Môđun bất biến dưới tự đẳng cấu của bao tổng quát

Bài viết giới thiệu về khái niệm X - bao tổng quát, nó có thể được xem như khái niệm tổng quát của bao nội xạ của một môđun và nêu một vài tính chất của nó tương tự như trường hợp bao nội xạ.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Thực phẩm 19 (1) (2019) 149-155 MÔĐUN BẤT BIẾN DƯỚI TỰ ĐẲNG CẤU CỦA BAO TỔNG QUÁT Nguyễn Quốc Tiến Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM Email: nguyenquoctien1982@gmail.com Ngày nhận bài: 08/7/2019; Ngày chấp nhận đăng: 06/9/2019 TÓM TẮT Bài báo giới thiệu khái niệm   bao tổng quát, xem khái niệm tổng quát bao nội xạ môđun nêu vài tính chất tương tự trường hợp bao nội xạ Ngoài ra, viết giới thiệu khái niệm môđun   bất biến đẳng cấu tổng quát môđun bất biến đẳng cấu đưa kết tương tự Mục đích viết nhằm tổng quan nh ng kết g n đ y để đ nh hướng cho việc nghiên c u tác giả Từ khóa:   bao tổng quát, bao nội xạ,  - bất biến đẳng cấu,  -bất biến đồng cấu GIỚI THIỆU VÀ MỘT SỐ KHÁI NIỆM Bài tốn mơđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ chúng nghiên c u l n đ u Johnson & Wong (1961), họ ch ng minh môđun bất biến tự đồng cấu trùng với lớp môđun tựa nội xạ [1] Sau đó, Dickson & Fuller nghiên c u mơđun bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ [2] Nh ng năm g n đ y, nhiều kỹ thuật khác nhau, nhà toán học tổng quát nh ng khái niệm, tính chất theo hướng khác thu kết đẹp, chẳng hạn [3, 4] Trong viết này, tác giả giới thiệu trường hợp tổng quát khái niệm bao nội xạ, môđun bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ số tính chất tiêu biểu Trong suốt viết, vành R cho vành kết hợp có đơn v R -môđun môđun unita Ta viết M R (tương ng, R M ) để M R -môđun phải (t.ư, trái) Khi không sợ nh m lẫn phía mơđun, ta viết mơđun M Ký hiệu A  M để A môđun M , End (M ) tập tất đồng cấu từ M đến M Ta viết fg với f ,g đồng cấu có nghĩa hợp đồng cấu f g Môđun K R  môđun M gọi môđun cốt yếu M , kí hiệu K  M , với mơđun L M mà K  L  L  Lúc này, ta nói M mở rộng cốt yếu K Liên quan đến tính cốt yếu mơđun con, có khái niệm đơn cấu cốt yếu Một đơn cấu f : K  M gọi e e cốt yếu Im ( f )  M Một vành R gọi quy von Nemann (hoặc quy), với a  R , tồn x  R cho axa  a Cho I ideal hai phía vành R , ta nói ph n tử luỹ đẳng r  I R / I n ng (modulo I ) r  I  e  I với e ph n tử luỹ đẳng R 149 Nguyễn Quốc Tiến   BAO TỔNG QUÁT VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT Nhắc lại rằng, đơn cấu  : M  Q gọi bao nội xạ M Q môđun nội xạ  đơn cấu cốt yếu (Im (  ) e Q ) Ta thường gọi Q bao nội xạ M kí hiệu E ( M ) Mọi mơđun có bao nội xạ (sai khác đẳng cấu) B y đ nh nghĩa khái niệm bao tổng qt tìm hiểu số tính chất Định nghĩa 2.1 Cho vành R  lớp R  mơđun phải đóng đẳng cấu Một   bao tổng quát R  môđun phải M đồng cấu u : M  X (M ), X (M )   thỏa mãn điều kiện sau: u : M  X (M ), X (M )   f : X (M )  X (M ) cho u  fu Với đồng cấu tồn đồng cấu Nếu đồng cấu h : X (M )  X (M ), X (M )   thỏa hu  u h đẳng cấu Từ đ nh nghĩa trên, ta có tính chất sau   bao tổng quát mô đun M [5] Định lý 2.2 Giả sử môđun M có hai   bao tổng quát u : M  X (M ) u : M  X (M ) Khi đó, X (M )  X (M ) Chứng minh: Vì u, u '   bao tổng quát M , theo đ nh nghĩa, tồn đồng cấu f : X (M )  X (M ) cho u  fu f  : X (M )  X (M ) cho    f fu  u  fu  ff u   Lại theo đ nh nghĩa   bao tổng   Do đó, u  f u u fu quát M , suy ff , f f đẳng cấu, ff đẳng cấu Hay X (M ) X (M ) ∎ Cũng bao nội xạ môđun M , M có ph n tích thành tổng trực tiếp hai môđun M , M từ bao nội xạ M , M ta suy bao nội xạ M B y ta có kết tương tự: Định lý 2.3 Giả sử M  M  M với M , M hai môđun M , M , M có   bao tổng quát l n lượt u1 : M1  X (M1 ) , u2 : M  X ( M ) Khi đó, u1  u2 : M  X ( M1 )  X ( M )   bao tổng quát M Chứng minh: Lấy u  : M  X  Vì u1 : M1  X ( M1 )   bao tổng quát nên tồn f1 : X ( M1 )  X  cho u iM1  f1u1 , 150 Môđun bất biến tự đẳng cấu bao tổng quát tương tự, tồn f : X ( M )  X  cho uiM  f 2u2 Theo tính chất phổ dụng tổng trực tiếp, tồn f : X ( M1 )  X ( M )  X  với f | X ( M1 )  f1 , f | X ( M )  f Và kiểm tra f (u1  u2 )  u B y giờ, lấy g tự đồng cấu X ( M1 )  X ( M ) thỏa g (u1  u2 )  u1  u2  x1   X ( M1 )  X ( M ) ta có:  x2  Ta ch ng minh g tự đẳng cấu Với ph n tử  x  0 x  g    g    g    gi1 ( x1 )  gi2 ( x2 ) 0  x2   x2    gi ( x )  1 gi2 ( x2 )   1 gi1 1 gi2  x1   1      gi1 ( x1 )   gi2 ( x2 )    gi1  gi2  x2  Đặt 1 gi1  11 ,  gi2  12 ,  gi1  21,  gi2  22 Khi đó, g biểu diễn dạng ma trận  11 12     21 22  Với m1  M1 , với m2  M ta có  u1 (m1 )   u1 (m1 )   11u1 (m1 )  12u2 (m2 )     g  ,  u2 (m2 )   u2 (m2 )   21u1 (m1 )  22u2 (m2 )  u1 (m1 )  11u1 (m1 )  12u2 (m2 ) u2 (m2 )  21u1 (m1 )  22u2 (m2 ) với m1  M1 , với m2  M Suy u1  11u1 , 12u2  u2  22u2 , 21u1  Vì u1   bao tổng quát M nên 11 tự đẳng cấu X ( M ) Xét tích ma trận  11 12   11 12        , 1 1  21 22   2111 12  22   2111 1 12u2  0, u2  22u2 , ta có (2111 12  22 )u2  u2 Vì u2   bao tổng quát M nên 2111112  22 tự đẳng cấu X ( M ) Vậy, từ tích ma trận xét trên, suy ma trận biểu diễn g có ngh ch đảo, hay g tự đẳng cấu.∎ Năm 2013, Zhou Lee đưa khái niệm mơđun bất biến đẳng cấu [6] Đó là: mơđun M gọi bất biến đẳng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Ph n sau tổng quát khái niệm [7] 151 Nguyễn Quốc Tiến MÔĐUN   BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Định nghĩa 3.1 Cho mơđun M  lớp mơđun đóng đẳng cấu M gọi   bất biến đẳng cấu tồn   bao tổng quát u : M  X cho với tự đẳng cấu g : X  X tồn tự đồng cấu f : M  M cho uf  gu Trong đ nh nghĩa trên, ta có nhận xét sau: Nhận xét 3.2 1) Thêm giả thiết u : M  X đ nh nghĩa đơn cấu Ta có, 1 g tự đẳng cấu X nên tồn tự đồng cấu f  : M  M cho uf   g 1u Suy uf f  g 1uf  g 1 gu  u uff   guf   gg 1u  u Do u đơn cấu, nên f đẳng cấu 2) Cho  lớp môđun nội xạ, E ( M ) bao nội xạ M Khi đó, phép đồng i : M  E (M )   bao tổng quát M Môđun M   bất biến đẳng cấu với g : E( M )  E (M ) tồn tự đẳng cấu f : M  M cho if  gi , hay g (M )  M Vậy trường hợp này, môđun   bất biến đẳng cấu mơđun bất biến đẳng cấu biết Tiếp theo, tìm hiểu số tính chất đặc trưng mơđun   bất biến đẳng cấu, tương tự trường hợp môđun bất biến đẳng cấu nghiên c u Lee Zhou Chúng ta bắt đ u với kết sau Bổ đề 3.3 Cho môđun M với u : M  X   bao tổng quát M Với f  End (M ) , gọi g  g   J ( End ( X )) g , g   End ( X ) thỏa mãn gu  uf , g u  uf Khi đó, Chứng minh: Với f : M  M , theo đ nh nghĩa u , tồn g : X  X cho uf ph n tích qua u , hay uf  gu Gọi g , g   End ( X ) thỏa mãn gu  g u  uf Để g  g   J ( End ( X )) , ta c n ch ng minh  t ( g  g ) ph n tử khả ngh ch với t  End ( X ) Ta có t ( g  g )u  t ( gu  g u)  , suy u  t ( g  g )u  (1  t ( g  g ))u  u Theo đ nh nghĩa u suy  t ( g  g ) đẳng cấu, ph n tử khả ngh ch ∎ Nhận xét 3.4 Từ bổ đề trên, với mơđun M có u : M  X   bao tổng quát, xác đ nh đồng cấu vành  : End (M )  End ( X ) / J ( End ( X )), với  ( f )  g  J ( End ( X )) g thỏa uf  gu Lúc này,  xác đ nh đơn cấu vành  : End (M ) / ker ( )  End ( X ) / J ( End ( X )) hay End (M ) / ker ( )  Im( ) vành End ( X ) / J ( End ( X )) Bổ đề sau cho ta thấy, M   bất biến đẳng 152 Môđun bất biến tự đẳng cấu bao tổng quát cấu ph n tử J ( End ( X )) xem mở rộng ph n tử ker ( ) Bổ đề 3.5 Cho mơđun M có   bao tổng quát u : M  X , giả sử M   bất biến đẳng cấu Khi với j  J ( End ( X )) , tồn k  ker ( ) cho uk  ju Chứng minh: Do j  J ( End ( X )) nên  j tự đẳng cấu X Vì M   bất biến đẳng cấu nên tồn f  End (M ) cho uf  (1  j )u Do đó, ju  (1  (1  j ))u  u  (1  j )u  u  uf  u(1  f ) Lấy k  (1  f ) , ta có uk  ju  (k )  j  J ( End ( X ))  hay k  ker ( ) ∎ Bổ đề 3.6 Giả sử S  T1  T2 với T1 vành quy aben tự nội xạ ph n tử T2 tổng hai ph n tử khả ngh ch Nếu R vành S mà bất biến phép nh n trái ph n tử khả ngh ch S R vành quy von Neumann Chứng minh: Vì R vành S , nên viết R  R1  R2 với R1 vành T1 , R2 vành T2 Giả sử tất ph n tử khả ngh ch S nằm R Lấy ph n tử t2  T2 Khi t2     với  ,  khả ngh ch T2 Do đó, 1T1   ,1T1   ph n tử khả ngh ch S Theo giả thiết ta (1T1   )(1R1 1R2 )  R (1T1   )(1R1 1R2 )  R , suy 1R2  R2  1R2  R2 Như vậy, t2  t21R2  (1R2 )  (  1R2 )  R2 hay T2  R2 Vậy T2  R2 , suy T2  R ideal quy von Neumann R Vì vành quy aben quy khả ngh ch, nên với x  T1 tồn ph n tử khả ngh ch u  T1 cho x  xux Hơn n a u  1T2 khả ngh ch S nên khả ngh ch R Vậy R / T2 vành quy von Neumann Theo bổ đề 1.3 [8], ta có R vành quy von Neumann.∎ Nhắc lại [9], với M mơđun bất biến đẳng cấu J  End (M )  gồm tất tự đồng cấu M có nh n cốt yếu End (M ) / J  End (M )  vành quy von Neumann luỹ đẳng n ng modulo J ( End (M )) Với trường hợp M   bất biến đẳng cấu, ta có: Định lý 3.7 Giả sử M mơđun   bất biến đẳng cấu với đơn cấu u : M  X   bao tổng quát M Giả sử vành S  End ( X ) / J ( End ( X ))  T1  T2 T1 vành quy aben tự nội xạ ph n tử T2 tổng hai ph n tử khả ngh ch Khi đó, luỹ đẳng S n ng modulo Jacobson End (M ) / J ( End (M )) vành quy von Neumann luỹ đẳng n ng modulo J ( End (M )) Chứng minh: Lấy g  J  End ( X )  ph n tử khả ngh ch End ( X ) / J (End ( X )) Khi đó, g tự đẳng cấu X Do M môđun   bất biến đẳng cấu nên tồn đồng cấu f M cho uf  gu Theo nhận xét 3.4, ta  ( f  ker ( ))  g  J (End ( X ))  Im( ) Lấy  ( f   ker ( )) ph n tử Im( ) Ta có 153 Nguyễn Quốc Tiến  g  J ( End ( X ))   f   ker ( )     f  ker ( )    f   ker ( )     ff   ker ( )   Im( ) Im( ) bất biến phép nh n trái ph n tử khả ngh ch End ( X ) / J (End ( X )) Theo bổ đề 3.6, ta Im( ) vành quy von Neumann End (M ) / ker ( ) Do đó, J  End (M )  / ker ( )  hay nên Vậy J  End (M )   ker ( ) B y giờ, với f  ker ( ) , ta có  ( f )  g  J ( End ( X ))  với g  End ( X ) thỏa uf  gu Suy g  J ( End ( X )) ,  g khả ngh ch J ( End ( X )) Do M môđun   bất biến đẳng cấu, (1  g ) 1 tự đẳng cấu X nên tồn h  End (M ) cho (1  g ) u  uh Khi đó, 1 u  (1  g )1 (1  g )u  (1  g )1 (u  gu )  (1  g )1 (u  uf )  (1  g )1 u (1  f )  uh(1  f ), đồng thời u  (1  g )(1  g ) 1 u  (1  g )uh  (u  gu)h  (u  uf )h  u (1  f )h Do u đơn cấu, nhận xét 3.2 ta  f khả ngh ch hay f  J ( End (M )) Vậy J ( End (M ))  ker () Do đó, End (M ) / J ( End (M )) vành quy von Neumann Cuối cùng, lấy f  J (End (M )) ph n tử lũy đẳng End ( M ) / J ( End ( M )) Khi đó, tồn g  End ( X ) thỏa uf  gu hay g  J ( End ( X ))    f  J ( End (M ))  f  J ( End (M )) lũy đẳng nên g  J ( End ( X )) ph n tử lũy đẳng End ( X ) / J ( End ( X )) Do g  J ( End ( X )) n ng modulo J ( End ( X )) , nên tồn ph n tử lũy đẳng e End ( X ) cho g  J ( End ( X ))  e  J ( End ( X )) hay g  e  J ( End ( X )) Theo bổ đề 3.5, tồn k  J ( End ( M )) cho ( g  e)u  uk Suy ra, gu  uk  eu hay u( f  k )  eu Vậy  ( f  k )  e  J ( End ( X )) Như vậy, Vì u ( f  k )2  eu ( f  k )  e2u  eu  u ( f  k ) Do u đơn cấu nên ( f  k )  ( f  k ) Vậy ( f  k ) ph n tử lũy đẳng End (M ) thỏa f  J ( End (M ))  ( f  k )  J ( End (M )) Hay lũy đẳng End (M ) / J (End (M )) n ng modulo Jacobson.∎ KẾT LUẬN Bài báo tổng quan số kết liên quan tới khái niệm bao tổng quát môđun bất biến tự đẳng cấu bao tổng quát Đ nh lý 3.7 cho kết tính quy vành End (M ) / J ( End (M )) trường hợp M _ bất biến đẳng cấu Tiếp tục nghiên c u theo hướng cho phạm trù khác phạm trù aben, phạm trù khớp… nghiên c u tính chất liên quan, theo tác giả đ y hướng nghiên c u có nhiều triển vọng 154 Mơđun bất biến tự đẳng cấu bao tổng quát TÀI LIỆU THAM KHẢO Johnson R.E., Wong E.T - Quasi-injective modules and irreducible rings, Journal of the London Mathematical Society s1-36 (1) (1961) 260-268 Dickson S E., Fuller K R - Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pacific Journal of Mathematics 31 (3) (1969) 655-658 Asensio P.A.G., Quynh T.C., Srivastava A.K - Additive unit structure of endomorphism rings and invariance of modules, Bulletin of Mathematical Sciences (2) (2017) 229-246 Alahmadi A., Facchini A., Tung N K - Automorphism-invariant modules, Rendiconti del Seminario Matematico della Universit`a di Padova 133 (2015) 241-260 Xu J - Flat covers of modules, Lecture Notes in Mathematics 1634, Springer-Verlag, Berlin, 1996 Lee T K., Zhou Y - Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, Journal of Algebra and Its Applications 12 (2) (2013) Asensio P.A.G., Tutuncu D.K., Srivastava A.K - Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel Journal of Mathematics 206 (1) 457-482 (2015) Goodearl K R - Von Neumann Regular Rings, Krieger Publishing Company, Malabar, FL, 1991 Asensio P.A.G., Srivastava A.K - Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, Journal of Algebra 388 (2013) 101-106 ABSTRACT MODULES INVARIANT UNDER AUTOMORPHISMS OF THEIR ENVELOPES Nguyen Quoc Tien Ho Chi Minh City University of Food Industry Email: nguyenquoctien1982@gmail.com This article introduces the concept of   envelopes, which can be seen as the general concept of the injective envelopes and gives some of its properties similar to the case of injective envelopes In addition, the study also introduces the concept of modules invariant under automorphisms of their envelopes as a generalization of automorphisms invariant modules and gives some similar results The purpose of the article is to review recent results to prepare the writer's study Keywords:   envelope, injective envelope,  -automorphisms,  -endomorphisms 155 ... môđun bất biến đẳng cấu [6] Đó là: mơđun M gọi bất biến đẳng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Ph n sau tổng quát khái niệm [7] 151 Nguyễn Quốc Tiến MÔĐUN   BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU VÀ MỘT... trường hợp này, môđun   bất biến đẳng cấu mơđun bất biến đẳng cấu biết Tiếp theo, tìm hiểu số tính chất đặc trưng mơđun   bất biến đẳng cấu, tương tự trường hợp mơđun bất biến đẳng cấu nghiên... báo tổng quan số kết liên quan tới khái niệm bao tổng quát môđun bất biến tự đẳng cấu bao tổng quát Đ nh lý 3.7 cho kết tính quy vành End (M ) / J ( End (M )) trường hợp M _ bất biến đẳng cấu