Chỉnh hoá bài toán lấy đạo hàm trong không gian hilbert và không gian banach

1 MC LC Trang MC LC MT S K HIU DNG TRONG KHểA LUN LI NểI U Chng 1: S n nh ca bi toỏn o hm khụng gian Hilbert L2 [0; 1] v xp x khụng gian Banach L [a; b] 1.1 Mt s kin thc liờn quan 1.2 Trỡnh by bi toỏn 1.3 S hi t v s n nh 11 1.4 Cụng thc ca U 13 1.5 Xp x bi toỏn o hm khụng gian Banach vi on hu hn 14 Chng Mt phng phỏp xp x o hm ca cỏc hm s khụng gian Banach L [0; +) 20 2.1 Kt qu b 21 2.2 Kt qu chớnh 24 KT LUN 26 TI LIU THAM KHO 27 MT S K HIU DNG TRONG KHểA LUN ã : chun L ã : chun L2 (., ): Tớch vụ hng C0 (0, 1): tt c cỏc hm trn vụ hn trờn (0; 1) v cú giỏ compact H := L2 [0, 1] = {u : [0, 1] R| u o c Lebesgue, u < +} L [a, b] = {u : [a, b] R| u o c Lebesgue, u < +} L [0, +) = {u : [0, +) R| u o c Lebesgue, u A : Toỏn t liờn hp ca A : Hi t mnh (hi t theo chun) : Hi t yu à: o Lebesgue < +} LI NểI U Bi toỏn tớnh o hm ca mt hm s xut hin nhiu lnh vc khoa hc v ng dng, chng hn, bi toỏn xỏc nh cỏc im khụng liờn tc x lý nh ([5]); bi toỏn gii phng trỡnh tớch phõn Abel ([7]) hay cỏc bi toỏn ngc phng trỡnh vt lý toỏn ([8]), v.v Bi toỏn ny t khụng chnh, tc l: mt sai s nh hm s cú th gõy mt sai s ln o hm tng ng, thm lm cho hm s khụng kh vi õy l khú khn ln nht gp phi gii bi toỏn o hm vt qua tr ngi ny, ngi ta xut cỏc phng phỏp hiu chnh nhm thu c cỏc nghim xp x ca o hm cn tỡm Tuy nhiờn, hu ht cỏc kt qu t c cho bi toỏn khụng gian Hilbert, rt ớt kt qu t c khụng gian Banach Trong ([6]), Denisov cú a phng phỏp hiu chnh cho bi toỏn tớnh o hm khụng gian Banach L [a, b] vi [a, b] l on hu hn nhng khụng a tc hi t Mt phng phỏp khỏc cú th xp x o hm ca cỏc hm s khụng gian L l phng phỏp sai phõn Tuy nhiờn, cỏch lm ny cú nhiu khú khn thc hnh gii s Cho n nay, cng ch cú ớt kt qu t c cho bi toỏn tớnh o hm ca cỏc hm s khụng gian Banach L [0; +) Vỡ vy, khúa lun ny chỳng tụi xut mt phng phỏp chnh ca bi toỏn o hm khụng gian Banach L [0; +) ng thi a ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho phng phỏp núi trờn Ngoi phn m u v phn kt lun, khúa lun gm hai chng: Chng 1: S n nh ca bi toỏn o hm khụng gian Hilbert L2 [0; 1] v xp x khụng gian Banach L [a; b] Chng 2: Mt phng phỏp xp x o hm ca cỏc hm s khụng gian Banach L [a; +) Trong chng 1, chỳng tụi gii thiu bi bỏo [4] ca Soyoung Ahn, U.Jin Choi v Alexander G Ramm - trỡnh by s n nh cho bi toỏn o hm khụng gian Hilbert L2 [0; 1] v gii thiu phng phỏp hiu chnh cho bi toỏn tớnh o hm khụng gian Banach L [a, b] vi [a, b] l on hu hn ca Denisov [6] Trong bi bỏo [4], cỏc tỏc gi trỡnh by s n nh cho bi toỏn o hm phỏt biu nh sau: Xỏc nh hm u(s) khụng gian Hilbert L2 [0; 1] l nghim ca phng trỡnh x f (x) = f (0) + Au(x) := f (0) + u(s)ds õy, toỏn t Volterra: A : L2 [0; 1] L2 [0; 1] (1) x u u(s)ds l n iu (Au, u) = (Au Av, u v) u(s)ds v xỏc nh dng Trong chng 2, chỳng tụi xut phng phỏp chn tham s tiờn nghim hiu chnh bi toỏn ly o hm ca mt hm s khụng gian Banach L [0; +) v xut ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder Khúa lun c hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn nhit tỡnh, tn tõm ca thy giỏo, Ths Nguyn Vn c v s giỳp ca cỏc thy cụ, gia ỡnh, bn bố Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy ó dnh cho tỏc gi s quan tõm giỳp tn tỡnh v chu ỏo sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh khúa lun Nhõn dp ny, tỏc gi xin gi li cỏm n n Ban ch nhim khoa Toỏn, cỏc thy cụ khoa v t Gii tớch - Khoa Toỏn i hc Vinh ó dỡu dt tỏc gi nhng nm hc i hc cng nh giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hon thnh khúa lun, xin cm n cỏc bn sinh viờn lp 47A - Toỏn ó to iu kin thun li cho tỏc gi hon thnh khúa lun ca mỡnh Vỡ thi gian khụng nhiu v kh nng ca bn thõn cũn hn ch nờn khúa lun chc hn khụng trỏnh thiu sút Kớnh mong s gúp ý ca quý thy cụ cựng ton th cỏc bn sinh viờn Vinh 04/2010 Tỏc gi CHNG S N NH CA BI TON O HM TRONG KHễNG GIAN HILBERT L2 [0; 1] V XP X TRONG KHễNG GIAN BANACH L [A; B] 1.1 Mt s kin thc liờn quan 1.1.1 nh ngha Hm s F (x) c gi l liờn tc tuyt i trờn on [a,b] nu vi mi > cho trc luụn tn ti > cho mi h cỏc khong (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), , (an , bn ) ụi mt ri n m n (bi ) < thỡ i=1 (bi ) |F (bi ) F (ai )| < i=1 1.1.2 B Nu f (x) kh tớch v vi mi x on [a,b] ta u cú x g(t)dt = a thỡ g(x) = h.k.n 1.1.3 nh lý Nu F l mt hm liờn tc tuyt i thỡ o hm F ca nú kh tớch v ta cú x F (x) = F (a) + F (s)ds a 1.1.4 nh lý Tớch phõn bt nh ca mt hm kh tớch l hm liờn tc tuyt i Chng minh B (1.1.2) v cỏc nh lý (1.1.3), (1.1.4) cú th xem [3] 1.1.5 nh ngha Cho f L [a, b], ta nh ngha: () := sup f (x + z) f (x) z l mụun liờn tc ca hm f 1.1.6 B () 1.1.7 nh ngha Dóy {xn } khụng gian nh chun X c gi l hi t yu nu tn ti x X cho lim f (xn ) = f (x), f L(X, K) n 1.1.8 nh ngha nh x T t khụng gian mờtric (X, d) vo khụng gian mờtric (Y, ) c gi l ỏnh x co nu tn ti s k [0, 1) cho (T x, T y) kd(x, y), x, y X 1.1.9 nh lý (Nguyờn lý ỏnh x co) Cho (X, d) l khụng gian mờtric y v T l ỏnh x co X Khi ú tn ti nht x X m T x = x Ngoi ra, vi mi x0 X ta cú T n x0 x , n Chng minh nh lý ny cú th xem [1] 1.2 Trỡnh by bi toỏn Gi s f L2 [0; 1] l mt hm kh vi v u l o hm cha bit ca nú, thỡ u tha phng trỡnh Volterra sau õy: x f (x) = f (0) + Au(x) := f (0) + (1.1) u(s)ds Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s f (0) = Gi s rng cỏc hm ta xột u l hm nhn giỏ tr thc Trng hp ny toỏn t A (1.1) l n ỏnh v n iu khụng gian Hilbert H := L2 [0; 1], bi vỡ (Au, u) = ( ú (u, v) l ký hiu tớch vụ hng H u(t)dt) 0, 1.2.1 Nhn xột Phng trỡnh (1.1) xỏc nh nghim nht H nu v ch nu f liờn tc tuyt i v f L2 [0; 1] Tht vy Nu hm f liờn tc tuyt i v f L2 [0; 1] thỡ theo nh lý (1.1.3) ta cú f (x) = f (0) + x f (s)ds, ú u(x) = f (s) l nghim ca (1.1) D thy nghim ny l nht, vỡ nu cú v(s) cng l nghim ca (1.1) thỡ f (x) = f (0) + x v(s)ds, suy ra: = x [f (s) v(s)]ds, x [0, 1] Theo B (1.1.2) ta cú : u(s) v(s) = h.k.n Ngc li, nu (1.1) cú nghim nht u(s) L2 [0; 1] thỡ theo nh lý (1.1.4) ta cng cú f (x) = x u(s) liờn tc tuyt i v f (x) = u(x) L2 [0; 1] Thụng thng, f khụng c bit chớnh xỏc m ta ch bit hm f L2 [0; 1] l hm gn ỳng ca nú cho f f ú ã , l chun L2 [0; 1] c xỏc nh bi: f = |f (s)|2 ds v > ó c bit Ta cn tỡm mt xp x o hm f = u ca hm f theo chun ã Ký hiu v l s hi t yu v hi t mnh H Xột cỏc phng trỡnh Au = f v v (x) + Av (x) = f (x), = const > 1.2.2 B Ta cú bt ng thc v (1.2) u , > 0, ú: v v u l nghim ca (1.2) v (1.1) Chng minh T (1.1) v (1.2) ta cú: v + Aw = 0, (1.3) vi w := v u (1.3) (v + Aw , w ) = (1.4) (1.5) (v , w ) + (Aw , w ) = Do : (Aw , w ) nờn (1.5) (v , w ) (v , w ) 0 (do > 0) (v , v u) (v , v ) v v 1.2.3 B Nu := (v , u) (v , u) v u u v v Avn f n thỡ Av = f , ú u = v Chng minh Tht vy, vi mi C0 (0; 1) ta cú: (f, ) = lim (Avn , ) n = lim (vn , A ) n = (v, A ) = (Av, ) (f Av, ) = 0, C0 (0; 1) Av = f Do A n ỏnh nờn u = v 1.2.4 B Nu u v u thỡ u Chng minh Ta cú: u lim inf n lim sup n u (1.6) 10 Bt ng thc u c suy t lim inf n u Tht vy, theo H qu ca nh lý Hahn - Banach, tn ti l L(X, K); X := L2 [0; 1] cho: l(u) = u ; l = T nh ngha hi t yu ta cú : (1.7) l(u) = lim l(vn ) n Kt hp vi l(vn ) (1.8) l = suy ra: u = l(u) = lim l(vn ) n = lim l(vn ) lim inf n u n lim inf n Bt ng thc : lim sup u n c suy t gi thit Tht vy: u sup u lim sup u n Vy : lim = u n Khi ú, lim u n = lim = Tc l: u n u + u + u 2 u 2(u, ) = 14 1.5 Xp x bi toỏn o hm khụng gian Banach vi on hu hn Trong khụng gian Banach L [a, b], xột phng trỡnh x Au = u(s)ds = f (x), a x (1.32) b a Gi s rng, v phi cho chớnh xỏc f (x) thỡ (1.32) cú nghim nht u(x) L [a, b], u(a) = Tuy nhiờn, thụng thng hm f (x) khụng c bit m ch bit hm xp x f (x) cho f (x) L [a, b], f f Ta xột phng trỡnh tớch phõn Volterra loi x u(x) + a u(s)ds = f (x), a x (1.33) b, ú > 1.5.1 Nhn xột Phng trỡnh (1.33) cú nghim nht Tht vy x (1.33) u(x) + vi: a x (1.34) u(s)ds = g (x), a b, = , g (x) = f (x) t x F (u) := g (x) u(s)ds a Bng quy np ta cú ỏnh giỏ N N N (b a) N F (u1 ) F (u2 ) N! u1 u2 15 Chn N cho: N < N (ba) N ! < Theo Nguyờn lý ỏnh x co, F N cú im bt ng nht Ký hiu im bt ng ú l u , ta cú: F N (F (u )) = F N +1 (u ) = F (F N (u )) = F (u ) Suy ra, F (u ) l im bt ng ca F N Do F N (u ) cú nht im bt ng nờn F (u ) = u Vy, u l nghim ca (1.34) Gi s (1.34) cũn cú nghim u1 , d thy u1 l im bt ng ca F N , nờn u1 = u Vy, (1.34) cú nht nghim Do ú, (1.33) cú nht nghim 1.5.2 nh lý Nu cú hm () cho () > vi > v () 0, () thỡ u() u 0, 0, ú u() l nghim ca (1.33) vi = () Chng minh Ta xõy dng cỏc hm: v (x) := u (x) u(x) w (x) := f (x) f (x) (1.35) 16 T (1.32) v (1.33) ta cú x u (x) + a [u (s) u(s)] ds = f (x) f (x), a x b x [u (x) u(x)] + a [u (s) u(s)]ds = f (x) f (x) u(x), a x b x v (x) + a v (s)ds = w (x) u(x), a x x v (x) + v (s)ds = w (x) u(x), a a x x v (x) + exp exp 1 x = exp w (x) u(x) , a b x b x a v (s)ds x b Ly tớch phõn hai v ta c x exp a x v ()d x v (s)dsd exp a a 1 x x exp = w () u() d, a a + x x b Ta cú x exp a x x a v (s)dsd x v (s)dsd exp a a x x = exp v (s)ds a a x x 1 x = v (s)ds exp a a = x exp a v ()d x v ()d 17 Do ú: x x x exp v ()d + exp v (s)dsd a a a x x x = exp v (s)ds v ()d + a a x x exp v ()d a x v (s)ds = a x x x Nh vy : v (s)ds = exp w () u() d a a x v (x) + v (s)ds a 1 x x exp w () u() d = v (x) a w (x) x x v (x) = u(x) exp w () u() d a x t w (x) (x) = u(x) x exp a x w () u() d Ta s xp x hm Vi f f w thỡ ta cú w (x) sup x[a,b] x exp a x w (x) w (x) sup + sup x[a,b] x[a,b] + = x a w ()d (1.36) x exp (1.37) (1.38) 18 Xột hm h(x) = u(x) x exp a x u()d (1.39) Do u(a) = nờn h(x) h(x) L [a,a+ ] x xs [u(x) u(s)]ds a xs + u(x) exp x xs = [u(x) u(s)]ds exp a xs + [u(x) u(a)] exp x xs exp [u(x) u(s)]ds a xs + [u(x) u(a)] exp x xs exp u(x) u(s) ds a xa + u(x) u(a) exp ds sup u(x) u(s) s 2( ), h(x) = exp ú, (t) l mụun liờn tc ca hm u(s) trờn on [a,b] Xột hm h(x) trờn on [a + , b] Ta cú h(x) = = + x exp a x xs xs [u(x) u(s)]ds + u(x) exp xs [u(x) u(s)]ds a x xs xs [u(x) u(s)]ds + u(x) exp exp x exp (1.40) (1.41) (1.42) 19 thỡ h L [x ,b] u L [a,b] exp + ( ) (1.43) T (1.42) v (1.43) ta cú h L [a,b] u exp L [a,b] + 3( ) (1.44) T (1.38) v (1.44) ta cú |v (x)| L [a,b] L [a,b] +3 u exp L [a,b] +3 u + 3( ) exp L [a,b] (1.45) + 3( ) (1.46) Khi thỡ exp 0, ( ) v nờn suy v (x) 0, tc l u() u L [a,b] (1.47) CHNG MT PHNG PHP XP X O HM CA CC HM S TRONG KHễNG GIAN BANACH Trong chng ny chỳng tụi gii quyt bi toỏn sau: Gi s f L [0; +) l mt hm kh vi liờn tc hai ln nhng khụng c bit chớnh xỏc m ta ch bit hm liờn tc f L [0; +) l hm gn ỳng ca nú cho f f ú ã g , (2.1) l chun ca khụng gian L [0; +) c xỏc nh bi = inf{ R : à({x [0; +) : |g(x)| > }) = 0} < +, (2.2) g L [0; +) vi l o Lebesgue v > ó c bit Ngoi ra, ta gi thit thờm rng f (0) = f (0) = (2.3) v cú mt s dng E cho f E Vn t l tỡm mt xp x o hm f ca hm f theo chun (2.4) ã khụng gian L [0; +) ? thy bi toỏn tớnh o hm ca cỏc hm s khụng gian Banach L [0; +) t khụng chnh, chỳng tụi ly vớ d sau: sin(nx), x [0, +) (n l s nguyờn dng) Rừ rng f, fn L [0; +), f, fn kh vi vụ Vớ d Chn f (x) = x2 ex , x [0, +) v fn (x) = f (x) + 20 21 hn trờn [0, +), f , f L [0; +), f (0) = f (0) = 0, f fn = nhng n f f = n + n + Trong chng ny, chỳng tụi xp x o hm f ca hm f bi nghim ca bi toỏn t chnh khụng gian L [0; +) x u (x) + u (t)dt = f (x), > 0, x [0, +) (2.5) Bng cỏch chn tham s tiờn nghim, chỳng tụi thit lp c cỏc ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder gia nghim ca bi toỏn (2.5) v o hm f ca hm f 2.1 Kt qu b tr 2.1.1 B Kt qu sau õy ó c Landau chng minh vo nm 1913 Nu hm s g cú o hm n cp hai tha g, g , g L [0; +), thỡ g g 1/2 1/2 g Hng s õy l tt nht 2.1.2 Nhn xột T B 2.1.1 v cỏc gi thit (2.1), (2.4) ta cú ỏnh giỏ f ( f + ) E 2.1.3 B Bi toỏn (2.5) cú nht nghim khụng gian L [0; +) v nghim c xỏc nh bi cụng thc sau u (x) = ex/ x ez/ f (z)dz + f (x) , x [0, +) (2.6) Chng minh Bin i tng ng sau õy ỳng cho mi x [0, +) v mi 22 >0 x ex/ (2.5) e u (x) + x x/ x u (t)dt u (t)dt ex/ f (x) ex/ = f (x) e u (t)dt = x u (t)dt = ex/ x/ = x ez/ f (z)dz x ez/ f (z)dz (2.7) Ly o hm hai v ca (2.7) ta thu c cụng thc (2.6) Ngc li, cú th tớnh toỏn trc tip thy rng u (x) c cho bi cụng thc (2.6) tha phng trỡnh (2.5) 2.1.4 B Nu u (x) l nghim ca bi toỏn (2.5) thỡ ỏnh giỏ sau õy ỳng u f , > Chng minh Vi mi x [0, +) ta cú |u (x)| = = = = f (x) x/ x z/ e f (z)dz + 2e x f (x) ez/ f (z)dz + ex/ x f x/ z/ e f dz + e x f x/ z/ f e e + z=0 f x/ x/ f e e + f (2 ex/ ) f T ỏnh giỏ trờn suy bt ng thc ó nờu b (2.8) 23 2.1.5 Nhn xột Nu ta thay khụng gian L [0, +) bi khụng gian L (, +) thỡ ỏnh giỏ (2.8) khụng ỳng Chng minh Bng cỏch lp lun tng t nh B 2.1.3 ta thu c x u (x) = ex/ ez/ f (z)dz + f (x) , x (, +) (2.9) Nu ta chn f (x) = 1, x (, +) thỡ f L (, +) Thay vo cụng thc (2.9) ta cú u (x) = ex/ , x (, +) Rừ rng lim u (x) = + x Do ú, u khụng phi l phn t ca khụng gian L (, +) 2.1.6 B Nu v (x) l nghim ca phng trỡnh x v (x) + (2.10) v (t)dt = f (x), > 0, x [0, +), v u (x) l nghim ca bi toỏn (2.5) thỡ cỏc ỏnh giỏ sau õy ỳng a) u v , > 0, b) v f f , > 0, c) v ( f + ) E, > Chng minh Trc ht ta chng minh Phn a) t z (x) = u (x)v (x), x [0, +) Ta nhn thy z (x), x [0, +) l nghim ca phng trỡnh x z (x) + z (t)dt = f (x) f (x), > 0, x [0, +) S dng B 2.1.4 v gi thit (2.1) ta cú ỏnh giỏ u v = z f f Tip theo ta chng minh Phn b) T gi thit (2.3) ta cú f (x) = x f (t)dt, x [0, +) t w (x) = f (x) v (x), x [0, +) Khi ú w (x) l nghim ca phng trỡnh x w (x) + w (t)dt = f (x), > 0, x [0, +) 24 S dng B 2.1.4 ta cú ỏnh giỏ v f = w f =2 f Cui cựng ta chng minh Phn c) S dng kt qu Phn b), B 2.1.1 v cỏc gi thit (2.1), (2.4) ta cú v v f f 2.2 ( f + f f f + ) E Kt qu chớnh 2.2.1 nh lý Bi toỏn (2.5) l t chnh Gi s u (x), x [0, +) l nghim ca bi toỏn (2.5), bng cỏch chn = , ta cú ỏnh giỏ sai s E u f 2E Trong trng hp E khụng c bit c th, bng cỏch chn = , ta cú ỏnh giỏ sai s u f (2 + E) Chng minh Tớnh t chnh ca bi toỏn (2.5) kộo theo t cỏc B 2.1.3 v 2.1.4 Bõy gi ta chng minh ỏnh giỏ sai s Trc ht ta chng minh bt ng thc sau v f E, > (2.11) Tht vy, theo cỏc lp lun chng minh Phn b, B 2.4 w (x) = f (x) v (x), x [0, +) l nghim ca phng trỡnh x w (x) + w (t)dt = f (x), > 0, x [0, +) 25 Do ú, theo cụng thc (2.6) ta cú x x/ e = ex/ x = ex/ f (z)d ez/ + f (x) w (x) = ez/ f (z)dz + f (x) ez/ f (z)dz + f (x) x = e = e x/ f (z)e x/ f (x)e x x/ =e z/ x z=0 x/ x ez/ d f (z) x f (0) + f (x) ez/ f (z)dz + f (x) ez/ f (z)dz, x [0, +) T ú suy ỏnh giỏ sau õy ỳng vi mi x [0, +) x |w (x)| = ex/ e ez/ f (z)dz x x/ x ex/ ez/ |f (z)|dz e z/ x Eex/ f dz = f e x x/ ez/ dz = E(1 ex/ ) ez/ dz E Vỡ vy, ta kt lun c v f = w E, > Bt ng thc (2.11) c chng minh Bõy gi, ỏp dng B 2.1.6, bt ng thc (2.11) v bt ng thc tam giỏc ca chun ta cú ỏnh giỏ u f Cui cựng thay cỏc giỏ tr = nh nh lý u v + v f + E (2.12) v = vo (2.12) ta s c cỏc khng E 26 KT LUN Khúa lun ó gii quyt c cỏc sau: Th nht: c hiu bi bỏo [4] v n nh nghim ca bi toỏn o hm khụng gian Hilbert L2 [0; 1] v bi toỏn xp x nghim ca bi toỏn o hm khụng gian Banach L [a, b] ca Denisov [6] v lm rừ chng minh mt s b , nh lý m tỏc gi ch trỡnh by tt hoc ch gi ý, chng hn: B (1.2.4), nh lý (1.2.5), nh lý (1.5.2) Ngoi chỳng tụi cũn xut chng minh mt s nhn xột m cỏc tỏc gi ch nờu ra, khụng chng minh nh: Nhn xột (1.2.1), Nhn xột(1.5.1) Th hai: xut phng phỏp tiờn nghim hiu chnh bi toỏn o hm khụng gian Banach L [0; +) v a ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder ca phng phỏp hiu chnh ny nh lý (2.2.1) Trong quỏ trỡnh nghiờn cu chnh húa cho bi toỏn o hm chỳng tụi nhn thy cú hai cõu hi c t ra, ú l: Cõu hi th nht: Cú th chnh húa bi toỏn o khụng gian Banach trờn hm bng phng phỏp "chn tham s hu nghim" c hay khụng? Cõu hi th hai: Cú th ng dng phng phỏp "L-ng"(L-cursve) cho vic gii s bi toỏn o hm c hay khụng? Vn ny chỳng tụi s tip tc nghiờn cu thi gian sp ti TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Hng Tõn - Nguyn Th Thanh H (2003), Cỏc nh lý im bt ng, NXB i hc s phm [2] Mai Th Thu (2006), Mt s bt ng thc o hm khụng gian Orlicz v Lorentz, Lun ỏn tin s toỏn hc, Vin toỏn hc, H Ni [3] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, B sỏch toỏn cao cp Vin Toỏn hc, NXB HQGHN Ting Anh [4] Soyoung Ahn, U.Jin Choi and Alexander G Ramm,(2006), A scheme for stable numerical differentiation, J Comput Appl Math., 186, pp 325334 [5] S R Deans (1983), Randon Transform and its Applications, John Wiley & Sons, New York [6] A M Denisov (1999), Elements of the Theory of Inverse Problems, Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter [7] R Gorenflo and S Vessella (1991), Analysis and Applications of Abel Integral Equations (Lecture Notes in Mathematics Vol 1461), Springer, Berlin 27 28 [8] M.Hanke and O.Scherzer (2001), Inverse problems light: numerical differentiation, Am Math Mon., 108, , pp 512-521 [...]... chỉnh bài toán đạo hàm trong không gian Banach L∞ [0; +∞) và đưa ra đánh giá sai số kiểu H¨older của phương pháp hiệu chỉnh này trong Định lý (2.2.1) Trong quá trình nghiên cứu chỉnh hóa cho bài toán đạo hàm chúng tôi nhận thấy có hai câu hỏi được đặt ra, đó là: Câu hỏi thứ nhất: Có thể chỉnh hóa bài toán đạo trong không gian Banach ở trên hàm bằng phương pháp "chọn tham số hậu nghiệm" được hay không? ... (2.3) và có một số dương E sao cho f ∞ E Vấn đề đặt ra là tìm một xấp xỉ đạo hàm f của hàm f theo chuẩn (2.4) · ∞ trong không gian L∞ [0; +∞) ? Để thấy bài toán tính đạo hàm của các hàm số trong không gian Banach L∞ [0; +∞) đặt không chỉnh, chúng tôi lấy ví dụ sau: ε sin(nx), x ∈ 2 [0, +∞) (n là số nguyên dương) Rõ ràng f, fεn ∈ L∞ [0; +∞), f, fεn khả vi vô 2 Ví dụ Chọn f (x) = x2 e−x , x ∈ [0, +∞) và. .. (2.11) và bất đẳng thức tam giác của chuẩn ta có đánh giá uα − f ∞ Cuối cùng thay các giá trị α = định trong định lý uα − vα ∞ + vα − f ε 2 + αE α ∞ (2.12) √ 2ε và α = ε vào (2.12) ta sẽ được các khẳng E 26 KẾT LUẬN Khóa luận đã giải quyết được các vấn đề sau: Thứ nhất: Đọc hiểu bài báo [4] về ổn định nghiệm của bài toán đạo hàm trong không gian Hilbert L2 [0; 1] và bài toán xấp xỉ nghiệm của bài toán đạo. .. 2 Trong chương này, chúng tôi xấp xỉ đạo hàm f của hàm f bởi nghiệm của bài toán đặt chỉnh trong không gian L∞ [0; +∞) x αuα (x) + 0 uα (t)dt = fε (x), α > 0, x ∈ [0, +∞) (2.5) Bằng cách chọn tham số tiên nghiệm, chúng tôi thiết lập được các đánh giá sai số kiểu H¨older giữa nghiệm của bài toán (2.5) và đạo hàm f của hàm f 2.1 Kết quả bổ trợ 2.1.1 Bổ đề Kết quả sau đây đã được Landau chứng minh vào... giải số bài toán đạo hàm được hay không? Vấn đề này chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời gian sắp tới TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân - Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học sư phạm [2] Mai Thị Thu (2006), Một số bất đẳng thức đạo hàm trong không gian Orlicz và Lorentz, Luận án tiến sĩ toán học, Viện toán học, Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải... chưa có thuật toán cho cách chọn k và c 14 1.5 Xấp xỉ bài toán đạo hàm trong không gian Banach với đoạn hữu hạn Trong không gian Banach L∞ [a, b], xét phương trình x Au = u(s)ds = f (x), a x (1.32) b a Giả sử rằng, khi vế phải cho chính xác f (x) thì (1.32) có nghiệm duy nhất u(x) ∈ L∞ [a, b], u(a) = 0 Tuy nhiên, thông thường hàm f (x) không được biết mà chỉ biết hàm xấp xỉ fε (x) sao cho fε (x) ∈... (1.38) và (1.44) ta có ψαε ⇒ |vα (x)| L∞ [a,b] ψαε L∞ [a,b] 2ε +3 u α 1 √ exp − L∞ [a,b] α 2ε +3 u α √ + 3ω( α) 1 √ exp − L∞ [a,b] α (1.45) √ + 3ω( α) (1.46) √ Khi α → 0 thì exp − √1α → 0, ω( α) → 0 và 2ε α → 0 nên suy ra vα (x) ∞ → 0, tức là uα(ε) − u L∞ [a,b] → 0 (1.47) CHƯƠNG 2 MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này chúng tôi giải quyết bài toán sau:... Kết quả sau đây đã được Landau chứng minh vào năm 1913 Nếu hàm số g có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn g, g , g ∈ L∞ [0; +∞), thì g ∞ 2 g 1/2 ∞ 1/2 ∞ g Hằng số 2 ở đây là tốt nhất 2.1.2 Nhận xét Từ Bổ đề 2.1.1 và các giả thiết (2.1), (2.4) ta có đánh giá f 2 ( fε ∞ ∞ + ε) E 2.1.3 Bổ đề Bài toán (2.5) có duy nhất nghiệm trong không gian L∞ [0; +∞) và nghiệm được xác định bởi công thức sau 1 uα (x) = − 2... 2.1.1 và các giả thiết (2.1), (2.4) ta có vα vα − f ∞ 3 f 6 2.2 ∞ ( fε ∞ + f 6 f ∞ ∞ ∞ f ∞ + ε) E Kết quả chính 2.2.1 Định lý Bài toán (2.5) là đặt chỉnh Giả sử uα (x), x ∈ [0, +∞) là 2ε nghiệm của bài toán (2.5), bằng cách chọn α = , ta có đánh giá sai số E √ uα − f ∞ 2 2εE √ Trong trường hợp E không được biết cụ thể, bằng cách chọn α = ε, ta có đánh giá sai số uα − f √ ∞ ε(2 + E) Chứng minh Tính đặt chỉnh. .. đạo hàm trong không gian Banach L∞ [a, b] của Denisov trong [6] và làm rõ chứng minh một số bổ đề, định lý mà tác giả chỉ trình bày vắn tắt hoặc chỉ gợi ý, chẳng hạn: Bổ đề (1.2.4), Định lý (1.2.5), Định lý (1.5.2) Ngoài ra chúng tôi còn đề xuất chứng minh một số nhận xét mà các tác giả chỉ nêu ra, không chứng minh như: Nhận xét (1.2.1), Nhận xét(1.5.1) Thứ hai: Đề xuất phương pháp tiên nghiệm hiệu chỉnh ... cỏc kt qu t c cho bi toỏn khụng gian Hilbert, rt ớt kt qu t c khụng gian Banach Trong ([6]), Denisov cú a phng phỏp hiu chnh cho bi toỏn tớnh o hm khụng gian Banach L [a, b] vi [a, b] l on hu... th cỏc bn sinh viờn Vinh 04/2010 Tỏc gi CHNG S N NH CA BI TON O HM TRONG KHễNG GIAN HILBERT L2 [0; 1] V XP X TRONG KHễNG GIAN BANACH L [A; B] 1.1 Mt s kin thc liờn quan 1.1.1 nh ngha Hm s F (x)... nh cho bi toỏn o hm khụng gian Hilbert L2 [0; 1] v gii thiu phng phỏp hiu chnh cho bi toỏn tớnh o hm khụng gian Banach L [a, b] vi [a, b] l on hu hn ca Denisov [6] Trong bi bỏo [4], cỏc tỏc gi