Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu

1 Mục lục Trang Chỉ dẫn kí hiệu Lời nói đầu Đ 1.Nhóm tự đẳng cấu nhóm Đ 2.Nhóm tự đẳng cấu nhóm Aben 10 Đ 3.Nhóm luỹ linh 15 Đ 4.Nhóm luỹ linh tự đẳng cấu 21 Kết luận Tài liệu tham khảo 26 27 Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiệu AB [a,b] [G,G] A B A B ý nghĩa A tập B Nhóm sinh tập S Hoán tử A B Hoán tập G A nhóm B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B Lời nói đầu Nhóm luỹ linh đóng vai trò quan trọng lý thuyết nhóm nói riêng ngành toán học nói chung Trong tài liệu nói nhóm biết, tác giả chủ yếu xét nhóm Aben tự đẳng cấu nhóm Aben Dựa kết biết đó, khảo sát nhóm luỹ linh tự đẳng cấu nhóm luỹ linh thu đợc kết đáng quan tâm mà trình bày khoá luận Khoá luận đợc trình bày thành bốn phần: Đ Nhóm tự đẳng cấu nhóm.Trong tiết này,chúng nhắc lại khái niệm nh nhóm song ánh tập,nhóm phép thế,nhóm tự đẳng cấu nhóm cho trớc tính chất quen thuộc chúng(đợc trình bày mệnh đề 1.1;1.4;1.8;1.10) Đ Nhóm tự đẳng cấu nhóm Aben.Trong tiết sâu vào khảo sát tính chất tự đẳng cấu lớp nhóm Aben quen thuộc,đó lớp nhóm Aben.Các kết tiết nêu mệnh đề 2.2;2.5;2.6 hệ chúng Đ Nhóm luỹ linh.Trong tiết này,chúng nhắc lại định nghĩa nhóm luỹ linh tính chất nhóm luỹ linh(mệnh đề 3.5;3.6;3.7;3.8;3.9;3.11) Đ 4.Nhóm luỹ linh tự đẳng cấu Đây phần luận văn.Trớc hết xây dựng nhóm toàn hình nhóm cho trớc với kết đáng ý đợc trình bày mệnh đề 4.1.4 mệnh đề 4.1.5.Sau trình bày nhóm luỹ linh tự đẳng cấu với kết quan tâm đợc trình bày định lý 4.2.1 4.2.3 Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho trình hoàn thành khoá luận Chúng xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số bạn động viên, giúp đỡ hoàn thành khoá luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót, mong nhận đợc đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận đợc hoàn thiện 4 Tác giả: Đ Nhóm tự đẳng cấu nhóm 1.1 Mệnh đề: Giả sử X tập hợp khác rỗng S(X) tập hợp tất song ánh từ X lên Khi S(X) với phép nhân ánh xạ nhóm Chứng minh: +> Vì phép nhân ánh xạ có tính chất kết hợp, nên f, g, h S(X) Ta có: (f.g).h=f.(g.h) phép toán S(X) có tính chất kết hợp +> Giả sử e ánh xạ đồng X Khi e.f(x)=e[f(x)]=f(x) x X nên e.f=f Tơng tự f.e=f, f S(X) Vậy e đơn vị S(X) +> Giả sử f S(X) Khi f song ánh nên f có ánh xạ ngợc f-1: XX thoả mãn điều kiện f-1.f=f.f-1=e Do f-1 nghịch đảo f S(X) Kết luận: S(X) nhóm 1.2 Chú ý: Nếu X tập gồm hữu hạn phần tử, giả sử |X|=n nhóm S(X) đợc gọi nhóm phép bậc n đợc kí hiệu Sn Mỗi phần tử f Sn đợc gọi phép bậc n.Theo lý thuyết tập hợp, ta có |Sn|=n! 1.3 Định nghĩa: Giả sử G nhóm Khi ánh xạ f: G G thoả mãn điều kiện f(ab)=f(b) a,b G đợc gọi tự đồng cấu nhóm G Tự đồng cấu f G đợc gọi tự đẳng cấu G f song ánh 1.4 Mệnh đề: Giả sử G nhóm Khi đó, tập hợp tất tự đẳng cấu G nhóm nhóm song ánh S(G) Chứng minh: Ký hiệu M tập hợp tất tự đẳng cấu cảu G Khi M, chẳng hạn ánh xạ đồng e G thuộc M Hơn M S(G), ta lại có: Tích hai song ánh song ánh nghịch đảo song ánh song ánh.Hơn nữa, tích hai đồng cấu nhóm đồng cấu nhóm nghịch đảo đẳng cấu nhóm đẳng cấu nhóm, nên f, g M, ta lại có f.g M, f-1 M Do M nhóm S(G) 1.5 Định nghĩa: Nhóm M mệnh đề 1.4 đợc gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm G Kí hiệu: Aut(G) 1.6 Bổ đề: Giả sử G nhóm a phần tử thuộc G Khi ánh xạ: fa: GG x tự đẳng cấu G xa = a-1xa Chứng minh: +)Giả sử x,y G Khi đó: fa(xy)=(xy)a=a-1xya=a-1xa.a-1ya=xaya=fa(x).fa(y) fa đồng cấu +) Mặt khác, fa(x)=fa(y) xa=ya a-1xa=a-1ya x=y (vì G nhóm có luật giản ớc) fa đơn ánh fa đơn cấu +) Để chứng minh fa toàn ánh ta lấy phần tử g G Khi đó, G nhóm a G nên phần tử x =aga-1 G fa(x) =xa=a-1xa=(a-1(aga-1)a)=g fa toàn ánh fa toàn cấu Vậy: fa đẳng cấu G 1.7 Định nghĩa: Tự đẳng cấu fa G đợc gọi tự đẳng cấu sinh phần tử a Kí hiệu â 1.8 Mệnh đề: Tập hợp tự đẳng cấu G nhóm chuẩn tắc Aut(G) Chứng minh: +) Trớc hết ta nhận xét a,b,x G ta có (xa)b=xab; (xa)a-1=x Thật vậy: (xa)b=(a-1xa)b=b-1(a-1xa)b=(ab)-1xab=xab (xa)a-1=(a-1)-1 (a-1xa)a-1=a.a-1x.a.a-1=x Từ sinh ra: a) b =ab a) a) = 1G ) a =a-1 Tập hợp tự đẳng cấu G nhóm Aut(G) +) Mặt khác, a, x G Aut(G), ta có: ) ) ( a -1) (x)=( a )[-1(x)]=( a-1-1(x) a)= = (a-1) (-1(x)) (a)=(a-1) x (a)=(a)-1 x (a)= = x(a)= (a) (x) o a -1= (a) ) Nhóm tự đẳng cấu G chuẩn tắc Aut(G) 1.9 Đinh nghĩa: Giả sử G nhóm, đó: i) Tập hợp tự đẳng cấu G với phép nhân ánh xạ nhóm đợc gọi nhóm tự đẳng cấu G Ký hiệu Int(G) ii) Nhóm thơng Aut(G)/Int(G) đợc gọi nhóm tự đẳng cấu ký hiệu Out(G) 1.10 Mệnh đề: Giả sử G nhóm tuỳ ý Và C(G) tâm G Khi đó: Int(G) G/C(G) Chứng minh: Xét ánh xạ : G Int(G) a â Khi (ab)= ab = a.b =(a) (b) (Vì ab(x)=xab=(ab)-1xab=b-1a-1xab a a b ab (x)=( b.a )(x)= b(a (x))= b (x )=(x ) = = b-1(a-1xa)b=b-1a-1xab ab(x)= ( a.b )(x) x G ab(x)= a.b ) Do đồng cấu nhóm Theo cách xác định , ta có Im()= Int(G) Mặt khác: ker ={a G| (a).=1G}={a G| â.=1G} {a G|ax=x,x G}={a G| a-1xa=x,x G} = {a G|xa=ax,x G}={a G|xa=ax,x G}=C(G) Theo định lý đồng cấu nhóm, ta có: G/Ker Im() hay G/C(G) Int(G) 1.11 Hệ quả: Giả sử Sn nhóm bậc n An nhóm thay phiên bậc n Thế thì: i) Int(Sn) Sn với n3 ii) Int(An) An với n4 Chứng minh: i) Với n3 Sn nhóm không tâm hay C(Sn) ={e} Theo mệnh đề 1.10 ta có Int(Sn) Sn/C(Sn) Do đó: Int(Sn) Sn/{e} hay Int(Sn) Sn ii) Với n4 An nhóm không tâm hay C(An)={e} Theo mệnh đề 1.10 Int(An) An/C(An) Suy ra: Int(An) An/{e} hay Int(An) An 9 Đ2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm ABEn 2.1 Đặt vấn đề: Giả sử G nhóm tuỳ ý Khi tập hợp song ánh từ G lên với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm, ký hiệu S(G) Nếu không sợ nhầm lẫn, ngời ta gọi S(G) nhóm phép G, G nhóm hữu hạn Tập hợp đồng cấu từ G vào với phép nhân ánh xạ vị nhóm với phần tử đơn vị phép đồng nhất, kí hiệu End(G) Nói chung, End(G) nhóm Tập hợp tự đẳng cấu nhóm G với phép nhân ánh xạ nhóm, gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm G đợc kí hiệu Aut(G) Ta có Aut(G) nhóm S(G) nhóm vị nhóm End(G).Trong trờng hợp G nhóm Aben phép toán G đợc kí hiệu theo lối cộng, ta đa vào End(G) phép toán cộng nh sau: , End(G) ta có + = G G xác định : ( + )(g) = (g) + (g), g G Khi đó: g1,g2 G,ta có: ( + )(g1 + g2) = (g1 + g2) + (g1 + g2) = (g1) + (g2) + (g1) + (g2) = (g1) + (g1) + (g2) + (g2) = ( + )(g1) + ( + )(g2) nên + End(G) Khi End(G) với phép cộng nói trở thành nhóm Aben với phần tử ánh xạ 0: G G, 0(g) = 0, g G phần tử đối ánh xạ - , đợc xác định bởi: (- ): GG g -[ (g)] Mặt khác, End(G) vị nhóm nhân theo lập luận trên, luật phân phối phép cộng phép nhân đợc thử trực tiếp, nên End(G) trở thành vành có đơn vị Nói chung vành End(G) không giao hoán 10 Ký hiệu (End(G))* tập hợp phần tử khả nghịch End(G) xét lý thuyết tập hợp, ta có: Aut(G) = (End(G))* Dựa vào kết này, ta mô tả đợc nhóm tự đẳng cấu nhiều lớp nhóm Aben quen thuộc 2.2 Mệnh đề: Giả sử Z vành số nguyên, Zm vành số nguyên thu gọn theo Môdul m, Q trờng số hữu tỉ Thế thì: (i) End Z Z (ii) End Zm Zm (iii) EndQ Q Chứng minh: (i) Lập ánh xạ: : EndZ Z đợc xác định bởi: ()=(1), End Z Khi (+)=(+) (1) = =(1)+(1)=()+(), nên đồng cấu Giả sử ker ()=0 (1)=0 (z)=(z.1)= z.(1)=z.0=0 nên =0 Do Ker()=0 đơn cấu Mặt khác, m Z, ánh xạ: m: ZZ x mx đồng cấu vành Z (m)=m(1)=m.1=m nên toàn ánh Vậy đẳng cấu hay End Z Z (ii) Phép chứng minh End Zm Zm đợc chứng minh tơng tự (iii) Để chứng minh End Q Q lập ánh xạ: : End Q Q (1) End(Q) Khi đó: (+)=(+) (1)=(1)+(1)=()+() , End(Q), nên đồng cấu Với m Q, xét ánh xạ m: QQ 11 x mx đồng cấu Q (m)=m(1)=m.1 nên toàn ánh toàn cấu Hơn nữa, Ker() (m)=0, m Z Nếu x Q, x p p,q Z, q>0, (p,q)=1 cho x= q 1 Khi (1)=0, ta suy ra: (q q )=0 ( q )=0 q p ( q )=p( q )=p.0=0 =0 nên Ker()=0 Do đơn cấu Vậy đẳng cấu, suy EndQ Q 2.3 Hệ quả: (i) Aut(Z) Z2 (ii) Aut(Zm)(Zm)* (iii) Aut(Q) Q* Trong Zm*={ k |0[...]... quan lại về nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben - Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của nhóm luỹ linh - Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho trớc -Khảo sát một số tính chất của nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu Việc khảo sát các tính chất của nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu là vấn đề của chúng tôi tiếp tục nghiên cứu 25 Tài liệu tham khảo 1 Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSP Vinh, 1997 2 Bùi... Mệnh đề: Trong nhóm luỹ linh G bất kỳ, tập hợp T(G) các phần tử có cấp hữu hạn của G là một nhóm con của G Chứng minh: Quy nạp theo bậc luỹ linh của nhóm Nếu G là nhóm luỹ linh theo bậc luỹ linh bằng 1 thì G là nhóm Aben do đó T(G) là nhóm con của G Giả sử kết luận đúng với mọi nhóm luỹ linh mà bậc luỹ linh nhỏ hơn hoặc bằng s-1 Ta cần chứng minh kết luận của định lý đúng với mọi nhóm luỹ linh G bậc bằng... UT(n;k) là nhóm luỹ linh Nhng ta biết rằng, các ma trận không suy biến chính là các tự đẳng cấu của các không gian véctơ với một cơ sở cố định, và các ma trận tam giác Unhita tơng ứng với các tự đẳng cấu giữ nguyên vị trí của dãy các không gian con và tác động đồng nhất trong không gian thơng của dãy đó Khảo sát các mệnh đề dới đây, ta thấy nguyên nhân của các tính chất trên là do tính luỹ linh 4.2.1.Định... hình của một nhóm cho trớc Giả sử G là một nhóm tuỳ ý Bài toán đặt ra trong tiết này là hãy nhúng chìm G vào một nhóm G* nào đó sao cho mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳng cấu trong của G* Ký hiệu: := Aut(G) là nhóm các tự đẳng cấu của G và G *= { | , g G} là các cặp hình thức g với , g G xác định trên G* phép toán nhân theo quy tắc: g.'.g'=..'g.'g' (1) Khi đó, các tiên đề của nhóm đợc thoả... 4.2.1.Định lí: Giả sử trong nhóm G đã cho dãy ớc chuẩn G=Go G1 Gn=1 (1) độ dài n và là nhóm tất cả các t đẳng cấu của G bất biển trên từng thành phần của dãy (1) và tác động đồng nhất trong các thơng Gi/Gi+1 (nghĩa là ổn định với dãy (1)) Chúng ta xét G và nh nhóm con của nhóm toàn hình Hol G.Khi đó nhóm và hoán tập [G,] là các nhóm luỹ linh bậc nhỏ hơn n Chứng minh: i) là nhóm luỹ linh bậc nhở hơn n Thật... thành nhóm hơn nữa các ánh xạ: G* , 1 G G* g 1g (2) là các đơn cấu Do đó có thể đồng nhất và G với các nhóm con tơng ứng của G Từ các qui tắc nhân ở (1) suy ra: * -1g =g với , g G (3) Thế thì G*=G, G G*, G=1(4) Và do (3), mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳng cấu trong G* Bài toán đợc giải quyết trọn vẹn 4.1.2 Định nghĩa: Nhóm G đợc xây dựng ở trên đợc gọi là nhóm toàn hình của nhóm G... là một trong các vành Z hay Zm hay Q 1 * Thế thì: Hol K 0 | K , K Chứng minh: Vì AutZ Z*, AutZm (Zm)*, AutQ Q* nên các tự đẳng cấu của nhóm cộng tính K vét kiệt phép nhân các phần tử trên K* Do đó: 1 * Hol K 0 | K , K Mệnh đề đợc chứng minh 4.2 Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu Giả sử K là một trờng và n là số nguyên dơng cho trớc Khi đó, tập hợp tất cả các ma trận vuông... nghĩa: Nhóm các tự đẳng cấu trong định lý 4.2.1 đợc gọi là cái ổn định của dãy (1) 4.2.3 Định lý: Cái ổn định của dãy giảm các nhóm con độ dài r là nhóm luỹ linh bậc không vợt quá Cr2 Chứng minh: Ta chứng minh qui nạp theo độ dài của dãy (1) Giả sử là các ổn định của dãy (1) Giả sử A= C (G) Vì là cái ổn định của dãy G1 G2 ., độ dài n-1, 2 nên theo giả thiết qui nạp, nhóm /A là nhóm luỹ linh bậc... suy ra Gi+1/Gi cũng là nhóm Aben i= 0, n 1 Vì vậy, nhóm luỹ linh là giải đợc ii) Vì nhóm Aben có tâm trùng với nó, do đó mọi nhóm Aben đều có dãy tâm độ dài bằng 1 Nói cách khác, nhóm Aben là nhóm luỹ linh với bậc luỹ linh bằng 1 3.2 Bổ đề: Giả sử Z là tâm của G sao cho Z G.Khi đó nhóm thơng G/Z không phải là nhóm xyclic Chứng minh: Giả sử G/Z là nhóm xyclic sinh bởi a e , khi đó g G, số nguyên... trên của nhóm luỹ linh G, nghĩa là [Gi+1,Gi] n Gi, i= 0, n và x là phần tử của G liên hợp với x-1 Khi đó tồn tại phần tử g G sao cho x= g-1x-1g x2=g-1x-1gx=[g,x] [Gn,Gn-1] n Gn-1 n Tơng tự x2=g-1x-1g.g-1x-1g=g-1x-2g x4=g-1x-2gx2 [Gn-1,Gn-2] Gn-2 Do đó tồn tại số tự nhiên m sao cho x 2m Go=, vì G không phi xoắn nên x=1 19 Đ4 Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu 4.1 Nhóm toàn hình 4.1.1 Xây dựng nhóm ... quan nhóm tự đẳng cấu nhóm cho trớc -Tổng quan lại nhóm tự đẳng cấu nhóm Aben - Nhắc lại định nghĩa tính chất nhóm luỹ linh - Xây dựng nhóm toàn hình nhóm cho trớc -Khảo sát số tính chất nhóm luỹ. .. có cấp hữu hạn G nhóm G Chứng minh: Quy nạp theo bậc luỹ linh nhóm Nếu G nhóm luỹ linh theo bậc luỹ linh G nhóm Aben T(G) nhóm G Giả sử kết luận với nhóm luỹ linh mà bậc luỹ linh nhỏ s-1 Ta cần... tự đồng cấu nhóm G Tự đồng cấu f G đợc gọi tự đẳng cấu G f song ánh 1.4 Mệnh đề: Giả sử G nhóm Khi đó, tập hợp tất tự đẳng cấu G nhóm nhóm song ánh S(G) Chứng minh: Ký hiệu M tập hợp tất tự đẳng