Không gian s đóng hasudorff và không gian s đóng địa phương

1 MỤC LỤC mục lục lời nói đầu 2 không gian s-đóng hausdorff 1.1 không gian s-đóng 1.2 không gian s-đóng hausdorff 11 không gian s-đóng địa phương 18 2.1 không gian s-đóng địa phương 18 2.2 không gian s-đóng nửa địa phương 26 kết luận 30 tài liệu tham khảo 31 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1976, T Thompson giới thiệu khái niệm không gian S -đóng (S closed) nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng không gian compắc Năm 1978, T Noiri giới thiệu khái niệm không gian S -đóng địa phương nhằm nghiên cứu mối quan hệ không gian S -đóng, không gian gần compắc, không gian không liên thông cực trị, với không gian S -đóng Đến năm 1983, M H Woo, T Kwon J Sakong giới thiệu khái niệm không gian S -đóng nửa địa phương nhằm nghiên cứu mối quan hệ không gian tựa H -đóng không gian S -đóng Sau đó, năm 1991 T Noiri giới thiệu khái niệm tôpô τ ∗ , sử dụng để nghiên cứu không gian S -đóng Hausdorff thu nhiều kết qủa thú vị Mục đích luận văn trình bày số tính chất không gian S -đóng Hausdorff không gian S -đóng địa phương, mối quan hệ hai không gian với không gian không liên thông cực trị, không gian hầu quy, không gian gần compắc, không gian tựa H -đóng Tìm điều kiện cần đủ để không gian tựa H -đóng không gian S -đóng Với nội dung này, luận văn trình bày hai chương Chương Không gian S -đóng Hausdorff Trong chương này, phần đầu trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: tập nửa mở (semi-open), tập nửa đóng (semi closed), tập mở quy (regular open), tập đóng quy (regular closed), không gian không liên thông cực trị (extremally disconnected), không gian S -đóng (S -closed), không gian tựa H -đóng (quasi-H -closed), tập S -đóng, tôpô τ ∗ Tiếp đó, trình bày đặc trưng không gian S -đóng Hausdorff mối quan hệ với không gian khác Chương Không gian S -đóng địa phương Trong chương này, phần đầu trình bày khái niệm không gian S -đóng địa phương (locally S -closed), không gian S -đóng địa phương cực đại (maximal locally S -closed), ánh xạ không giải (irresolute), mối quan hệ không gian với với không gian không liên thông cực trị, tính bảo toàn không gian S -đóng qua ánh xạ không giải Phần lại trình bày khái niệm không gian S -đóng nửa địa phương (semi locally S -closed), mối quan hệ không gian S -đóng địa phương với không gian S -đóng nửa địa phương, không gian tựa H -đóng Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo NGƯT PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo Tổ Giải tích, khoa Toán nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 16 - Giải tích cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN S-ĐÓNG HAUSDORFF 1.1 không gian s-đóng Trong toàn luận văn tác giả quy ước số kí hiệu sau Giả sử A, B tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, ta kí hiệu A \ B hiệu hai tập hợp A B , τA tôpô cảm sinh τ A, cl(A), int(A) bao đóng phần A X , clA (B) intA (B) bao đóng phần B A với tôpô cảm sinh τA 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô cặp (X, τ ), X tập hợp τ họ tập X thỏa mãn điều kiện sau (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ (ii) Nếu U1 ∈ τ U2 ∈ τ , U1 ∩ U2 ∈ τ (iii) Nếu {Ui : i ∈ I} họ tập X Ui ∈ τ , với i ∈ I , Ui ∈ τ i∈I Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô (X, τ ), phần tử τ gọi tập mở không gian X Phần bù tập mở gọi tập đóng Họ τ gọi tôpô tập X 1.1.2 Định nghĩa ([2]) Tập S không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở (semi-open) tồn tâp mở V X cho V ⊂ S ⊂ cl(V ) Phần bù tập nửa mở gọi tập nửa đóng (semi-closed) Họ tất tập nửa mở (X, τ ) kí hiệu SO(X, τ ) Họ tất tập nửa đóng (X, τ ) kí hiệu SC(X, τ ) Giao tất tập nửa đóng chứa S gọi bao nửa đóng (semi-closure) S kí hiệu scl(S) 1.1.3 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi mở quy (regular open) A = int(cl(A)) Tập A ⊂ X gọi đóng quy (regular closed) X \ A tập mở quy Kí hiệu RO(X, τ ) họ tất tập mở quy (X, τ ) RC(X, τ ) họ tất tập đóng quy (X, τ ) 1.1.4 Định nghĩa ([2]) Giả sử A tập không gian tôpô Khi (i) A gọi nửa mở quy (regular semi-open) tồn tập mở quy U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) (ii) A gọi nửa quy (semi-regular) A vừa tập nửa đóng, vừa tập nửa mở Kí hiệu SR(X, τ ) họ tất tập nửa quy (X, τ ) 1.1.5 Nhận xét ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A tập X Khi (i) RO(X, τ ) ⊂ τ ⊂ SO(X, τ ) (ii) Nếu A ∈ RO(X, τ ) A ∈ RC(X, τ ), A tập nửa mở quy (X, τ ) (iii) Nếu A ∈ RC(X, τ ), A đóng (X, τ ) (iv) Nếu A tập đóng (X, τ ), A ∈ SC(X, τ ) (v) A ∈ SO(X, τ ) A ⊂ cl(int(A)) 1.1.6 Nhận xét Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A tập nửa mở quy, A tập nửa mở Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A ⊂ X tập nửa mở quy Khi đó, tồn U ∈ RO(X, τ ) cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Hơn theo Nhận xét 1.1.5 ta có U ∈ τ Vì từ bao hàm thức ta suy A ∈ SO(X, τ ) 1.1.7 Mệnh đề ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi (i) Nếu A ∈ RO(X, τ ) A ∈ SO(X, τ ), cl(A) ∈ RC(X, τ ) (ii) Nếu A ∈ RC(X, τ ) A ∈ SC(X, τ ), int(A) ∈ RO(X, τ ) 1.1.8 Bổ đề ([9]) Giả sử A không gian không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, với V0 ∈ SO(A, τA ), tồn V ∈ SO(X, τ ) cho V0 = V ∩ A 1.1.9 Định nghĩa ([6]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian không liên thông cực trị (viết tắt E.D.) (extremally disconnected) với U ∈ τ , cl(U ) ∈ τ 1.1.10 Định lý ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian không liên thông cực trị; (ii) Mỗi tập mở quy (X, τ ) đóng tập đóng quy (X, τ ) mở; (iii) RO(X, τ ) = RC(X, τ ); (iv) Với cặp U, V tập mở (X, τ ), U ∩ V = ∅ ta có cl(U ) ∩ cl(V ) = ∅; (v) cl(U ) = scl(U ), với U ∈ SO(X, τ ) 1.1.11 Định nghĩa ([13]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi S -đóng (S closed) phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập nửa mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } 1.1.12 Mệnh đề ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian S -đóng; (ii) Mỗi phủ (X, τ ) tập đóng quy có phủ hữu hạn; (iii) Mỗi phủ U = {Vα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập nửa mở quy, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } 1.1.13 Định nghĩa ([14]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi tựa H -đóng (quasi-H -closed) (viết tắt QHC ) phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } 1.1.14 Nhận xét ([2]) Giả sử (X, τ ) S -đóng Khi đó, (X, τ ) không gian tựa H -đóng 1.1.15 Mệnh đề ([14]) Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị tựa H -đóng Khi đó, (X, τ ) không gian S -đóng Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị, tựa H đóng β = {Uα : α ∈ ∧} phủ (X, τ ) tập nửa mở Khi đó, Uα ∈ SO(X, τ ) với α ∈ ∧, nên theo Mệnh đề 1.1.7 cl(Uα ) ∈ RC(X, τ ) Mặt khác, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị nên nhờ Định lý 1.1.10 ta có cl(Uα ) ∈ RO(X, τ ) Từ theo Nhận xét 1.1.5 ta có cl(Uα ) ∈ τ Vậy β∗ = {cl(Uα ) : α ∈ ∧} phủ (X, τ ) tập mở Vì (X, τ ) không gian tựa H -đóng, suy tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = {cl(cl(Uα )) : α ∈ ∧0 } = {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vậy (X, τ ) không gian S -đóng 1.1.16 Định nghĩa ([7]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi S -đóng tương (X, τ ) (S -closed relative to (X, τ )) phủ {Uα : α ∈ } A tập nửa mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn cho A ⊂ {cl(Uα ) : α ∈ } 1.1.17 Định nghĩa ([6]) Cho A ⊂ (X, τ ) x ∈ X Kí hiệu θ-bao nửa đóng A θ-scl(A) Ta nói x ∈ θ-scl(A) với U ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ U ta có A ∩ cl(U ) = ∅ Nếu θ-scl(A) = A, A gọi θ-nửa đóng (θ-semiclosed) Phần bù tập θ-nửa đóng gọi tập θ-nửa mở (θ-semiopen) Kí hiệu họ tất tập θ-nửa mở (X, τ ) τ + 1.1.18 Bổ đề ([6]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A ∈ τ + ; (ii) Với x ∈ A tồn U ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ A; (iii) A hợp tập đóng quy (X, τ ) 1.1.19 Nhận xét ([6]) Nói chung τ + tôpô X Ví dụ, lấy X = {a, b, c} τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} Khi đó, {a, c} {b, c} θ-nửa mở (X, τ ) {a, c} ∩ {b, c} ∈ / τ + 1.1.20 Mệnh đề ([6]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian không liên thông cực trị; (ii) SO(X, τ ) tôpô X ; (iii) τ + tôpô X Chứng minh (i) ⇒ (ii) Lấy A, B ∈ SO(X, τ ) Khi đó, theo Nhận xét 1.1.5 ta có A ⊂ cl(int(A)), B ⊂ cl(int(B)) Vì (X, τ ) không gian không liên thông cực trị nên cl(int(A)) ∈ τ Vì ta có A ∩ B ⊂ cl(int(A)) ∩ cl(int(B)) ⊂ cl(cl(int(A)) ∩ int(B)) ⊂ cl(int(A ∩ B)) Nhờ Nhận xét 1.1.5 ta có A ∩ B ∈ SO(X, τ ) Vì ∅ X ∈ τ nên từ Nhận xét 1.1.5 suy ∅ X ∈ SO(X, τ ) Giả sử {Ai : i ∈ I} họ tập nửa mở (X, τ ) Khi đó, với i ∈ I , tồn tập mở Ui cho Ui ⊂ Ai ⊂ cl(Ui ) Suy Ui ⊂ i∈I Ai ⊂ i∈I i∈I Ui ), i∈I Ai ∈ SO(X, τ ) Vậy SO(X, τ ) Ui tập mở Do cl(Ui ) ⊂ cl( i∈I i∈I tôpô X (ii) ⇒ (iii) Lấy A, B ∈ τ + x ∈ A ∩ B Khi đó, theo Bổ đề 1.1.18 tồn U, V ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ A x ∈ V ⊂ cl(V ) ⊂ B Vì ta có x ∈ U ∩ V ⊂ cl(U ∩ V ) ⊂ cl(U ) ∩ cl(V ) ⊂ A ∩ B Nhờ (ii) ta có U ∩ V ∈ SO(X, τ ) Vì theo Bổ đề 1.1.18 ta có A ∩ B ∈ τ + Rõ ràng ∅ X ∈ τ + Giả sử {Ai : i ∈ I} họ tập θ-nửa mở (X, τ ) Ta Ai θ-nửa mở Thật vậy, lấy x ∈ cần chứng minh i∈I Ai i∈I Khi đó, tồn i0 ∈ I cho x ∈ Ai0 Vì Ai0 θ-nửa mở nên theo Bổ đề 1.1.18 tồn U ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ Ai0 Suy tồn U ∈ SO(X, τ ) thỏa mãn x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ Ai Nhờ Bổ đề 1.1.18 suy i∈I Ai θ-nửa mở Vậy τ + tôpô X i∈I (iii) ⇒ (i) Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Khi đó, tồn U ∈ τ cho cl(U ) ∈ / τ Suy int(cl(U )) = cl(U ) Do tồn x ∈ X cho x ∈ cl(U ) \ int(cl(U )) Đặt A = cl(U ), B = X \ int(cl(U )) Từ Nhận xét 1.1.5 Mệnh đề 1.1.7 ta có A ∈ RC(X, τ ) int(cl(U )) ∈ RO(X, τ ) Suy A, B ∈ RC(X, τ ) Vì theo Bổ đề 1.1.18, A, B ∈ τ + Nhờ (iii) ta có A ∩ B ∈ τ + Mà x ∈ A ∩ B nên theo Bổ đề 1.1.18 tồn V ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ V ⊂ cl(V ) ⊂ A ∩ B 10 Suy V ⊂ B, int(V ) ⊂ int(A) ∩ B = ∅ Tuy nhiên x ∈ V ∈ SO(X, τ ) nên int(V ) = ∅ Mâu thuẫn, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 1.1.21 Mệnh đề ([6]) Nếu (X, τ ) không gian không liên thông cực trị A ∈ SO(X, τ ), scl(A) = θ-scl(A) = cl(A) Chứng minh Vì (X, τ ) không gian không liên thông cực trị A ∈ SO(X, τ ) nên theo Định lý 1.1.10 scl(A) = cl(A) Mặt khác, ta có scl(A) ⊂ θ-scl(A) Thật vậy, giả sử tồn x ∈ scl(A) x ∈ / θ-scl(A) Khi đó, x ∈ scl(A) nên x ∈ B , với B tập nửa đóng chứa A (1.1) Mà x ∈ / θ-scl(A) nên tồn U ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ U cl(U )∩A = ∅ (1.2) Vì U ∈ SO(X, τ ) nên tồn V ∈ τ cho V ⊂ U ⊂ cl(V ) Từ suy cl(V ) ⊂ cl(U ) ⊂ cl(cl(V )) Mà (X, τ ) không gian không liên thông cực trị nên cl(V ) ∈ τ , cl(U ) ∈ SO(X, τ ) Vậy ta có X \ cl(U ) tập nửa đóng Từ (1.2) ta có A ⊂ X \ cl(U ), mà x ∈ U nên x ∈ cl(U ) Suy x∈ / X \ cl(U ) Mâu thuẫn với (1.1), scl(A) ⊂ θ-scl(A) Để kết thúc chứng minh, ta chứng minh θ-scl(A) ⊂ cl(A) Thật vậy, giả sử tồn x ∈ θ-scl(A) x ∈ / cl(A) Khi đó, x ∈ θ-scl(A) nên với U ∈ SO(X, τ ) cho x ∈ U , cl(U )∩A = ∅ (1.3) Vì x ∈ / cl(A) nên x ∈ X \ cl(A) ∈ τ ⊂ SO(X, τ ) Hơn ta có cl(X \ cl(A)) ∩ A = ∅ (1.4) mâu thuẫn với (1.3) Vậy θ-scl(A) ⊂ cl(A) (1.4) 18 CHƯƠNG KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ĐỊA PHƯƠNG 2.1 không gian s-đóng địa phương 2.1.1 Định nghĩa ([13]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi S -đóng địa phương (locally S -closed) điểm x ∈ X, tồn lân cận mở U x cho (U, τU ) không gian S -đóng (X, τ ) 2.1.2 Nhận xét ([7]) (i) Mỗi không gian S -đóng S -đóng địa phương (ii) Tồn không gian S -đóng địa phương không S -đóng Chứng minh (i) Giả sử (X, τ ) không gian S -đóng Khi đó, với x ∈ X tồn lân cận mở x X thỏa mãn X không gian S -đóng X Vậy (X, τ ) không gian S -đóng địa phương (ii) Tồn không gian S -đóng địa phương không S -đóng Thật vậy, giả sử (X, τ ) không gian rời rạc, vô hạn Khi đó, với x ∈ X ta có {x} tập mở chứa x Do {x} lân cận S -đóng x Vì (X, τ ) không gian S -đóng địa phương Nhưng (X, τ ) không không gian S -đóng, lấy phủ β = {{x} : x ∈ X} Khi β phủ X tập nửa mở mà không tồn họ hữu hạn A ⊂ X cho X = {cl{x} : x ∈ A}, với x ∈ A ta có cl({x}) = {x} Suy X = {cl{x} : x ∈ A} = tập vô hạn {{x} : x ∈ A} Điều mâu thuẫn với X 19 2.1.3 Bổ đề ([7]) Giả sử A, B tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A tập S -đóng tương (X, τ ), B ∈ RO(X, τ ), A ∩ B tập S -đóng tương (X, τ ) 2.1.4 Bổ đề ([7]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) S -đóng địa phương; (ii) Với x ∈ X tồn U ∈ τ cho x ∈ U U tập S -đóng tương (X, τ ); (iii) Với x ∈ X tồn U ∈ τ cho x ∈ U int(cl(U )) tập S -đóng tương (X, τ ) 2.1.5 Định lý ([7]) Nếu không gian tôpô (X, τ ) S -đóng địa phương Hausdorff yếu, không gian không liên thông cực trị Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Khi đó, tồn tập mở quy G (X, τ ) cho cl(G) ∈ / τ suy cl(G) = G, cl(G) = X Vậy ta có cl(G) \ G = ∅ X \ cl(G) = ∅ Lấy x ∈ cl(G) \ G Vì (X, τ ) không gian S -đóng địa phương nên nhờ Bổ đề 2.1.4 suy tồn lân cận mở V x cho V tập S -đóng tương (X, τ ) Đặt A = G∩V , từ Bổ đề 2.1.3 ta có A S -đóng tương (X, τ ) Vì (X, τ ) không gian Hausdorff yếu x ∈ / A nên với a ∈ A tồn tập đóng quy F (a) cho x ∈ / F (a) a ∈ F (a) Từ Nhận xét 1.1.5 Nhận xét 1.1.6 ta có F (a) ∈ SO(X, τ ) Suy tồn tập hữu hạn A0 A cho A ⊂ {cl(F (a)) : a ∈ A0 } = {F (a) : a ∈ A0 } Chúng ta lại có, A ⊂ V ∩cl(G) ⊂ cl(V ∩G) = cl(A) Bởi x ∈ cl(A) ⊂ {F (a) : a ∈ A0 } Điều mâu thuẫn với x ∈ / F (a) với a ∈ A Vậy (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 20 2.1.6 Hệ qủa ([7]) Không gian Hausdorff yếu (X, τ ) không gian S -đóng không gian S -đóng địa phương tựa H -đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) không gian Hausdorff yếu S đóng Vì (X, τ ) không gian S -đóng nên từ Nhận xét 2.1.2 ta có (X, τ ) S -đóng địa phương theo Nhận xét 1.1.14, (X, τ ) tựa H -đóng Điều kiên đủ Giả sử (X, τ ) không gian Hausdorff yếu, S -đóng địa phương tựa H -đóng Vì (X, τ ) không gian S -đóng địa phương Hausdorff yếu nên theo Định lí 2.1.5, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Mặt khác, (X, τ ) không gian tựa H -đóng Do nhờ Mệnh đề 1.1.15 ta có (X, τ ) không gian S -đóng 2.1.7 Bổ đề ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian hầu quy; (ii) Với x ∈ X V ∈ RO(X, τ ) cho x ∈ V, tồn U ∈ RO(X, τ ) cho x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ V Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử (X, τ ) không gian hầu quy Khi đó, với điểm x ∈ X tập V ∈ RO(X, τ ) cho x ∈ V theo định nghĩa không gian hầu quy, tồn tập mở V1 cho x ∈ V1 ⊂ cl(V1 ) ⊂ V Vì V1 mở, từ bao hàm thức cuối ta có x ∈ V1 ⊂ int(cl(V1 )) ⊂ cl(V1 ) ⊂ V Đặt U = int(cl(V1 )) Khi đó, V1 ∈ RO(X, τ ) Thật vậy, hiển nhiên ta có U ⊂ int(cl(U )) Lại U ⊂ cl(V1 ), nên cl(U ) ⊂ cl(V1 ) Kéo theo int(cl(U )) ⊂ int(cl(V1 )) = U Vậy U = int(cl(U )) Do U ∈ RO(X, τ ) Hơn ta có x ∈ V1 ⊂ U ⊂ cl(U ) ⊂ cl(V1 ) ⊂ V (ii) ⇒ (i) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Lấy x ∈ X V ∈ RO(X, τ ) cho x ∈ V Nhờ (ii) tồn U ∈ RO(X, τ ) cho x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ V Hơn nhờ Nhận xét 1.1.5 ta có U ∈ τ Vậy tồn 21 U ∈ τ cho x ∈ U ⊂ cl(U ) ⊂ V Điều chứng tỏ (X, τ ) không gian hầu quy 2.1.8 Mệnh đề ([7]) Nếu không gian tôpô (X, τ ) S -đóng địa phương hầu quy, không gian không liên thông cực trị 2.1.9 Định lý ([7]) Không gian hầu quy (X, τ ) S -đóng không gian S -đóng địa phương tựa H -đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) không gian hầu quy S đóng Khi đó, (X, τ ) không gian S -đóng nên nhờ Nhận xét 2.1.2 Nhận xét 1.1.14 ta có (X, τ ) không gian S -đóng địa phương tựa H -đóng Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không gian hầu quy, S -đóng địa phương tựa H -đóng Khi đó, nhờ Mệnh đề 2.1.8 ta có (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Mặt khác, (X, τ ) không gian tựa H -đóng nên theo Mệnh đề 1.1.15, (X, τ ) không gian S -đóng 2.1.10 Định lý ([5]) Giả sử (X, τ ) không gian hầu quy Khi đó, (X, τ ) không gian S -đóng (X, τ ) không gian gần compắc không liên thông cực trị Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian hầu quy Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) không gian S -đóng {Uα : α ∈ ∧} phủ (X, τ ) tập mở quy Khi đó, với α ∈ ∧ với x ∈ Uα theo Bổ đề 2.1.7 tồn Vαx ∈ RO(X, τ ) cho x ∈ Vαx ⊂ cl(Vαx ) ⊂ Uα Vậy ta có X = α∈∧ x∈Uα Vαx với Vαx ∈ RO(X, τ ), với x α Vì (X, τ ) không gian S -đóng nên tồn tập hữu han ∧0 ∧ với α ∈ ∧0 , tồn tập hữu hạn Iα cho X= α∈∧0 x∈Iα Vαx ⊂ α∈∧0 x∈Iα cl(Vαx ) ⊂ α∈∧0 Uα0 Điều chứng tỏ (X, τ ) 22 không gian gần compắc Hơn nữa, (X, τ ) không gian S -đóng nên nhờ Nhận xét 2.1.2 ta có (X, τ ) S -đóng địa phương Vì (X, τ ) hầu quy nên theo Mệnh đề 2.1.8, không gian không liên thông cực trị Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không gian gần compắc, không liên thông cực trị {Uα : α ∈ ∧} phủ (X, τ ) tập đóng quy Khi đó, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Uα tập đóng quy với α nên theo Định lý 1.1.10 ta có Uα tập mở quy Mặt khác, (X, τ ) không gian gần compắc nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = {Uα : α ∈ ∧0 } Nhờ Mệnh đề 1.1.12 ta có (X, τ ) không gian S -đóng 2.1.11 Định nghĩa ([7]) Không gian S -đóng địa phương (X, τ ) gọi S -đóng địa phương cực đại không gian tôpô (X, θ) S -đóng địa phương với tôpô θ mạnh tôpô τ , τ = θ 2.1.12 Định nghĩa ([2], [8]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi (i) f gọi ánh xạ không giải (irresolute) f −1 (U ) ∈ SO(X, τ ), với U ∈ SO(Y, σ) (ii) f gọi ánh xạ nửa liên tục (semi-continuous) f −1 (U ) ∈ SO(X, τ ), với U ∈ σ 2.1.13 Mệnh đề ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian S -đóng f : (X, τ ) → (Y, σ) toàn ánh không giải Khi đó, (Y, σ) không gian S -đóng 2.1.14 Bổ đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, G ∈ τ V ∈ SO(X, τ ) Khi đó, V ∩ G ∈ SO(X, τ ) 23 Chứng minh Vì V ∈ SO(X, τ ) nên tồn U ∈ τ cho U ⊂ V ⊂ cl(U ) Suy U ∩ G ⊂ V ∩ G Mặt khác, U ∈ τ G ∈ τ nên U ∩ G ∈ τ Hơn V ∩ G ⊂ cl(U ∩ G) Thật vậy, lấy x ∈ V ∩ G W lân cận x Khi đó, U ⊂ V ⊂ cl(U ) nên x ∈ cl(U ) Suy W ∩ (G ∩ U ) = (W ∩ G) ∩ U = ∅ Do x ∈ cl(G ∩ U ) Vậy ta có U ∩ G ⊂ V ∩ G ⊂ cl(U ∩ G) với U ∩ G ∈ τ Điều chứng tỏ V ∩ G ∈ SO(X, τ ) 2.1.15 Bổ đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô S ⊂ A ∈ SO(X, τ ) Khi đó, S ∈ SO(X, τ ) S ∈ SO(A, τA ) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, S ⊂ A ∈ SO(X, τ ) S ∈ SO(X, τ ) Khi đó, S ∈ SO(X, τ ) nên tồn U ∈ τ cho U ⊂ S ⊂ cl(U ) Do ta có U ∩ A ∈ τA U ∩ A ⊂ S ∩ A ⊂ cl(U ) ∩ A Mặt khác, với x ∈ cl(U ) ∩ A V lân cận x, U ⊂ S ⊂ A nên x ∈ cl(U ) ⊂ cl(A) Suy V ∩ (U ∩ A) = (V ∩ U ) ∩ A = ∅ Do x ∈ cl(U ∩ A) Hơn nữa, S ⊂ A nên S ∩ A = S Vậy ta có U ∩ A ⊂ S ⊂ cl(U ∩ A) Điều chứng tỏ S ∈ SO(X, τA ) Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, S ⊂ A ∈ SO(X, τ ) S ∈ SO(X, τA ) Khi đó, S ∈ SO(X, τA ) nên tồn U ∈ τ cho U ∩ A ⊂ S ⊂ cl(U ∩ A) Mà S ⊂ A ∈ SO(X, τ ) nên tồn V ∈ τ cho V ⊂ A ⊂ cl(V ) Từ suy U ∩ V ⊂ S ⊂ cl(U ∩ cl(V )) ⊂ cl(U ∩ V ), U ∩ V ∈ τ Vậy S ∈ SO(X, τ ) 2.1.16 Định lý ([7]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, θ) ánh xạ không giải Khi đó, G ∈ τ G không gian S -đóng (X, τ ), f (G) không gian S -đóng (Y, θ) 24 Chứng minh Vì G không gian (X, τ ) nên f (G) không gian (Y, θ) Đặt fG : G → f (G) ánh xạ xác định fG (x) = f (x), với x ∈ G Ta chứng minh fG ánh xạ không giải Thật vậy, theo Bổ đề 1.1.8 với V0 ∈ SO(f (G)) tồn V ∈ SO(Y, θ) cho V0 = V ∩ f (G) Vì f ánh xạ không giải nên f −1 (V ) ∈ SO(X, τ ) Từ nhờ Bổ đề 2.1.14 ta có f −1 (V ) ∩ G ∈ SO(X, τ ) Hơn nữa, G ∈ τ nên nhờ Nhận xét 1.1.5 Bổ đề 2.1.15 ta suy f −1 (V ) ∩ G ∈ SO(G, τG ) Mặt khác, fG−1 (V0 ) = f −1 (V ) ∩ G Thật vậy, lấy x ∈ f −1 (V ) ∩ G Khi đó, ta có x ∈ f −1 (V ) x ∈ G Suy tồn y ∈ V cho f (x) = y x ∈ G Vậy ta có x ∈ G, f (x) = y ∈ V ∩ f (G) = V0 Suy x ∈ fG−1 (V0 ) Do ta có f −1 (V )∩G ⊂ fG−1 (V0 ) Ngược lại, lấy x ∈ fG−1 (V0 ) ta có x ∈ G tồn y ∈ V0 = V ∩ f (G) cho f (x) = y Vậy ta có x ∈ G tồn y ∈ V cho f (x) = y , hay x ∈ f −1 (V ) x ∈ G Suy x ∈ f −1 (V ) ∩ G ta có fG−1 (V0 ) ⊂ f −1 (V ) ∩ G Do fG−1 (V0 ) = f −1 (V ) ∩ G Vậy fG toàn ánh không giải Từ theo Mệnh đề 2.1.13 ta có f (G) không gian S -đóng (Y, θ) 2.1.17 Bổ đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, U ∈ τ V ⊂ X Khi (i) Nếu V ∈ RC(X, τ ), U ∩ V ∈ SO(X, τ ) (ii) Nếu V ∈ SO(X, τ ), U ∪ V ∈ SO(X, τ ) Chứng minh (i) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, U ∈ τ V ∈ RC(X, τ ) Khi đó, V ∈ RC(X, τ ) nên theo Nhận xét 1.1.5 ta có V tập nửa mở quy Do tồn W ∈ RO(X, τ ) cho W ⊂ V ⊂ cl(W ) Từ ta có U ∩ W ⊂ U ∩ V ⊂ U ∩ cl(W ) ⊂ cl(U ∩ W ) Lại W ∈ RO(X, τ ) nên từ Nhận xét 1.1.5 ta có W ∈ τ Suy U ∩W ∈ τ Vậy U ∩ V ∈ SO(X, τ ) 25 (ii) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, U ∈ τ V ∈ SO(X, τ ) Khi đó, V ∈ SO(X, τ ) nên tồn W ∈ τ cho W ⊂ V ⊂ cl(W ) Do ta có U ∪ W ⊂ U ∪ V ⊂ U ∪ cl(W ) ⊂ cl(U ∪ W ) Mặt khác, U, W ∈ τ nên U ∪ W ∈ τ Điều chứng tỏ U ∪ V ∈ SO(X, τ ) 2.1.18 Định lý ([7]) Nếu không gian tôpô (X, τ ) S -đóng địa phương cực đại, không gian không liên thông cực trị Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Khi đó, tồn W ∈ τ cho cl(W ) ∈ / τ Nhờ Nhận xét 1.1.5 Mệnh đề 1.1.7 ta có cl(W ) ∈ RC(X, τ ) Đặt B = cl(W ) ta có B ∈ RC(X, τ ) B ∈ / τ Đặt τ (B) = {U ∪ (V ∩ B) : U, V ∈ τ } Ta có τ (B) tôpô (X, τ ) Thật vậy, ∅ = ∅ ∪ (∅ ∩ B)τ (B), X = X ∪ (X ∩ B)τ (B) Giả sử W1 = U1 ∪ (V1 ∩ B) ∈ τ (B), W2 = U2 ∪ (V2 ∩ B) ∈ τ (B) ta có W1 ∩ W2 = (U1 ∩ U2 ) ∪ ((V1 ∩ V2 ) ∩ B), suy W1 ∩ W2 ∈ τ (B) Giả sử {Wi = Ui ∪ (Vi ∩ B) : i ∈ I} họ tập X Wi ∈ τ (B), với i ∈ I ta có Ui ∪ ( Wi = i∈I i∈I Vi ∩ B) ∈ τ (B) Hơn nữa, với i∈I U ∈ τ , U = U ∪(∅∩B) ∈ τ (B) tồn B = ∅∪(X ∩B) ∈ τ (B) B∈ / τ Vậy τ (B) tôpô (X, τ ) τ (B) mạnh hẳn so với τ Ta chứng minh (X, τ (B)) không gian S -đóng địa phương Thật vậy, xét ánh xạ đồng iX : (X, τ ) → (X, τ (B)) Ta có, τ (B) mạnh τ nên rõ ràng iX ánh xạ mở Hơn nữa, với U ∪ (V ∩ B) ∈ τ (B) nhờ Bổ đề 2.1.17 ta có V ∩ B ∈ SO(X, τ ) U ∪ (V ∩ B) ∈ SO(X, τ ) Suy iX ánh xạ nửa liên tục Giả sử A ∈ SO(X, τ (B)) Khi đó, ta có tồn G = U ∪ (V ∩ B) ∈ τ (B) cho U ∪ (V ∩ B) ⊂ A ⊂ cl(U ∪ (V ∩ B)) Lại V ∩ B ∈ SO(X, τ ) nên tồn G1 ∈ τ cho G1 ⊂ V ∩ B ⊂ cl(G1 ) Vì ta có U ∪ G1 ⊂ A ⊂ cl(U ∪ cl(G1 )) ⊂ cl(cl(U ∪ G1 )) = cl(U ∪ G1 ) 26 U ∪ G1 ∈ τ Điều chứng tỏ A ∈ SO(X, τ ) Vậy iX toàn ánh không giải Vì (X, τ ) không gian S -đóng địa phương nên với x ∈ X , tồn lân cận mở F x (X, τ ) cho F không gian S -đóng (X, τ ) Từ Đinh lý 2.1.16 ta có iX (F ) không gian S -đóng (X, τ (B)) Hơn iX ánh xạ mở nên iX (F ) lân cận mở x (X, τ (B)) Do (X, τ (B)) không gian S -đóng địa phương Điều mâu thuẫn với (X, τ ) không gian S -đóng địa phương cực đại Vậy (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 2.2 không gian s-đóng nửa địa phương 2.2.1 Định nghĩa ([14]) Không gian tôpô (X, τ ) goi S -đóng nửa địa phương (semi-locally S-closed) với x ∈ X , tồn lân cận mở Ux x tập S -đóng tương (X, τ ) 2.2.2 Nhận xét ([5]) Mỗi không gian S -đóng địa phương không gian S -đóng nửa địa phương Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian S -đóng địa phương Khi đó, với x ∈ X tồn lân cân mở U x, cho U không gian S -đóng X Ta chứng minh U tập S -đóng tương (X, τ ) Thật vậy, giả sử V = {Vα : α ∈ ∧} phủ U tập nửa mở (X, τ ) Khi đó, Vα ∈ SO(X, τ ), với α ∈ ∧ nên tồn Wα ∈ τ cho Wα ⊂ Vα ⊂ cl(Wα ) Từ suy ra, với α ∈ ∧ ta có Wα ∩ U ∈ τ ⊂ Vα ∩ U ⊂ cl(Wα ) ∩ U Mặt khác, lấy y ∈ cl(Wα ) ∩ U , Vy lân cận y Khi đó, y ∈ cl(Wα ) nên Vy ∩ (Wα ∩ U ) = (Vy ∩ U ) ∩ Wα = ∅ Suy y ∈ cl(Wα ∩U ) Bởi cl(Wα )∩U ⊂ cl(Wα ∩U ) Hơn nữa, với α ∈ ∧ Wα ∩U ∈ τU Do ta có U = {Vα ∩U : α ∈ ∧} phủ U tập 27 nửa mở U Vì U không gian S -đóng (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho U = {cl(Vα ∩U ) : α ∈ λ0 } ⊂ {cl(Vα ) : α ∈ λ0 } Vậy U tập S -đóng tương (X, τ ) Điều chứng tỏ (X, τ ) không gian S -đóng nửa địa phương 2.2.3 Bổ đề ([5]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô U ⊂ X Khi đó, (U, τU ) không gian S -đóng, cl(U ) không gian S -đóng Chứng minh Lấy {Gα } phủ cl(U ) tập nửa mở cl(U ) Ta chứng minh {U ∩ Gα } phủ nửa mở U Từ Nhận xét 1.1.5 để chứng minh điều đó, vỡi α ta cần chứng minh U ∩ Gα ⊂ clU (intU (U ∩ Gα )) (2.1) Thật vậy, Gα tập nửa mở cl(U ) nên nhờ Bổ đề 1.1.5 ta có intcl(U ) (Gα ) ⊂ Gα ⊂ clcl(U ) (intcl(U ) (Gα )) (2.2) Lấy x ∈ U cho x ∈ / clU (intU (U ∩ Gα )) Khi tồn lân cận N x U cho N ∩ intU (U ∩ Gα ) = ∅ Vì U mở X nên ta có intU (U ∩ Gα ) = intcl(U ) (U ∩ Gα ) (2.3) intcl(U ) (U ∩ Gα ) = U ∩ intcl(U ) (Gα ) (2.4) Bởi ta có ∅ = N ∩ intU (U ∩ Gα ) = N ∩ intcl(U ) (U ∩ Gα ) = N ∩ (U ∩ intcl(U ) (Gα )) = N ∩ intcl(U ) (Gα ) Vì N lân cận x U nên lân cận x cl(U ) Suy x ∈ / clcl(U ) (intcl(U ) (Gα )) Từ (2.2) ta có x ∈ / U ∩ Gα Do ta có (2.1) Vậy {U ∩ Gα } phủ nửa mở U Vì U không gian S -đóng nên tồn họ tập hữu hạn {Gα1 ∩ U, , Gαn ∩ U } {U ∩ Gα } cho n clU (Gαi ∩ U ) U= i=1 Bởi ta có họ tập hữu hạn {Gαi : i = 1, 2, , n} cho 28 n clU (Gαi ∩ U )) cl(U ) = clcl(U ) (U ) = clcl(U ) ( i=1 n n clcl(U ) (clU (Gαi ∩ U )) ⊂ = i=1 n clcl(U ) (Gαi ∩ U ) ⊂ i=1 clcl(U ) (Gαi ) i=1 Điều chứng tỏ cl(U ) không gian S -đóng 2.2.4 Bổ đề ([5]) Nếu không gian tôpô (X, τ ) hợp hữu hạn không gian S -đóng, mở (X, τ ) S -đóng Chứng minh Giả sử U, V hai không gian S -đóng, mở X X = U ∪ V Khi đó, giả sử {Gα } phủ X tập nửa mở X Ta chứng minh {U ∩ Gα } phủ U tập nửa mở U Thật vậy, nhờ Nhận xét 1.1.5 để chứng minh điều với α ta cần chứng minh U ∩Gα ⊂ clU (intU (U ∩Gα )) (2.5) Lấy x ∈ U cho x ∈ / clU (intU (U ∩ Gα )) Khi đó, tồn lân cận N x U cho N ∩ intU (U ∩ Gα ) = ∅ Do U mở nên intU (U ∩ Gα ) = U ∩ int(Gα ) Từ ta có ∅ = N ∩ intU (U ∩ Gα ) = N ∩ (U ∩ int(Gα )) = N ∩ int(Gα ) Vì x ∈ / cl(int(Gα )) Lại Gα ∈ SO(X, τ ) nên theo Nhận xét 1.1.5, Gα ⊂ cl(int(Gα ) Suy x ∈ / Gα Bởi ta có x ∈ / U ∩ Gα Do ta có (2.5) Vì U không gian S -đóng nên tồn hữu hạn Gα1 , Gα2 , , Gαm cho m m clU (Gαi ∩ U ) = U= i=1 m (cl(Gαi ∩ U ) ∩ U ) ⊂ i=1 cl(Gαi ) (2.6) i=1 Hoàn toàn tương tự {V ∩ Gα } phủ V tập nửa mở V tồn hữu hạn Gα1 , Gα2 , , Gαk cho k k clV (Gαi ∩ V ) = V = i=1 k (cl(Gαi ∩ V ) ∩ V ) ⊂ i=1 cl(Gαi ) i=1 Từ (2.6), (2.7) X = U ∪ V ta có (X, τ ) không gian S -đóng (2.7) 29 2.2.5 Định lý ([5]) Không gian tôpô (X, τ ) S -đóng không gian tựa H -đóng S -đóng nửa địa phương Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) S -đóng Khi đó, từ Nhận xét 1.1.14, Nhận xét 2.1.2 Nhận xét 2.2.2 suy (X, τ ) không gian tựa H -đóng S -đóng nửa địa phương Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không tựa H -đóng S -đóng nửa địa phương Khi đó, (X, τ ) S -đóng nửa địa phương nên với x ∈ X tồn lân cận mở S -đóng Ux x Từ Bổ đề 2.2.3 ta có cl(Ux ) S -đóng Rõ ràng {Ux : x ∈ X} phủ mở X Vì X tựa H đóng nên tồn họ tập hữu hạn {Uxi : i = 1, 2, , n} cho n X = i=1 đóng n cl(Uxi ) = cl( i=1 Uxi ) Nhờ Bổ đề 2.2.4, ta có X không gian S - 30 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Hệ thống lại khái niện tập θ-nửa mở, tập θ-nửa đóng, không gian S -đóng, không gian tựa H -đóng, Trình bày số tính chất chúng thể Mệnh đề 1.1.15, Mệnh đề 1.1.20, Mệnh đề 1.1.21 Trình bày ví dụ chứng tỏ τ + tôpô thể Nhận xét 1.1.19 Trình bày vấn đề không gian S -đóng Hausdorff Chứng minh Mệnh đề 1.2.7, Hệ qủa 1.2.9, Định lý 1.2.12, Định lý 1.2.15, Mệnh đề 1.2.20 mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh văn tắt Đưa Nhận xét 1.1.6, Hệ qủa 1.2.9, Mệnh đề 1.2.19 Trình bày vấn đề không gian S -đóng địa phương, mối quan hệ với không gian Hausdorff yếu, không gian tựa H -đóng, không gian E.D., không gian hầu quy Chứng minh Nhận xét 2.1.2, Định lý 2.1.5, Hệ 2.1.6, Bổ đề 2.1.7, Định lý 2.1.9, Định lý 2.1.10, Định lý 2.1.16, Định lý 2.1.18 mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh văn tắt Đưa Bổ đề 2.1.14, Bổ đề 2.1.15, Bổ đề 2.1.17 Trình bày khái niệm không gian S -đóng nửa địa phương, điều kiện cần đủ để không gian tựa H -đóng S -đóng 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] Bùi Minh Tuyển (2009), Về không gian S -đóng đếm được, luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Vinh [3] C Borsett (1982), Semi-regular spaces, Soochow J Math., 8, 45 - 53 [4] R A Herrmann (1979), RC-convergence, Proc Amer Math Soc., 75, 311 - 317 [5] A Mathur (1979), A note on S -closed spaces, Proc Amer Math Soc., 74(2), 350 - 352 [6] T Noiri (1991), Characterizations of S -closed Hausdorff spaces, J Austral Math Soc., (Series A), 51, 300 - 304 [7] T Noiri (1980), A note on extremally disconnected spaces, Proc Amer Math Soc., 79(2), 327 - 330 [8] T Noiri (1873), On semi-continuous mappings, Atti Accad Naz Lince Rend Cl Sci Fis Mat Natur., 54(8), 210 - 214 [9] V Pipitone and G Russo (1975), Spazi semiconnessi e spazi semiaperti, Rend Cire Mat Palermo., 24(2), 273 - 285 [10] M K Singal and Asha Mathur (1969), On nearly compact spaces, Boll Un Mat Ital., 6(4), 702 - 710 32 [11] M K Singal and S P Arya (1969), On almost regular spaces, Glasnik Mat., 3(4), 89 - 99 [12] T Sourdarajan (1968), Weakly Hausdorff spaces and the cardinality of topological spaces, Gennaral Topology and its Ralations to modern Analysis and Algebra III, Proc Conf Kampur, Acedemia [13] T Thompson (1976), S-closed spaces, Proc Math Soc., 60, 335 - 338 [14] M H Woo, T Kwon, and J Sakong (1983), A note on S -closed spaces, Bull, Korea Math, Soc., 20(2), 95 - 97 [...]... ([7]) Không gian hầu chính quy (X, τ ) là S -đóng nếu và chỉ nếu nó là không gian S -đóng địa phương và tựa H -đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả s (X, τ ) không gian hầu chính quy và S đóng Khi đó, vì (X, τ ) là không gian S -đóng nên nhờ Nhận xét 2.1.2 và Nhận xét 1.1.14 ta có (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương và tựa H -đóng Điều kiện đủ Giả s (X, τ ) là không gian hầu chính quy, S -đóng địa phương. .. ) là không gian không liên thông cực trị 20 2.1.6 Hệ qủa ([7]) Không gian Hausdorff yếu (X, τ ) là không gian S -đóng khi và chỉ khi nó là không gian S -đóng địa phương và tựa H -đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả s (X, τ ) không gian Hausdorff yếu và S đóng Vì (X, τ ) là không gian S -đóng nên từ Nhận xét 2.1.2 ta có (X, τ ) là S -đóng địa phương và theo Nhận xét 1.1.14, thì (X, τ ) tựa H -đóng Điều... là X thỏa mãn X là không gian con S -đóng của X Vậy (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương (ii) Tồn tại không gian S -đóng địa phương nhưng không S -đóng Thật vậy, giả s (X, τ ) là không gian rời rạc, vô hạn Khi đó, với mỗi x ∈ X ta có {x} là một tập mở chứa x Do đó {x} là lân cận S -đóng của x Vì thế (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương Nhưng (X, τ ) không là không gian S -đóng, vì nếu lấy phủ... tồn tại không gian không liên thông cực trị Y sao cho X đóng trong Y 1.2.22 Định lý ([5]) Giả s (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó, các khẳng định sau là tương đương (i) (X, τ ) là không gian EDH -đóng; (ii) (X, τ ) là không gian S -đóng và Hausdorff; (iii) (X, τ ) là không gian gần compắc, Hausdorff và không liên thông cực trị 18 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN S- ĐÓNG ĐỊA PHƯƠNG 2.1 không gian s- đóng địa phương. .. 2.1.1 Định nghĩa ([13]) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là S -đóng địa phương (locally S -closed) nếu mỗi điểm x ∈ X, tồn tại lân cận mở U của x sao cho (U, τU ) là không gian con S -đóng của (X, τ ) 2.1.2 Nhận xét ([7]) (i) Mỗi không gian S -đóng là S -đóng địa phương (ii) Tồn tại không gian S -đóng địa phương nhưng không S -đóng Chứng minh (i) Giả s (X, τ ) là không gian S -đóng Khi đó, với mỗi x... nửa địa phương (semi-locally S- closed) nếu với mỗi x ∈ X , tồn tại lân cận mở Ux của x là tập S -đóng tương đối với (X, τ ) 2.2.2 Nhận xét ([5]) Mỗi không gian S -đóng địa phương là không gian S -đóng nửa địa phương Chứng minh Giả s (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương Khi đó, với mỗi x ∈ X tồn tại lân cân mở U của x, sao cho U là không gian con S -đóng của X Ta s chứng minh U là tập S -đóng tương... đủ Giả s (X, τ ) không gian Hausdorff yếu, S -đóng địa phương và tựa H -đóng Vì (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương và Hausdorff yếu nên theo Định lí 2.1.5, thì (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị Mặt khác, (X, τ ) là không gian tựa H -đóng Do đó nhờ Mệnh đề 1.1.15 ta có (X, τ ) là không gian S -đóng 2.1.7 Bổ đề ([11]) Giả s (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó, các khẳng định sau tương... không gian con S -đóng của (X, τ (B)) Hơn nữa vì iX là ánh xạ mở nên iX (F ) là một lân cận mở của x trong (X, τ (B)) Do đó (X, τ (B)) là không gian S -đóng địa phương Điều này mâu thuẫn với (X, τ ) là không gian S -đóng địa phương cực đại Vậy (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị 2.2 không gian s- đóng nửa địa phương 2.2.1 Định nghĩa ([14]) Không gian tôpô (X, τ ) được goi là S -đóng nửa địa. .. Giả s (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó, nếu (X, τ ) là không gian S -đóng Hausdorff yếu, thì (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị 1.2.9 Hệ qủa Giả s (X, τ ) là không gian S -đóng Hausdorff Khi đó (X, τ ) là không gian không liên thông cực trị Chứng minh Giả s (X, τ ) là không gian S -đóng Hausdorff Khi đó, từ Nhận xét 1.2.2 ta có (X, τ ) là không gian Hausdorff yếu Mặt khác, (X, τ ) là không. .. (X, τ ∗ ) là không gian Hausdorff yếu 1.2.12 Định lý ([6]) Giả s (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó, các khẳng định sau là tương đương (i) (X, τ ) là không gian S -đóng Hausdorff; (ii) (X, SO(X, τ )) là không gian S -đóng Hausdoff; (iii) (X, τ + ) là không gian Hausdorff compắc Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả s (X, τ ) là S -đóng Hausdorff Khi đó, theo Hệ qủa 1.2.9 ta có (X, τ ) là không gian không liên thông ... s tính chất không gian S -đóng Hausdorff không gian S -đóng địa phương, mối quan hệ hai không gian với không gian không liên thông cực trị, không gian hầu quy, không gian gần compắc, không gian. .. gian S -đóng (X, τ ) 2.1.2 Nhận xét ([7]) (i) Mỗi không gian S -đóng S -đóng địa phương (ii) Tồn không gian S -đóng địa phương không S -đóng Chứng minh (i) Giả s (X, τ ) không gian S -đóng Khi... cận mở x X thỏa mãn X không gian S -đóng X Vậy (X, τ ) không gian S -đóng địa phương (ii) Tồn không gian S -đóng địa phương không S -đóng Thật vậy, giả s (X, τ ) không gian rời rạc, vô hạn Khi