Về môđun bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ LÊ THỊ KIỀU OANH VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA BAO NỘI XẠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ VĂN THUYẾT Huế, Năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn cơng trình nghiên cứu hướng dẫn trực tiếp thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết Trong trình nghiên cứu đề tài luận văn, kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả ii LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết, cảm ơn lời động viên, nhắc nhở thầy suốt trình hướng dẫn khoa học cho tơi Thầy giúp tơi vượt qua khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Khóa 23 trường ĐHSP Huế tồn thể thầy khoa Tốn trường ĐHSP Huế giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Sau Đại học trường ĐHSP Huế tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục kí hiệu viết tắt Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Môđun cốt yếu 1.3 Môđun A - nội xạ Tiêu chuẩn Baer 12 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ 15 1.5 Bao nội xạ 22 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ 27 2.1 Môđun giả nội xạ 27 2.2 Môđun tự đẳng cấu – bất biến 29 2.3 Môđun giả nội xạ môđun tự đẳng cấu bất biến trùng 37 2.4 Vành liên quan 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT N, Z, Q, R, C : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (theo thứ tự) A ≤ B(A < B) : A môđun (con thực sự) B A≤e B : A môđun cốt yếu B A≤⊕ B A∼ =B : A hạng tử trực tiếp B A⊕B : Tổng trực tiếp hai môđun A B E (M ) : Bao nội xạ môđun M Z(M ) : Môđun suy biến môđun M Im (f ) : Ảnh đồng cấu f Ker (f ) : Hạt nhân đồng cấu f End(M ) : Vành tự đồng cấu môđun M : Môđun A đẳng cấu với môđun B M od − R(R − M od) : Phạm trù R−môđun phải (trái, tương ứng) Hom(N, M ) : Tập tất đồng cấu môđun từ N đến M ⊕ Ai : Tổng trực tiếp môđun Ai , i ∈ I ϕ|A : Thu hẹp ϕ A M/N : Môđun thương M N ≤0 : Quan hệ thứ tự i MỞ ĐẦU Lý thuyết môđun phận lý thuyết đại số kết hợp, nhiều nhà toán học quan tâm Việc nghiên cứu lý thuyết môđun ngày phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Một hướng nghiên cứu vành đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Vì ngày có nhiều lớp môđun nghiên cứu Một hướng nghiên cứu lý thuyết việc nghiên cứu môđun nội xạ, tựa nội xạ Một tính chất quan trọng mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Cho MR A, B ∈ M od − R, xét giản đồ sau: / / A f  ~ B h M Nếu tồn h ∈ HomR (B, M ) với AR , BR với f ∈ HomR (A, M ) ta nói MR nội xạ ta nói MR M od − R−nội xạ Tiêu chuẩn Bear cho ta biết MR nội xạ M RR −nội xạ Môđun MR gọi tựa nội xạ tự nội xạ, nghĩa MR MR −nội xạ Vào năm 1961, Johnson Wong chứng minh MR tựa nội xạ với f ∈ EndR (E (M )), M bất biến qua f , nghĩa f (M ) ≤ M , E (M ) bao nội xạ môđun M Phát triển tư tưởng này, nhà khoa học chuyển từ tự đồng cấu sang tự đẳng cấu Vào năm 1969, Dickson-Fuller chứng minh R đại số trường F với nhiều phần tử, mơđun M khơng thể phân tích tựa nội xạ M bất biến qua tự đẳng cấu E (M ) Xét đến lớp môđun bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ, vào năm 2013 tác giả Lee Zhou xây dựng khái niệm môđun tự đẳng cấu bất biến Một môđun M gọi tự đẳng cấu bất biến ϕ(M ) ≤ M với ϕ ∈ AutR (E (M )) Một vài đặc trưng lớp môđun nghiên cứu áp dụng Sau đó, Teply (1975) đưa khái niệm giả nội xạ Một môđun M gọi giả nội xạ đơn cấu từ mơđun M vào M mở rộng đến tự đồng cấu M Giả nội xạ tự đẳng cấu bất biến gần Một câu hỏi đặt mơđun tự đẳng cấu bất biến trùng với môđun giả nội xạ Vào năm 2013, Er, Sing Srivastava chứng minh môđun tự đẳng cấu bất biến trùng với mơđun giả nội xạ Ngồi ra, Guil Asensio Srivastava chứng minh tự đồng cấu vành môđun tự đẳng cấu bất biến nửa quy Mục đích luận văn tìm hiểu mơđun bất biến qua tự đẳng cấu, môđun giả nội xạ cuối chứng minh hai lớp môđun trùng Theo định hướng thầy hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết, chọn đề tài "Về môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết mơđun có liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể tơi trình bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất cấu trúc đại số mơđun khái niệm tính chất mơđun nội xạ, mơđun cốt yếu, bao nội xạ Chương Môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Trong chương đề cập đến bốn nội dung Nội dung thứ nhất: trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, chứng minh tính chất môđun giả nội xạ Nội dung thứ hai: nghiên cứu khái niệm, tính chất mơđun tự đẳng cấu bất biến Nội dung thứ ba: nghiên cứu môđun giả nội xạ môđun tự đẳng cấu bất biến trùng Nội dung thứ tư: nghiên cứu số vành liên quan Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nêu số định nghĩa tính chất dùng chương sau Trong luận văn khơng nói thêm mơđun M quy ước R môđun phải R vành kết hợp có đơn vị khác khơng 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Môđun B môđun A gọi hạng tử trực tiếp A có mơđun C A cho A = B ⊕ C Môđun A khác không gọi khơng phân tích A hạng tử trực tiếp A Định nghĩa 1.1.2 (Các điều kiện Ci môđun) (C1 ) Mọi môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2 ) Mọi môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3 ) Nếu M1 , M2 hạng tử trực tiếp M , M1 ∩ M2 = M1 ⊕ M2 ≤⊕ M Định nghĩa 1.1.3 (i) M thỏa mãn (C1 ) gọi CS−môđun hay môđun mở rộng (ii) M thỏa mãn (C1 ) (C2 ) gọi môđun liên tục (iii) M thỏa mãn (C1 ) (C3 ) gọi môđun tựa liên tục Định nghĩa 1.1.4 Dãy khớp đồng cấu f g → A → B → C → gọi chẻ môđun B, Imf hạng tử trực tiếp B, tức tồn môđun cho: B = Imf ⊕ B1 Một dãy khớp gọi chẻ, chẻ môđun trung gian Áp dụng định nghĩa cho trường hợp dãy khớp ngắn ta có: dãy f g khớp ngắn → A → B → C → chẻ dãy chẻ B Thật vậy, kiểm tra dãy chẻ A C tầm thường: A = Im0 ⊕ A C = Img ⊕ Các dãy khớp ngắn sau đây, sinh tổng trực tiếp A ⊕ B xem ví dụ điển hình dãy khớp chẻ: j1 p2 j2 p1 → A → A ⊕ B → B → 0, → B → A ⊕ B → A → Nếu nhớ lại đẳng thức tổng trực tiếp p1 j1 = 1A , p2 j2 = 1B ta nhận xét rằng: hai dãy khớp ngắn chẻ đây, đồng cấu vào j1 , j2 có nghịch đảo trái, đồng cấu p1 , p2 , có nghịch đảo phải Điều này, thấy dãy khớp ngắn sinh tổng trực tiếp, mà đặc trưng chung cho dãy khớp ngắn chẻ Cụ thể, có: Định lí 1.1.5 Đối với dãy khớp ngắn / A α / B phát biểu sau tương đương: (i) Dãy khớp ngắn chẻ (ii) Đồng câu α có nghịch đảo trái (iii) Đồng cấu β có nghịch đảo phải β /C / Chứng minh (ii) ⇒ (i) Nếu đồng cấu α có nghịch đảo trái, tức tồn đồng cấu p : B → A cho pα = 1A , tích hai đồng cấu: p α A→B →A đẳng cấu Vậy B = Imα ⊕ Kerp, dãy chẻ (i) ⇒ (ii) Nếu dãy chẻ ra, tức B = Imα ⊕ B1 tồn phép chiếu p1 : B = Imα ⊕ B1 → Imα Bởi α đơn cấu nên A ∼ = Imα đồng cấu α1 : A → Imα (mà α1 (a) = α(a), ∀a ∈ A) có đồng cấu ngược α1 −1 : Imα → A Chọn p = α1 −1 p1 pα = 1A , tức α có nghịch đảo trái Vậy (i) tương đương (ii) Một cách tương tự: (iii) ⇒ (i) Nếu β có nghịch đảo phải, tức tồn đồng q β cấu q mà βq = 1C tích hai đồng cấu C → B → C đẳng cấu Và B = Imq ⊕ Kerβ = Imq ⊕ Imα, tức dãy chẻ (i) ⇒ (ii) Nếu dãy chẻ tồn môđun B1 mà B = Imα ⊕ B1 Xét đồng cấu β1 = β|B1 : B1 → C Bởi B1 ∩ Kerβ = nên β1 đơn cấu β1 tồn cấu vì: ∀c ∈ C, β1 toàn cấu nên ∃b ∈ B mà β(b) = c Vì B = Imα ⊕ B1 nên tồn a ∈ A, b1 ∈ B1 mà b = α(a) + b Hiển nhiên β1 (b) = c Vậy β1 : B1 → C đẳng cấu, tồn đẳng cấu ngược β1 −1 : C → B1 Chọn q = j2 β1 −1 với j2 : B1 → Imα ⊕ B1 phép nhúng thành phần B1 vào tổng trực tiếp, ta có: βq = 1C , tức β có nghịch đảo phải Vậy (i) tương đương (iii) Định lí 1.1.6 Cho dãy khớp ngắn / A α / B β /C / Khi dãy sau khớp 1) / Hom(M, A) α∗ / Hom(M, B) β∗ / Hom(M, C) /0 đề 2.1.2, M1 ⊕ M2 M2 giả nội xạ, từ g mở rộng đến đồng cấu g ∗ : M2 → M1 ⊕ M2 Nếu π1 : M1 ⊕ M2 → M1 chiếu tự nhiên M1 ⊕ M2 lên M1 , sau πA g ∗ : M2 → M1 đồng cấu mở rộng f Do đó, M1 M2 −nội xạ Hệ 2.1.4 Nếu ⊕i∈Γ Mi giả nội xạ, Mj Mk −nội xạ, với j, k ∈ Γ Hệ 2.1.5 Đối với số nguyên n ≥ 2, M n giả nội xạ M tựa nội xạ Chứng minh Nếu M n giả nội xạ, theo Hệ 2.1.4, M M −nội xạ, tức M tựa nội xạ Ngược lại, M tựa nội xạ, M n tựa nội xạ giả nội xạ Đặc biệt, lấy MR = RR , Hệ 2.1.5 cho biết, số n nguyên n < 2, RR giả nội xạ RR tựa nội xạ, tức là, R k2 tự nội xạ phải Mk (R)R ∼ , với số nguyên k ≥ 2, Mk (R)R = RR giả nội xạ R tự nội xạ phải Định lí 2.1.6 Mơđun giả nội xạ thỏa điều kiện (C2 ) Chứng minh Gọi M môđun giả nội xạ, A hạng tử trực tiếp M A đẳng cấu với B Cho f đẳng cấu B → A, f đơn cấu B → M Khi M M −giả nội xạ, A M −giả nội xạ (theo Định lí 2.1.2(4)), từ B M −giả nội xạ Vì vậy, theo Định lí 2.1.2(1), f chẻ ra, tức là, B số hạng trực tiếp M Do đó, M thỏa mãn (C2 )   Z2 Z2  vành C2 nên RR mơđun Ví dụ R =  Z2 giả nội xạ 2.2 Môđun tự đẳng cấu – bất biến Cho M môđun Môđun N M gọi tự đẳng cấu bất biến môđun σN ≤ N với tự đẳng cấu σ M 29 Định nghĩa 2.2.1 Một môđun gọi tự đẳng cấu bất biến mơđun tự đẳng cấu bất biến môđun bao nội xạ Quy ước E(M ) thay cho bao nội xạ môđun M End(M ) thay cho vành tự đồng cấu M Đầu tiên mô tả tự đẳng cấu bất biến môđun qua tính chất sau Định lí 2.2.2 Các mệnh đề sau tương đương môđun M : (1) M môđun tự đẳng cấu bất biến (2) Mỗi phép đẳng cấu hai môđun thực M mở rộng đến tự đồng cấu M (3) Mỗi phép đẳng cấu hai môđun thực M mở rộng đến tự đẳng cấu M Chứng minh (1) ⇒ (3) Cho X, Y hai môđun thực M α phép đẳng cấu X Y Tồn tự đồng cấu β E(M ) cho B|X =α Hơn β phải tự đẳng cấu E(M ) Vì M tự dẳng cấu bất biến, β(M ) ≤ M β −1 (M ) ≤ M , nên B|M tự đẳng cấu M mở rộng α (3) ⇒ (2) Hiển nhiên (2) ⇒ (1) Cho σ tự đẳng cấu E(M ) Giả sử Y = σ(M ) ∩ M , X = σ −1 (Y ) α = σX Do σ song ánh nên X = {x ∈ M : σ(x) ∈ Y } Hơn X, Y môđun thực M α phép đẳng cấu X Y Theo (2), α mở rộng tự đồng cấu β M Lấy y ∈ Y ∩(σ −β)(M ) biểu diễn y = (σ − β)(x) với x ∈ M Thì σ(x) = y + β(x) ∈ Y , suy x ∈ X, y = (σ − β)(x) = σ(x) − β(x) = α(x) − β(x) = Điều cho thấy Y ∩ (σ − β)(M ) = hay Y thực E(M ), (σ−β)(M ) = Vì σ(M ) = β(M ) ≤ M 30 Môđun tựa nội xạ tự đẳng cấu bất biến Môđun M gọi giả nội xạ phép đơn cấu từ môđun M vào M mở rộng đến tự đồng cấu M , đồng thời môđun M gọi giả nội xạ thực với phép đơn cấu từ môđun thực M vào M mở rộng đến tự đồng cấu M Môđun giả nội xạ gọi môđun nội xạ đơn Mệnh đề 2.2.3 Nếu đơn vị R, tự đẳng cấu bất biến R mơđun tựa nội xạ Chứng minh Cho M tự đẳng cấu bất biến R mơđun Thì End(E(M )) vành theo [7, Định lý 3.9] Nhưng đơn vị R, đơn vị End(E(M )) Do đó, theo [8, Định lý 11], tự đồng cấu f E(M ) tổng hai tự đẳng cấu Vì f (M ) ≤ M , lại M tự đẳng cấu bất biến E(M ) Do M mơđun tựa nội xạ Ví dụ Cho R vành tồn dãy số cuối (xn ), n ∈ N phần tử F2 Thì E(RR ) = Πn∈N F2 , có tự đẳng cấu, cụ thể tự đẳng cấu đồng thức Do đó, RR tự đẳng cấu bất biến khơng tựa nội xạ Như môđun tự đẳng cấu bất biến môđun tựa nội xạ Môđun tự đẳng cấu bất biến suy rộng khái niệm môđun tựa nội xạ Đây điều tự nhiên để đặt câu hỏi, môđun tự đẳng cấu bất biến mđun tựa nội xạ Câu hỏi có kết nối tự nhiên đến vấn đề đặc trưng vành tự đồng cấu môđun sinh phần tử đơn vị Nếu tự đẳng cấu bao nội xạ môđun M tổng tự đẳng cấu rõ ràng M tự đẳng cấu bất biến M tựa nội xạ Lý thuyết cấu trúc Neumann tiến hành với vành tựa nội xạ phải vành phải tựa nội xạ Neumann R tích trực tiếp vành Abel tích vành ma trận riêng ước sơ cấp Sử dụng nhận xét Khurana Srivastava chứng minh vành sơ cấp tựa nội xạ 31 phải R tổng hai phần tử R khơng có ảnh đồng cấu đẳng cấu đến trường hai phần tử F2 (xem [13], [14]) Vì với đồng cấu liên tục môđun M tổng hai tự đẳng cấu End (M ) khơng có ảnh đồng cấu đẳng cấu đến F2 Guil Asensio Herzog chứng minh M môđun xoắn phẳng (nội xạ tinh khiết) End (M ) /J (End (M )) vành tựa nội xạ phải Neumann [4] Do tự đồng cấu môđun phẳng xoắn M tổng hai đẳng cấu End(M ) khơng có ảnh đồng cấu đẳng cấu tới F2 Tại [5], Guil Asensio Srivastava M môđun phải cho End(M ) khơng có ảnh đồng cấu đẳng cấu tới F2 End(E(M )) khơng có ảnh đồng cấu đẳng cấu tới F2 Ta có định lí quan trọng sau Định lí 2.2.4 Nếu M môđun phải R cho End(M ) khơng có ảnh đồng cấu tới F2 M tựa nội xạ M tự đẳng cấu bất biến Chứng minh Xem [5] Sử dụng lý thuyết Cho M tự đẳng cấu bất biến cho End(M ) khơng có ảnh đồng cấu tới F2 Lúc End(E(M )) khơng có ảnh đồng cấu tới F2 Do phần tử End(E(M )) tổng hai tự đẳng cấu.Do đó, với tự đồng cấu λ ∈ End(E(M )), ta có λ = u1 + u2 với u1 , u2 tự đẳng cấu End(E(M )) Khi đó, M mơđun tự đẳng cấu bất biến u1 , u2 bất biến tự đồng cấu λ Điều chứng tỏ, M tựa nội xạ Sử dụng lý thuyết quan sát R vành S vành Z(R) cho F2 cấu trúc mơđun phải S với M môđun phải R, vành tự đồng cấu End(M ) khơng có ảnh đồng cấu tự đẳng cấu tới F2 Guil Asensio Srivastava chứng minh [5] Định lí 2.2.5 Nếu A đại số trường F với nhiều hai phần tử Thì M mơđun phải A tự đẳng cấu bất biến M tựa nội xạ Chứng minh (xem [5]) Cho M tự đẳng cấu bất biến mơđun phải A Khi đó, A đại số trường F với nhiều hai phần tử Lúc đo, F2 32 cấu trúc mơđun phải Z(A) End(M ) khơng có ảnh đồng cấu tự đẳng cấu tới F2 Theo Mệnh đề 2.2.4 suy M tựa nội xạ Điều mở rộng từ kết Dickson Fuller [10], họ chứng minh R đại số hữu hạn chiều trường F với nhiều hai phần tử đẳng cấu bất biến bên phải R−mơđun khơng phân tích phải tựa nội xa Ví dụ từ [17] cho thấy ta cần giả định trường F có nhiều hai phần tử chứng minh định lí   F2 F2 F2     Ví dụ Cho R =  F2  với F2 trường gồm hai phần tử Và R   0 F2 ví dụ đại số hữu hạn chiều trường với hai phần tử cho tồn mơđun phải R khơng thể phân tích e11 R mà đẳng cấu bất biến tự nội xạ Theo kết định lí trên, ta có hệ sau: Hệ 2.2.6 (xem [5]) Nếu A đại số trường F với nhiều phần tử cho A đẳng cấu bất biến bên phải mơđun A A tựa nội xạ phải Hệ 2.2.7 Cho K[G] nhóm đại số tự đẳng cấu bất biến với K trường nhiều hai phần tử G phải hữu hạn Chứng minh (xem [5]) Ta thấy tự đẳng cấu bất biến môđun M thõa tính chất (C2 ) Bây giờ, ta giả sử M thỏa thêm tính chất (C1 ) M mơđun liên tục M modun bất biến tính lũy đẳng tự đồng cấu E(M ) Vì E(M ) hồn tồn mơđun nội xạ, tự đồng cấu E(M ) tổng lũy đẳng tự đồng cấu tự đẳng cấu Vì vậy, theo CS, đẳng cấu bất biến modun M bất biến lũy đẳng tự đồng cấu tự đẳng cấu E(M ) Bổ đề 2.2.8 (xem [15]) Số hạng trực tiếp tự đẳng cấu bất biến môđun M tự đẳng cấu bất biến 33 Chứng minh Cho N số hạng trực tiếp M M = N ⊕ P Giả sử α phép đẳng cấu X Y X, Y hai mơđun cốt yếu N Khi X ⊕P, Y ⊕P môđun cốt yếu M α⊕1P : X ⊕P → Y ⊕P phép đẳng cấu Vì M tự đẳng cấu bất biến nên α ⊕ 1P mở rộng đến tự đồng cấu β M theo Định lý 2.2.2 Cho ι : N → M bao hàm π : M → N phép chiếu dọc theo P Thì πβι tự đồng cấu N rõ ràng mở rộng α Vậy N tự đẳng cấu bất biến theo Định lý 2.2.2 Định lí 2.2.9 Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 tự đẳng cấu bất biến, M1 M2 nội xạ tương đối Chứng minh Cho f : A → M1 đồng cấu A ≤ M2 Ta thấy f mở rộng đồng cấu từ M2 vào M1 Thì tồn B ≤ M2 cho A ∩ B = A ⊕ B ≤ eM2 f mở rộng đến đồng cấu g : A ⊕ B → M1 g(B) = Đặt C := A ⊕ B ánh xạ α : M1 ⊕ C → M1 ⊕ M2 xác định α(x, c) = (x + g(c), c) với x ∈ M1 vc ∈ C Khi α phép đơn cấu Hơn nữa, α(M1 ⊕ C) = M1 ⊕ C tổng trực tiếp cốt yếu M1 ⊕ M2 , M1 ⊕ M2 tự đẳng cấu bất biến, α mở rộng đến tự đồng cấu β M1 ⊕ M2 theo Định lý 2.2.2 Giả sử ι : M2 → M1 ⊕ M2 phép biến đổi nội xạ tắc π : M1 ⊕ M2 → M1 phép chiếu tắc đồng cấu πβι : M2 → M1 mở rộng f Vậy M1 M2 −nội xạ Hệ 2.2.10 M môđun tựa nội xạ M ⊕ M tự đẳng cấu bất biến Hệ 2.2.11 Nếu M1 ⊕ M2 giả nội xạ, M1 M2 nội xạ tương đối Chứng minh (xem [11], Định lí 2.2) Cho M1 ⊕ M2 giả nội xạ, ta chứng minh M1 M2 −nội xạ Cho A ≤ M2 , f : A → M1 đồng cấu Định 34 nghĩa g : A → M1 ⊕ M2 với g(a) = (f (a), a) (với a ∈ A), g đơn cấu Theo Mệnh đề 2.1.2, M1 ⊕ M2 M2 −giả nội xạ, từ g mở rộng đến đồng cấu g ∗ : M2 → M1 ⊕ M2 Nếu π1 : M1 ⊕ M2 → M1 phép chiếu tắc từ M1 ⊕ M2 đến M1 , π1 g ∗ : M2 → M1 mở rộng đồng cấu f.Vậy M1 M2 −nội xạ Hệ 2.2.12 Các mệnh đề sau tương đương môđun M : (1) M nửa đơn (2) Mỗi môđun σ[M ] tự đẳng cấu bất biến (3) Mỗi môđun sinh σ[M ] tự đẳng cấu bất biến Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) Rõ ràng (3) ⇒ (1) Cho N ∈ σ[M ] mơđun cyclic x ∈ M Thì N ⊕ xR môđun sinh σ[M ] nên tự đẳng cấu bất biến theo giả thiết Do đó, theo Định lý 2.2.11, N xR−nội xạ Theo tiêu chuẩn Baer, N M −nội xạ Do đó, theo [12, Hệ 7.14] M nửa đơn Hệ 2.2.13 Vành R Artin nửa đơn R môđun sinh tự đẳng cấu bất biến Hệ 2.2.14 Vành R vành SC phải R môđun sinh kì dị tự đẳng cấu bất biến Chứng minh Cho K lớp tất R mơđun kì dị Vì K đóng mơđun con, tổng trực tiếp môđun thương, K = σ(M ) với M mơđun [9, Hệ 2.2.4] Do đó, R SC phải M nửa đơn theo Hệ 2.2.13 Định lí 2.2.15 Mỗi tự đẳng cấu bất biến môđun thoả mãn (C3 ) Chứng minh Cho M tự đẳng cấu bất biến môđun Và A, B hai số hạng trực tiếp M cho A ∩ B = Ta thấy A ⊕ B số hạng trực tiếp M Đặt M = A ⊕ A , giả sử Π : M → A phép chiếu tắc Cho C mơđun M cho (A B) ∩ C = A ⊕ B ⊕ C ≤ eM Đặt D := B ⊕ C 35 A ⊕ D = A ⊕ πD, π|D : D → πD phép đẳng cấu Do 1A ⊕ π|D : A ⊕ D → A ⊕ πD phép đẳng cấu Do M tự đẳng cấu bất biến A ⊕ D cốt yếu M nên 1A ⊕ π|D mở rộng đến tự đẳng cấu M theo Định lý 2.2.2 Vì B số hạng trực tiếp M , πB = σB số hạng trực tiếp M nên πB số hạng trực tiếp A Vậy nên A ⊕ B = A + πB số hạng trực tiếp M Định lí 2.2.16 Mơđun M tựa nội xạ tự đẳng cấu bất biến CS Chứng minh Dấu suy rõ ràng Chiều ngược lại, giả sử M tự đẳng cấu bất biến CS M tựa liên tục theo Định lý 2.2.15 Do M tự đồng cấu bất biến luỹ đẳng E(M ) theo [16, Định lý 2.8] Từ M bất biến tự đẳng cấu E(M ), M bất biến toàn tự đồng cấu E(M ) theo [7, Định lý 3.9] Do M tựa nội xạ Hệ 2.2.17 Cho M = Mi với Mi CS Thì M tựa nội xạ ⊕i∈I tựa đẳng cấu bất biến Chứng minh Dấu suy rõ ràng Chiều ngược lại, giả sử M tự đẳng cấu bất biến Mi tự đẳng cấu bất biến theo Bổ đề 2.2.8, tựa nội xạ theo Hệ 2.2.16 Theo Định lý 2.2.10, M = Mj Mi −nội xạ với i ∈ I Do M tựa ⊕i=j∈I nội xạ theo [16, Mệnh đề 1.18] 36 2.3 Môđun giả nội xạ môđun tự đẳng cấu bất biến trùng Bổ đề 2.3.1 ( Xem [12, Bổ đề 7.5]) Cho M = A ⊕ B Khi A B−nội xạ với môđun C M với A ∩ C = 0, tồn môđun D M saocho C ≤ D A ⊕ D = M Bổ đề 2.3.2 Giả sử M = A ⊕ B, A B trực giao với Với môđun C M đơn cấu f : C → M , khẳng định sau tương đương: (i) f (C ∩ B) ∩ B cốt yếu f (C ∩ B) (ii) Nếu B khơng phương, f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) cốt yếu f (C ∩ B) C ∩ B Chứng minh Cho C môđun M f : C → M đơn cấu Giả sử D môđun f (C ∩ B) với D ∩ B = Sau D nhúng (qua phép chiếu A ⊕ B → A ) vào A Nhưng D đẳng cấu với môđun C ∩ B Tức là, tính trực giao, mà D = Điều chứng minh (i) Bây giờ, giả sử X môđun khác không f (C ∩ B) với X ∩ (C ∩ B) = Khi đó, theo (i), X ∩ B = (X ∩ B)2 nhúng (X ∩ B) ⊕ (C ∩ B) ≤ B, mâu thuẫn với giả định B khơng phương Do đó, f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) điều cốt yếu f (C ∩ B) Tương tự, f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) cốt yếu C ∩ B Điều chứng minh (ii) Định lí 2.3.3 Một môđun M tự đẳng cấu bất biến giả nội xạ Chứng minh Thực tế môđun giả nội xạ tự đẳng cấu bất biến theo [15] Vì vậy, cho M tự đẳng cấu bất biến, C môđun M, f : C → M đơn cấu Thì M = A ⊕ B, A tựa nội xạ, B tự đẳng cấu bất biến không suy biến, A B nội xạ tương đối (xem 37 [18], Định lý 3) Bây cho K phần bù f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) B Khi đó, theo bổ đề 2.3.2(ii), K ⊕ [f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B)] cốt yếu K ⊕ (C ∩ B) K ⊕ f (C ∩ B) Điều có nghĩa [K ⊕ f (C ∩ B)] ∩ A = K ⊕ f (C ∩ B) ⊕ A cốt yếu M Do A B−nội xạ, theo bổ đề 2.3.1, tồn môđun B M mà f (C ∩ B) ⊕ K ≤ B M = A ⊕ B Trong trường hợp B ∼ = B Từ chứng minh trên, f (C ∩ B) ⊕ K cốt yếu B Vì B tự đẳng cấu bất biến, đồng cấu f|C∩B ⊕ 1K : (C ∩ B) ⊕ K → f (C ∩ B) ⊕ K mở rộng đến đồng cấu f : B → B Vậy f |C∩B = f|C∩B Xét ánh xạ g : C +B → f (C)+B xác định g(c+b) = f (c)+f (b), g mở rộng f Cho phép chiếu π : A ⊕ B → A B + C = B ⊕ π(C) Ở đây, π(C) = (B + C) ∩ A Do A B A−nội xạ, nên M A−nội xạ, tiếp tục ta xét g|π(c) : π(C) → M mở rộng đến g : A → M Khi ta có g |π(C) = g |(B+C )∩A = g|(B+C )∩A Bây giờ, xét ánh xạ Ψ : M → M xác định a ∈ A, x ∈ B + C, Ψ(a + x) = g (a) + g(x), với Ψ mở rộng f Vậy M giả nội xạ 2.4 Vành liên quan Định nghĩa 2.4.1 R vành Goldie phải RR có hạng hữu hạn R thỏa ACC với linh hóa tử phải Ví dụ 10 Mỗi vành Noether phải vành Goldie phải vành Noether phải có hạng hữu hạn thỏa ACC với linh hóa tử phải Định lí 2.4.2 Nếu R vành Goldie phải nửa đơn, R mơđun khơng suy biến nội xạ Chứng minh Cho K lớp tồn R mơđun khơng suy biến Vì R khơng suy biến phải nên ta có: iđêan phải I R, R/I ∈ K I phần bù iđêan phải R Do R hữu hạn chiều, R thoả mãn chuỗi điều kiện tăng dần phần bù iđêan phải Vì vậy, theo [5, Hệ 3.1.15], R môđun suy biến chứa môđun nội xạ cực đại Cho M tự đẳng 38 cấu bất biến M môđun không suy biến với môđun nội xạ cực đại N Đặt M = N ⊕ P P ≤ M Để thấy M nội xạ, ta chứng minh P = Giả sử P = 0, P không suy biến R hữu hạn chiều, P chứa môđun K Do phần bù môđun P phần bù môđun M , chứng minh xa K phần bù môđun M Tiếp theo, ta K tựa nội xạ Giả sử = A ≤ K f : A −→ K đồng cấu khác khơng Vì K mơđun suy biến đều, f phải phép đơn cấu Cho L môđun M cho L ∩ (N ⊕ A) = L + (N ⊕ A) ≤ε M Vì A ∩ (L ⊕ N ) = 0, f (A) ∩ (L ⊕ N ) = Do đó, f : A −→ f (A) mở rộng đến phép đẳng cấu 1L ⊕ 1N ⊕ f : L ⊕ N ⊕ A −→ L ⊕ N ⊕ f (A) Vì M phép đẳng cấu bất biến, 1L ⊕ 1N ⊕ f mở rộng đến tự đẳng cấu α M theo Định lý 2.2.1 Cho nên α(K) mơđun phần bù M Vì M/(K ∩α(K)) nhúng môđun M không suy biến M/K ⊕M/α(K), K ∩ α(K) phần bù môđun M chứa f (A) Vậy K ∩ α(K) cốt yếu K α(K), K = K ∩ α(K) = α(K) Điều có nghĩa f : A −→ K mở rộng đến α : K −→ K Vậy K tựa nội xạ, K nội xạ theo [17, Định lý 8] Bây ta thấy N ⊕ K môđun nội xạ M , trái với môđun cực đại N Hệ 2.4.3 Nếu R vành Goldie phải nửa ngun tố, R mơđun giả ngun tố khơng suy biến nội xạ Hệ 2.4.4 Cho R vành Goldie phải nửa nguyên tố, tự đẳng cấu bất biến R môđun nội xạ tự đẳng cấu bất biến R mơđun kì dị nội xạ Chứng minh Cho tự đẳng cấu bất biến R môđun nội xạ, cho M đẳng cấu bất biến R môđun Ta viết Z(M ) mơđun kì dị M Tồn 39 N ≤ M cho Z(M ) ∩ N = 0, X, Y hai mơđun cốt yếu Z(M ) σ mở rộng đến phép đẳng cấu σ ⊕ 1N từ X ⊕ N lên Y ⊕ N Vì M tự đẳng cấu bất biến, σ ⊕ 1N mở rộng đến tự đồng cấu α M theo Định lý 2.2.1 Nhưng Z(M ) môđun bất biến hoàn toàn M , nên α|Z(M ) tự đồng cấu Z(M ) mở rộng σ Vậy Z(M ) tự đẳng cấu bất biến môđun Từ đó, Z(M ) nội xạ, M = Z(M ) ⊕ P , P không suy biến Theo Định lý 2.3.1, P nội xạ, nên M nội xạ 40 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu môđun tự đẳng cấu bất biến, luận văn hoàn thành đạt kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống khái niệm tính chất mơđun giả nội xạ, mơđun tự đẳng cấu bất biến Trình bày cách chi tiết khái niệm, kết liên quan đến môđun tự đẳng cấu bất biến luận văn Nghiên cứu số lớp vành liên quan Kết luận môđun giả nội xạ trùng với môđun tự đẳng cấu bất biến Từ vấn đề đạt luận văn, dự định tiếp tục nghiên cứu môđun tự đẳng cấu bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ, đặc biệt vành liên quan chưa nghiên cứu luận văn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục [3] Trương Công Quỳnh - Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình lý thuyết vành môđun, Nhà xuất Đại học Huế Tiếng Anh [4] P A Guil Asensio and I Herzog (2004), Left cotorsion rings, Bull London Math Soc 36, 303-309 [5] P A Guil Asensio and A K Srivastava (2013), Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, J Algebra 388, 101-106 [6] P A G Asensio, A K Srivastava, D K Tutuncu (2014), Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel Journal of Mathematics, 206, 457-482 [7] V.P Camillo, D Khurana, T.Y Lam, W.K Nicholson and Y Zhou (2006), Continuous modules are clean, J.Alg 304(1), 94-111 [8] V.P Camillo, H.P Yu (1994), Exchang erings, units and idempotents, Comm Alg 22(12), 4737-4749 [9] J Dauns and Y Zhou (2006), Classes of Modules, Pure and Applied Mathematics, 281, Chapman-Hall/CRC Press (Taylor Francis Group) [10] S E Dickson, K R Fuller (1969), Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, J Math 31, 3, 655-658 [11] H.Q Dinh (2005), A note on pseudo-injective modules, Comm Alg 33, 361-369 [12] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith, R Wisbauer (1994), Extending 42 modules, Pitman Research Notes in Mathematics Series, 313, Longman Scientific and Technical, Harlow [13] D Khurana and A K Srivastava (2007), Right self-injective rings in which each element is sum of two units, J Algebra Appl 6, 2, 281-286 [14] D Khurana and A K Srivastava (2007), Unit sum numbers of right selfinjective rings, Bull Australian Math Soc 75, 3, 355-360 [15] T K Lee and Y Zhou (2013), Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2) [16] S.H Mohamed and B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 147, Cambridge University Press [17] S Singh and A K Srivastava (2012), Dual automorphism-invariant modules, Algebra 371, 262-275 [18] N Er, S Singh, A K Srivastava (2013), Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, Algebra 379, 223-229 [19] L V Thuyet, P Dan, T C Quynh (2016), Modules invariant under idempotents of their envelope, Colloquium Mathematicum, to appear 43 ... tự đẳng cấu, cụ thể tự đẳng cấu đồng thức Do đó, RR tự đẳng cấu bất biến khơng tựa nội xạ Như môđun tự đẳng cấu bất biến môđun tựa nội xạ Môđun tự đẳng cấu bất biến suy rộng khái niệm môđun tựa... nội xạ 2.2 Môđun tự đẳng cấu – bất biến Cho M môđun Môđun N M gọi tự đẳng cấu bất biến môđun σN ≤ N với tự đẳng cấu σ M 29 Định nghĩa 2.2.1 Một môđun gọi tự đẳng cấu bất biến môđun tự đẳng cấu. .. 22 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ 27 2.1 Môđun giả nội xạ 27 2.2 Môđun tự đẳng cấu – bất biến 29 2.3 Môđun giả nội xạ môđun tự đẳng cấu bất