Chỉnh hóa bài toán momen kiểu hausdorff

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VĂN CƯỜNG CHỈNH HOÁ BÀI TOÁN MOMEN KIỂU HAUSDORFF Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số:10101 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS – TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG (ĐHKHTN) THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2009 LỜI TRI ÂN Tôi xin dành trang này để bày tỏ lòng tri ân đối với những người đã trực tiếp hay gián tiếp giúp đỡ, hỗ trợ tôi mọi mặt trong suốt thời gian học, làm việc và thực hiện luận văn này. Đó là những người rất tận tình, tận lực đối với tôi, đặc biệt là: -Thầy Đặng Đức Trọng -Thầy Vũ Minh Nghóa -Thầy Nguyễn Vũ Huy -Cha, mẹ, những người thân trong gia đình -Bạn bè Sau cùng tôi xin cầu chúc cho những ân nhân của mình và gia đình họ luôn an lạc, luôn đem lại niềm vui, lợi ích v.v cho mình và cho mọi người. Ngày 15 tháng 11 năm 2009. Tác giả. ii MỞ ĐẦU Trong các mô hình toán học của các qúa trình tự nhiên, chúng ta thường có ba yếu tố: đầu vào (input), hệ thống xử lý (system), đầu ra (output). Các hệ thống xử lý thường bao gồm một số các phương trình vi phân hay đạo hàm riêng. Trong hệ thống ta thường có một số tham số (parameters). Từ nhận xét về các mô hình toán học này, Baumeister (Baumeister, J. Stable solution of inverse problems, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunsweig/Wiesbaden, 1987) cho rằng có ba loại bài toán khác nhau: 1. Bài toán trực tiếp (direct problem). Cho input và tham số của hệ thống, tính output. (1) 2. Bài toán khôi phục (reconstruction problem). Cho tham số hệ thống và output, tính input. (2) 3. Bài toán nhận dạng (identification problem). Cho input và output, xác đònh các tham số hệ thống. (3) Các bài toán loại 1 gọi là bài toán thuận (direct hay forward problem). Các bài toán loại 2 và 3 gọi là bài toán ngược (inverse problem). Các bài toán ngược thường liên quan đến việc xác đònh một nguyên nhân ẩn từ các hệ quả đã biết. Nếu ta ký hiệu X: không gian của các dữ liệu input Y: không gian của các dữ liệu output P: không gian của các tham số hệ thống iii A(p): XỈ Y là toán tử từ X vào Y, phụ thuộc vào tham số p P∈ thì hai bài toán ngược có thể phát biểu như sau: 2. Cho ,yYpP∈∈ , tìm xX ∈ sao cho A(p)x=y. 3. Cho ,xXyY∈∈ tìm p P ∈ sao cho A(p)x=y. Các bài toán ngược 2., 3. gọi là tuyến tính nếu toán tử A(p) là tuyến tính. Trường hợp này đã được khảo sát rất nhiều trong nửa thế kỷ gần đây. Nếu A(p) là toán tử phi tuyến, ta có bài toán ngược phi tuyến. Các bài toán trong loại 3 thường là các bài toán phi tuyến. Baumeister đã bình luận:”Các trường hợp tuyến tính đã được nghiên cứu rộng rãi và lý thuyết của nó được phát triển tốt. Trường hợp phi tuyến thì dương như chưa được nghiên cứu thỏa đáng. Để tìm nghiệm chấp nhận được cho một bài toán phi tuyến thì việc tuyến tính hóa có thể được áp dụng thành công, nhưng nói chung, nguyên lý này chỉ cho câu trả lời từng phần, không toàn diện”. Các bài toán ngược còn được xét thêm phương diện chỉnh (well-posed) hay không chỉnh (ill-posed) theo nghóa của Hadamard. Trong bài giảng của mình [J. Hadamard, Lectures on the Cauchy problem in linear partial differential equations, Yale University Press, New Haven, 1923], Hadamard cho rằng một mô hình toán học cho một bài toán Vật lý cần phải chỉnh (properly posed hay well-posed) theo nghóa sau: A. Tồn tại, nghóa là bài toán phải tồn tại nghiệm. B. Duy nhất, nghóa là bài toán có quá lắm một nghiệm. C. Ổn đònh, nghóa là bài toán phải phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đã cho. iv Bài toán được gọi là không chỉnh (ill-posed) nếu nó không thỏa một trong ba tính chất trên. Theo quan điểm của Hadamard, các bài toán không chỉnh không thể là các mô hình toán học cho vật lý được. Tuy nhiên, thực tế là trong các lónh vực về nhiệt, đòa vật lý, … có rất nhiều bài toán không chỉnh. Đa số các bài toán ngược là không chỉnh. Vì thế nó vẫn được khảo sát rất nhiều. Tương ứng với ba tính chất A, B, C, việc nghiên cứu các bài toán ngược thường là nghiên cứu tính tồn tại hay giải được (solvability), tính duy nhất (uniqueness) và tính ổn đònh (stability). Đối với các bài toán có nghiệm không ổn đònh người ta phải tìm cách xây dựng nghiệm ổn đònh xấp xỉ nghiệm bài toán đã cho. Bài toán này được gọi là D. Bài toán chỉnh hóa hay hiệu chỉnh (regularization). Tổ hợp các bài toán ngược loại (2), (3) và các tính chất không chỉnh A-D, ta có một lượng phong phú các bài toán ngược không chỉnh. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tìm hiểu hai bài toán sau B1) Chỉnh hóa nghiệm phương trình tích chặp với dữ kiện là biến đổi Laplace. B2) Chỉnh hóa nghiệm bài toán nhiệt phi tuyến ngược thời gian. Về mặt xét loại bài toán ngược, bài toán B1) là bài toán nhận dạng hệ thống (bài toán loại (3)). Bài toán B2 là bài toán tìm input từ output (bài toán loại (2)). Xét về tính không chỉnh, cả hai bài toán đều là loại chỉnh hóa (D: regularization). Vậy tổ hợp hai phương diện thì bài toán B1 là loại (3)-D; bài B2 là loại (2)-D. Trong thực tế đo đạc, các dữ kiện output có được là rời rạc, vì vậy hai bài toán trên nảy sinh thêm hai bài toán mô-men. v Bài toán thứ nhất mà chúng tôi khảo sát là bài toán chỉnh hoá nghiệm của phương trình tích chập với dữ kiện là một dãy các giá trò của biến đổi Laplace. Xét phương trình 0 ()() () t A gAtsgsdsft=− = ∫ . Phương trình này thường xuất hiện trong lý thuyết tín hiệu. Trong đó A là hàm đại diện cho tác động của hệ thống, g là hàm đầu vào (input), f là hàm đầu ra (output) (xem [10]). Bài toán deconvolution là bài toán tìm hàm g khi cho biết A và f. Bài toán nhận dạng hệ thống là bài toán tìm A khi biết g và f. Chúng tôi sẽ tìm hiểu bài toán nhận dạng hệ thống (nghóa là bài toán loại (3)). Về mặt toán học thì cả hai bài toán này đều có cách giải như nhau. Nếu sử dụng biến đổi Laplace ta có phương trình LA. G=F, hay, một cách hình thức, nếu G(p) khác 0 thì LA(p) = F(p) / G(p). Trong đó G, F là biến đổi Laplace của g và f tương ứng. Ở dạng này ta thấy nghiệm của bài toán phụ thuộc phi tuyến vào F và G. Việc giải bài toán này trong trường hợp g là hàm bất kỳ vẫn chưa được khảo sát đầy đủ. Bài toán này không chỉnh và khó ngay cả với trường hợp hàm g biết chính xác, vì bài toán xác đònh ảnh ngược của biến đổi Laplace là một bài toán không chỉnh. Một loại phương trình tích chập tương tự cho loại biến đổi Fourier được khảo sát nhiều hơn (xem, e.g., [3], [13], và gần đây trong Luận án tiến só của TS. Phạm hoàng Quân). Trong thực tế, người ta chỉ xác đònh được ảnh Laplace của A trên một tập hợp rời rạc các giá trò. Nghóa là người xét bài toán tìm A biết LA( k β )=F( k β )/G( k β ), vi với ( k β ) là dãy điểm cho trước. Đây là một bài toán mô-men. Chúng tôi tham khảo các kết quả đã công bố trong bài báo [5] để xây dựng nghiệm chỉnh hoá. Trường hợp k β = k là trường hợp cổ điển có thể đưa về bài toán mô-men Hausdorff (xem [2, 11]), và người ta có thể sử dụng các đa thức Legendre để xây dựng nghiệm xấp xỉ. Tuy nhiên, trong luận văn này chúng tôi khảo sát dãy ( k β ) có các tính chất tổng quát hơn, và do đó có thể ứng dụng tốt hơn. Sử dụng các tính chất của hàm giải tích, chúng tôi chứng minh một điều kiện khá tổng quát cho tính duy nhất nghiệm của bài toán. Sau đó, áp dụng các đa thức Muntz chúng tôi xây dựng được nghiệm xấp xỉ cho bài toán. Bài toán thứ hai là bài toán truyền nhiệt ngược thời gian, nghóa là xác đònh nhiệt độ ở các thời điểm đầu khi biết nhiệt độ ở thời điểm cuối ϕ . Trong bài báo [9], các tác giả đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm, chỉnh hóa và đánh giá sai số. Trong chương này, chúng tôi làm hai việc sau:  Giới thiệu thêm một phương pháp chỉnh hóa khác đơn giản hơn, đó là phương pháp chặt cụt tích phân trong biến đổi Fourier ngược. Theo phương pháp của các tác giả trong [9] thì sai số được đánh giá theo hàm logarit và khá phức tạp. Phương pháp của chúng tôi sẽ cho đánh giá sai số theo hàm lũy thừa, đơn giản hơn và sự hội tụ nhanh hơn.  Ngoài ra chúng tôi khảo sát thêm trường hợp dữ kiện ϕ được cho bởi một dãy giá trò rời rạc. i MỤC LỤC MỤC LỤC I MỞ ĐẦU II CHƯƠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VỚI DỮ KIỆN LÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE 1 1.1/ GIỚI THIỆU BÀI TOÁN MÔ-MEN KIỂU HAUSDORFF VÀ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA 2 1.2/ CHỈNH HÓA BÀI TOÁN KIỂU HAUSDORFF BẰNG HỮU HẠN CÁC MÔ-MEN. 3 1.3/ XẤP XỈ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẶP VỚI DỮ KIỆN LÀ DÃY CÁC GIÁ TRỊ RỜI RẠC CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE 16 CHƯƠNG 2: CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN NGƯC THỜI GIAN THEO PHƯƠNG PHÁP CHẶT CỤT TÍCH PHÂN CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯC: DỮ KIỆN RỜI RẠC. 19 2.1/ GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 19 2.2/ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ VỚI DỮ KIỆN LIÊN TỤC (KHÔNG RỜI RẠC) 20 2.3/ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ VỚI DỮ KIỆN RỜI RẠC 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 1 CHƯƠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VỚI DỮ KIỆN LÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong quyển sách của Alexander G. Ramm, [10], có đề cập phương trình 0 ()() () 0 t Ag A t s g s ds f t t = −=≥ ∫ , nghóa là tìm g khi cho trước A và f (bài toán có tên là “The deconvolution problem”). Tuy nhiên trong thực tế, ví dụ trong ngành điều khiển học, người ta quan tâm nhiều đến “bài toán nhận dạng” (The identification problem), nghóa là cho trước g và f, tìm A. Hàm A đặc trưng cho “hệ phương trình tuyến tính tổng quát” mà đầu vào (input) là g và đầu ra (output) là f . Vì vậy trong chương này, chúng tôi khảo sát bài toán đó dưới dạng: tìm 0 u trong 2 (0, )L + ∞ thỏa phương trình tích chặp 0 ugh ∗ = , (1.0.1) trong đó hàm 0 u được xem như triệt tiêu trên (,0) − ∞ , g và h là hai hàm mà chúng tôi chỉ biết giá trò của biến đổi Laplace G và H tương ứng của chúng tại một dãy điểm cho trước (dó nhiên các giá trò được biết không chính xác). Nhắc lại là biến đổi Laplace của hàm f là hàm F được đònh bởi 0 () () pt Fp e ftdt +∞ − = ∫ , trong đó f thuộc lớp các hàm đo được và tăng không nhanh hơn một hàm mũ tại lân cận vô cực, nghóa là, 0, 0, 0, ( ) t M tftMe∃>∃ >∀> ≤ α α . 2 Như vậy 0 u không phụ thuộc tuyến tính và không phụ thuộc liên tục vào hai dữ kiện G và H. Do đó việc chỉnh hóa là cần thiết. Công cụ được sử dụng là kết quả về bài toán Mô-men kiểu Hausdorff trong bài báo [5]. 1.1/ Giới thiệu bài toán Mô-men kiểu Hausdorff và kết quả chỉnh hóa Trong mục này, chúng tôi xét bài toán: tìm u trong L 2 (I), I = (0,1) thỏa () , 0,1,2, k k I uxx dx k== ∫ … α μ (1.1.1) trong đó 0,1,2, () kk= … α là một dãy các số thực phân biệt từng đôi một thỏa 1 với mọi 0,1,2, 2 k k>− = … α và () k μ là một dãy các số thực bò chặn cho trước. Như đã biết, bài toán (1.1.1) không chỉnh, nghóa là nghiệm không phải lúc nào cũng tồn tại, và nếu tồn tại thì nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (vế phải của (1.1.1)). Các tác giả trong [2] đã xét một trường hợp riêng của bài toán: 0,1,2, () kk= … α là dãy các số nguyên dương được cho cụ thể ,0,1,2, k kk = = … α Bài báo [7] của chúng tôi cũng xét bài toán này trong trường hai chiều. Tuy nhiên, đánh giá sai số cụ thể chưa được đưa ra. Trong chương 2 của luận văn này, chúng tôi sẽ đánh giá sai số “sắc” hơn. Cũng giống như [7], chúng tôi sẽ xấp xỉ hàm chưa biết u bởi ảnh của nó qua phép chiếu trực giao lên không gian sinh bởi một hệ trực chuẩn { } 01 ,,, n … L LL, trong đó n L là đa thức Muntz (xem [4] hoặc mục dưới). Các đa thức này thu được bằng cách trực chuẩn hóa hệ { } 0 1 ,,, n x xx… αα α . [...]...3 Phần còn lại của chương có hai mục Mục 1.2 trình bày các kết quả chính của bài toán (1.1.1) Mục 1.3 ứng dụng các kết quả của mục 1.2 để giải bài toán (1.0.1) 1.2/ Chỉnh hóa bài toán kiểu Hausdorff bằng hữu hạn các mômen Xét bài toán mô men hữu hạn ∫ u( x)x I αk dx = μk , k = 0, n − 1 (1.2.1) Đặt L m là đa thức Lm ( x) = m ∑C mj x αj (1.2.2) j =0 trong... trong đònh lý 1.2.3 ■ 19 CHƯƠNG 2 CHỈNH HÓA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN NGƯC THỜI GIAN THEO PHƯƠNG PHÁP CHẶT CỤT TÍCH PHÂN CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯC: DỮ KIỆN RỜI RẠC Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian nghóa là xác đònh nhiệt độ ở các thời điểm trước khi biết nhiệt độ ở thời điểm cuối ϕ Trong bài báo [9], các tác giả đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm, chỉnh hóa và đánh giá sai số Trong chương... dãy giá trò rời rạc 2.1/ Giới thiệu bài toán Với T là một số dương, chúng tôi xét bài toán tìm nhiệt độ u(x,t), ( x, t) ∈ × [0, T ] sao cho ⎧ut − uxx = f ( x , t , u( x , t ) ) , ( x , t ) ∈ × (0, T ), ⎪ ⎨ ⎪ u( x , T ) = ϕ ( x ), ⎩ (2.1.1) 20 trong đó ϕ , f = f ( x , t , z) cho trước Đây là bài toán nhiệt ngược thời gian (phi tuyến) Bài toán này là không chỉnh, nghóa là có thể nghiệm không tồn tại,... tích phân Volterra Tính chỉnh của bài toán (2.1.3) đã được biết, nghóa là nó có nghiệm duy nhất như là điểm bất động của toán tử Tε , và nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ϕε Chi tiết được tóm gọn trong đònh lý sau Đònh lý 2.2.1 Giả sử ϕε ∈ L2 ( ) và f = f ( x , t , z) thuộc lớp L∞ ( × [0, T ] × ) sao cho f ( x , t ,0) = 0 và f Lipschitz đối với biến z đều theo x và t, nghóa là có số k > 0 sao... t) = 2π ε ∫ e− tp ∞ −∞ ε +e 1 − 2π 2 ϕ ( p)eipx dp −Tp2 ∞ ∫ ∫ e− tp T −∞ t 2 ε s / T + e− sp 2 f ( p, s, uε )eipx dpds Trong chương này, tôi sẽ chỉnh hóa nghiệm bài toán gốc bằng nghiệm của phương trình (2.1.3) uε ( ⋅ , t ) = Tε uε ( ⋅ , t ) trong đó Tε là toán tử được đònh bởi Tε u( x , t ) = 1 2π ∫ a 2 −a e(T −t ) p ϕε ( p)eixp dx 1 − 2π a ⎛ ⎜ −a ⎝ ∫ ∫ T t e ( s −t ) p2 ⎞ f ( p, s, u)ds ⎟ eixp dp,... j (1.2.4) trong đó Cmj = 2m + 1(−1)m − j (m + j )! ( j !)2 (m − j )! (1.2.5) Với mỗi dãy μ = (μk ) , ta đònh nghóa dãy λ = λ (μ ) = (λk ) (1.2.6) 4 như sau λk = λ ( μ ) = k ∑C kj μ j j= 0 và đặt pn = pn (μ ) = n −1 ∑ λ (μ ) L k k (1.2.7) k =0 Khi đó bài toán (1.2.1) tương đương với bài toán tìm u ∈ L2 (I ) thỏa ∫ u( x) L ( x)dx = λ , k I k k = 0,…, n − 1 (1.2.8) Chúng tôi ký hiệu Pm và Pn là hai... Khi đó, nghiệm uε ∈ C [0, T ]; L2 ( ) của bài toán (2.1.3) thỏa uε − u := uε ( ⋅ , t ) − u( ⋅ , t ) ≤ M1 ε + t (δ + )/ 2 T M2ε , (2.2.3) 22 trong đó M1 = 2.ek 2 T (T − t ) và M2 = U ( ⋅ , t ) e k 2 T (T −t )/ 2 (k là hệ số trong tính Lipschitz của hàm f) Chứng minh Với a = a(ε ) > 0 sẽ được đònh nghóa sau, ta gọi ( ) vε ∈ C [0, t ]; L2 ( ) là nghiệm của bài toán vε ( x , t ) = Tvε ( x , t ) = a 2 1... ) là nghiệm của bài toán vε ( x , t ) = Tvε ( x , t ) = a 2 1 e(T −t ) p ϕ ( p)eixp dx 2π − a a ⎛ T 1 ⎞ ( s −t ) p2 f ( p, s, vε )ds ⎟ eixp dp, − ⎜ t e 2π − a ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ (2.2.4) nghóa là vε và uε là nghiệm của bài toán chỉnh hóa với dữ kiện ϕ và ϕε tương ứng Lưu ý rằng 2 ⎧ Tε uε ( p) = χ a ( p) ⎨e(T −t ) p ϕε ( p) − ⎩ ∫ 2 ⎧ Tvε ( p) = χ a ( p) ⎨e(T −t ) p ϕ ( p) − ⎩ T T t ∫ t 2 ⎫ e( s−t ) p f ( p, s,... biến z đều theo x và t, nghóa là có số k > 0 sao cho ∀x, t, z1 , z2 , f ( x, t, z1 ) − f ( x , t, z2 ) < k z1 − z2 ( ) Khi đó bài toán (2.1.3) có duy nhất nghiệm uε ∈ C [0, T ]; L2 ( ) Sau đây là kết quả chính của mục Đònh lý 2.2.2 Với ϕε và f như trong đònh lý 2.2.1, giả sử bài toán (2.1.2) có ( ) nghiệm u (duy nhất) thuộc lớp C [0, T ]; L2 ( ) ứng với dữ kiện chính xác ϕ sao cho có số δ > 0 thỏa 2... 2)e−rδ < 1, δ 3 F (u) = ∫ x(1 − x) u′( x) 2 I (1.2.12) dx , và ⋅ là chuẩn trong L2(I) Nhận xét Nếu lim k →∞ α k = α ≥ 0 , ta đặt w( x ) = u( x ) xα +1/ 4 , β k = α k − α − 1/ 4 Khi đó, bài toán (1.1.1) tương đương với bài toán tìm w sao cho cho ∫ w( x)x I βk dx = μk , k = 0,1,2,… trong đó lim k →∞ β k = −1/ 4 < 0 Trong đònh lý trên, giả sử nghiệm tồn tại với dữ kiện chính xác Trường hợp dữ kiện không . toán nhận dạng hệ thống (bài toán loại (3)). Bài toán B2 là bài toán tìm input từ output (bài toán loại (2)). Xét về tính không chỉnh, cả hai bài toán đều là loại chỉnh hóa (D: regularization) dụng là kết quả về bài toán Mô-men kiểu Hausdorff trong bài báo [5]. 1.1/ Giới thiệu bài toán Mô-men kiểu Hausdorff và kết quả chỉnh hóa Trong mục này, chúng tôi xét bài toán: tìm u trong. VỚI DỮ KIỆN LÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE 1 1.1/ GIỚI THIỆU BÀI TOÁN MÔ-MEN KIỂU HAUSDORFF VÀ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA 2 1.2/ CHỈNH HÓA BÀI TOÁN KIỂU HAUSDORFF BẰNG HỮU HẠN CÁC MÔ-MEN. 3 1.3/ XẤP XỈ NGHIỆM