Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LI NểI U Trong Vt lý-Toỏn sinh viờn mi lm quen vi mt s phng phỏp nh: phng phỏp tỏch bin, phng phỏp t bin ph gii cỏc bi toỏn truyn súng v truyn nhit thỡ vic chn h to v tỏch cỏc bin ph thuc vo hỡnh dng ca vt, nu vt l cú hỡnh dng tr hoc trũn thỡ ta gii bi toỏn h to tr s dn n phng phỏp gii l n gin nht Khi gii phng trỡnh truyn súng v phng trỡnh truyn nhit cú dng hỡnh trũn hoc hỡnh tr bng phng phỏp tỏch bin s dn n cỏc phng trỡnh vi phõn Bessel Quỏ trỡnh hc mụn Vt lý-Toỏn sinh viờn ó c lm quen vi mt s hm c bit nh: hm Lagrng, hm Bessel nhng vic tỡm hiu sõu vo tớnh cht, c im ca cỏc hm ny cũn rt hn ch vỡ thi gian ngn Quỏ trỡnh gii cỏc bi toỏn bờn cnh t vt lý cũn ũi hi sinh viờn k nng gii tớch toỏn hc c bit l vic gii cỏc phng trỡnh vi phõn, ú vic cng c v nõng cao k nng toỏn hc ca sinh viờn l rt quan trng Vỡ nhng lớ trờn tụi ó trn ti: NG DNG HM BESSEL GII CC BI TON TRUYN SểNG V TRUYN NHIT, hi vng khoỏ lun s giỳp sinh viờn ngnh Vt lý vic gii bi v phng trỡnh truyn súng v phng trỡnh truyn nhit Chỳng ta cú th gp cỏc bi toỏn ca phng trỡnh truyn súng v truyn nhit khụng gian nhiu chiu, ni dung ca mt khúa lun chỳng tụi ch xin gii thiu mt s bi toỏn xột khụng gian hai chiu v ba chiu Bng nhng kin thc v Vt lớ-toỏn, Gii tớchbng cỏch tỡm tũi v thu thp cỏc ti liu tụi ó hon thnh khúa lun ny vi ni dung chớnh nh sau: Chng I: Tng quan hm Bessel Chng II: ng dng hm Bessel gii phng trỡnh truyn súng mng trũn (tr) Chng III: ng dng hm Bessel gii phng trỡnh truyn nhit mng trũn (tr) Kt lun chung õy l giai on u ca ngi mi s lm nghiờn cu khoa hc vi kin thc cha c nhiu, kinh nghim cũn ớt v qu thi gian cú hn nờn chc chn khúa lun s khụng trỏnh nhng thiu sút, rt mong c s quan tõm, úng gúp ý kin cha cỏc thy cụ giỏo v ca cỏc bn sinh viờn khúa lun ny c hon chnh hn Cui cựng, tụi xin t lũng cm n sõu sc n thy giỏo Nguyn Tin Dng ó giỳp tụi rt nhiu c v kin thc, v phng phỏp v ti liu Xin chõn thnh cm n cỏc Thy giỏo, Cụ giỏo khoa Vt lý v bn bố ó giỳp tụi hon thnh tt khúa lun ny Vinh, thỏng nm 2009 Tỏc gi HONG VN THY Chơng I Tổng quan Hàm Bessel I- Phơng trình Bessel Quá trình giải toán tìm phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt phơng pháp tách biến đa ta đến toán giải phơng trình vi phân Trong ta thờng gặp phơng trình vi phân dạng: d dy (1.1) L ( y ) = p ( x ) + q ( x ) y = r ( x ) y dx dx với x [ a, b] Điều kiện biên điểm có dạng: dy (a) y ( a ) + =0 dx y (b) + dy (b) = dx (1.2) , , , số độc lập thoả nãm điều kiện: 12 + 22 32 + 42 Phơng trình (1.1) có chứa tham số Quá trình tìm tham số để phơng trình (1.1) có nghiệm không tầm thờng gọi toán trị riêng hay toàn Stum-Liouville Quá trình giải toán Stum-Liouville đa ta đến hàm đặc biệt Trong có hàm Bessel Trong giới hạn khoá luận xét tính chất ứng dụng hàm Bessel Xét toán Stum-Liouville (1.3) + = với p(x) = 1, q(x)= 0, r(x) =1 điều kiện biên toán : =0 Trong hệ toạ độ cầu: = r + sin + r r r r sin r sin ký hiệu: , = sin + Sin sin thay vào biểu thức (1.3) ta đợc: = r + , r r r r Hàm ( r , , ) đợc tìm dới dạng tích hàm: ( r , , ) = R ( r ) Y ( , ) thay vào biểu thức (1.4) ta đợc: 1 = ( r R ' )' Y + R , Y r r (1.4) Phơng trình (1.3) đợc viết lại: 1 = (r R ' ) ' Y + R , Y + RY = r r ((r R ' )' + r R )Y = R , Y Y (r R ' ) ' + r R = , R Y (1.5) Vế trái (1.5) phụ thuộc r, vế phải phụ thuộc vào , Do để (1.5) xảy hai vế (1.5) số , Y + àY = Do đó: ' ' (1.6) r R + R = r r2 R Đặt x = r y = phơng trình (1.7) đa phơng trình: x ( ) ' y + y + (1 ) y = x x '' với = (1.7) Phơng trình (1.7) gọi phơng trình Bessel cấp II Hàm Bessel Giải phơng trình Bessel: ' y + y + (1 ) y = x x '' (1.8) x y '' + xy ' + ( x ) y = Giải phơng trình (1.8) ta dùng phơng pháp chuỗi luỹ thừa, nghiệm đợc tìm dới dạng chuỗi luỹ thừa vô hạn: y ( x ) = x (a0 + a1 x + a2 x + + ak x k + ) với a0 (1.9) Thay chuỗi vô hạn (1.9) vào phơng trình (1.8) ta đợc: ( [ ] ) a0 x + ( + 1) a1 x +1 + {[ ] } + ( + k ) ak + ak x + k = k =2 Chuỗi (1.10) x khi: (1.10) a0 ( ) = 2 ( + 1) a1 = 2 ( ) + k ak + a k = [ ] [ ] (1.11) Với k = 2,3 Vì a nên từ phơng trình đầu hệ phơng trình (1.11) suy = Nếu = từ phơng trình sau (1.11) ta đợc: a1 = ak = ak k ( + k ) Do hệ số có số lẻ có giái trị Ta tìm hệ số chẵn ak với k =2n (n=1,2,3 ) k = (n = 1) a2 = k = (n = 2) a4 = a0 ( + 1)1! a2 a a0 = 2 = 4(2 + 4) ( + 2) 2! ( + 1)( + 2) 2! k = ( n = 3) a = a4 a4 a0 = = 6(2 + ) 2( + ) 3! ( + 1)( + )( + ) 3! tổng quát với số hạng k =2n : a0 ( 1) = 2n ( + 1)( + )( + ) ( + n ) n! n a2 n Nếu chọn: a0 = với ( ) hàm Gama, ta đợc: ( + 1) n ( 1) a2 n = n+ ( + 1)( + 2)( + ) ( + n ) n! ( + 1) Theo tính chất hàm Gamma: ( + 1)( + 2)( + ) ( + n ) n! ( + 1) = ( + n + 1) đó: a2 n = ( 1) n 2 n + n! ( + n + 1) Thay giá trị a2n a2n+1 vào chuỗi (1.9) ta nhận đợc nghiệm riêng phơng trình (1.8): n + ( 1) x J ( x ) = n = n! ( n + + 1) n J ( x ) gọi hàm Bessel loại cấp Nếu = thay - nghiệm thứ phơng trình (1.8) đợc tìm cách n ( 1) x J ( x ) = n = n! ( n + 1) Các giá trị nguyên không nguyên Giá trị cho ta mối quan hệ J ( x ) J ( x ) Nếu nhận giá trị không nguyên, ta thấy rằng: Khi x thì: J ( x ) J ( x ) J ( x ) J ( x ) độc lập tuyến tính Vì nghiệm phơng trình Bessel (1.8) là: y ( x ) = C1 J ( x ) + C2 J ( x ) với C1, C2 số tuỳ ý Nếu số nguyên, tính chất tơng tự J ( x ) J ( x ) nên ta xét với số nguyên dơng n Khi (- +n+1) nhận giá trị âm với n < , vậy: ( + n + 1) = với n = 0,1,2,-1 n số hạng khai triển hàm J ( x ) suy ra: J ( x ) = n = ( 1) n x n (1.12) n! ( n + 1) Nếu đặt l = n- ta có: l + x ( ) J ( x ) = l = (l + )! ( l + 1) +l l + x ( ) hay J ( x) = = (1) J ( x) ( l + + 1) l! l =0 nh J ( x ) J ( x ) phụ thuộc tuyến tính J ( x ) cos( ) J ( x ) Ta đa vào hàm: ( x ) = gọi hàm Bessel loại sin( ) Khi số nguyên dơng k thì: +l J ( x ) cos( ) J ( x ) sin( ) ( x ) nghiệm riêng phơng trình (1.8) độc lập tuyến tính với J ( x ) Do nghiệm (1.8) trờng hợp nguyên dơng là: ( x ) = lim k y(x)=C1 J (x)+C2 ( x ) với C1, C2 số tuỳ ý III Các tính chất hàm Bessel Tính chất truy hồi J ' ( x ) = J ( x ) J ( x ) ; x J ' ( x ) = J +1 ( x ) + ' ( x ) = x x ( ) x ( ) J ( x ) ; x (1.13.a) ' ( x ) = x ) + ( x ) (1.13.b) ( +1 x 2 J ( x ) J ( x ) ; x ) = ( x ) x (1.13.c) ( +1 ( ) x x Chúng ta dễ dàng chứng minh tính chất Ví dụ công thức (1.13.a) ta có: n ( d d 1) x + n x J ( x ) = = dx dx n=0 n! ( n + + 1) + n n ( 1) (2 + 2n) x + n = + n n = n! ( n + + 1) J +1 ( x ) = ( ) + n ( 1) x =x = x J ( x ) n = n!( n + ) [ ] d x J ( x ) = x J ( x ) + x J ' ( x ) dx nên ta có: x J ( x ) = x J ( x ) + x J ' ( x ) J ( x ) = J ( x ) + J ' ( x ) x J' ( x ) = J ( x ) J ( x ) x Theo chứng minh thay - thì: ' Mặt khác: J ( x ) = J ( x ) + nhân x J ( x ) (*) (**) cos( ) vào hai vế phơng trình (*) nhân vào hai vế phsin( ) sin( ) ơng trình (**), tiến hành trừ vế hai phơng trình trên, ta đợc: cos ( ) J ' ( x ) J ' ( x ) = sin ( ) sin ( ) cos ( ) J ( x ) J ( x ) cos ( ) J ( x ) J ( x ) = sin sin x sin sin ( ) ( ) ( ) ( ) (***) ' ( x ) = ( x ) ( x ) x Từ (*) (***) ta suy điều phải chứng minh Các tính chất lại đợc chứng minh tơng tự Tính trực giao hàm Bessel Nếu , , n nghiệm dơng (thực) phơng trình J ( x ) = x Thì hàm J i lập thành họ trực giao với trọng số x đoạn [0,L], L tức là: i j x x xJ i L J j L dx = L2 J' (à I ) = L2 J2+1 (à I ) i = j 2 L Thật vậy: Do J ( x ) nghiệm phơng trình Bessel (1.8) nên J ( kx ) nghiệm phơng trình Bessel (1.8) với k số thực d dJ ( kx ) x + k x J ( kx ) = dx dx x Vì ta có: Do với giá trị k1, k2 thì: d dJ ( k1 x ) x + k2 x J ( k1 x ) = dx dx x (1.14) d dJ ( k x ) x + k2 x J ( k2 x ) = dx dx x (1.15) Nhân J ( k x ) vào (1.14), nhân J ( k1 x ) vào (1.15) trừ hai vế hai phơng trình, ta đợc: (k k 22 ) xJ ( k1 x ) J ( k x ) dx = dJ ( k x ) dJ ( k x ) d xJ ( k x ) xJ ( k1 x ) dx dx dx lấy tích phân từ L phơng trình trên: ( k12 k22 ) xJ ( k1x ) J ( k2 x ) dx = L k1J ( k2L ) J' ( k1L ) k2J ( k1L ) J' ( k2L ) L (1.16) Gọi , j hai nghiệm dơng phơng trình J ( x ) = , (1.16) lấy k1= ài k2= j ta đợc: L L ài J ( k1 L ) = J L = J ( i ) = L J ( k L ) = J j L = J ( ) = j L nên vế phải phơng trình (1.16) Nếu i j tức ài j k k2 L xJ ( k x ).J ( k x ).dx = Từ phơng trình (1.16) suy ra: Nếu i=j.Trong phơng trình (1.16) ta xem k1 số (cho trớc) k2 biến số Phơng trình (1.16) đợc viết lại: Lk1 J ( k1 L ) J' ( k1L ) xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = k22 k12 L (1.17) k2 k1 ta đợc: lim k2 k1 Lk1 J ( k2 L ) J' ( k1 L ) L2 k1 J' ( k L ) J' ( k1 L ) L2 ' = lim k2 k1 = J ( k1 L ) k 22 k12 2k 2 (vì biểu thức tính giới hạn có dạng LHospital) , nên giới hạn đợc tìm theo quy tắc L Do đó: L2 ' xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = J ( k1 L ) L2 ' xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = J ( ài ) 0 i j L x x xJ ài L J j L dx = L2 J ' (à ) = L2 J (à ) i = j I +1 I 2 L nh vậy: (vì theo tính chất truy hồi J ' ( i ) = J +1 ( i ) Một số trờng hợp riêng hàm Bessel Các hàm Bessel thờng gặp Vật lí toán hàm J ( x ) , J ( x ) , ( x ) hàm bán nguyên J n+ ( x ) Hàm Bessel cấp cấp đợc khai triển dới dạng chuỗi vô hạn: 2k x2 x4 x6 x k J0 ( x) = + 2 2 + + ( 1) + 2 4 ( k!) 2k x x2 x4 x6 k x J1 ( x ) = (1 + + + ( ) ữ + 2.4 2.42.6 2.42.6.28 k !( k + 1)! Từ công thức truy hồi J +1 ( x ) = J ( x ) J ( x ) , hàm J ( x ) , J ( x ) có x thể đợc tìm từ J ( x ) , J ( x ) Đồ thị biểu diễn hàm J0(x), J1(x), J2(x) Hình y J ( x) J ( x) x Hình 1: Đồ10 thị số hàm Bessel Bessel Hình 1: Đồ thị số hàm k l n 0 k Do sin(n ) sin(l )d = sin( ) sin(l )d = 0 l = k = n Nên ta nhân sin(l) vào (2.59) lấy tích phân từ 0 f ( r , ) sin( n, ) = m( n ) r C mn J n L m =1 theo tính chất trực giao hàm Bessel, ta tính đợc: C mn = m( n ) r sin(n )drd rf ( r , ) J n L L L2 J n2+1 ( m( n ) ) (2.60) Tơng tự: D mn L m( n ) r sin( n )drd = rf ( r , ) J n Laà m( n ) J n2+1 ( m( n ) ) 0 L (2.61) Vậy phơng trình dao động màng tròn hình quạt đợc biểu diễn (2.58) với hệ số khai triển (2.60) (2.61) 29 ứng dụng hàm Bessel giải toán truyền nhiệt màng (trụ) tròn Chơng 1.Bài toán Một khối chất hình trụ có nhiệt độ ban đầu đó, đợc đặt tiếp xúc với nguồn nhiệt Khi có trao đổi nhiệt khối chất nguồn nhiệt z y x Phơng trình truyền nhiệt: u Hình 6:uBiểu khối u chất u diễn (3.1) c = ữ+ ữ+ ữ+ F ( x , y, z, t ) t x x y y z z phơng trình (3.1) phơng trình truyền nhiệt vật đẳng hớng không đồng chất, đó: C: nhiệt dung (x,y,z): Mật độ khối lợng k(x,y,z): Hệ số dẫn nhiệt vật rắn F(x,y,z): mật độ nguồn nhiệt u(x,y,z): Nhiệt độ vật rắn Nếu vật đồng chất c, , k số thì(3.1) có dạng u 2u 2u u (3.2) = a ( + + ) + f ( x, y, z, t ) t x y z đó: k gọi hệ số truyền nhiệt c F ( x , y , z) f(x,y,z)= c a2 = Nếu vật nguồn nhiệt F(x,y,z)0 phơng trình (3.2) trở thành: u 2u 2u u =a ( + + 2) t x y z Để giải toán truyền nhiệt ta cần phải xác định điều kiện biên điều kiện ban đầu: diều kiện biện: Cho biết nhiệt độ đợc xác định biên miền: u( x , y , z ,t ) ( x , y ,z )S = f ( x , y , z ,t ) Cho biết dòng nhiệt qua biên đợc xác định rõ biên miền: 30 u ( x, y, z, t ) n ( x , y , z )S = gradu.n ( x , y , z )S = f ( x, y, z ) ( x , y , z )S biên bảo vệ, tức biên cách nhiệt thì: u ( x, y, z , t ) n ( x , y , z )S = gradu.n ( x , y , z )S = Điều kiện biên hỗn hợp: đó: u ( x, y, z , t ) + hu ( x, y, z , t ) ( x , y , z )S = f ( x, y, z , t ) ( x , y , z )S n h số không âm (h0) f3 dòng nhiệt đợc xác định II- Phơng pháp giải: Tìm nhiệt độ ống trụ tròn, dài hữu hạn, có bán kính r (0rr0; 02; z L) Nếu nhiệt độ ban đầu có dạng u t = = f (r , , z ) , biết mặt trụ trì nhiệt độ không Trong toạ độ trụ phơng trình truyền nhiệt có dạng: u u u 2u =a [ (r ) + + ] t r r r r z Các điều biên: u(r0,,z,t)=0; u(r,,0,t)=0; u(r,,L,t)=0 Điều kiện ban đầu: u t = = f (r , , z ) Chọn nghiệm dới dạng tách biến: u(r,,z,t)=R(r)()Z(z)T(t) thay vào phơng trình (3.3) ta đợc: (3.3) T '(t ) [rR '(r )]' '' ( ) Z '' ( z ) (3.4) = + + a 2T (t ) R(r ) r r ( ) Z ( z ) vế trái (3.4) hàm phụ thuộc vào thời gian, vế phải hàm phụ thuộc vào toạ độ Nh để (3.4) xảy hai phải số- Phơng trình (3.4) dẫn đến hai phơng trình tơng đơng: [ rR '( r )]' '' ( ) Z '' ( z ) + + = r r ( ) Z ( z ) R (r ) T'(t)+ a 2T(t)=0 Từ điều kiện biên ta thấy rằng: Z(0)= Z(L) = R(r0) = Ta xét phơng trình thứ hệ phơng trình (3.5): [rR '(r )]' '' ( ) Z '' ( z ) + = R (r ) r r ( ) Z ( z) 31 (3.5) (3.6) hai vế (3.6) phụ thuộc vào biến số độc lập, đó: Z '' ( z) Z ( z) = Với hằ ng số (3.7) ' '' [ rR '( r )] ( ) + = + = R (r ) r r ( ) Biến đổi phơg trình thứ hai hệ phơng trình (3.7) ta đợc: '' ( ) ' (3.8) [rR '(r )] r + r = R (r ) ( ) hai vế (3.8) phụ thuộc vào biến số độc lập, đó: '' ( ) ( ) = Với hằ ng số (3.9) ' [ rR '( r )] = R (r ) r r Xét phơng trình thứ hệ phơng trình (3.9): (3.10) '' ( ) + ( ) = hàm () hàm tuần hoàn với chu kì 2, lí luận tơng tự nh phần giải phơng trình truyền sóng ta suy đợc phải số tự nhiên: = n = 0,1,2,3,4,5, Nghiệm phơng trình (3.10) là: ()=Acos(n)+Bsin(n) Xét phơng trình thứ hai hệ phơng trình hệ (3.9): [ rR' ( r )]' = R (r ) r r r2R(r)+rR(r)+(r2-n2)R(r)=0 thay x= r vào phơng trình ta đợc phơng trình Bessel: x2R(x)+x.R(x)+(x2-n2)R(x)=0 (3.11) phơng trình (3.11) phơng trình Bessel cấp n, phơng trình có nghiệm: R(x)=nJn(x)+nn(x) Kết hợp với điều kiện: R < n = (Vì hàm n(0) ) nên R(x)=nJn(x) Theo điều kiện ban đầu: R(r0)=nJn( r0)= = nk nghiệm phơng trình thứ hai hệ (3.9) là: 32 k( n ) = r0 , nh k( n ) R(r)=Rnk(r)=nJn r r Xét phơng trình thứ hệ phơng trình (3.7): Z '' ( z ) = hay Z '' ( z) + Z ( z) = Z ( z) Giải phơng trình ta đợc: Z(z)=Ccos( z)+Dsin( z) theo điều kiện biên: Z(0)= C= m m ) Z(L)=0 = =( L L đó: m = 0, 1, 2, Vậy nghiệm thứ hệ phơng trình (3.7)là: Z(z) = Dsin( m k( n ) ) + Ta có: =+ = ( L r0 phơng trình T'(t)+ a T(t)=0 có nghiệm: m z) L 2 T (t ) = Tnk (t ) = e (n) m k + L r0 a 2t Nghiệm tổng quát phơng trình (3.3) có dạng: u(r, , z, t ) = 2 (n) m + k ữ a2 t ữ L r0 ữ àk( n ) m z = Jn ( r )( Amnk cos(n ) + Bmnk sin(n ) sin( )e r0 L m =1 n , k = (3.12) áp dụng tính trực giao hàm lợng giác: Nếu n n' ' , cos( n ) cos( n ) d = Nếu n = n = 0 , Nếu n = n Nếu m m , m m sin( L z) sin( L z).dz = L Nếu m = m , Do tính chất trực giao hàm Bessel, lí luận tơng tự theo phần phơng trình sóng màng, ta tính đợc hệ số khai triển: Nhân cos(n) vào (3.12) với t = 0, lấy tích phân ta đợc: Amnk = ' n Lr02 J n +1 ( àk( n ) ) r0 L rf (r, , z)cos(n )sin( 0 33 m z ( n) ) J n ( k r )drd dz (3.13) L r0 (với n=n) Nhân sin(n) vào (3.12) với t = 0, lấy tích phân ta đợc: Bmnk = r0 L Lr02 J n +1 ( àk( n ) ) rf (r, , z)sin(n )sin( 0 m z (n) ) J n ( k r )drd dz (3.14) L r0 (với n=n) Nếu n = Nếu n với n = III Các tập áp dụng Bài tập 1: Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn với tiết diện hình tròn, biết nhiệt độ điểm cách trục ống khoảng nh Bề mặt ống trụ trì nhiệt độ không nhiệt độ ban đầu: u(r,0)=f(r) Giải: Vì điểm cách trục ống khoảng nh có nhiệt độ nhau, ống dài vô hạn nên hàm nhiệt độ phụ thuộc vào bán kín r thời gian t u=u(r,t) Phơng trình truyền nhiệt toạ độ trụ hàm u(r,t) là: u u u (3.15) = a2 ( + ) t r r r hàm nhiệt độ ống trụ nghiệm phơng trình (3.15) thoả mãn điều kiện: Điều kiện biên: u(r0,t)=0 (với r0 bán kính ống trụ) Điều kiện ban đầu: u(r,0)=f(r) Phân tích hàm u(r,t) thành tích hai hàm R(r) thời gian T(t) u (r,t)=R(r)T(t) nhiệt độ không phụ thuộc vào z, góc nên: Z '' ( z) Z ( z) = = '' ( ) = = ( ) Thay (3.16) vào phơng trình (3.15) ta đợc hệ phơng trình: T' (t ) [ rR' (r )]' = = Với hằ ng số r a T (t ) R ( r ) T ' + a2 T = phơng trình hệ: rR ' (r ) ' = r R (r ) 34 (3.16) (3.17) Xét phơng trình thứ hai hệ phơng trình (3.17), phơng trình Bessel cấp không: x2R(x)+xR(x)+x2R(x)=0 Với x= r nghiệm phơng trình: R(r)=J0( r )+0( r ) tính chất hữu hạn nghiệm nên = Vậy hàm R(r) đợc xác định: R(r)=J0( r ) kết hợp (3.16) điều kiện biên, suy ra: u(r0,t)= R(r0)T(t)=0 R(r0)=0 Khi đặt = R(r)=J0( r ) (0) (0) áp dụng điều kiện biên: R (r0 ) = J (r0 ) = k = k nên R(r)=J0( k r ) r0 r0 Phơng trình T ' + a T = có nghiệm: T(t)=Tk(t)= e k2 a 2t với k=1,2,3 Vậy nghiệm riêng phơng trình (3.15) là: 2 uk (r , t ) = J (k r )e k a t Nghiệm tổng quát: u( r, t ) = Ak J (k r )e a t 2 k (3.18) k =1 áp dụng điều kiện ban đầu: u(r,0) = Ak J ( k r ) = f (r ) k =1 theo tính trực giao hàm Bessel, hệ số khai triển đợc tính theo công thức: r Ak = 2 (3.19) rf (r ) J0 (0 r )dr r0 J1 (k ro ) Nhiệt độ điểm ống trụ đợc xác định theo (3.18) với hệ số khai triển đợc xác định theo (3.19) Bài tập 2: Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn có bán kín r0 (0rr0; 02), nhiệt độ ban đầu có dạng u t =0 = f (r , ) biết nhiệt độ bề mặt hình trụ đợc trì nhiệt độ không Giải: Vì ống trụ dài vô hạn nên nhiệt độ không phụ thuộc vào z Phơng trình xác định nhiệt độ: 35 u u 2u (3.20) =a [ (r ) + ] t r r r r nhiệt độ ống trụ đợc xác định giải phơng trình (3.20) với điều kiện biên: u(r0,,t)= Và điều kiện ban đầu: u t =0 = f (r , ) hàm u(r,,t) dới dạng tích hàm R(r), (), T(t) u(r,,t) =R(r)()T(t) (3.21) '' Z ( z) Vì nhiệt độ không phụ thuộc vào z nên: = = Z ( z) Thay (3.21) vào (3.20) ta đợc: T ' (t ) [ rR ' ( r )]' '' ( ) = + = a 2T (t ) R (r ) r r ( ) Do = áp dụng công thức nghiệm (3.12) Ta có nghiệm phơng trình (3.20) là: u( r, , t ) = J n ( k =0 n=0 r )( Ank cos(n ) + Bnk sin(n ))e r0 (n) k à( n) k ữ a2 t r ữ (3.22) Điều kiện ban đầu: u t = = f (r, ) f ( r, ) = (3.23) k( n ) r )( Ank cos(n ) + Bnk sin( n ) r0 k =0 n=0 Nhân cos(n) vào (3.23) lấy tích phân ta đợc: r n k( n ) Ank = r )drd (3.24) rf (r , )cos( n ) J n ( r0 r02 Jn +1 ( k( n ) ) 0 Nhân sin(n) vào (3.23) lấy tích phân ta đợc: r k( n ) Bnk = r )drd (3.25) rf ( r , )sin( n ) J n ( r0 r02 J n+1 ( k( n ) ) 0 Vậy nhiệt độ ống trụ dài vô hạn đợc cho toán biểu diễn (3.22) với hệ số khai triển đợc tính theo (3.23) (3.25) = J n ( 0 Bài tập 3: Tìm nhiệt độ ống quạt trụ dài vô hạn có mặt cắt hình quạt vơi bán kín r0(0R(r0)=0 u(r,0,t)=u(r,0,t)=0 => (0)=(0)=0 Xét phơng trình: '' ( ) + n ( ) = phơng trình có nghiệm: ()=Acos(n)+Bsin(n) áp dụng điều kiện biên (0) = A = 37 k 2 Xét phơng trình: x R (x)+x.R (x)+(x -n )R(x)=0 phơng trình Bessel cấp n, phơng trình có nghiệm: (0)=0 sin(n0)=0 n = R(r)=nJn( r )+nn( r ) tính chất giới hạn nghiệm nên n=0 nên R(r)=n Jn( r ) áp dụng điều kiện biên: R(r0)=n Jn( r0 )=0 gọi àm( n ) nghiệm phơng trình Jn(x)=0 (n) = nm = ( rm ) đó: (n) R(r)=n Jn( rm r ) Với trị riêng nm phơng trình thứ hai hệ phơng trình (3.27) có à(n) m r0 nghiệm riêng: a t T (t ) = Tnk (t ) = e nghiệm riêng phơng trình (3.26): m m( n ) n r unk(r,,t)=sin( )Jn( r ) e r0 (n) a t Với n = nghiệm tổng quát: ( àm( n ) m ) J m ( r ).e u(r,,t)= Amk sin( r0 m , k =1 k àm( n ) a ) t r0 (3.28) Điều kiện ban đầu u nhân sin( m( n ) m ) J m ( r ) = f (r , ) = Amk sin( r m , k =1 0 t =0 (3.29) m ) vào hai vế phơng trình (3.29) lấy tích phân từ 02 ta đợc: àm( n ) m Amk J m ( r ) f (r , ).sin( ).d = r0 k =1 theo tính trực giao hàm Bessel suy ra: r M( n ) r m Amk = J m ữdrd rf ( r , )sin r (3.30) 0 r02 J m ( m( n ) ) +1 Vậy nhiệt độ ống trụ đợc biểu diễn (3.28) với hệ số khai triển (3.30) 0 38 Bài tập 4: Tìm nhiệt độ hình trụ tròn dài vô hạn, biết mặt xung quanh đợc giữ nhiệt độ không đổi u0 nhiệt độ ban đầu hình trụ u t =0 = f (r , ) Giải: Hàm biểu diễn nhiệt độ hàm phụ thuộc vào r, t u=u(r,,t) Phơng trình truyền nhiệt: u u 2u =a [ (r ) + ] t r r r r hàm u(r,,t) đợc tìm phơng trình (3.31) phải thoả mãn: Điều kiện biên: u(r0,,t) =u0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = f (r , ) (3.31) Vì mặt xung quanh đợc giữ nhiệt độ u0, nên nhiệt độ hình trụ phân tích thành: u(r,,t)=w(r,,t)+u0 hàm w(r,,t) thoả mãn phơng trình: w w 2w (3.32) =a [ (r )+ ] t r r r r điều kiện biên: w(r0,,t) =0 điều kiện ban đầu: u t = = f ( r , ) u0 Phơng trình (3.32) đợc giải tơng tự nh tập 2, nghiệm phơng trình là: w(r , , t ) = J n ( k =0 n = r )( Ank cos( n ) + Bnk sin( n ))e r0 (n) k à( n) k ữ a t r0 ữ với hệ số khai triển đợc xác định theo biểu thức: r n k( n ) Ank = r ( f (r, ) u0 ) cos(n ) J n ( r )drd r0 r02 [ J n+1 ( k( n ) ) ] 0 r0 2 Bnk = r02 [ J n+1 ( k( n ) ) ] Vậy nhiệt độ ống trụ là: u(r,,t)= J k = n =0 n ( k( n ) 0 r ( f (r, ) u0 ) sin(n ) J n ( r0 r)drd r )( Ank cos( n ) + Bnk sin(n ))e r0 (n) k Bài tập 5: 39 à(n) k r0 ữ a t ữ + u0 Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn bán kính r nhiệt độ ống trụ hàm phụ thuộc vào bán kính r thời gian t Biết bề mặt ống trụ đợc cách nhiệt Và nhiệt độ ban đầu ống trụ: u t = = f (r ) Giải: Phơng trình truyền nhiệt trờng hợp là: u u = a2[ (r )] t r r r (3.33) toán đợc giải với điều kiện biên: u (r , t ) r r = r0 =0 điều kiện ban đầu: u t = = f (r ) hàm nhiệt độ ống trụ dới dạng tích hai hàm: u(r,t)=R(r)T(t) theo điều kiện biên: u (r , t ) r r = r0 = dR dr r = r0 =0 Thay u(r,t)=R(r)T(t) vào (3.33) ta đợc: T' (t ) [ rR' (r )]' = = r a T (t ) R ( r ) Với hằ ng số ta có phơng trình tơng đơng: [rR '(r )]' = r R (r ) T'(t)+ a 2T(t)=0 (3.34) Phơng trình thứ hệ phơng trình (3.34) dẫn đến phơng trình Bessel cấp không: xR(x)+R(x)+xR(x)=0 (Với: x= r ) (3.35) áp dụng tính chất hữu hạn nghiệm, ta tìm đợc nghiệm (3.35) là: R(r)= J0( r ) Từ điều kiện biên công thức truy hồi hàm Bessel ta có: dR dr r = r0 = J0( r )=0 J1( r )=0 = n = ( àn(1) ) r0 40 àn(1) n(1) ) Nh vậy: R(r)= J0( r r ) với trị riêng: = n = ( r0 phơng trình T(t)+a T(t)=0 có nghiệm: T (t ) = T (t ) = e n ( àn(1) 2 ) a t r0 Nghiệm riêng phơng trình (3.35) với điều kiện biên cho là: un(r,t)=J0( n(1) 2 n(1) r ) ( r0 ) a t r0 e (1) ( Nghiệm tổng quát: u(r,t)= An J0 ( àn r )e r0 n =1 u r (3.36) àn(1) 2 ) a t r0 (3.37) àn(1) àn(1) = An J1 ( r) r0 r0 n =1 t =0 Theo điều kiện ban đầu: u r df (r ) =f(r) dr Hệ số khai triển đợc tính: t =0 = r n(1) r An = f '( r ) J ữrdr r0 àn(1) J 22 ( n(1) ) r0 (3.38) Vậy nhiệt độ ống trụ đợc tính theo biểu thức (3.36) với hệ số khai triển (3.38) 41 KT LUN CHUNG Trong khuụn kh khoỏ lun tt nghip ng dng hm Bessel gii cỏc bi toỏn truyn súng v truyn nhit, chỳng tụi ó trỡnh by cỏc sau õy: t bi toỏn v thit thit lp phng trỡnh Bessel Tỡm hiu cỏc tớnh cht ca hm Bessel t cỏc bi toỏn tng quỏt truyn súng v truyn nhit cú dng hỡnh trũn hoc hỡnh tr Thụng qua vic ỏp dng Hm Bessel gii cỏc phng trỡnh truyn súng v truyn nhit c th, ta cú th khỏi quỏt cỏc bi thnh hai dng: Dng 1: Bi toỏn cú iu kin biờn bng khụng Dng 2: Bi toỏn cú iu kin biờn khỏc khụng i vi cỏc bi toỏn dng vic ỏp dng Hm Bessel l rt n gin Cỏc bi toỏn dng thỡ phc hn v phi lu ý n quỏ trỡnh ly nghim ca cỏc hm Bessel theo iu kin biờn Trong quỏ trỡnh gii cn lu ý ti tớnh cht trc giao ca cỏc hm lng giỏc, cỏc hm Besselv khai trin chui Fuorier gii cỏc bi toỏn ó nờu khúa lun v cỏc bi toỏn khỏc, thỡ vic sing viờn nm vng phng phỏp tỏch bin l rt quan trng Trong cỏc bi c trỡnh by trờn õy ch yu l vic ta dựng phng phỏp tỏch bin i n cỏc phng trỡnh Bessel Trờn õy chỳng tụi ó trỡnh by s qua v hm Bessel v vic ỏp dng hm Bessel gii mt s bi n gin i vi mng trũn v ng tr, ngoi phng phỏp ny cũn cú th ỏp dng vi cỏc iu kin biờn phc hn v cỏc mng dao ng cú hỡnh dng phc hn Nhng iu kin thi gian v phm vi khúa lun, khụng th xột ht tt c cỏc trng hp Tỏc gi mong mun cú thi gian v iu kin cú th khai thỏc thờm vic s dng phng phỏp ny 42 TI LI U THAM KH O Phan Huy Thin: Phng trỡnh Toỏn Lý, NXB Giỏo Dc ỡnh Thanh: Phng phỏp Toỏn-Lý, NXB i hc Quc Gia, H Ni 1996 Nguyn ỡnh Trớ, Nguyn Trng Thỏi: Phng trỡnh Vt Lý-Toỏn, NXB i hc v trung hc chuyờn nghip, H Ni, 1976 Nguyn Tha Hp: Giỏo trỡnh phng trỡnh o hm riờng, NXB i hc Quc Gia H Nụi, 2001 Mnh Tun Hựng: Phng phỏp Toỏn-L ý, t sỏch Trng i Hc Vinh, 2000 Nguyờn Vn Hựng, Lờ Vn Tr c: Phng Phỏp Toỏn Cho Vt Lý, NXB i Hc Quc Gia H Ni, 2000 43 [...]... màng tròn hình quạt đợc biểu diễn bởi (2.58) với các hệ số khai triển (2.60) và (2.61) 29 ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán truyền nhiệt trong màng (trụ) tròn Chơng 3 1 .Bài toán Một khối chất hình trụ có nhiệt độ ban đầu nào đó, đợc đặt tiếp xúc với các nguồn nhiệt Khi đó sẽ có sự trao đổi nhiệt giữa khối chất và nguồn nhiệt z y 0 x Phơng trình truyền nhiệt: u Hình 6:uBiểu khối u chất u diễn... hàm Bessel bán nguyên Hình 2 = 11 y J 1 ( x) 2 J 3 ( x) 2 J 5 ( x) 2 x Hình 2: Đồ thị của một số hàm Bessel bán nguyên 4 Khai triển một hàm tuỳ ý vào các hàm Bessel x Các hàm Bessel J ( à i ) i=1,2,3 Trực giao và chuẩn hoá trên [ 0, L ] L x L Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel J ( à i ) với hệ số khai x f ( x ) = ai J ( ài ) Với > 1 và x [ 0, L ] i =1 L triển ai là: (1.18) các. .. và j có vai trò nh nhau nên hệ số khai triển ai trong (1.18) là: ai = 2 '2 LJ 2 L xf ( x ) J à (à ) i 0 i x ữdx L (1.20) Nh vậy có thể khai triển một hàm bất kí thành tổng vô hạn của các hàm Bessel với hệ số khai triển đợc tính theo (1.20) 13 Chơng 2 ứng dụng hàm Bessel để giải các bài toán truyền sóng trong màng tròn I Bài toán Một màng tròn mỏng đợc căng ra trên một mặt phẳng Oxy, dới tác dụng. .. trì ở nhiệt độ bằng không và nhiệt độ ban đầu: u(r,0)=f(r) Giải: Vì các điểm cách trục ống một khoảng nh nhau thì có nhiệt độ bằng nhau, và ống dài vô hạn nên hàm nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào bán kín r và thời gian t u=u(r,t) Phơng trình truyền nhiệt trong toạ độ trụ của hàm u(r,t) sẽ là: u 2 u 1 u (3.15) = a2 ( 2 + ) t r r r hàm nhiệt độ của ống trụ là nghiệm của phơng trình (3.15) thoả mãn các điều... (2.4) và điều kiện ban đầu (2.6), (2.7) đợc giải trọn vẹn III Các bài tập áp dụng Bài tập 1: 19 Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt, gây bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm Điều kiện ban đầu có dạng: u(r,0)=f(r); và u = F( r ) t t =0 Giải: Phơng trình dao động của màng: 2u 2 (2.30) a u = 2 t Vì các kích thích ban đầu cho ta độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng... với các kích thích ban đầu đối xứng xuyên tâm đợc biểu diễn bởi công thức (2.37) với các hệ số đợc xác định theo (2.38) và (2.39) Bài tập 2: 21 Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt độ r2 lệch ban đầu có dạng Parapol tròn xoay: u(r,0)=f(r)=A 1 2 và vận tốc ban L đầu bằng không Giải: Phơng trình dao động của màng: U(r,t) 2u a u = 2 t Theo lí luận ở bài tập 1, hàm sóng. .. động của màng (tròn) là việc tìm nghiệm của hơng trình (2.1) thoả mãn các điều kiện biên (2.4) hoặc (2.5) và các điều kiện ban đầu (2.6) và (2.7) II Phơng pháp giải bài toán Xét dao động của màng tròn bán kính L, mép gắn chặt Chúng ta đi giải phơng trình sau: 2u 2u 1 2u + = x 2 y 2 a2 t 2 thoả mãn các điều kiên biên (2.4) và các điều kiện ban đầu (2.6), (2.7) Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là... f(x,y,z)= c a2 = Nếu vật không có nguồn nhiệt thì F(x,y,z)0 phơng trình (3.2) trở thành: 2 u 2u 2u 2 u =a ( 2 + 2 + 2) t x y z Để giải bài toán truyền nhiệt ta cần phải xác định các điều kiện biên và điều kiện ban đầu: các diều kiện biện: Cho biết nhiệt độ đợc xác định trên biên của miền: u( x , y , z ,t ) ( x , y ,z )S = f 1 ( x , y , z ,t ) Cho biết dòng nhiệt đi qua biên đợc xác định rõ trên... ) + B m sin ) J0 ( L L L và nghiệm tổng quát của (2.31) là: à ( 0 ) at à ( 0 ) at à ( 0) r ) u(r,t)= um (r, t) = Am cos m + B m sin m J 0 ( m ) (2.37) L L m =1 m =1 L Các hệ số Am và Bm đợc xác định theo điều kiện ban đầu, đó là các hàm biến thiên của bán kín của các điểm khảo sát, các hệ số này không phụ thuộc vào thông số góc Theo (2.28) và (2.29) các hệ số Am và Bm đợc xác định: L 2 à... nếu nhiệt độ ban đầu có dạng u t =0 = f (r , ) biết nhiệt độ trên bề mặt hình trụ đợc duy trì ở nhiệt độ bằng không Giải: Vì ống trụ dài vô hạn nên nhiệt độ không phụ thuộc vào z Phơng trình xác định nhiệt độ: 35 u u 1 2u 2 1 (3.20) =a [ (r ) + ] t r r r r 2 2 nhiệt độ của ống trụ đợc xác định khi giải phơng trình (3.20) với điều kiện biên: u(r0,,t)= 0 Và điều kiện ban đầu: u t =0 = f (r , ) hàm ... (1.20) Nh khai triển hàm bất kí thành tổng vô hạn hàm Bessel với hệ số khai triển đợc tính theo (1.20) 13 Chơng ứng dụng hàm Bessel để giải toán truyền sóng màng tròn I Bài toán Một màng tròn mỏng... (2.61) 29 ứng dụng hàm Bessel giải toán truyền nhiệt màng (trụ) tròn Chơng 1 .Bài toán Một khối chất hình trụ có nhiệt độ ban đầu đó, đợc đặt tiếp xúc với nguồn nhiệt Khi có trao đổi nhiệt khối... ) x x x Đồ thị số hàm Bessel bán nguyên Hình = 11 y J ( x) J ( x) J ( x) x Hình 2: Đồ thị số hàm Bessel bán nguyên Khai triển hàm tuỳ ý vào hàm Bessel x Các hàm Bessel J ( i ) i=1,2,3