý Giả sử p : X X là ánh xạ phủ, trong đó X liên thông đ ờng, hai ánh xạ f , f : X X thỏa mãn p f p và p f p (do đó f và f là hai phép biến đổi phủ của ánh xạ phủ p ) Nếu f xf x với x X thì f xf... là mạnh hơn 2.2.3 Định lý (Định lý nâng của các đờng trong không gian) Giả sử p : X , x0 X , x0 là ánh xạ phủ và : I X là một đờng trong X thỏa mãn 0 x0 Khi đó có nâng là : I X thỏa mãn 0 x 0 và là duy nhất Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau: 2.2.4 Bổ đề Lebesgue về phủ: Giả sử là Y không gian metric, compact và Vi là phủ mở của Y iI Khi đó tồn tại số 0 sao cho mỗi hình cầu ... số, nhóm không gian phủ Hai khái niệm có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, đặc trng đại số nhóm đ ợc chuyển sang ngôn ngữ hình học không gian phủ thông qua không gian phủ để tính nhóm số không gian. .. đẳng cấu không gian phủ p : X X với lớp liên hợp nhóm X Định lý đ ợc xem nhlà công cụ dùng thực hành để phân loại không gian phủ 37 Đ6 ứng dụng không gian phủ để tính nhóm số không gian 2.6.1... Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu không gian phủ, biểu diễn không gian phủ thông qua phép hoán vị v ứng dụng không gian phủ vào việc tính nhóm số không gian a t p phc 42 Tài liệu tham khảo