Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LỜI NÓI ĐẦUTrong Vật lý-Toán sinh viên mới làm quen với một số phương phápnhư: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải các bài toántruyền sóng và truyền nhiệt thì việc ch

LỜI NÓI ĐẦU

Trong Vật lý-Toán sinh viên mới làm quen với một số phương phápnhư: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải các bài toántruyền sóng và truyền nhiệt thì việc chọn hệ toạ độ và tách các biến phụ thuộcvào hình dạng của vật, nếu vật là có hình dạng trụ hoặc tròn thì ta giải bàitoán trong hệ toạ độ trụ sẽ dẫn đến phương pháp giải là đơn giản nhất Khigiải phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt có dạng hình trònhoặc hình trụ bằng phương pháp tách biến sẽ dẫn đến các phương trình viphân Bessel

Quá trình học môn Vật lý-Toán sinh viên đã được làm quen với một sốhàm đặc biệt như: hàm Lagrăng, hàm Bessel… nhưng việc tìm hiểu sâu vàotính chất, đặc điểm của các hàm này còn rất hạn chế vì thời gian ngắn Quátrình giải các bài toán bên cạnh tư duy vật lý còn đòi hỏi ở sinh viên kỹ nănggiải tích toán học đặc biệt là việc giải các phương trình vi phân, do đó việccũng cố và nâng cao kỹ năng toán học của sinh viên là rất quan trọng

Vì những lí do trên tôi đã trọn đề tài: “ỨNG DỤNG HÀM BESSELGIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG VÀ TRUYỀN NHIỆT”, hi vọngkhoá luận sẽ giúp đỡ sinh viên ngành Vật lý trong việc giải bài tập về phươngtrình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

Chúng ta có thể gặp các bài toán của phương trình truyền sóng vàtruyền nhiệt trong không gian nhiều chiều, trong nội dung của một khóa luậnchúng tôi chỉ xin giới thiệu một số bài toán xét trong không gian hai chiều và

ba chiều

Bằng những kiến thức về Vật lí-toán, Giải tích…bằng cách tìm tòi vàthu thập các tài liệu tôi đã hoàn thành khóa luận này với nội dung chính nhưsau:

1

Chương I: Tổng quan hàm Bessel.

Chương II: Ứng dụng hàm Bessel giải phương trình truyền sóng

Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn TiếnDũng đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, về phương pháp và tài liệu Xinchân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý và bạn bè đãgiúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

HOÀNG VĂN THỤY

2

( ) ( ) q( )x y r( )x y

dx

dy x p dx

d y

= +

0 dx

) b ( dy )

b ( y

0 dx

) a ( dy )

a ( y

4 3

2 1

ββ

Quá trình giải bài toán Stum-Liouville đa ta đến các hàm đặc biệt Trong

đó có hàm Bessel Trong giới hạn của khoá luận này chúng tôi chỉ xét các tínhchất và ứng dụng của hàm Bessel

Xét bài toán Stum-Liouville

0

=+λψψ

với p(x) = 1, q(x)= 0, r(x) =1 điều kiện biên của bài toán : ψ ∑ = 0

Trong hệ toạ độ cầu:

2

2 2 2 2

2

1 sin

sin r

1 r

r r r

1

ϕ

ψθθ

ψθθ

θ

ψψ

∆

∂

∂+

sin

1 sin

Sin

1

ϕθθ

θθ

θ

∆θϕ

∂

∂+

1 r

r r r

Phơng trình (1.3) đợc viết lại:

0

1)

(

1

, 2 '

' 2

=

r Y R r

Y R Y

) R r )

R r

ϕ θ

R r R

=+

∆

01

0

2

' ' 2 2

,

R r R

r r

Y Y

àλ

àϕ θ

1

2 '

1

2 '

0 y ) x

( xy y

a

x a x a a ( x )

x a

2 k

k 2 k k 2 2

1 1 2 2 0

2 2

−++

+

−++

−

σ

σ σ

νσ

νσ

− +

=

− +

0 ) (

2 2

2

1 2 2

2 2 0

k

a k

a a

ν σ

ν σ

ν σ

(1.11)

Với k = 2,3…

Vì a 0 ≠ 0 nên từ phơng trình đầu của hệ phơng trình (1.11) suy ra σ = ±ν

• Nếuσ =ν thì từ phơng trình sau của (1.11) ta đợc:

a a

) 1 n ( 2

a )

4 2 ( 4

a a

) 2 n (

4

2 2 2

ν



! 3 3 2

1 2

a

! 3 3 2

a )

6 2 ( 6

a a

) 3 n ( 6

6

+ +

+

−

= +

−

= +

νν

νtổng quát với số hạng k =2n :

( ) ( 1)( 2)( 3) ( n)n ! 2

1 a

n 0

−

=

νν

νν

νν

ν

νTheo tính chất của hàm Gamma:

(ν +1)(ν +2)(ν +3) ( ν +n)n !Γ(ν +1) =Γ (ν +n+1 )

! n 2

1

n n

+ +

−

νΓ

ν

Thay các giá trị a2n và a2n+1 vào chuỗi (1.9) ta nhận đợc nghiệm riêng củaphơng trình (1.8):

5

n n

1 n

! n

2

x 1 )

x ( J

νΓ

Jν gọi là hàm Bessel loại 1 cấpν

• Nếuσ = − ν nghiệm thứ 2 của phơng trình (1.8) đợc tìm bằng cách

n n

1 n

! n

2

x

1 )

x ( J

νΓ

ν

νCác giá trị của ν có thể nguyên hoặc không nguyên Giá trị của ν cho tamối quan hệ của Jν( x )và J−ν( x )

• Nếu ν nhận giá trị không nguyên, ta thấy rằng:

Khi x →0 thì: Jν( )x →0 và J−ν( )x →∞ do đó Jν( x )và J−ν( x )

độc lập tuyến tính Vì vậy nghiệm của phơng trình Bessel (1.8) là:

) x ( J C ) x ( J C ) x (

1 n

! n

2

x 1 )

x (

l 2 l

1 l )!

l (

2

x 1 )

x ( J

Γν

ν ν

ν

2.1)

(

0

2

x J l

l

x x

J

l

l l

∑∞

=

+ +

++Γ

x J

x = − − gọi là hàm Bessel loại 2.Khi ν là số nguyên dơng k nào đó thì:

6

x J

khi này Φν( )x là một nghiệm riêng của phơng trình (1.8) và độc lập tuyến tínhvớiJν( x ) Do đó nghiệm của (1.8) trong trờng hợp ν nguyên dơng là:

y(x)=C 1 Jν (x)+C 2Φν( ) x với C1, C2 là các hằng số tuỳ ý

III Các tính chất của hàm Bessel

1 Tính chất truy hồi

Chúng ta dễ dàng đi chứng minh các tính chất này

Ví dụ đối với công thức (1.13.a) thì ta có:

2

x 1 n

! n

1 dx

d x

J x dx

d

ν

ν ν

++Γ

+

−

1 2 2

21

!

)22(1

n

n n

n

ν

ν

νν

−

0

1 2

n x

ν ν

ν

ν =xνJν−1( ) x Mặt khác: [x J ( )x ] x J ( )x x J ( )x

dx

ν

ν ν

ν ν

x

ν ν

1

νπ vào hai vế của

ph-ơng trình (**), rồi tiến hành trừ từng vế của hai phph-ơng trình trên, ta đợc:

7

Từ (*) và (***) ta suy ra điều phải chứng minh.

Các tính chất còn lại đợc chứng minh tơng tự

2 Tính trực giao của các hàm Bessel

Nếu à1 ,à2 ,àn là các nghiệm dơng (thực) của phơng trình Jν( )x =0

j i nếu 0 dx L

x J

L

x xJ

I

2 1

2 I

' 2 L

0

j

àà

à

à

ν ν

ν ν

dJ k x d

dJ k x d

( − ) ( ) ( ) =  ( ) ( )− ( ) ( )dx 

x k dJ x k xJ dx

x k dJ x k xJ dx

d dx x k J x k xJ k

1

1 2

2 1

2 2

2

ν

ν ν

ν ν

i i

J L L J L k J

J L L J L k J

µ µ

µ µ

ν ν

ν

ν ν

2

L k J L k J k L lim

k k

L k J L k J Lk

2 1

' 2

' 1 2 k k 2

1

2 2

1

' 2 1 k k

2 1

2 1

L 0

2 1

2

ν ν

∫

9

j i nếu 0 dx L

x J

L

x xJ

I

2 1

2 I

' 2 L

0

j

àà

à

à

ν ν

ν ν

(vì theo tính chất truy hồi Jν' ( )ài Jν 1( )ài

+

−

3 Một số tr ờng hợp riêng của hàm Bessel.

Các hàm Bessel thờng gặp trong Vật lí toán đó là các hàm

1 1

6 4 2

x 4

2

x 2

x 1 x

J

k 2 2

k 2

2 2

6 2

2

4 2

−+

Jν+1 = ν ν − ν−1 , các hàm J2( ) ( )x ,J3 x cóthể đợc tìm từ J0( ) ( )x,J1 x

Đồ thị biểu diễn các hàm J0 (x), J 1 (x), J 2 (x) Hình 1

10

) (

0 x J

)

(

2 x J

y

x

Hình 1: Đồ thị một số hàm Bessel

Hình 1: Đồ thị một số hàm

• Các hàm bán nguyên J ( )x , J ( )x

2

1 2

k 2

1 k

2

1

) k 2

3 (

! k

2

x 1 x

) 1 k 2 (

5 3 1 ) k 2

1 k k 2

1

)!

! k 2 (

x 1 x

2 x

Jν+1 = ν ν − ν−1 ta tìm đợc:

) x

) x sin(

) x cos(

( x

2 J

4 Khai triÓn mét hµm tuú ý vµo c¸c hµm Bessel

C¸c hµm Bessel ( )

L

x

Jν µi i=1,2,3… Trùc giao vµ chuÈn ho¸ trªn [ ]0 , L

Khai triÓn mét hµm bÊt k× vµo chuçi c¸c hµm Bessel ( )

j i nÕu 0 dx L

x J

L

x xJ

I

2 1

2 I

' 2 L

0

j

µµ

µ

µ

ν ν

ν ν

nh©n hai vÕ (1.18) víi )

L

x (

x ( xJ ) L

x ( J a dx

) L

x ( J ) x ( xf

1 i

j i

L 0 i j

y

x

H×nh 2: §å thÞ cña mét sè hµm Bessel b¸n nguyªn

theo tÝnh chÊt trùc giao ta cã: ' ( )j

2 j j

L 0

2

J 2

L a dx ) L

x ( J ) x (

∫2

∫2

Phơng trình dao động của điểm M(x,y) theo thời gian:

a,k là các hệ số của màng, tuỳ thuộc vào đặc tính cấu tạo của màng

Từ (2.1) trong một số điều kiện cụ thể ta có các phơng trình đơn giản hơn

• Nếu nếu k = 0 và W = 0 ta có phơng trình dao động của màng tự do:

Các điều kiện ban đầu:

• Hình dạng ban đầu của màng:

II Ph ơng pháp giải bài toán

Xét dao động của màng tròn bán kính L, mép gắn chặt Chúng ta đi giảiphơng trình sau:

thoả mãn các điều kiên biên (2.4) và các điều kiện ban đầu (2.6), (2.7)

Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, (2.2) đợc viết lại:

Điều kiên biên (2.4) trong bài toán có dạng: u r( , )ϕ = r L= =0 (2.9)

điều kiện ban đầu: u(r,φ,0)=f(r, φ); ∂ = = ϕ

, r ( V a

1

, r

( ) ( , )

r V r

T t

Vế trái của (2.11) chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế phải phụ thuộc vào r, φ,

do đó để (2.11) xảy ra thì cả hai vế cùng bằng một hằng số - λ nào đó

Vế trái của (2.13) là hàm phụ thuộc vào góc ϕ, vế phải là hàm phụ thuộc

vào r, do đó cả hai vế của (2.13) đều bằng một hằng số –α nào đó

Phơng trình (2.13) dẫn đến hai phơng trình tơng đơng:

αλα

Y(φ) =C 1 e cφ +C 2 e -cφ với C1, C 2 là những hằng số tuỳ ý

Theo tính chất tuần hoàn của hàm Y(φ) thì:

• Nếu α = 0 từ phơng trình thứ hai của hệ (2.14) ta có: Y(φ)=C 1 +C 2 φ

do tính chất tuần hoàn:

( )

do n là số nguyên tuỳ ý, suy ra: C2 = 0

Vậy Y(φ) là một hằng số: Y(φ) = C1

• Nếu α > 0, đặt α = c 2 với c là số thực khác 0 Từ (2.15) suy ra k = ic±

Phơng trình Y'' +αY =0 có nghiệm: Y(φ) =C1 e icφ +C 2 e -icφ

theo tính chất tuần hoàn của hàm Y(φ):

c 1 e

1 e

n i

n i

Nh vậy để phơng trình Y''+αY =0 không có nghiệm tầm thờng thì các giátrị của α phải thoả mãn điều kiện :

α =n Với n2 ( = ± ±0, 1, 2 )K (2.16)Nghiệm riêng của phơng trình Y'' +αY = 0 là:

Y n (φ)=C n1 cos(nφ)+C n2 sin(nφ) Thay α = n 2 và x = λr vào phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.14)

Điều kiện biên (2.9) đợc viết lại

u(L,φ)= V(L,ϕ)=R(L)ω(ϕ)=0 ⇒R(L)=0 (2.19)Vì R ( 0 ) <+∞ n ê n D 2 =0 ⇒ Rn (x)=D 1 J n (x) hay R( λr)=D 1 J n( λr) Theo điều kiện biên: R(L)=0 ⇒J n( λL)=0 ⇔ (n)

) (

) (

à

sin(nφ)(2.21)

Với

2 ) (

) (

và T mn =sin

λ

à n at m

) (

at cos A [(

) n ( m mn

) n ( m

L

at sin D L

at cos C (

) n ( m mn

) n ( m

) (

L

r J

n m n

à

17

Nghiệm tổng quát của phơng trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) sẽlà: u(r,φ,t)=∑∑∞

) L

at sin B L

at cos A [(

) n ( m mn

) n ( m

L

at sin D L

at cos C (

) n ( m mn

) n ( m

n m n

r J

Các hệ số Amn , B mn , C mn , D mn đợc xác định từ các điều kiện ban đầu:

độ lệch ban đầu u(r,φ,0)=f(r, φ), do đó:

2 0

=

2 0

=

∫π ϕ ϕ với k là số nguyên khác 0

∫π ϕ ϕ = π

2 0

2 n d

0

2 n d cos với n là số nguyên khác 0

2

0

; 0 d ) l sin(

) n

0

0 ).

cos(

) cos(n l d với l≠n

L

r J

A 2 d ) , r ( f

1( , )

2

m m

L

r J

C d

).

n sin(

) , r ( f

18

π ϕ ϕ ϕ µπ

1( , )sin( )

n m

nm n m

L

r J

A d

) n cos(

) , r ( f

1( , )cos( )

n m

nm n m

) (

0 0 1

( ) 2

2 2 ( )

0 0 1

( ) 2

2 2 ( )

0 0 1

.1

( , )

.2

.2

L

m m

m

n L

m

n L

0 0 1

( ) 2

0 0 1

( ) 2

0 0 1

.1

( , )

.2

.2

L

m m

n L

m

n L

Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt, gây bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm Điều kiện ban đầu có dạng:

u(r,0)=f(r); và F( )r

t

u 0 t

u=u(r,t)

Việc tìm giao động của màng dẫn đến việc giải phơng trình (2.30) với các

điều kiện ban đầu:

u(r,0)=f(r) ; F( )r

t

u 0 t

=

∂

∂

=

và điều kiện biên: U(L,t)= 0

Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, phơng trình dao

động của màng đợc viết lại:

r

1

V '' + ' +λ =

20

dV x dx

V d

at cos A (

) 0 ( m m

) 0 ( m m

à

0

)( m r )

) 0 ( m

at sin B L

at cos

0

)( m r )

J

Các hệ số Am và Bm đợc xác định theo điều kiện ban đầu, đó là các hàmbiến thiên của bán kín của các điểm khảo sát, các hệ số này không phụ thuộc vàothông số góc ϕ

Theo (2.28) và (2.29) các hệ số Am và Bm đợc xác định:

àà

.2

( )

L

m m

.2

( )

L

m m

Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt độ lệch ban đầu có dạng Parapol tròn xoay: u(r,0)=f(r)=A

2

u

a u

t

Theo lí luận ở bài tập 1, hàm sóng chỉ phị thuộc

vào bán kính của điểm khoả sát và thời gian khoả sát

Độ lệch ban đầu có dạng Parapol (hình 4)

Các điều kiện ban đầu:

Điều kiện biên: u(L,t) = 0

áp dụng kết quả bài tập 1, phơng trình dao động của một điểm bất kỳ trên

màng là:

u(r,t)=∑

=1 m

) 0 ( m m

L

at sin B L

at cos

0

)( m r )

2 )

0 ( m

2 1 2

L

r J

L

r 1 A ) ( J L

2

A 8

) 0 ( m 1 3 ) 0 (

0 ( m

2 1 ) 0 ( m

L

r J

0 ) ( J La

r L

1 (0) 3 1 (0)

) 0 ( 0

cos)()(

àà

Vẽ đồ thị u(r,t) ứng với nghịêm đầu tiên ở đây ta đặt biến mới x = r

L

m

) 0 (

r F t

u t

r F t

u t

Điều kiện biên: u(L,t)=0

Giải tơng tự bài tập 1 ta đợc nghiệm của phơng trình (2.42) với điều kiệnbiên đã cho là:

u(r,t)=∑

=1 m

) 0 ( m m

L

at sin B L

at cos

0

)( m r )

) 0 ( m 0 )

0 ( m

2 1 2

L

r J

) r ( f ) ( J L

0 ( m

2 1 ) 0 ( m

L

r J

) r ( F ) ( J La

4 ) 0 (

m J a

A 8

a

r L

1 (0) 4 1 (0)

) 0 ( 0

sin)()(

8

àà

Tìm dao động của nớc trong một hình trụ thẳng đứng, nếu vận tốc ban đầu

là một hàm đối xứng xuyên tâm, còn áp suất trên mặt nớc đợc giữ không đổi.

Giải: Phơng trình dao động của màng:

∂

∆ =

∂

2 2

1 V

V r

1

2

' ''

r

T a T

λλ

r (

)) r ( J ( D

L r

0

( ( ))

0( ) r L

T m =A m cos(

L

t a

at cos A (

) 1 ( m m

) 1 ( m m

µ

(

) 1 ( 0

L

r ( J ) L

at sin

B L

at cos

A

0 1

m

) 1 ( m m

) 1 ( m m

µµ

1 m

) 1 ( m 0 )

1 ( m m

) 1 ( m m

r

) L

r (

J ) L

at sin B L

at cos A (

µµ

L

) L

r ( J

A µ µ = f ' r( )

¸p dông tÝnh chÊt trùc giao cña c¸c hµm Bessel ta suy ra:

(1)

1 (1) 2 (1)

0 2

2

'( )( )

L

m m

u r

u t

0

t

t

u r

u

∑∞=

−

1 m

) 1 ( m 1

) 1 ( m ) 1 ( m

L

r ( J L L

0 2

=1 m

m (r, t)

L

r ( J ) L

at sin

B L

at cos

A

0 1

m

) 1 ( m m

) 1 ( m m

àà

à

∑∞

=

+Với các hệ số khai triển Am , và B m đợc xác định theo (2.53) và (2.54)

điều kiện biên: u(r 0 , ϕ,t)= 0 và u(r,0,t)=u(r,ϕ0 ,t)=0

Điều kiện ban đầu: u(r,ϕ,0)=f(r, ϕ) và F( )r ,ϕ

t

u 0 t

=

∂

∂

=Hàm u(r,ϕ,t) đợc tìm dới dạng tích của các hàm V(r,ϕ) và T(t):

( )( )

T a T

λλ



Hàm V(r,ϕ) đợc tìm dới dạng tích của hai hàm: V(r,ϕ) =R(r)Y(ϕ)

theo điều kiện biên: u(r 0 ,ϕ,t)=0 ⇒ R(r 0 )=0

u(r,0,t)=u(r,ϕ0 ,t)=0 ⇒Y(0)=Y(ϕ0 )

27

thay V(r,ϕ) =R(r)Y(ϕ) vào phơng trình thứ hai của hệ (2.56) ta đợc hệ phơng

) (

Nghiệm riêng của phơng trình (2.55) với điều kiện biên đã cho là:

( ) ( )  

n L

at D

L

at C

t r u

n m n

n m mn

n m mn

mn

) ( )

( )

(

sin sin

cos )

, ,

( )

(

sin sin

cos

n m

n m n

n m mn

n m mn

L

r J

n L

at D

)(

)sin(

n m

n m n mn

L

r J

n

=f(r,ϕ) (2.59)

28

k l nÕu 0 d

) l sin(

)

k sin(

d ) l sin(

) n

sin(

0 0

0

0

0 0

ϕπϕ

ϕπϕ

ϕϕ

ϕ

πϕ

m

n mn

) (

µ ϕ µ

ϕ

ϕ

drd ) n sin(

L

r J

) , r ( rf J

L

4 C

L

0 0

n m n )

n ( m

2 1 n

2 0 mn

( )

( )

ϕ ϕ

µ ϕ µ

µ ϕ

ϕ

drd ) n sin(

L

r J

) , r ( rf J

La

4 D

L

0 0

n m n )

n ( m

2 1 n ) n ( m 0 mn

víi c¸c hÖ sè khai triÓn (2.60) vµ (2.61)

29

ơng 3 ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán

truyền nhiệt trong màng (trụ) tròn

u(x,y,z): Nhiệt độ của vật rắn.

Nếu vật không có nguồn nhiệt thì F(x,y,z)≡0 phơng trình (3.2) trở thành:

) z

u y

u x

u ( a t

u

2

2 2

2 2

2 2

∂

∂+

∂

∂+

Để giải bài toán truyền nhiệt ta cần phải xác định các điều kiện biên và

điều kiện ban đầu:

các diều kiện biện:

• Cho biết nhiệt độ đợc xác định trên biên của miền:

) t z , y , x ( f )

t z , y , x (

y

Hình 6: Biểu diễn khối chất

S z y x S

z y x S

z y

n

t z y x

) , , ( )

, ,

) , , ,

đối với biên bảo vệ, tức là biên cách nhiệt thì:

0

) , , ,

(

) , , ( )

, ,

n

t z y x

• Điều kiện biên hỗn hợp:

S z y x S

z y

t z y x hu n

t z y x

) , ,

) , , , ( )

, , , (

Trong toạ độ trụ phơng trình truyền nhiệt có dạng:

• Các điều biên: u(r 0 ,φ,z,t)=0; u(r,φ,0,t)=0; u(r,φ,L,t)=0.

• Điều kiện ban đầu: u t=0 = f(r,ϕ,z).

Chọn nghiệm dới dạng tách biến: u(r,φ,z,t)=R(r)Ф(φ)Z(z)T(t)

hai vế của (3.6) phụ thuộc vào các biến số độc lập, do đó:

( '' ϕ +βΦ ϕ =

vì hàm Ф(φ) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π, lí luận tơng tự nh phần giải phơng

trình truyền sóng ta suy ra đợc β phải là các số tự nhiên:

)]

r ( ' rR [ ) r ( R

⇔r 2 R’’(r)+rR’(r)+(σr 2 -n 2 )R(r)=0

thay x= σrvào phơng trình trên ta đợc phơng trình Bessel:

x2 R’’(x)+x.R’(x)+(x 2 -n 2 )R(x)=0 (3.11)phơng trình (3.11) là phơng trình Bessel cấp n, phơng trình có nghiệm:

32

R(r)=R nk (r)=δn J n r 0 . r

) n ( k

) z (

Z ''

hay Z '' ( z )+γZ ( z )=0 Giải phơng trình này ta đợc: Z(z)=Ccos( γ z)+Dsin( γ z)

theo điều kiện biên:

Z(0)= 0 ⇒ C= 0 Z(L)=0 ⇒ γ = m Lπ ⇒ ( )2

+

2 0

) n ( k

2 2 0

) n ( k 2

e ) t ( T ) t (

.Nghiệm tổng quát của phơng trình (3.3) có dạng:

2

2 ( )

2 0

0 n n Nếu 2

n n Nếu 0

d ) n cos(

).

n cos(

, ,

' 2

0

'

π

πϕ

ϕϕ

0

'

m m Nếu 2 L

m m Nếu

0 dz ) z L

m sin(

).

z L

m sin(

0 n Nếu 1

n

ε

III Các bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Tìm nhiệt độ của ống trụ dài vô hạn với tiết diện hình tròn, biết rằng nhiệt

độ của các điểm cách trục ống một khoảng nh nhau thì bằng nhau Bề mặt ống trụ luôn duy trì ở nhiệt độ bằng không và nhiệt độ ban đầu: u(r,0)=f(r).

Giải:

Vì các điểm cách trục ống một khoảng nh nhau thì có nhiệt độ bằng nhau,

và ống dài vô hạn nên hàm nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào bán kín r và thời gian t

u=u(r,t).

Phơng trình truyền nhiệt trong toạ độ trụ của hàm u(r,t) sẽ là:

2 2 2

• Điều kiện biên: u(r0 ,t)=0 (với r 0 là bán kính của ống trụ)

• Điều kiện ban đầu: u(r,0)=f(r)

Phân tích hàm u(r,t) thành tích của hai hàm R(r) và thời gian T(t)

( )

0( )

ằ h là Với r

)]

r ( ' rR [ ) r ( R

1 ) t ( T a

) t ( '

0( )1