Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trên không gian hilbert

Rolewicz 1969 đưa ra ví dụ chứng tỏ sự tồn tại của toán tử hypercyclic trên không gian Hilbert, nhiều chuyên gia về lý thuyết toán tử đã quan tâm nghiên cứu cấu trúc của lớp các toán tử

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 2

Chương 1: Không gian Hilbert và đại số Banach 4

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Không gian Hilbert 7

1.3 Một số tôpô trên không gian Hilbert 9

1.4 C∗-đại số 13

Chương 2: Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trên không gian Hilbert 17

2.1 Các tôpô trên B(H) 17

2.2 Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trong B(H) với tôpô toán tử mạnh 26

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết toán tử là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọng củagiải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và nhiều ngành toánhọc khác, nó thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thếgiới Sau khi S Rolewicz (1969) đưa ra ví dụ chứng tỏ sự tồn tại của toán

tử hypercyclic trên không gian Hilbert, nhiều chuyên gia về lý thuyết toán

tử đã quan tâm nghiên cứu cấu trúc của lớp các toán tử hypercyclic trong

C∗-đại số B(H) các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert H vào

Với mục đích đó luận văn được trình bày theo hai chương

Chương 1 Không gian Hilbert và đại số Banach

Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gianđịnh chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, đại số Banach

Đầu tiên, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở về khônggian tôpô, không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ tuyến tínhliên tục, Sau đó, chúng tôi trình bày định nghĩa về không gian Hilbert,dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert,

hệ trực chuẩn và một số tính chất của tôpô chuẩn, tôpô yếu trên không gianHilbert.

Phần cuối của chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tínhchất của đại số Banach, C∗-đại số mà chúng cần dùng về sau

Chương 2 Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trênkhông gian Hilbert

Chương này trình bày một số tôpô trên đại số B(H) các toán tử tuyếntính liên tục trên không gian Hilbert và tính trù mật của tập các toán tửhypercyclic trong B(H) đối với các tôpô đó

Đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất củatôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh, tôpô toán tử yếu trên B(H)

Tiếp theo, chúng tôi trình bày về tính trù mật của các toán tử hypercyclic

và các toán tử cyclic trong B(H) với tôpô toán tử mạnh, đối với khônggian Hilbert phức khả li, vô hạn chiều H, chúng được thể hiện trong Nhậnxét 2.2.2, Định lý 2.2.7, Hệ quả 2.2.8 và Hệ quả 2.2.9

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS

TS Đinh Huy Hoàng cùng với sự giúp đỡ, động viên của các thầy giáo, côgiáo trong tổ Giải tích, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đạihọc, bạn bè, gia đình Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự chỉbảo, dìu dắt, động viên của các thầy cô cùng các bạn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạnchế, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy

cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô Mỗi phần tử thuộc τ được gọi

là một tập mở trong X Phần bù của tập mở trong X được gọi là tập đóngtrong X

1.1.2 Định nghĩa Giả sử trên cùng một tập X trang bị hai tôpô τ1 và τ2

Ta nói τ1 mạnh hơn τ2 (τ2 yếu hơn τ1) nếu τ1 ⊃ τ2, tức là mỗi tập mở đốivới tôpô τ2 cũng là một tập mở đối với tôpô τ1

1.1.3 Định nghĩa Tập con U của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là mộtlân cận của điểm x ∈ X khi và chỉ khi trong U có một tập mở chứa x

1.1.4 Định nghĩa Giả sử B là họ tất cả các lân cận của điểm x ∈ (X, τ )

Họ U ⊂ B được gọi là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mỗi B ∈ B đều tồntại U ∈ U sao cho U ⊂ B

1.1.5 Định nghĩa Họ B các tập được gọi là cơ sở của tôpô τ khi và chỉkhi, B được chứa trong τ và với mọi điểm x của không gian và lân cận U

tùy ý của nó, tồn tại phần tử V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U.

1.1.6 Định nghĩa Họ σ các tập được gọi là tiền cơ sở của tôpô τ khi

và chỉ khi họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc σ lậpthành cơ sở của tôpô τ (hoặc mỗi phần tử thuộc τ là hợp các giao hữu hạncác phần tử họ σ)

1.1.7 Định lý ([3]) Giả sử σ là họ không trống tùy ý các tập Khi đó

họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc σ lập thành cơ

sở của một tôpô nào đó trên tập X = ∪{S : S ∈ σ}, nói cách khác σ làtiền cơ sở của một tôpô nào đó trên X

1.1.8 Định nghĩa Cho hai không gian tôpô (X,τx) và (Y,τy) Ánh xạ

f : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu mỗi lân cận V của

f (x0) ∈ Y tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊂ V

f được gọi là liên tục (trên X) nếu f liên tục tại mọi điểm của X

1.1.9 Định nghĩa Dãy suy rộng {xα}α∈I trong không gian tôpô (X, τ )

gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mọi lân cận U của x tồn tại α0 ∈ I để

(1) kxk > 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

1.1.14 Định nghĩa Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy

đủ (với metric sinh bởi chuẩn)

Giả sử E, F là các không gian vector trên trường K, f : E → F là mộtánh xạ tuyến tính Chú ý rằng nếu f là một ánh xạ tuyến tính thì f (0) = 0.1.1.15 Định lý ([1]) Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian địnhchuẩn E vào không gian định chuẩn F

Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:

L(E, F ) là không gian vector con của K - không gian vector tất cả các ánh

xạ tuyến tính từ E vào F Với mỗi f ∈ L(E, F ), đặt

kf k = inf{k : kf (x)k 6 kkxkvới mọi x ∈ E}

1.1.16 Định lý ([1]) Với mọi f ∈ L(E, F ) ta có

kf k = sup

x6=0

kf (x)kkxk = supkxk61kf (x)k = supkxk=1kf (x)k.

1.1.17 Định lý ([1]) Hàm f 7→ kf k là một chuẩn trong L(E, F ) và nếu

F là không gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach

Ta viết E∗ thay cho L(E, K) và gọi E∗ là không gian liên hợp của khônggian định chuẩnE.Vì Klà không gian Banach nênE∗ là không gian Banach

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Định nghĩa ChoE là mộtK-không gian vector, và hàmϕ:E×E →

K Hàm ϕ được gọi là một tích vô hướng trên E nếu thỏa mãn

(1) ϕ(x, x) > 0 với mọi x ∈ E và ϕ(x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(2) ϕ(x1 + x2, y) = ϕ(x1, y) + ϕ(x2, y) với mọi x1, x2, y ∈ E;

(3) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) với mọi x, y ∈ E, với mọi λ ∈ K

(4) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) với mọi x, y ∈ E

Không gian tuyến tính E cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi làkhông gian tiền Hilbert Ký hiệu (E, ϕ) hay E

Nếu ϕ là tích vô hướng thì ta viết (x|y) hoặc < x, y > thay cho ϕ(x, y)

1.2.2 Bổ đề ([1]) Giả sử E là không gian tiền Hilbert Khi đó ta có bấtđẳng thức sau được gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwartz

|(x|y)|2 6 (x|x).(y|y), ∀x, y ∈ E

và

p(x + y|x + y) 6 p(x|x) +p(y|y), ∀x, y ∈ E

được gọi là bất đẳng thức Minkowski

1.2.3 Mệnh đề ([1]) Nếu E là không gian tiền Hilbert thì công thức

xác định một chuẩn trên E

1.2.4 Nhận xét Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định bởi công thức(1) là không gian định chuẩn và chuẩn xác định bởi (1) được gọi là chuẩnsinh bởi tích vô hướng.

1.2.5 Định nghĩa Nếu không gian tiền Hilbert là không gian Banach đốivới chuẩn sinh bởi tích vô hướng thì nó được gọi là không gian Hilbert.1.2.6 Ví dụ l2 = {(xn) ⊆ R :

∞P

n=1

|x|2

1 2, ∀x = (xn) ∈ l2

1.2.7 Định nghĩa Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert E làmột tập con A các vector khác 0 của E sao cho hai vector khác nhau bất kỳcủa A đều trực giao với nhau

1.2.8 Định lý (Riesz) ([1]) Nếu E là một không gian tiền Hilbert thìánh xạ x 7→ (x|a) với a ∈ E là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, cóchuẩn là kak Ngược lại, nếu E là không gian Hilbert thì mọi phiếm hàmtuyến tính liên tục f trên E tồn tại duy nhất a ∈ E sao cho f (x) = (x|a)

(i) Dãy {en} đầy đủ;

(ii) x =

∞P

i=1(x|ei)ei với mọi x ∈ E;

(iii) (x|y) =

∞P

i=1(x|ei)(y|ei) với mọi x, y ∈ E;

(iv) kxk2 =

∞P

i=1

|(x|ei)|2 với mọi x ∈ E

1.2.11 Định lý ([1]) Trong không gian Hilbert E vô hạn chiều các điềukiện sau đây là tương đương:

(i) E khả li;

(ii) E có một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính;

(iii) E có một cơ sở trực chuẩn đếm được;

(iv) E đẳng đấu với l2

Ký hiệu B(E) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E

với E là không gian Hilbert

1.2.12 Định nghĩa Với mỗi f ∈ B(E) ta gọi g ∈ B(E) là toán tử liênhợp của f nếu (f (x)|v) = (x|g(v)) với mọi x, y ∈ E Trong trường hợp này

1.3 Một số tôpô trên không gian Hilbert

Giả sử H là không gian Hilbert Sau đây ta sẽ xây dựng hai tôpô trên H

và xem xét một số tính chất của chúng

1.3.1 Định nghĩa Ta gọi tôpô sinh bởi chuẩn trên H là tôpô chuẩn haytôpô mạnh trên H và kí hiệu là τs.

Theo Định lý 1.1.12, mỗi không gian định chuẩn là một không gian metric(với metric sinh bởi chuẩn) Từ đó suy ra tôpô chuẩn trên H chính là tôpôđược sinh ra từ metric sinh bởi chuẩn Do đó, với mỗi a ∈ H, họ {B(a,n1) :

n = 1, 2, } là một cơ sở lân cận tại điểm a đối với tôpô chuẩn, trong đó

B(a, r) là hình cầu mở, tâm a bán kính r, tức

làm tiền cơ sở là tôpô yếu trên H và kí hiệu là τw

Từ Định lý 1.1.7 suy ra rằng với mỗi a ∈ H, họ

{O(a; y1, , yn; ) : n ∈ N ; yj ∈ H, j = 1, , n;  > 0}

lập thành cơ sở lân cận tại điểm a đối với tôpô τw, trong đó

O(a; y1, , yn; ) = {t ∈ H : |(a − t|yj)| < , ∀j = 1, , n}

1.3.3 Mệnh đề ([4]) Trên không gian Hilbert, tôpô yếu là yếu hơn tôpômạnh

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng tỏ rằng với mỗi

a ∈ H, với mỗi  > 0 và với các điểm y1, , yn ∈ H đều tồn tại δ > 0 saocho

B(a, δ) ⊂ O(a; y1, , yn; )

Nếu yj = 0 với mọi j = 1, , n thì O(a; y1, , yn; ) = H nên bao hàm thứccần chứng minh là hiển nhiên đúng với mọi δ > 0 Giả sử tồn tại yj 6= 0 với

j nào đó Khi đó, đặt δ = max

ky j k.kyjk <  với mọi j = 1, n

Do đó x ∈ O(a, y1, , yn; ) Như vậy

B(a, δ) ⊂ O(a; y1, , yn; )

Từ Mệnh đề này trực tiếp suy ra hệ quả sau

1.3.4 Hệ quả Mọi dãy trong H mà hội tụ theo tôpô yếu thì hội tụ theotôpô chuẩn

1.3.5 Mệnh đề ([4]) Giả sử {xλ}λ∈I là một dãy trong H và x ∈ H Khiđó,

1) {xλ} hội tụ tới x theo tôpô τs khi và chỉ khi kxλ− xk → 0;

2) {xλ} hội tụ tới x theo tôpô τw khi và chỉ khi (xλ|y) → (x|y) với mọi

y ∈ H

Chứng minh (1) Vì tôpô mạnh là tôpô metric, do đó {xλ} hội tụ tới x theotôpô τs khi và chỉ khi d(xλ, x) → 0 hay kxλ− xk → 0

(2) {xλ} là hội tụ tới x theo tôpô τw và chỉ khi với mỗi y ∈ H, với mọi

 > 0, tồn tại λ0 ∈ I sao cho

|(xλ− x|y)| <  với mọi λ > λ0,

hay

|(xλ|y) − (x|y)| <  với mọi λ > λ0,

nghĩa là

(xλ|y) → (x|y)

1.3.6 Hệ quả Nếu {en : n = 1, 2, , } là cơ sở trực chuẩn của khônggian Hilbert H thì dãy {en} hội tụ tới 0 ∈ H theo tôpô yếu.

Chứng minh Vì {en : n = 1, 2, } là cơ sở trực chuẩn của H nên với mọi

a ∈ H, theo Định lý 1.2.10 ta có

kak2 =

∞P

(en|a) → 0 = (0|a) với mọi a ∈ H

Vì vậy, theo Mệnh đề 1.3.5, en → 0 ∈ H theo tôpô yếu τw

Ta đã biết rằng mỗi f ∈ H∗ là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ H → C đốivới tôpô τs trên H Một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên ở đây là, nếutrên H ta xét tôpô τw thì các f ∈ H∗ còn liên tục hay không? Định lý sauđây trả lời câu hỏi này

1.3.7 Định lý Tôpô τw là tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên H

sao cho đối với chúng mọi f ∈ H∗ đều liên tục

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh mọi f ∈ H∗ đều liên tục đối với tôpô

τw trên H Với bất kỳ f ∈ H∗, theo Định lí Riesz (Định lý 1.2.8) tồn tại

a ∈ H sao cho

f (x) = (x|a) với mọi x ∈ H

Với mọi x ∈ H, với mọi số dương  thì O(x; a; ) là một lân cận của x trong

(H, τw) Khi đó, với mỗi y ∈ O(x; a; ) ta có |(x − y|a)| <  hay

|f (x) − f (y)| = |(x|a) − (y|a)| < 

Điều này chứng tỏ f (O(x; a; )) ⊂ B(f (x), ).

Do đó f liên tục tại x đối với τw trên H Vì x là điểm bất kỳ thuộc H nên

ta kết luận được f liên tục trên (H, τw)

Bây giờ giả sử τ là một tôpô trên H sao cho mọi f ∈ H∗ liên tục trên

(H, τ ) Để hoàn thành chứng minh Định lý ta chứng tỏ τw yếu hơn τ Đểthực hiện điều này ta chứng minh O(a; b; ) ∈ τ với mọi a, b ∈ H và  > 0

Thật vậy, với mỗi b ∈ H, theo Định lý Riesz, hàm fb ∈ H∗ với

= {y ∈ H : |(a − y|b)| < } = O(a; b; )

Do đó O(a; b; ) ∈ τ với mọi a và b ∈ H, mọi  > 0

1.4 C*-đại số

1.4.1 Định nghĩa Một không gian vector A trên trường số C được trang

bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện

1) x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ A;

2) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ A;

3) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y ∈ A và α ∈ C

được gọi là một đại số phức hay nói gọn là đại số

Đại số A được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong A giao hoán

Một đại số phức A thỏa mãn thêm điều kiện

4) A là một không gian Banach với chuẩn k.k thỏa mãn

kxyk 6 kxk.kyk, ∀x, y ∈ A

được gọi là đại số Banach.

Nếu tồn tại phần tử e trong đại số Banach A sao cho xe = ex = x vớimọi x ∈ A và kek = 1 thì A được họi là đại số Banach có đơn vị

1.4.2 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach, ánh xạ f 7→ f∗ của đại số

A vào chính nó được gọi là phép đối hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sauvới mọi f, g ∈ A và mọi α ∈ C

được gọi là một C∗-đại số

1.4.3 Ví dụ a) Giả sử H là không gian Hilbert, ký hiệu

Trên B(H), ta xác định thêm phép nhân trong bằng cách đặt tương ứng

(f, g) ∈ B(H) × B(H) với hàm f.g được cho bởi

= kf k sup

kxk61kg(x)k = kf k.kgk

f 7→ f∗, với mọi f ∈ B(H) là phép đối hợp trên B(H)

Với mỗi f ∈ B(H) ta có kf k = kf∗k Do đó

kf∗f k 6 kf∗kkf k = kf k2 (1)Mặt khác với mọi x ∈ H, theo Định nghĩa của ánh xạ liên hợp và bấtđẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

CHƯƠNG 2

TÍNH TRÙ MẬT CỦA CÁC TOÁN TỬ HYPERCYCLIC

TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này, ta giả thiết H là không gian Hilbert phức khả li vôhạn chiều và B(H) là C∗-đại số các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H

2.1 Các tôpô trên B(H)

Trong mục này, ta sẽ trình bày các tính chất của ba tôpô trên B(H), đó

là tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu Ta đã biết B(H) làkhông gian Banach với chuẩn được xác định bởi công thức

kf k = sup{kf (x)k : x ∈ H, kxk 6 1}

= sup{f (x)k : x ∈ H, kxk = 1}

= sup{kf (x)kkxk : x ∈ H\{0}}; f ∈ B(H) (1)2.1.1 Định nghĩa 1) Ta gọi tôpô trên B(H) mà nó được sinh bởi chuẩnxác định bởi công thức (1) là tôpô chuẩn trên B(H)

2) Với mỗi f ∈ B(H), mỗi  > 0 và mỗi x ∈ H, ta kí hiệu

O(f ; x; ) = {g ∈ B(H) : k(f − g)(x)k < }

Ta gọi tôpô trên B(H) mà nó nhận họ

{O(f ; x; ) : f ∈ B(H); x ∈ H;  > 0}

làm tiền cơ sở là tôpô toán tử mạnh trên B(H) và viết tắt là S.O.T

3) Với mỗi f ∈ B(H), mỗi  > 0 và x, y ∈ H ta kí hiệu

O0(f ; x, y; ) = {g ∈ B(H) : |((f − g)x|y)| < }

Ta gọi tôpô trên B(H) mà nó nhận họ

{O(f ; x, y; ) : f ∈ B(H); x; y ∈ H;  > 0}

làm tiền cơ sở là tôpô toán tử yếu trên B(H) và kí hiệu là W.O.T

2.1.2 Nhận xét 1) Tôpô chuẩn trên B(H) là tôpô metric và với mỗi

f ∈ B(H) thì họ {S(f,n1) : n = 1, 2, } lập thành cơ sở lân cận đếm đượctại f (đối với tôpô chuẩn), ở đây S(f,n1) là hình cầu mở tâm f bán kính n1

2.1.3 Mệnh đề ([4]) Tôpô W.O.T yếu hơn tôpô S.O.T và tôpô S.O.T

yếu hơn tôpô chuẩn

Chứng minh Giả sử f ∈ B(H), x và y ∈ H, và  > 0 Khi đó, với mọi

g ∈ O(f ; x;kyk ), (y 6= 0) theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

Nếu y = 0 thì hiển nhiên

O(f ; x; ) ⊂ O0(f ; x, y; )

Như vậy W.O.T yếu hơn S.O.T

Bây giờ, giả sử f ∈ B(H), x ∈ H và  > 0.

Khi đó, nếu x 6= 0 thì với mọi g ∈ S(f ; kxk ) ta có

k(f − g)(x)k 6 kf − gk.kxk < ,

tức là g ∈ O(f ; x; ) Do đó

S(f ; kxk) ⊂ O(f ; x; ).

Nếu x = 0 thì hiển nhiên S(f ; ) ⊂ O(f ; 0; ) Như vậy S.O.T yếu hơn tôpôchuẩn

2.1.4 Hệ quả Một dãy trong B(H) nếu hội tụ theo W.O.T thì hội tụtheo S.O.T và nếu hội tụ theo S.O.T thì hội tụ theo tôpô chuẩn

Chứng minh Giả sử {fα}α∈I là dãy (suy rộng) trong B(H) và nó hội tụ tới

f ∈ B(H) theo W.O.T Khi đó, nếu U là một tập mở trong B(H) theo tôpô

S.O.T và U chứa f thì theo Mệnh đề 2.1.3, U cũng là tập mở trong B(H)

theo W.O.T Do đó tồn tại α0 ∈ I sao cho với mọi α ∈ I mà α0 > α ta có

fα ∈ U Như vậy fα → f theo tôpô S.O.T

Kết luận thứ hai của Hệ quả được chứng minh tương tự

2.1.5 Mệnh đề Với W.O.T, B(H) là T2-không gian Do đó B(H) cũng

là T2-không gian đối với S.O.T và đối với tôpô chuẩn

Chứng minh Giả sử f1, f2 ∈ B(H) sao cho f1 6= f2 Để chứng minh mệnh

đề, ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại x, y ∈ H và  > 0 sao cho O0(f1; x, y; ) ∩

O0(f2; x, y; ) = φ

Vì f1 6= f2 nên tồn tại x ∈ H sao cho f1(x) 6= f2(x) Do đó tồn tại y ∈ H

sao cho

(f1(x) − f2(x)|y) 6= 0

Lấy  = 12|(f1(x) − f2(x)|y)|, ta có O0(f1; x, y, ) ∩ O0(f2; x, y; ) = 0 Thậtvậy nếu tồn tại g ∈ O0(f1; x, y; ) ∩ O0(f2; x, y; ) thì

|((f1 − g)x|y)| < , |((f2 − g)x|y)| < ,

do đó

|(f1(x) − f2(x)|y)| 6 |(f1(x) − g(x)|y)| + |(−f2(x) + g(x)|y)| < 2

Đây là một điều mâu thuẫn

Ta đã biết rằngfn → f ∈ B(H)theo tôpô chuẩn khi và chỉ khikfn−f k →

0 Một câu hỏi được đặt ra ở đây là, đặc trưng của một dãy hội tụ trong

B(H) đối với W.O.T và S.O.T có tương tự như đối với tôpô chuẩn haykhông? Định lý sau trả lời câu hỏi này

2.1.6 Định lý ([4]) Giả sử {fα}α∈I là dãy (suy rộng) trong B(H) và

f ∈ B(H) Khi đó,

1) fα → f theo S.O.T khi và chỉ khi k(fα − f )xk → 0 với mọi x ∈ H;

2) fα → f theo W.O.T khi và chỉ khi (fα(x)|y) → (f (x)|y) với mọi

x, y ∈ H

Chứng minh 1) Giả sử fα → f theo S.O.T Khi đó, với mỗi x ∈ H và mỗi

 > 0 tồn tại α0 ∈ I sao cho

fα ∈ O(f ; x; ) với mỗi α ∈ I, α > α0

Do đó

k(fα − f )xk → 0

Ngược lại, giả sử k(fα− f )xk → 0 với mọi x ∈ H Khi đó, với mọi x ∈ H,

với mọi  > 0ắt tồn tại α0 ∈ I sao cho với mọi α > α0 ta có k(fα−f )xk < ,

tức là fα ∈ O(f ; x; ) với mọi α > α0 Do đó, fα → f theo tôpô S.O.T