kĩ năng để giải những bài toán khó và phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài

Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiêncứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vậndụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống củacon người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thứcrộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở

môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiêncứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vậndụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhànước, nghị quyết TW 4 khoá VII Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kếhoạch chuyên môn của trường THPT Nguyễn Trãi năm học 2011-2012, 2012-2013

- Năm học 2009 – 2010 tôi được phân công trực tiếp giảng dạy một lớp 10

là lớp học khối A tại trường THPT Triệu Sơn 3 Tại trường THPT Nguyễn Trãi,năm học 2011-2012 tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các 2 lớp 10 một lớphọc theo ban cơ bản A, một lớp học theo ban cơ bản C và năm học 2012-2013 tôidạy 3 lớp 10: một lớp học theo ban cơ bản C, một lớp học theo ban cơ bản D, mộtlớp học theo ban cơ bản A nhưng điểm đầu vào môn toán đều dưới 5 Đa số họcsinh nhận thức còn chậm, kiến thức có nhiều lỗ hổng Do đó việc dạy cho học sinhvừa để lấp lỗ hổng kiến thức vừa để học sinh nắm vững kiến thức mới đòi hỏi giáoviên phải có phương pháp cụ thể, thiết thực để học sinh nắm được bài tốt hơn

- Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em

học sinh đã được học giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cụ thể với nộidung sách giáo khoa cơ bản chỉ giới thiệu phương trình chứa dấu căn bậc hai dạngđơn giản Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trongquá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiềudạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để biến đổi vàgiải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vữngnhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học.

- Một thực tế nữa là các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rấtphong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN;không những thế học sinh còn phải giải phương trình chứa căn trong các dạng toánkhác như phương trình mũ và logarit Do đó học giải phương trình chứa căn khôngchỉ để giải một lớp các bài toán về phương trình chứa căn mà còn là công cụ để các

em làm những bài toán dạng khác

- Với năng lực của những học sinh trong quá trình giảng dạy, tôi cũng không

hy vọng có thể dạy cho các em có những kĩ năng để giải những bài toán khó và

phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài Qua ba năm giảng dạy tôi đã tích luỹ

được một số kinh nghiệm dạy nội dung kiến thức này

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Sĩ số Điểm từ 8 trở lên Điểm từ 5 đến 7 Điểm dưới 5

2 Kết quả và hiệu quả của thực trạng

Từ thực trạng trên khi gặp phương trình chứa ẩn dưới dấu căn học sinhthường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa hoặc thiếu nghiệm Vì vậy

tôi đã rút ra: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn”

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Các giải pháp thực hiện

1 Nghiên cứu những tài liệu về lí luận dạy học môn toán ở trường phổ thông

2 Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến phương trình chứa căn

3 Tìm hiểu thực tế quá trình giải toán phương trình chứa căn của học sinh

4 Tìm hiểu thực tế những sai lầm mắc phải khi giải phương trình chứa căn của họcsinh

5 Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

6 Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trìnhgiảng dạy

7 Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong các năm học từ

2009 - 2010 2011 – 2012, 2012 - 2013

8 Thực nghiệm, quan sát, tổng kết kinh nghiệm

II Các biện pháp thực hiện

Biện pháp 1: Yêu cầu học sinh giải hai dạng chứa căn cơ bản bằng phương pháp biến đổi tương đương.

f(x) g(x)

Chú ý: Không cần đặt điều kiện

f(x) g(x)

Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g x  và   0 f x  vì   0 f x  g x .

Trong đó f x  và g x  là những biểu thức đơn giản

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng f x  g x 

và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điềukiện f x  Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ để thực hiện  0được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấynghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f x   0 là điều kiệncần và đủ của phương trình

Phương trình cuối có nghiệm là x  3 2 và x  3 2

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay cácgiá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x  3 2 bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) là x  3 2

Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ở

phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện 3

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 2x1 3 x (2)1

Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làmtheo phương pháp biến đổi hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đó là:Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi

hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x2 2x 1 0 và thay giá trị củacác nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm

Do đó việc học sinh giải đúng theo định hướng ban đầu

Học sinh gặp phải một trở ngại là mất thời gian để biểu thị hệ điều kiện củaphương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x  3 0 là điều kiện cần và đủ

mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện

Chính vì điều đó việc định hướng ngay từ ban đầu là yêu cầu học sinh giảitheo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránhđược những sai lầm đáng tiếc

5

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

Biện pháp 2: Lưu ý học sinh nhìn nhận bài toán dạng 1 nhưng không thể giải bằng phương pháp biến đổi tương đương

Đó là dạng phải sử dụng đến phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ 7: Khi gặp bài toán x2  3x 5 x2 3x (7)7

Nếu học sinh vẫn cứ biến đổi tương đương đương như sau

cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông

Do đó ta phải có phương pháp khác đó là đặt ẩn phụ và từ đó hình thành cho họcsinh một lớp bài toán giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ.Khi đó hướng dẫn học sinh biến đổi như sau :

Chưa cần đặt điều kiện, ta biến đổi như sau:

Ví dụ 9: Giải phương trình:  2 x2 1 2  x2  1 4  x2 1 3 2   x2 1

Ta biến đổi để trong phương trình có những biểu thức giống nhau như sau:

 2 x2 1 2  x2  1 2 2  x2  1 3 2  x2  1 6

Đặt t = 2x  , t ≥ 1 2 1

Khi đó ta được một phương trình bậc ba với ẩn t: t3 2t2 3t 6 0

 ( t – 2 )(t2 – 3 ) = 0 t = 2 hoặc t = 3 hoặc t = – 3 ( loại )

Với t = 2  2x  = 2  x = 2 1 6

2

Với t = 3  2x  = 3  x = 2 1 1

Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x = 6

- Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổng quát như sau:

Ví dụ 10: Giải phương trình: 2x 1x2  3x  (ĐH Khối D – 2006)1 0

Biến đổi phương trình thành: 2x 1 x23x (10), đặt điều kiện 1 1

2

x  ,

rồi bình phương 2 vế ta được: x4  6x311x2  8x 2 0 ta dễ dàng nhẩm được

nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:

So sánh với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 1 và x  2 2

Biện pháp 3: Hướng học sinh đến những bài toán chứa nhiều căn với nhiều phương pháp giải khác nhau.

a Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần:

x x

 (thoả mãn điều kiện (11’)

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 3

Ví dụ 12: Giải phương trình 2 x 4 x 1 2x 3 4x 16 (12)

Khi gặp bài toán này nhiều học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau

Phương trình (12)  2 x 4 x 1 2x 3 4x 16

 2 x 4 x 1 2x 3 4(x 4)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.

Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã

cho do học sinh không tìm điều kiện của phương trình

Lời giải đúng là: Điều kiện

A C

A B

Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.

Với điều kiện (13’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta được

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 ( thỏa mãn điều kiện (13’))

Ví dụ 14: Giải phương trình: 2 x 7 2 x 1 x  (14)1 4

Điều kiện của phương trình là x 1 (14’)

Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn x 7 2 x có dạng hằng đẳng thức 1

(a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau

x = 3 thỏa mãn điều kiện (14’) Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

b Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

t 

Ta suy ra t2  5 2 x 2 7  x

Ta được phương trình: t2 – 5 – t = 1  t2 – t – 6 = 0  t = 3 hoặc t = – 2 (loại )Với t = 3  x 2 7   x = 2  x2 – 9x + 18 = 0  x = 6 hoặc x = 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6, x = 3

Tuy nhiên có những bài toán như sau:

Ví dụ 16: Giải phương trình 2x 3 x 1 3x2 2x2 5x 3 16 (16)

HD: Điều kiện 2 3 0 1

1 0

x

x x

Phương trình (16) trở thành : t2 - t - 20 = 0  t = 5 (nhận) hoặc t = - 4 (loại)

Với t = 5  2 2x2 5x 3 21 3 x( là phương trình thuộc dạng 1)

Hướng dẫn : đặt điều kiện x 2

Cũng với hướng giải đó ta đặt : t x 2 x2 , (t0)  t2 2x 2 x2 4

Vậy pt đã cho có nghiệm là x 174

Có thể tổng quát cho những phương trình đặt ẩn phụ dạng này như sau :

đặt t f x   g x  , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua

Ta chỉ cần đặt điều kiện cho căn bậc hai là x 12

Với phương trình này chỉ chứa một loại căn nhưng để mất căn ta phải mũ ba hai

vế nhưng việc làm này sẽ dẫn đến một phương trình khá phức tạp và khó giải

Nhưng ta lại thấy rằng 3 x 1 3 3 x 33 2 ( hằng số)

Do đó ta đặt

3 3

13

0220

v u v u

Ta tổng quát dạng này như sau: F f x  ,n a f x  ,m b f x   0

Biện pháp 4: Lưu ý học sinh khi khai căn của bình phương một biểu thức, đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai.

Ví dụ 19: Khi gặp phương trình: x2  7x12 x 3 x2  x 6 (19)

Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:

Lời giải sai:

HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình

Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoảmãn.

Lời giải đúng phải là: Ta có

Lưu ý học sinh rằng: 2

0 0

Ví dụ 20: Giải phương trình: x2 2x21 x2 2x21 2x2

Phương trình có dạng: 2x22 2x2 1 2x2 2 2x21 2 x 2

 2x22 2x21 2x2 2 2x21 2 x 2

Đến đây nếu để học sinh tự làm tiếp thì nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm như sau: đưa phương trình về dạng : 1 2x2  1 1 2x21 2 x 2  x  1 2

Và kết luận nghiệm của pt là x  1 2

Tuy nhiên lời giải đúng thì x  1 2 lại không là nghiệm của phương trình

Lời giải đúng như sau:

x x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Nhận xét: Rỏ ràng x = - 14 là nghiệm của phương trình Lời giải trên đã làm cho

bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm

0

; 0

B A khi AB

B A khi AB B

A B

Do đó lời giải đúng phải là: ( 5) 2 2

Bài tập 1: ( Giải theo một trong hai dạng cơ bản)

a) 2x  ; b) 3 x x2 6 6 2 1 x  x ;

c)  x2 2 4 x  x 2; d) x2 2 8 x  3x 4;

Bài tập 2 : (Giải bằng cách đặt 1 ẩn phụ)

a) x22x 2x2 4x3

III KIỂM NGHIỆM

Để kiểm nghiệm hiệu quả của phương pháp tôi đã thực nghiệm qua nhiều nămgiảng dạy học sinh lớp 10 Tôi đã thấy các em học sinh khắc phục được phần lớn những sai lầm khi giải phương trình chứa căn, những học sinh có lực học yếu cũnggiải thành thạo những bài toán chứa căn đơn giản một cách chính xác, các em họcsinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Cụ thể ởcác lớp khối 10 qua hai năm thực nghiệm ( 2011 -2012 và 2012 – 2013) đối chứngvới lớp 10 năm học 2009 – 2010 khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HShiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên , kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ

2011- 2012 10A110A4 4748 1011 21 %23 % 2526 53 %54 % 1211 26 %23%

2012 - 2013 10A710A2 4646 1110 24%22% 2625 57%54% 911 20%24%Nhìn vào số liệu trên cho thấy rằng số lượng học sinh được điểm 5 trở lên làtương đối, chứng tỏ các em đã năm được cơ bản cách giải phương trình chứa căndạng đơn giản

Với dạng phương trình chứa căn đang còn rất phong phú và đa dạng, cónhững phương trình chứa căn thuộc dạng khó Với thực tế học sinh giảng dạy tôi

chỉ có thể áp dụng ở mức độ phương trình chứa căn có thuật giải

IV KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Nội dung kiến thức về phương trình chứa căn rất sâu rộng và phong phú Tôi

đã cố gắn tìm tòi và vận dụng với thực tế là học sinh chủ yếu ở mức độ dưới khá.Tôi rất mong được sự quan tâm và đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp

Sau khi nghiên cứu lí luận và thực nghiệm sư phạm tôi có một số đề xuất sauđây : Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải phương trình chứa căn và khắc phục sailầm cho học sinh khi giải phương trình chứa căn là rất cần thiết cho học sinh lớp 10nhằm phục vụ cho các dạng toán khác ở lớp trên, thực hiện mục tiêu để các em cóthể giải được các bài toán phương trình chứa căn trong các đề thi Đại học, caođẳng Do đó trong chương trình dạy học ôn tập cần đưa vào dạy nội dung này nhiềuhơn

Tài liệu tham khảo

[1] Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mẫn – Đaog Tam – Lê Thống Nhất.Các bài giảng luyện thi môn toán ( tập 1) NXB Giáo dục Hà Nội 1997

[2] Phạm Văn Hoàn - Nguyễn Gia Cốc – Trần Thức Trình Giáo dục học môntoán NXB giáo dục Hà Nội 1981

[3] Nguyễn Thái Hòe Rèn luyện tư duy qua giải bài tập toán NXB Giáo dục HàNội 1998

[4]Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy Phương pháp day học môn toán NXB Giáodục Hà nội 1994

[5] Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giảitoán NXB Hà nội 2004

[6] Trần Văn Hạo- Vũ Tuấn – Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn TiếnTài Đại số 10

[7] Võ Anh Dũng – Trần Đức Huyên Giải toán đại số 10 NXB giáo dục Việt Nam2009

MỤC LỤC

Biện pháp 1 Yêu cầu học sinh giải hai dạng chứa căn cơ bản bằng phương

Biện pháp 2 Lưu ý học sinh nhìn nhận bài toán dạng 1 nhưng không thể

giải bằng phương pháp biến đổi tương đương 6Biện pháp 3 Hướng học sinh đến những bài toán chứa nhiều căn với

nhiều phương pháp giải khác nhau

9 Biện pháp 4 Lưu ý học sinh khi khai căn của bình phương một biểu thức,

đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai 14Biện pháp 5 Sau khi dạy xong mỗi dạng toán về phương trình chứa căn

thì yêu cầu học sinh luyện tập bằng những bài toán tương tự 17

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa ngày 20 tháng 4 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác