kĩ năng để giải những bài toán khó và phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Môn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học mơn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Căn vào chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước, nghị TW khoá VII Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Nguyễn Trãi năm học 2011-2012, 2012- 2013 - Năm học 2009 – 2010 phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 lớp học khối A trường THPT Triệu Sơn Tại trường THPT Nguyễn Trãi, năm học 2011-2012 phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 lớp học theo ban A, lớp học theo ban C năm học 2012-2013 dạy lớp 10: lớp học theo ban C, lớp học theo ban D, lớp học theo ban A điểm đầu vào mơn tốn Đa số học sinh nhận thức cịn chậm, kiến thức có nhiều lỗ hổng Do việc dạy cho học sinh vừa để lấp lỗ hổng kiến thức vừa để học sinh nắm vững kiến thức đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp cụ thể, thiết thực để học sinh nắm tốt - Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân mơn Đại số 10, em học sinh học giải phương trình chứa ẩn dấu cụ thể với nội dung sách giáo khoa giới thiệu phương trình chứa dấu bậc hai dạng đơn giản Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học - Một thực tế toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN; học sinh cịn phải giải phương trình chứa dạng tốn khác phương trình mũ logarit Do học giải phương trình chứa khơng để giải lớp tốn phương trình chứa mà cịn cơng cụ để em làm toán dạng khác - Với lực học sinh q trình giảng dạy, tơi khơng hy vọng dạy cho em có kĩ để giải tốn khó phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo số dạng tốn khơng bị mắc sai lầm trình làm Qua ba năm giảng dạy tơi tích luỹ số kinh nghiệm dạy nội dung kiến thức II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng - Học sinh gặp khó khăn mắc nhiều sai lầm q trình giải tốn phương trình chứa ẩn dấu - Với dạng toán khác mà triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dấu học sinh giải sai lúng túng - Cụ thể năm 2009 – 2010 giảng dạy lớp 10D3 trường THPT Triệu Sơn 3, kết kiểm tra phương trình chứa ẩn dấu sau: Sĩ số Điểm từ trở lên Điểm từ đến 45 Số lượng % Số lượng % 4,4 12 26,7 Kết hiệu thực trạng Điểm Số lượng % 31 68,9 Từ thực trạng gặp phương trình chứa ẩn dấu học sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa thiếu nghiệm Vì tơi rút ra: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu căn” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các giải pháp thực Nghiên cứu tài liệu lí luận dạy học mơn tốn trường phổ thơng Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến phương trình chứa Tìm hiểu thực tế q trình giải tốn phương trình chứa học sinh Tìm hiểu thực tế sai lầm mắc phải giải phương trình chứa học sinh Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình giảng dạy Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học từ 2009 - 2010 2011 – 2012, 2012 - 2013 Thực nghiệm, quan sát, tổng kết kinh nghiệm II Các biện pháp thực Biện pháp 1: Yêu cầu học sinh giải hai dạng chứa phương pháp biến đổi tương đương Hai dạng là: Dạng 1: g(x) ≥ f(x) = g(x) ⇔    f(x) =  g(x)     Chú ý: Không cần đặt điều kiện Dạng 2: g(x) ≥ ( f(x) ≥ )  f(x) = g(x) ⇔  f(x) = g(x)  Chú ý: Không cần đặt đồng thời g ( x ) ≥ f ( x ) ≥ f ( x ) = g ( x ) Trong f ( x ) g ( x ) biểu thức đơn giản Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f ( x) = g ( x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f ( x ) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f ( x ) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình 2x − = x − (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x ≥ (*) (1) ⇒ x − = x − x + ⇒ x − x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = − Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = − bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Một số học sinh mắc sai lầm cho sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x ≥ để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + x = − Nhưng số học sinh cẩn thận có thử lại nghiệm Tuy nhiên với cách giải phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai Ví dụ 2: Giải phương trình 3x − x −1 = 3x + (2) Với học sinh nắm vững kiến thức làm cẩn thận mà làm theo phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn q trình giải là: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x − x −1 ≥ thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Do việc học sinh giải theo định hướng ban đầu Ta cần điều kiện: 3x + ≥ ⇔ x ≥ − (**)  x = −1 Khi phương trình (2) ⇔ 3x − x −1 = ( 3x + 1) ⇔ 3x + x + = ⇔  x = −   2 đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt (2) x = − Ví dụ 3: Giải phương trình 3 x − = x − (3) Hướng dẫn học sinh biến đổi tương đường lúc sau: Phươngtrình x ≥  + 29  x −3 ≥  + 29  x ≥  x = ⇔  ⇔ x= (3) ⇔  ⇔  2  x − x + 13 =  3 x − = ( x − )     x = − 29   Vậy nghiệm phương trình (3) x = + 29 Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình x + x − = x + (4) 5 x + x − ≥ Học sinh thường đặt điều kiện  sau bình phương hai vế để giải x + ≥ phương trình Học sinh gặp phải trở ngại thời gian để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + ≥ điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện  x = −2 2 Khi (4) x + x − = x + ⇔ x + x −10 = ⇔  x =1 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm pt x = −2 x = Chính điều việc định hướng từ ban đầu yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không lệch hướng tránh sai lầm đáng tiếc Ví dụ : Giải phương trình −3x + = x + (5) Để không bị quên kiểm tra lại điều kiện nên yêu cầu học sinh biến đổi tương đương  x ≥ − 2 x +1 ≥  ⇔ ⇔x= lúc: (5) ⇔   −3 x + = x + x =   Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ 6: Giải phương trình x + 3x − = x + (6) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta không cần đặt điều kiện cho vế phải không âm   x ≥ − 7 x + ≥ x≥−  ⇔ ⇔ Phương trình ⇔     x = −1 ⇔ x =  x + 3x − = x + 2  2 x − x − =    x =  Vậy nghiệm phương trình x = Biện pháp 2: Lưu ý học sinh nhìn nhận tốn dạng khơng thể giải phương pháp biến đổi tương đương Đó dạng phải sử dụng đến phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 7: Khi gặp toán x − 3x + = − x + 3x + (7) Nếu học sinh biến đổi tương đương đương sau  −3 x + x + ≥  Pt (7) ⇔  2 dẫn đến phương trình bậc bốn  x − 3x + = − x + x +  ( ) khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thơng Do ta phải có phương pháp khác đặt ẩn phụ từ hình thành cho học sinh lớp tốn giải phương trình chứa phương pháp đặt ẩn phụ Khi hướng dẫn học sinh biến đổi sau : Chưa cần đặt điều kiện, ta biến đổi sau: Phương trình (7) ⇔ x − 3x + + x − 3x + − 12 = Đặt t = x − 3x + = t (t ≥ 0) Khi pt trở thành t + t − 12 = ⇔  t = −4(l )  x = −1 Với t = ⇔ x − 3x + = ⇔  x = Thử lại nghiệm với điều kiện ta có nghiệm pt x = -1 x = Ví dụ : Giải phương trình x − 12 x + 11 = x − 12 x + 15 (8) Theo mạch học sinh giải sau : Phương trình (8) ⇔ x − 12 x + 11 − x − 12 x + 11 + = Đặt x − 12 x + 11 = t ; điều kiện t ≥ t = Phương trình trở thành: t − 5t + = ⇔  (thoả mãn điều kiện t) t = Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ x − 12 x + 10 = pt vô nghiệm  + 56 x = 2 Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ x − 12 x − = ⇔   − 56 x =  Vậy nghiệm phương trình là: x = + 56 + 56 ; x= 4 Ví dụ 9: Giải phương trình: ( x + 1) x + = ( x − 1) + x + Ta biến đổi để phương trình có biểu thức giống sau: ( 2x + 1) x + = ( x2 + 1) + x + − Đặt t = x + , t ≥ Khi ta phương trình bậc ba với ẩn t: t − 2t − 3t + = ⇔ ( t – )(t2 – ) = ⇔t = t = t = – ( loại ) Với t = ⇒ Với t = ⇒ 2x2 +1 = ⇔ x = ± 2x2 +1 = ⇔ x = ±1 Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x = ± ,x= ±1 Nhận xét: - Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến phương trình phức tạp thi ta nên nghĩ đến việc biến đổi để phương trình có biểu thức chứa biến giống để giải - Trong hai ví dụ này, ta khái quát thành dạng tổng quát sau: α ( ax2 + bx ) + β = γ ( ax2 + bx ) + δ , ta đổi biến t = α ( ax + bx ) + β ⇒ ( ax + bx ) = t2 − β ,α ≠ , t ≥ α - Tuy nhiên vài trường hợp, phương trình có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta giải cách bình phương hai vế phương trình Ví dụ 10: Giải phương trình: x − + x − x + = (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: x −1 = − x + 3x − (10), đặt điều kiện x ≥ , bình phương vế ta được: x − x + 11x − x + = ta dễ dàng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: x =1  2 (10) ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) ⇔  x = + x = −  So sánh với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = x = + Biện pháp 3: Hướng học sinh đến toán chứa nhiều với nhiều phương pháp giải khác a Phương trình chứa nhiều giải phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần: Ví dụ 11: Giải phương trình 3 x + ≥ Điều kiện  x +1 ≥ x + − x + = (11)  x ≥ − ⇔ ⇔ x ≥ −1 (11’)  x ≥ −1  Chuyển vế bình phương hai vế ta Phương trình (11) ⇔ 3x + = + x + Với điều kiện (11’) nên hai vế không âm, bình phương hai vế ta (11) ⇔ 3x + = x + + x + ⇔ x +1 = x + với điều kiện (11’) ta tiếp tục bình phương hai vế ⇔ 4x + = x2 + 2x + ⇔ x2 -2x - =  x = −1 ⇔ x = (thoả mãn điều kiện (11’) Vậy nghiệm phương trình x = -1 x = Ví dụ 12: Giải phương trình x − + x − = x − + x − 16 (12) Khi gặp tốn nhiều học sinh đưa lời giải sai sau Phương trình (12) ⇔ x − + x − = x − + x − 16 ⇔ x − + x − = x − + 4( x − 4)  x −1 ≥ x ≥1 ⇔ x=2   x −1 = x −  x = ⇔ x −1 = x − ⇔  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho học sinh khơng tìm điều kiện phương trình x − ≥  Lời giải là: Điều kiện  x −1 ≥ ⇔ x ≥ (12’) 2 x − ≥  Với điều kiện (12’) phương trình ⇔ x − + x − = x − + x − ⇔ x − = x − ⇔ x = ( không thỏa mãn) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chú ý rằng: A+ B = A ≥ A+ C ⇔  B= C Tuy nhiên ta cố tìm cho điều kiện cụ thể phương trình, chẳng hạn tốn sau: Ví dụ 13: Giải phương trình − x2 + x x + = − 2x − x2 (13) 7 − x + x x + ≥   Hướng dẫn : Điều kiện 3 − x − x ≥ (13’) x + ≥   Lưu ý: Hệ điều kiện phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Với điều kiện (13’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta pt (3) ⇔ − x + x x + = − x − x ⇔ x x + = −2 x −  x ( 2x + 4) ≤  ⇔ 2  x ( x + ) = x + 16 x + 16   −2 ≤ x ≤  −2 ≤ x ≤  ⇔ ⇔   x = −1  x + x − 16 x − 16 =   x = ±4 ⇔ x = −1  10 Vậy nghiệm phương trình x = -1 ( thỏa mãn điều kiện (13’)) Ví dụ 14: Giải phương trình: x + + x + − x + = (14) Điều kiện phương trình x ≥ Nhận xét: Biểu thức dấu (14’) x + + x + có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau ( 14 ) ⇔ ( ) x +1 +1 − x +1 = ⇔ x +1 + − x +1 = ⇔ x +1 = ⇔ x +1 = ⇔ x = x = thỏa mãn điều kiện (14’) Vậy nghiệm phương trình x = b Phương trình chứa nhiều giải phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 15: Giải phương trình: ( x − 2) ( − x ) − x − − − x = Trong dạng phương trình học sinh cần nhận xét là: ( ) ( x−2 + ) − x = ( số ), t − = ( x − ) ( − x ) , cần ý đến điều kiện biến trung gian để việc giải tốn có nhiều thuận lợi Điều kiện −2 ≤ x ≤ Đặt t = x − + − x ; Ở đặt điều kiện t để có nghiệm x việc làm khó học sinh lớp 10 trình độ khá, ta đặt điều kiện t≥0 Ta suy t = + ( x − 2) ( − x) Ta phương trình: t2 – – t = ⇔ t2 – t – = ⇔ t = t = – (loại ) Với t = ⇒ ( x − ) ( − x ) = ⇔ x2 – 9x + 18 = ⇔ x = x = Vậy phương trình có nghiệm x = 6, x = Tuy nhiên có tốn sau: Ví dụ 16: Giải phương trình x + + x + = x + 2 x + x + − 16 (16) 11 2 x + ≥ ⇔ x ≥ −1 (16’) HD: Điều kiện  x +1≥  Ta thấy ( x + 3)2 + ( ) x + = 3x + khác số Tuy nhiên ta giải phương pháp Đặt x + + x + = t , (Điều kiện t ≥ 0) ⇔ 3x + 2 x + x + = t − Phương trình (16) trở thành : t2 - t - 20 = ⇔ t = (nhận) t = - (loại) Với t = ⇔ 2 x + x + = 21 − x ( phương trình thuộc dạng 1) 21 − x ≥  ⇔ 2 4 ( x + x + 3) = 41 − 216 x + x  x ≤ ⇔ ⇔ x = 118 − 1345 x − 236 x + 429 =  So sánh với điều kiện (16’) ta có nghiệm phương trình x = 118 − 1345 x − − x + = x2 − − x + Ví dụ 17 : Giải phương trình : Hướng dẫn : đặt điều kiện x ≥ Cũng với hướng giải ta đặt : t = x − − x + , (t ≥ 0) ⇔ t = x − x − t = Phương trình trở thành t + t − = ⇔  t = −2(l ) Với t = ⇔ x2 − = x −1 ⇔ 4( x − 4) = x − x + ⇔ x = Vậy pt cho có nghiệm x = 17 17 Có thể tổng qt cho phương trình đặt ẩn phụ dạng sau : m ( ) f ( x ) ± g ( x ) ± 2n f ( x ) g ( x ) + n ( f ( x ) + g ( x ) ) + p = , 12 đặt t = f ( x ) ± g ( x ) , bình phương hai vế để biểu diễn đại lượng cịn lại qua ẩn t c Phương trình chứa nhiều giải phương pháp đặt hai ẩn phụ : Ví dụ 17: Giải phương trình: 24 + x + 12 − x = Với phưong trình có chứa hai lại bậc hai bậc ba, phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế không đem lại kết thuận lợi cho việc giải, đặt ẩn phụ khơng thể đưa phương trình dạng khơng chứa Đó lí để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ Ta cần đặt điều kiện cho bậc hai x ≤ 12  24 + x = u  , ( v ≥ ) Ta nhận thấy u + v = 36 ( số) Đặt   12 − x = v  u = u = u = −4 ⇔ ∨ ∨ v = v = v = 10 u + v = 36   u + v =  Do ta có hệ  u =  24 + x =  ⇔ ⇔ x = −24 Với  12 − x = v =   u =  24 + x =  ⇔ ⇔ x=3 Với  v=3   12 − x =  u = −4  24 + x = −4  ⇔ ⇔ x = −88 Với  12 − x = 10 v = 10   Vậy phương pt có nghiệm x = -24; x = 3; x = -88 Ví dụ 18: Giải phương trình: x −1 + x − = Với phương trình chứa loại để ta phải mũ ba hai vế việc làm dẫn đến phương trình phức tạp khó giải 13 Nhưng ta lại thấy ( ) ( x −1 − 3 x −3 ) = ( số) u = x −  Do ta đặt  v = x −   v =   3 u + v =  u = −   ⇔ Khi ta có hệ  3   v = − u − v =    u =0   Giải ta có nghiệm (3; 0) (0; 3) ( ) Ta tổng quát dạng sau: F f ( x ) , n a + f ( x ) , m b − f ( x ) = Biện pháp 4: Lưu ý học sinh khai bình phương biểu thức, đưa biểu thức hay vào bậc hai ( x − 3) ( x Ví dụ 19: Khi gặp phương trình: x − x + 12 = − x − ) (19) Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: (19) ⇔ x − x + 12 = ⇔ ( x − 3) ( x − ) = ( x + 3) ( x − x − ) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) ⇔ ( x − 3) ( x − ) = ( x − 3) x + ⇔ ( x − 3) ( ) x+2−x+4 =0 x = ⇔  x + = x − (*) Giải ( ∗) ta có x − ≥ x ≥  x+2 = x−4⇔ ⇔ ⇔ x=7 x − x + 14 =  x + = ( x − 4)   Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = HS kết luận với x =3 x = hai nghiệm thoả mãn phương trình 14 Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm x = thoả mãn Lời giải phải là: Ta có (19) ⇔ x − x + 12 = ( x + 3) ( x − x − ) ⇔ ( x − 3) ( x − ) = ( x − 3) ( x − ) ( x − ) ⇔ ( x − 3) ( x − ) = ( x − 3) ( x − ) ( x − 3) x + = ( x − 3) ( x + ) ( 1) ⇔ − ( x − 3) x + = ( x − 3) ( x + ) ( )  Giải (1) ⇔ ( x − 3) x + = ( x − 3) ( x − ) ⇔ ( x − 3) ( ) x+2−x+4 =0 x = x = ⇔ ⇔ x =  x+2 = x−4 Giải (2) ⇔ − ( x − 3) x + = ( x − 3) ( x − ) ⇔ ( x − 3) ( ) x+2+x−4 =0 x = x = ⇔ ⇔ x =  x+2 =4− x Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 2; x = x = Lưu ý học sinh rằng: 0 A =  A B = A B =  A B A >   − A B A < Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ Ví dụ 20: Giải phương trình: x + 2x −1 − x − 2x − = x + Phương trình có dạng: ( 2x + 2x −1 − 2x − 2x −1 = x + ( ⇔ 2x + 2x −1 − 2x − 2x −1 = x + ) ) 15 Đến để học sinh tự làm tiếp nhiều học sinh mắc sai lầm sau: ( ) đưa phương trình dạng : + 2x −1 + − 2x −1 = x + ⇔ x = − Và kết luận nghiệm pt x = − Tuy nhiên lời giải x = − lại khơng nghiệm phương trình Lời giải sau: ( 2 Phương trình ⇔ + 2x −1 + − 2x −1 = x + - Nếu − 2x −1 ≥ ⇔ ≤ x − ≤ ⇔ ) ≤ x ≤1 (*) (a) Khi (*) trở thành x + = ⇔ x = − không thỏa mãn (a) - Nếu − 2x −1 < ⇔ x > Khi (*) trở thành (b) x ≥ −  2x −1 = x + ⇔   2x − = x +  ( x = x ≥ −  ⇔ ⇔ x = x − 2 x − =   2+ 2− ) Do (b) nên ta nhận x = + Do nghiệm phương trình là: x = +  A A ≥ Lưu ý: A =  − A A < Ví dụ 21 : Giải phương trình ( x + 5) x−2 =x+2 x+5 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: ( x + ) x−2 = x+2⇔ x+5 ( x + 5) ( x − ) = x+2 16 x + ≥  x ≥ −2  x ≥ −2  ⇔ ⇔ ⇔ 2  x = −14 ( x + ) ( x − ) = ( x + )  x + 3x − 10 = x + x +  Vậy phương trình cho vô nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x = - 14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Lưu ý học sinh rằng: B A  AB A ≥ 0; B >  = B − AB A < 0; B <  Do lời giải phải là: ( x + 5) x−2 = x+2 x+5 Hoặc: x ≥ x ≥ x ≥   ⇔ ⇔ hệ vô nghiệm   x = −14  ( x + 5)( x − 2) = x + ( x + ) ( x + ) = ( x + )   Hoặc:  x < −5  x < −5  x < −5   ⇔  ⇔  x = −14 ⇔ x = −14   ( x + 5)( x − 2) = − x − ( x + ) ( x + ) = ( x + )   Vậy pt có nghiệm x = -14 Biện pháp 5: Biện pháp thiếu sau dạy xong dạng toán phương trình chứa yêu cầu học sinh luyện tập toán tương tự Bài tập 1: ( Giải theo hai dạng bản) x2 − x = = x −1 ; a) 2x + = x ; b) c) − x2 + x + = x − ; d) x2 − x − = ( x − ) ; Bài tập : (Giải cách đặt ẩn phụ) a) x2 + x = −2 x − x + 17 b) ( x + 1) ( x + ) = x2 + 3x − c) x + 10 x + = − x − x d) x + − 12 − x = − x + 11x − 23 e) x − − x + = x2 − − x + f) x + + x + = x − 16 + x + x + Bài tập : ( Giải cách biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần ) a) x + x − = ; b) x + − 1− x = 1− 2x ; c) x −1 − 3x − − x −1 = ; d) x +1 − − x = x + ; Bài tập : ( Giải cách đặt hai ẩn phụ) a) x + − x − = b) 18 − x + x − = c) + x + − x = 2 d) − x2 + 23 − x2 = III KIỂM NGHIỆM Để kiểm nghiệm hiệu phương pháp thực nghiệm qua nhiều năm giảng dạy học sinh lớp 10 Tôi thấy em học sinh khắc phục phần lớn sai lầm giải phương trình chứa căn, học sinh có lực học yếu giải thành thạo toán chứa đơn giản cách xác, em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Cụ thể lớp khối 10 qua hai năm thực nghiệm ( 2011 -2012 2012 – 2013) đối chứng với lớp 10 năm học 2009 – 2010 áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói , kết qua kiểm tra thử sau : 18 Năm học Lớp Tổng Điểm trở lên số Số Tỷ lệ Điểm từ đến Số Tỷ lệ Điểm Số Tỷ lệ lượng lượng lượng 2009 - 2010 10D3 45 4,4 % 12 26,7% 31 68,9% 10 21 % 25 53 % 12 26 % 2011- 2012 10A1 47 10A4 48 11 23 % 26 54 % 11 23% 11 24% 26 57% 20% 2012 - 2013 10A7 46 10A2 46 10 22% 25 54% 11 24% Nhìn vào số liệu cho thấy số lượng học sinh điểm trở lên tương đối, chứng tỏ em năm cách giải phương trình chứa dạng đơn giản Với dạng phương trình chứa cịn phong phú đa dạng, có phương trình chứa thuộc dạng khó Với thực tế học sinh giảng dạy tơi áp dụng mức độ phương trình chứa có thuật giải IV KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Nội dung kiến thức phương trình chứa sâu rộng phong phú Tơi cố gắn tìm tịi vận dụng với thực tế học sinh chủ yếu mức độ Tôi mong quan tâm đóng góp ý kiến đồng nghiệp Sau nghiên cứu lí luận thực nghiệm sư phạm tơi có số đề xuất sau : Rèn luyện cho học sinh kĩ giải phương trình chứa khắc phục sai lầm cho học sinh giải phương trình chứa cần thiết cho học sinh lớp 10 nhằm phục vụ cho dạng toán khác lớp trên, thực mục tiêu để em giải tốn phương trình chứa đề thi Đại học, cao đẳng Do chương trình dạy học ơn tập cần đưa vào dạy nội dung nhiều Tài liệu tham khảo 19 [1] Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mẫn – Đaog Tam – Lê Thống Nhất Các giảng luyện thi mơn tốn ( tập 1) NXB Giáo dục Hà Nội 1997 [2] Phạm Văn Hoàn - Nguyễn Gia Cốc – Trần Thức Trình Giáo dục học mơn tốn NXB giáo dục Hà Nội 1981 [3] Nguyễn Thái Hòe Rèn luyện tư qua giải tập toán NXB Giáo dục Hà Nội 1998 [4]Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy Phương pháp day học mơn tốn NXB Giáo dục Hà nội 1994 [5] Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán NXB Hà nội 2004 [6] Trần Văn Hạo- Vũ Tuấn – Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài Đại số 10 [7] Võ Anh Dũng – Trần Đức Huyên Giải toán đại số 10 NXB giáo dục Việt Nam 2009 MỤC LỤC 20 Trang 1 2 A Đặt vấn đề I Lí chọn đề tài II Thực trạng vần đề nghiên cứu Thực trạng Kết thựctrạng B Giải quết vấn đề I Các giải pháp thực II Các biện pháp thực Biện pháp Yêu cầu học sinh giải hai dạng chứa phương Biện pháp Biện pháp 3 pháp biến đổi tương đương Lưu ý học sinh nhìn nhận tốn dạng khơng thể giải phương pháp biến đổi tương đương Hướng học sinh đến toán chứa nhiều với nhiều phương pháp giải khác Biện pháp Lưu ý học sinh khai bình phương biểu thức, Biện pháp 14 đưa biểu thức hay vào bậc hai Sau dạy xong dạng tốn phương trình chứa yêu cầu học sinh luyện tập toán tương tự 17 18 19 III Kiểm nghiệm IV Kết luận đề xuất XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 20 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 21 Hoàng Thị Thúy Hằng 22 ... chứa mà cịn cơng cụ để em làm toán dạng khác - Với lực học sinh q trình giảng dạy, tơi khơng hy vọng dạy cho em có kĩ để giải tốn khó phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo số dạng. .. sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa thiếu nghiệm Vì tơi rút ra: ? ?Một số kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu căn” B GIẢI QUYẾT... khắc phục sai lầm cho học sinh giải phương trình chứa cần thiết cho học sinh lớp 10 nhằm phục vụ cho dạng toán khác lớp trên, thực mục tiêu để em giải tốn phương trình chứa đề thi Đại học, cao