Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trên không gian hilbert

1 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương 1: Không gian Hilbert đại số Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Một số tôpô không gian Hilbert 1.4 C ∗ -đại số 13 Chương 2: Tính trù mật toán tử hypercyclic không gian Hilbert 17 2.1 Các tôpô B(H) 17 2.2 Tính trù mật toán tử hypercyclic B(H) với tôpô toán tử mạnh 26 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết toán tử chủ đề nghiên cứu quan trọng giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích nhiều ngành toán học khác, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Sau S Rolewicz (1969) đưa ví dụ chứng tỏ tồn toán tử hypercyclic không gian Hilbert, nhiều chuyên gia lý thuyết toán tử quan tâm nghiên cứu cấu trúc lớp toán tử hypercyclic C ∗ -đại số B(H) toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert H vào H Năm 2001, K C Chan chứng minh lớp toán tử hypercyclic trù mật đại số B(H) với tôpô toán tử mạnh bao tuyến tính lớp toán tử trù mật B(H) với tôpô chuẩn toán tử Để tìm hiểu đại số Banach, lý thuyết toán tử không gian Hilbert nghiên cứu số tôpô đại số B(H), tính trù mật lớp toán tử hypercyclic B(H) với tôpô Với mục đích luận văn trình bày theo hai chương Chương Không gian Hilbert đại số Banach Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, đại số Banach Đầu tiên, trình bày số khái niệm kết sở không gian tôpô, không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ tuyến tính liên tục, Sau đó, trình bày định nghĩa không gian Hilbert, dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert, hệ trực chuẩn số tính chất tôpô chuẩn, tôpô yếu không gian Hilbert Phần cuối chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số Banach, C ∗ -đại số mà chúng cần dùng sau Chương Tính trù mật toán tử hypercyclic không gian Hilbert Chương trình bày số tôpô đại số B(H) toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert tính trù mật tập toán tử hypercyclic B(H) tôpô Đầu tiên trình bày chứng minh chi tiết số tính chất tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh, tôpô toán tử yếu B(H) Tiếp theo, trình bày tính trù mật toán tử hypercyclic toán tử cyclic B(H) với tôpô toán tử mạnh, không gian Hilbert phức khả li, vô hạn chiều H, chúng thể Nhận xét 2.2.2, Định lý 2.2.7, Hệ 2.2.8 Hệ 2.2.9 Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng với giúp đỡ, động viên thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học, bạn bè, gia đình Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc bảo, dìu dắt, động viên thầy cô bạn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ĐẠI SỐ BANACH 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau: (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu A, B ∈ τ A ∩ B ∈ τ ; (c) Nếu Ai ∈ τ với i ∈ I Ai ∈ τ , i∈I I tập số Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Mỗi phần tử thuộc τ gọi tập mở X Phần bù tập mở X gọi tập đóng X 1.1.2 Định nghĩa Giả sử tập X trang bị hai tôpô τ1 τ2 Ta nói τ1 mạnh τ2 (τ2 yếu τ1 ) τ1 ⊃ τ2 , tức tập mở tôpô τ2 tập mở tôpô τ1 1.1.3 Định nghĩa Tập U không gian tôpô (X, τ ) gọi lân cận điểm x ∈ X U có tập mở chứa x 1.1.4 Định nghĩa Giả sử B họ tất lân cận điểm x ∈ (X, τ ) Họ U ⊂ B gọi sở lân cận điểm x với B ∈ B tồn U ∈ U cho U ⊂ B 1.1.5 Định nghĩa Họ B tập gọi sở tôpô τ khi, B chứa τ với điểm x không gian lân cận U tùy ý nó, tồn phần tử V ∈ B cho x ∈ V ⊂ U 1.1.6 Định nghĩa Họ σ tập gọi tiền sở tôpô τ họ tất giao hữu hạn phần tử thuộc σ lập thành sở tôpô τ (hoặc phần tử thuộc τ hợp giao hữu hạn phần tử họ σ ) 1.1.7 Định lý ([3]) Giả sử σ họ không trống tùy ý tập Khi họ tất giao hữu hạn phần tử thuộc σ lập thành sở tôpô tập X = ∪{S : S ∈ σ}, nói cách khác σ tiền sở tôpô X 1.1.8 Định nghĩa Cho hai không gian tôpô (X ,τx ) (Y ,τy ) Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục x0 ∈ X lân cận V f (x0 ) ∈ Y tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊂ V f gọi liên tục (trên X ) f liên tục điểm X 1.1.9 Định nghĩa Dãy suy rộng {xα }α∈I không gian tôpô (X, τ ) gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn α0 ∈ I để xα ∈ U, ∀α α0 1.1.10 Định lý ([3]) Giả sử f ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi đó, điều kiện sau tương đương: 1) f liên tục; 2) Nghịch ảnh tập mở qua f tập mở; 3) Nghịch ảnh tập đóng qua f tập đóng 1.1.11 Định nghĩa Cho E không gian vector trường K (C R) Một chuẩn E hàm x → x từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ E, λ ∈ R (1) x 0, x = x = 0; (2) λx = |λ| x ; (3) x + y x + y Một không gian định chuẩn không gian vector với chuẩn 1.1.12 Định lý ([1]) Nếu x → x chuẩn E d(x, y) = x−y mêtric E Ta gọi metric metric sinh chuẩn 1.1.13 Định lý ([1]) Chuẩn x → x hàm tiên tục từ E vào R 1.1.14 Định nghĩa Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ (với metric sinh chuẩn) Giả sử E, F không gian vector trường K, f : E → F ánh xạ tuyến tính Chú ý f ánh xạ tuyến tính f (0) = 1.1.15 Định lý ([1]) Giả sử f ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Khi đó, mệnh đề sau tương đương: a) f liên tục đều; b) f liên tục; c) f liên tục ∈ E; d) f bị chặn, tức tồn k > cho f (x) k x với x ∈ E Giả sử E, F không gian định chuẩn trường K Ký hiệu L(E, F ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F L(E, F ) không gian vector K - không gian vector tất ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với f ∈ L(E, F ), đặt f = inf{k : f (x) k x với x ∈ E} 1.1.16 Định lý ([1]) Với f ∈ L(E, F ) ta có f (x) f = sup = sup f (x) = sup f (x) x x=0 x x =1 1.1.17 Định lý ([1]) Hàm f → f chuẩn L(E, F ) F không gian Banach L(E, F ) không gian Banach Ta viết E ∗ thay cho L(E, K) gọi E ∗ không gian liên hợp không gian định chuẩn E Vì K không gian Banach nên E ∗ không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Định nghĩa Cho E K-không gian vector, hàm ϕ : E×E → K Hàm ϕ gọi tích vô hướng E thỏa mãn (1) ϕ(x, x) với x ∈ E ϕ(x, x) = x = 0; (2) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) với x1 , x2 , y ∈ E; (3) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) với x, y ∈ E, với λ ∈ K (4) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) với x, y ∈ E Không gian tuyến tính E với tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert Ký hiệu (E, ϕ) hay E Nếu ϕ tích vô hướng ta viết (x|y) < x, y > thay cho ϕ(x, y) 1.2.2 Bổ đề ([1]) Giả sử E không gian tiền Hilbert Khi ta có bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức Cauchy-Schwartz |(x|y)|2 (x|x).(y|y), ∀x, y ∈ E (x + y|x + y) (x|x) + (y|y), ∀x, y ∈ E gọi bất đẳng thức Minkowski 1.2.3 Mệnh đề ([1]) Nếu E không gian tiền Hilbert công thức x = xác định chuẩn E (x|x), (1) 1.2.4 Nhận xét Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định công thức (1) không gian định chuẩn chuẩn xác định (1) gọi chuẩn sinh tích vô hướng 1.2.5 Định nghĩa Nếu không gian tiền Hilbert không gian Banach chuẩn sinh tích vô hướng gọi không gian Hilbert ∞ 1.2.6 Ví dụ l2 = {(xn ) ⊆ R : |xn |2 < ∞} không gian Hilbert với n=1 tích vô hướng ∞ xn yn , ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈ l2 (x|y) = n=1 Chuẩn sinh tích vô hướng l2 ∞ |x| x = , ∀x = (xn ) ∈ l2 n=1 1.2.7 Định nghĩa Một hệ trực giao không gian tiền Hilbert E tập A vector khác E cho hai vector khác A trực giao với 1.2.8 Định lý (Riesz) ([1]) Nếu E không gian tiền Hilbert ánh xạ x → (x|a) với a ∈ E phiếm hàm tuyến tính liên tục E , có chuẩn a Ngược lại, E không gian Hilbert phiếm hàm tuyến tính liên tục f E tồn a ∈ E cho f (x) = (x|a) với x ∈ E 1.2.9 Định nghĩa Một hệ trực giao A không gian Hilbert E gọi hệ trực chuẩn x = với x ∈ A Một hệ trực chuẩn toàn vẹn không gian Hilbert E gọi hệ trực chuẩn đầy đủ sở trực chuẩn 1.2.10 Định lý ([1]) Nếu {en } dãy trực chuẩn không gian Hilbert E điều kiện sau tương đương: (i) Dãy {en } đầy đủ; ∞ (x|ei )ei với x ∈ E; (ii) x = i=1 ∞ (x|ei )(y|ei ) với x, y ∈ E; (iii) (x|y) = (iv) x i=1 ∞ |(x|ei )|2 với x ∈ E = i=1 1.2.11 Định lý ([1]) Trong không gian Hilbert E vô hạn chiều điều kiện sau tương đương: (i) E khả li; (ii) E có dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính; (iii) E có sở trực chuẩn đếm được; (iv) E đẳng đấu với l2 Ký hiệu B(E) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với E không gian Hilbert 1.2.12 Định nghĩa Với f ∈ B(E) ta gọi g ∈ B(E) toán tử liên hợp f (f (x)|v) = (x|g(v)) với x, y ∈ E Trong trường hợp ta ký hiệu g = f ∗ 1.2.13 Định lý ([1]) Với g ∈ B(E) ánh xạ liên hợp f ∗ tồn nhất, f = f ∗ 1.2.14 Định lý ([1]) Với f, g ∈ B(E), λ ∈ K ta có a) f ∗∗ = (f ∗ )∗ = f ; b) (f + g)∗ = g ∗ + f ∗ ; c) (λf )∗ = λf ∗ ; d) (f g)∗ = g ∗ f ∗ 1.3 Một số tôpô không gian Hilbert Giả sử H không gian Hilbert Sau ta xây dựng hai tôpô H xem xét số tính chất chúng 10 1.3.1 Định nghĩa Ta gọi tôpô sinh chuẩn H tôpô chuẩn hay tôpô mạnh H kí hiệu τs Theo Định lý 1.1.12, không gian định chuẩn không gian metric (với metric sinh chuẩn) Từ suy tôpô chuẩn H tôpô sinh từ metric sinh chuẩn Do đó, với a ∈ H, họ {B(a, n1 ) : n = 1, 2, } sở lân cận điểm a tôpô chuẩn, B(a, r) hình cầu mở, tâm a bán kính r, tức B(a, r) = {x ∈ H : a − x < r}, (r > 0) 1.3.2 Định nghĩa Với x, y ∈ H số dương , đặt O(x; y; ) = {t ∈ H : |(x − t|y)| < } Ta gọi tôpô H nhận họ {O(x; y; ) : x, y ∈ H, > 0} làm tiền sở tôpô yếu H kí hiệu τw Từ Định lý 1.1.7 suy với a ∈ H, họ {O(a; y1 , , yn ; ) : n ∈ N ; yj ∈ H, j = 1, , n; > 0} lập thành sở lân cận điểm a tôpô τw , O(a; y1 , , yn ; ) = {t ∈ H : |(a − t|yj )| < , ∀j = 1, , n} 1.3.3 Mệnh đề ([4]) Trên không gian Hilbert, tôpô yếu yếu tôpô mạnh Chứng minh Để chứng minh mệnh đề, ta cần chứng tỏ với a ∈ H, với > với điểm y1 , , yn ∈ H tồn δ > cho B(a, δ) ⊂ O(a; y1 , , yn ; ) 26 vậy, với x = {xn } ∈ l2 ta có ∞ Ak (x) = {xk , xk+1 , } |xn |2 → = n=k ∞ k → ∞ ( |xn |2 hội tụ) Do đó, theo Định lý 2.1.6 Ak → ∈ B(l2 ) n=1 theo S.O.T Để chứng minh {Ak }∗ không hội tụ tới 0∗ theo S.O.T, theo Định lý 2.1.6, ta cần chứng tỏ {A∗k (x)} không hội tụ tới 0∗ ∈ l2 ( theo tôpô chuẩn l2 ) với x ∈ l2 , x = Để thực điều đó, ta chứng minh {A∗k } không dãy Cauchy l2 x = Lấy x ∈ H, x = 0, ta có A∗m+n x − A∗n x = U m+n x − U n x = U n (U m x − x) = (U m x) = x = 2( x 2 = = U mx − x − 2Re(U m x|x) + x − 2Re(U m x|x) + x (do U n x = x ) − Re(U m x|x)) = 2( x − Re(x|U ∗m x)) Vì Am x → 0, nên U ∗m x → Do Re(x|U ∗m ) → A∗m+n x − A∗n x → x Vì A∗m+n x − A∗n x → √ x = Do {A∗k (x)} không dãy Cauchy l2 2.2 Tính trù mật toán tử hypercyclic B(H) với tôpô toán tử mạnh Ký hiệu H không gian Hilbert phức khả li vô hạn chiều, B(H) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ H tới H Như ta biết B(H) đại số Banach, B(H) C ∗ -đại 27 số Với T ∈ B(H) f ∈ H , ta kí hiệu orb(T, f ) = {f, T f, T f, T f, } 2.2.1 Định nghĩa (1) Nếu tồn f ∈ H cho orb(T, f ) = H T gọi toán tử hypercyclic f gọi vector hypercyclic T Tập toán tử hypercyclic ký hiệu Hp (2) Nếu tồn f ∈ H cho span orb(T, f ) = H T gọi toán tử cyclic trường hợp f gọi vector cyclic T Ký hiệu tập toán tử cyclic Hc 2.2.2 Nhận xét Từ hai định nghĩa dễ dàng thấy chuẩn toán tử hypercyclic lớn Hp ⊂ Hc Chứng minh Giả sử T ∈ Hp T Khi đó, với f ∈ H vector hypercyclic T ta có T nf Tn f T h f với n Do đó, g ∈ orb(T, f ) g = lim nj →∞ T nj f f Từ suy 2f ∈ H\orb(T, f ) Đây điều mâu thuẩn Do T > Theo định nghĩa ta có H = orb(T, f ) ⊂ span orb(T, f ) ⊂ H Do H = span orb(T, f ), tức T ∈ Hc Vậy Hp ⊂ Hc 2.2.3 Mệnh đề Nếu T ∈ Hp αT ∈ Hc với α = 28 Chứng minh Vì T ∈ Hp nên orb(T, f ) = H , suy span orb(T, f ) = H Do với y ∈ H , tồn yn ∈ span orb(T, f ) yn → y n → ∞ Với n = 1, 2, tồn m cho m λjT j f yn = j=1 m = j=1 (với T f = f ) λj j j α T f αj Do yn ∈ span orb(αT, f ) Vậy H = span orb(αT, f ), hay αT ∈ Hc 2.2.4 Định nghĩa Giả sử T ∈ B(H) Không gian đóng vô hạn chiều H bao gồm tất vector hypercyclic T , trừ vector không gọi không gian Hilbert hypercyclic T 2.2.5 Định nghĩa Ký hiệu Bhy (H) tập gồm tất toán tử T ∈ B(H) cho T có dãy số nguyên dương {nk } thỏa mãn ba tiên đề (1) Tồn tập D1 trù mật H thỏa mãn T nk f → với f ∈ D1 (2) Tồn tập D2 trù mật H , ánh xạ A : D2 → D2 cho T A ánh xạ đồng D2 Ank f → với f ∈ D2 (3) Tồn không gian đóng vô hạn chiều Ho ⊂ H thỏa mãn T nk f → với f ∈ Ho 2.2.6 Định lý ([8]) Nếu H không gian Hilbert phức khả li, vô hạn chiều Bhy (H) ⊂ Hp 2.2.7 Định lý ([5]) Tập Bhy (H) trù mật B(H) với tôpô toán tử mạnh 29 Chứng minh Giả sử F ∈ B(H) U lân cận F , theo tôpô toán tử mạnh Ta cần chứng minh U ∩ Bhy (H) = ∅, nghĩa cần tồn toán tử T ∈ U ∩ Bhy (H) Vì U chứa toán tử S = 0, hạng hữu hạn nên ta giả sử U tập mở thuộc sở cho U = {T ∈ B(H) : (T − S)f γ < với γ = 1, 2, , n}, f1 , , fn vector khác H số dương Bây giờ, ta xây dựng toán tử T ∈ U ∩ Bhy (H) Đầu tiên, giả sử chiều S(H) k đặt {h(1), , h(k)} sở trực chuẩn Khi vector f ∈ kerS (f, S ∗ h(i)) = (Sf, h(i)) = 0, với i = 1, , k Ta có span {S ∗ h(i) : i k} = kerS ⊥ Thật lấy x ∈ span {S ∗ h(i) : k i k} Khi tồn λi ∈ K cho x = λiS ∗ h(i) Với i=1 f ∈ kerS ta có k λiS ∗ h(i)|f ) (x|f ) =( i=1 k (λiS ∗ h(i)|f ) = i=1 k (λi(S ∗ h(i)|f ) = i=1 =0 nghĩa x ⊥ f Do x ∈ kerS ⊥ Ngược lại, lấy x ∈ kerS ⊥ ta cần chứng minh x ∈ span {S ∗ h(i) : k}, nghĩa chứng minh x ⊥ span {S ∗ h(i) : Thật vậy, với y ∈ span{S ∗ h(i) : 1 i i i i k}⊥ k}⊥ ta có y ⊥ span{S ∗ h(i) : k} Do y ⊥ S ∗ h(i) với i = 1, , k Từ suy y ∈ kerS Vì x ∈ kerS ⊥ nên x ⊥ y Do x ⊥ span{S ∗ h(i) : i k}⊥ ta có 30 x ∈ span{S ∗ h(i) : i span{S ∗ h(i) : k} i k}⊥⊥ = span{S ∗ h(i) : i k} Vậy kerS ⊥ = Vì kerS⊥ không gian hữu hạn chiều không gian M , với M định nghĩa M = kerS ⊥ + span{h(i), , h(k)} Không gian M trùng với span{h(i) : i = 1, k} không gian kerS⊥ chứa span{h(i) : i = 1, k} Mặt khác tồn vector g(i), , g(m) ∈ kerS ⊥ thỏa mãn h(i), , h(k), g(1), , g(m) tạo thành sở trực chuẩn M Vì M không gian đóng hữu hạn chiều H , nên M ⊥ không gian vô hạn chiều Lại H không gian Hilbert khả li, vô hạn chiều nên M ⊥ có chiều đếm Do đó, M ⊥ có sở trực chuẩn đếm được, ta kí {e(i), a(i), b(i) : i 1} Vì tập E định nghĩa E = {h(1), , h(k)}∪{g(1), , g(m)}∪{e(1), e(2), } ∪{a(1), a(2), }∪ {b(1), b(2), } := {ei : i = 1, 2, } sở trực chuẩn H Hơn ta giả sử tồn số dương p đủ lớn ký hiệu P : H → H phép chiếu trực giao lên bao đóng tuyến tính tập {e(i) : i p + 1} ∪ {a(i) : i 1} C số dương cho C = max{ fγ : γ = 1, 2, , n}, P fγ < min( 9Ck S + 3k S , √ ), ∀γ = 1, 2, , n (2.1) 31 Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính T : H → H đẳng thức sau T g(i) =Sg(i), T h(i) =Sh(i) + 3C e(p + i), T e(i) =0 i m; (2.2) i k; (2.3) i p; (2.4) Chú ý đẳng thức (2.3) định nghĩa T ảnh (miền giá trị) S ta tiếp tục định nghĩa −3C T Sh(i), i k; (2.5) T e(p + k + i) = g(i), i m; (2.6) T e(p + k + m + i) = h(i), i k; (2.7) T e(p + 2k + m + i) = 2e(i), i 1; T e(p + i) = (2.8) (2.9) T a(1) = i 1; (2.10) T a(2i) = b(i), i 1; (2.11) T b(i) = 0, i (2.12) T a(2i + 1) = 2a(i), Các đẳng thức (2.2) tới (2.12) xác định toán tử T ∈ B(H) Trong trường hợp g(i) không tồn tại, ta phương trình (2.2) (2.6), phương trình (2.7), (2.8) định nghĩa cho trường hợp m = Vấn đề lại T ∈ U Giả sử ρ1 , , ρ2 số vô hướng h = ρ1 h(1)+ +ρk h(k).Khi Th |ρ1 | T h(i) + + |ρk | T h(k)| (|ρ1 |2 + + |ρk |2 ) ( T h(i) + + T h(k) ) Vì h = (h|h) = (|ρ1 |2 + + |ρk |2 ) (2.13) 32 nên từ (2.13) (2.3) suy k Th h ( ( S + i=1 3C )2 ) √ = h k( S + ) 3C Mặt khác, x ∈ M ⊥ x ⊥ M Vì M ⊃ kerS ⊥ nên x ⊥ kerS ⊥ , tức x ∈ kerS ⊥⊥ = kerS Do M ⊥ ⊂ kerS Vì Se(i) = Sa(i) = Sb(i) = 0, ∀i Kết hợp với (2.4) suy (T − S)e(i) = 0, ∀i = 1, p Vì E sở trực chuẩn H , nên với γ = 1, 2, , n tồn k ∞ ∞ ∞ {δi }m i=1 , {ρi }i=1 , {ci }i= , {αi }i=1 , {βi }i=1 với {αi }, {ci }, {βi } ∈ l2 , cho m fγ = ∞ k δi g(i) + i=1 ρi h(i) + i=1 ∞ ci e(i) + i=1 ∞ αi a(i) + i=1 βi b(i) i=1 Khi ta có bất đẳng thức sau m k (T − S)fγ δi (T − S)g(i) + i=1 ∞ + ρi (T − S)h(i) i=1 ∞ ci T e(i) + i=i ∞ αi T a(i) + i=1 βi T b(i) i=1 Sử dụng phương trình (2.2) (2.3) ta m δi (T − S)g(i) = i=1 k k ρi (T − S)h(i) = i=1 i=1 3C ρi e(p + i) 33 Mặt khác từ (2.5) → (2.11) ta có p+k ∞ ci T e(i) = i=1 ci 3c p+k+m p+2k+m T Sh(i − p) + i=p+1 ∞ ci g(i) + i=p+k+1 + ci 2e(i) + i=p+2k+m+1 p+k ci i=p+k+m+1 αi 2a(i) + i 3C lẻ αi b(i) i T Sh(i − p) + 2ci g(i) + i=p+k+1 p+2k+m ∞ 2ci h(i) + i=p+k+m+1 p+k ci chẵn=0 p+k+m i=p+1 + ci h(i)+ 2ci e(i) + i=p+2k+m+1 3C 2αi a(i) i lẻ ∞ ∞ 22 |ci |2 + T Sh(i − p) + i=p+1 22 |αi |2 i=p+k+1 i=p+k+1 (2.14) Vì Sh(i) ∈ span{h(i) : i k} nên sử dụng (2.13) ta suy p+k ci 3C T Sh(i) p+k 3C i=p+1 ci T Sh(i − p) i=p+1 3C √ 3C √ 3C √ Vì p+k k( S + 3C |ci | Sh(i − p) ) i=p+k p+k k( S + 3C |ci | S ) i=p+k p+k k( S + ∞ ( i=p+1 |ci |2 ) 3C ) S ( i=p+1 P fγ p+k 2 |ci | ) ( i=p+1 12 ) 34 nên từ (2.1) ta suy p+k ci 3C T Sh(i) 3C k( S + i=p+1 3C ) S 9Ck S + 3k S = (2.15) Từ ∞ |αi |2 ) ( i=1 P fγ kết hợp với (2.14), (2.1) (2.15) ta suy (T − S)fγ < fγ + 3C √ +2 √ , nghĩa T ∈ U Bây ta chứng minh T ∈ Bhy (H) Giả sử H0 = span{b(i) : i 1} Khi H0 không gian đóng H với f ∈ H0 tồn {fn } ⊂ span{b(i) : i cho fn → f n → ∞ Vì fn ∈ span{b(i) : i 1} với n = 1, 2, 1} với n = 1, 2, nên T fn = Vì T f = Vấn đề lại ta phải T thỏa mãn tiền đề (1) (2) Định nghĩa 2.2.5 Lấy D1 = D2 = spanE Khi D1 = D2 = H Trước tiên ta chứng minh T thỏa mãn tiên đề (1), nghĩa với f ∈ D1 T j f → j → Để làm điều ta cần chứng minh T j (ei ) → 0, E = {ei : i = 1, } Với i = 1, , k, từ phương trình (2.2)và (2.5) ta suy T h(i) = T (T h(i)) = T Sh(i) + Mặt khác S(H) = span{h(i) : i 3C T e(p + i) = (2.16) 1} nên T S = Từ phương trình (2.2), ta có T g(i) = T (T g(i)) = T (Sg(i)) = 0, ∀i = 1, m (2.17) 35 Bây ta chứng minh T e(i) = Đầu tiên phương trình (2.4) ta có T e(i) = với i p Sau sử dụng (2.5) (2.7) suy T e(p + i) = T ( Nếu i −3C T Sh(i)) = −3C T Sh(i) = 0, với i k m sử dụng (2.6), (2.2) (2.17) ta T e(p + k + i) = T (T e(p + k + i)) = T g(i) = T (T g(i)) = T Sg(i) = Hơn i k từ (2.7) (2.6) suy T e(p + k + m + i) = T h(i) = Như ta chứng minh T e(i) = 0, ∀i = 1, p + 2k + m (2.18) Ta tiếp tục chứng minh với trường hợp i > p + 2k + m Cố định số nguyên i với i > p + 2k + m, viết i = q(p + 2k + m) + r, với q số nguyên dương đó, r số nguyên không âm r < p + 2k + m Từ (2.8) (2.7) ta có kết sau: T j e(i) = T j−1 (T h(i)) = 2T j−1 e(i − (p + 2k + m)) = 2T j−1 e[(q − 1)(p + 2k + m) + r] Bằng quy nạp ta chứng minh với i tồn j để  q i−q 2 T e(r), r = j T e(i) = (∗)  q−1 j−q T h(k), r = Việc quy nạp theo i đưa quy nạp theo q Với q = 1, i > p + 2k + m nên r = Do T j e(i) = 2T j−1 e(r) 36 Giả sử mệnh đề với q = l, l > ta có  l j−l 2 T e(r), r = j T e(i) =  l−1 j−l T h(k), r = Ta cần chứng minh(∗) với q = l + 1,với j đủ lớn Thật T j e(i) = 2T j−1 e[l(p + 2k + m) + r] = 2.2T j−2 e[(l − 1)(p + 2k + m) + r], =  l j−1−l e(r), r = 2.2 T  = (2.8) (do giả thiết quy nạp) 2.2l−1 T j−1−l h(k), r =  l+1 j−(l+1) e(r), r = 2 T  2l T j−(l+1) h(k), với j đủ lớn r = Vậy ta có (*) Mặt khác từ (2.16) (2.18) ta có j −q T j−q e(r) = T (j−q) h(k) = Suy với i tồn j đủ lớn để T j e(i) = Cuối ta chứng minh T j a(i) = với j đủ lớn quy nạp Với i = 1, ta có T a(i) = Giả sử mệnh đề với i = k, k > nghĩa tồn j để T j a(i) = Ta cần chứng minh mệnh đề với i = k + Nếu k lẽ i = k + chẵn, từ (2.11) (2.12) ta có T a(i) = Nếu k chẵn i = k + lẽ, i = 2m + T a(i) = T a(2m + 1) = T a(m) (2.10) Vì m < k nên áp dụng giả thiết quy nạp ta T j a(m) = với j Vậy với i ta chọn j để T j a(m) = 37 Đối với {b(i) : i 1} T (i) = (2.12) Như với ei ∈ E , ta j để T (ei ) = Do T j (ei ) → j → ∞, nghĩa T j f → ∀f ∈ span E, j → ∞ Để kết thúc chứng minh ta cần T thỏa mãn tiên đề (2) Ta định nghĩa toán tử tuyến tính A : H → H thỏa mãn Ag(i) = e(p + k + i), i m, Ah(i) = e(p + k + m + i), Ae(i) = e(p + 2k + m + i), Aa(i) = a(2i + 1), Ab(i) = a(2i), i k, i 1, i 1, i Từ định nghĩa suy A ∈ B(H) T Ag(i) = g(i), ∀i = i, m, T Ah(i) = h(i), ∀i = i, k, T Ae(i) = e(i), ∀i T Aa(i) = a(2i + 1) = a(i), ∀i T Ab(i) = T a(2i) = b(i), ∀i 1, 1, Suy T A ánh xạ đồng D2 Aj g(i) = Aj−1 e(p + k + i) = Aj−2 e(p + 2k + m + p + k + i) = = j−1 e[(j − 1)(p + 2k + m) + p + k + i] 38 Suy Aj g(i) → j → ∞, ∀i = 1, m, Aj h(i) → j → ∞, ∀i = 1, k, Aj e(i) → j → ∞, ∀i 1, Aj a(i) → j → ∞, ∀i 1, Aj b(i) → j → ∞, ∀i Do ta có Aj f → j → ∞ với f ∈ spanE = D2 Vậy T ∈ Bhy (H) 2.2.8 Hệ ([5]) Tập tất toán tử hypercyclic trù mật B(H) với tôpô toán tử mạnh Chứng minh Vì Bhy (H) ⊂ Hp nên từ Định lý 2.2.7 suy Hp = B(H) với tôpô toán tử mạnh 2.2.9 Hệ ([5]) Tập tất toán tử cyclic trù mật B(H) với tôpô toán tử mạnh Chứng minh Vì Hp ⊂ Hc nên từ Hệ 2.2.8 suy Hc = B(H) với tôpô toán tử mạnh 39 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Trình bày chi tiết việc xây dựng số tôpô không gian Hilbert, không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert vào tính chất tôpô - Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt, Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.9, Định lý 2.1.10, Định lý 2.2.7 - Chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.3.5, Mệnh đề 2.1.3, Hệ 2.1.4, Định lý 2.1.6, Nhận xét 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3 - Đưa chứng minh số kết quả, Hệ 1.3.6, Định lý 1.3.7, Mệnh đề 2.1.5 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, NXB Giáo dục [3] J L Keli (1973), Tôpô đại cương (Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tường dịch), NXB Đại học THCN [4] V H Moscovich (2009), Norm, strong, and weak operator topologies on B(H) [5] K C Chan (2001), The density of hypercyclic operators on a Hilbert space,J.Operator theory, 47, 131-143 [6] P R Halmos (1982), A Hilbert Space Prolem Book, Second Edittion, Springer - Verlag, New York [7] G T Prajitura (2007), Convergence of functions of operators in the strong operator topology, Math Procedings of the Royal Irish Academy 107A(1), 91-100 [8] A Montes - Rodriguez(1996), Banach Space of hypercyclic vectors, Michigan Math J 43, 419-436 [...]... CHƯƠNG 2 TÍNH TRÙ MẬT CỦA CÁC TOÁN TỬ HYPERCYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương này, ta giả thiết H là không gian Hilbert phức khả li vô hạn chiều và B(H) là C ∗ -đại số các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H 2.1 Các tôpô trên B(H) Trong mục này, ta sẽ trình bày các tính chất của ba tôpô trên B(H), đó là tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu Ta đã biết B(H) là không gian Banach... = H thì T được gọi là toán tử hypercyclic và f được gọi là vector hypercyclic của T Tập các toán tử hypercyclic ký hiệu là Hp (2) Nếu tồn tại f ∈ H sao cho span orb(T, f ) = H thì T được gọi là toán tử cyclic và trong trường hợp này f được gọi là vector cyclic của T Ký hiệu tập các toán tử cyclic là Hc 2.2.2 Nhận xét Từ hai định nghĩa trên dễ dàng thấy chuẩn của một toán tử hypercyclic là lớn hơn... B(H) Không gian con đóng vô hạn chiều của H bao gồm tất cả các vector hypercyclic của T , trừ vector không được gọi là không gian con Hilbert hypercyclic của T 2.2.5 Định nghĩa Ký hiệu Bhy (H) là tập gồm tất cả các toán tử T ∈ B(H) sao cho T có dãy các số nguyên dương {nk } thỏa mãn ba tiên đề (1) Tồn tại tập con D1 trù mật trong H thỏa mãn T nk f → 0 với mọi f ∈ D1 (2) Tồn tại tập con D2 trù mật. .. khi n → ∞ 2.1.8 Định lý ([4]) Phép nhân các toán tử trong B(H) liên tục phải, liên tục trái theo tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu, nghĩa là với mỗi B ∈ B(H), ánh xạ A → AB và A → BA liên tục theo tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu 23 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tính liên tục phải của phép nhân theo tôpô toán tử mạnh Giả sử Aλ → A theo tôpô toán tử mạnh khi đó, theo Định lý 2.1.6 Aλ x... → 0 và A∗m+n x − A∗n x 2 → 2 x 2 Vì vậy A∗m+n x − A∗n x → √ 2 x = 0 Do đó {A∗k (x)} không là dãy Cauchy trong l2 2.2 Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trong B(H) với tôpô toán tử mạnh Ký hiệu H là không gian Hilbert phức khả li vô hạn chiều, B(H) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H tới H Như ta đã biết B(H) là một đại số Banach, hơn nữa B(H) là một C ∗ -đại 27 số Với mỗi T ∈ B(H)... tôpô toán tử mạnh Như vậy phép nhân trong B(H) là liên tục phải theo tôpô toán tử mạnh Xét với tôpô toán tử yếu Giả sử Aλ → A theo tôpô toán tử yếu Khi đó, theo Định lý 2.1.6 (Aλ x|y) → (ABx|y) với mọi x, y ∈ H Do đó (Aλ Bx|y) → (ABx|y) với mọi x, y ∈ H và B ∈ B(H) Theo định lý 2.1.6 Aλ B → AB theo tôpô toán tử yếu Vậy phép nhân trong B(H) là liên tục phải theo tôpô toán tử yếu Tính liên tục trái của. .. vậy kerS⊥ là không gian con hữu hạn chiều và cũng là không gian con của M , với M được định nghĩa bởi M = kerS ⊥ + span{h(i), , h(k)} Không gian con M trùng với span{h(i) : i = 1, k} khi và chỉ khi không gian con kerS⊥ được chứa trong span{h(i) : i = 1, k} Mặt khác tồn tại các vector g(i), , g(m) ∈ kerS ⊥ thỏa mãn h(i), , h(k), g(1), , g(m) tạo thành cơ sở trực chuẩn của M Vì M là không gian con đóng... là ánh xạ đồng nhất trên D2 và Ank f → 0 với mọi f ∈ D2 (3) Tồn tại không gian con đóng vô hạn chiều Ho ⊂ H thỏa mãn T nk f → 0 với mọi f ∈ Ho 2.2.6 Định lý ([8]) Nếu H là không gian Hilbert phức khả li, vô hạn chiều thì Bhy (H) ⊂ Hp 2.2.7 Định lý ([5]) Tập Bhy (H) là trù mật trong B(H) với tôpô toán tử mạnh 29 Chứng minh Giả sử F ∈ B(H) và U là lân cận của F , theo tôpô toán tử mạnh Ta cần chứng... tục trái của phép nhân đối với tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu được chứng minh tương tự Ta biết rằng, trong không gian định chuẩn, ánh xạ chuẩn là liên tục đều (đối với tôpô chuẩn ) Do đó ánh xạ chuẩn là liên tục đều trên B(H) đối với tôpô chuẩn Một câu hỏi được đặt ra ở đây là, ánh xạ chuẩn B(H) có liên tục đối với tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu hay không? Định lý sau đây trả lời câu hỏi... chỉ ra tồn tại toán tử T ∈ U ∩ Bhy (H) Vì U chứa toán tử S = 0, hạng hữu hạn nên ta có thể giả sử rằng U là tập mở thuộc cơ sở cho bởi U = {T ∈ B(H) : (T − S)f γ < với mọi γ = 1, 2, , n}, trong đó f1 , , fn là các vector khác 0 của H và là số dương nào đó Bây giờ, ta xây dựng toán tử T ∈ U ∩ Bhy (H) Đầu tiên, giả sử rằng chiều của S(H) là k 1 và đặt {h(1), , h(k)} là một cơ sở trực chuẩn của nó Khi đó ... minh lớp toán tử hypercyclic trù mật đại số B(H) với tôpô toán tử mạnh bao tuyến tính lớp toán tử trù mật B(H) với tôpô chuẩn toán tử Để tìm hiểu đại số Banach, lý thuyết toán tử không gian Hilbert. .. tồn toán tử hypercyclic không gian Hilbert, nhiều chuyên gia lý thuyết toán tử quan tâm nghiên cứu cấu trúc lớp toán tử hypercyclic C ∗ -đại số B(H) toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert. .. 17 CHƯƠNG TÍNH TRÙ MẬT CỦA CÁC TOÁN TỬ HYPERCYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương này, ta giả thiết H không gian Hilbert phức khả li vô hạn chiều B(H) C ∗ -đại số ánh xạ tuyến tính liên