Về nhóm CR tự đẳng cấu của siêu mặt kiểu vô hạn trong c2

I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA H¯C TÜ NHI N - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - D×ÌNG THÀ NG¯C OANH V NH´MCRTÜ NGC U CÕASI UM TKI UV˘H NTRONGC LU NV NTH CS KHOAHC H Ni - 2016 I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHI N - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - D×ÌNG THÀ NG¯C OANH V NH´MCRTÜ NGC U CÕASI UM TKI UVH NTRONGC Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tch M sŁ: 60460102 LU NV NTH CS KHOAH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C: TS NINH V N THU H Nºi - 2016 L˝IC MÌN B£n lu“n v«n n y ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn v ch dy tn tnh ca TS Ninh Vôn Thu NhƠn dp n y, tổi xin ữổc knh gòi tợi Thy lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh tỵi to n th” c¡c thƒy cỉ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc, ⁄i håc Khoa Hồc Tỹ Nhiản, i Hồc Quc Gia H Ni  d⁄y b£o tæi t“n t…nh suŁt qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i khoa Tỉi cơng xin gßi líi c£m ìn n Phặng Sau i hồc ca nh trữớng  to mồi iãu kiằn thun lổi tổi sợm ho n th nh lun vôn ca mnh NhƠn dp n y tỉi cơng xin b y tä lỈng bi‚t ìn ‚n gia nh, ngữới thƠn v bn b Nhng ngữới luổn b¶n c⁄nh ıng hº, ºng vi¶n, gióp ï tỉi c£ vã vt chĐt v tinh thn cuc sng v hồc Mc dũ bÊn thƠn tổi  cõ nhiãu c gng bÊn lun vôn n y vÔn khõ tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât V… v“y, tỉi r§t mong nhn ữổc sỹ õng gõp ỵ kin ca quỵ thy, cỉ v c¡c b⁄n H Nºi, th¡ng 12 n«m 2016 D÷ìng Thà Ngåc Oanh Mưc lưc L˝IC MÌN DANH MƯC C C KÞ HI U M— U NHÚNG KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m giÊi tch 1.2 Tnh chĐt a phữỡng ca Ănh x 1.3 Kh¡i ni»m i”m ki”u væ h⁄n theo n 1.4 Kh¡i ni»m tr÷íng vector ch¿nh h 1.5 Mºt sŁ kt quÊ vã h m triằt tiảu cĐ 1.6 nh lỵ bổng hoa Leau-Fatou 1.7 c trững ca tr÷íng vector ch¿nh d⁄ng Łng C Nhõm CR tỹ flng cĐu ca mt s lợp cĂc si¶u m°t ki”u vỉ h⁄n C Nhâm G2(MP ; 0) 2.1 Nhâm c¡c CR tü flng c§u cıa MP 2.2 Nhõm cĂc CR tỹ flng cĐu ca siả c tr÷ng cıa tr÷íng vector ch¿nh 2.3 2.4 T ILI UTHAMKH O DANH MƯC C C KÞ HI U N; Z; Q; R; C: t÷ìng øng l t“p sŁ tü nhi¶n, t“p sŁ nguy¶n, t“p sŁ hœu t , s thỹc, s phức 0(f): Kỵ hiằu cĐp tri»t ti¶u cıa h m f t⁄i dịng nh nghắa loi im vổ hn DAngelo Kỵ hiằu kt hổp vợi kỵ hiằu v &: Dũng cho kỵ hiằu bĐt flng thức sai khĂc mt hng s dữỡng C -trìn: Dịng ch¿ h m kh£ vi li¶n tưc c§p vỉ h⁄n P (z) = Pz(z) = 4r = fz C: jzj < rg vỵi r > v kỵ hiằu := 41 = f GiÊ sò M l mt mm siảu mt quanh i”m p C Khi â, nhâm tü flng c§u cıa M (k‰ hi»u bði Aut(M)) l t“p hæp c¡c song ch¿nh h…nh f : U ! f(U)) thäa m¢n f(U \ M) M, â U l mºt l¥n c“n n o â cıa p C Aut(M; p) = ff Aut(M) : f(p) = pg l nhâm Œn ành cıa M t⁄i p @ @ aut(M; p) = H = h1(z1; z2)@z + h2(z1; z2)@z — ¥y, H ti‚p xóc vợi l trữớng vector chnh hnh M, H h1; h2 l c¡c h m ch¿nh h…nh v c“n cıa p mºt l¥n aut0(M; p) = H aut(M; p) : H(p) = MP := f(z1; z2) C : Re(z1) + P (z2) = 0g, â P C (C) v 0(P) = +1 S1(P ) = fz2 : z2 (P ) = +1g, õ z2 (P ) l cĐp triằt tiảu cıa h m P (z2 + ) P (z2) t⁄i = P1(MP ) l t“p hæp c¡c i”m câ ki”u væ h⁄n cıa MP M— U n GiÊ sò (M; p) l mt mm siảu mt C cho p l i”m ki”u væ h⁄n theo ngh¾a D’Angelo (gåi t›t l ki”u vỉ h⁄n) Nhâm tü flng c§u cıa M (k‰ hi»u bði Aut(M)) l nhâm tĐt cÊ cĂc song Ănh chnh hnh lƠn cn cıa M v bi‚n M v o M Nhâm Œn ành cıa M t⁄i p (k‰ hi»u bði Aut(M; p)) l nhâm t§t c£ c¡c tü flng c§u cıa M bi‚n p th nh p T“p hỉp t§t c£ c¡c trữớng vector chnh hnh n C tip xúc vợi M v triằt tiảu ti p ữổc k hiằu l aut0(M; p) B i to¡n ÷ỉc °t l h ¢y mỉ t£ nhâm c¡c CR tü flng c§u Aut(M; p) v mỉ t£ c¡c tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc aut0(M; p) cıa mƒm si¶u m°t (M; p) Trong lun vôn n y, chúng tổi xt cĂc siảu mt °c bi»t Cư th”, chóng tỉi x†t c¡c mỉ h…nh kiu vổ hn MP ữổc nh nghắa nhữ sau MP := f(z1; z2) C : Re z1 + P (z2) = 0g; â P l h m C -trỡn, triằt tiảu cĐp vổ hn t⁄i z2 = Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n n y l t…m hi”u c¡c k‚t qu£ v• nhâm c¡c CR tü flng c§u Aut(MP ; 0) v mỉ t£ c¡c tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc aut 0(MP ; 0) cıa mæ h…nh ki”u væ h⁄n MP Lun vôn ữổc trnh b y dỹa theo b i b¡o Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C " cıa Atsushi Hayashimoto v Ninh V«n Thu ([1]) B cửc ca lun vôn gỗm hai chữỡng: Chữỡng I: Nhœng ki‚n thøc chu'n bà Nºi dung cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n cıa gi£i t‰ch phøc nh÷ kh¡i ni»m h m ch¿nh h…nh, ¡nh x⁄ b£o gi¡c, kh¡i ni»m tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc, kh¡i ni»m i”m ki”u vỉ hn theo nghắa DAngelo, nh lỵ bổng hoa Leau -Fatou c trững ca trữớng vector chnh hnh tip xúc vợi siảu mt dng ng C Chữỡng II: Nhõm cĂc CR tỹ flng cĐu ca mt s lợp c¡c si¶u m°t ki”u vỉ h⁄n C Trong ch÷ìng n y, chóng ta s‡ mỉ t£ nhâm cĂc CR tỹ flng cĐu ca mt s lợp c¡c si¶u m°t ki”u vỉ h⁄n C v mỉ t£ c¡c tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc cıa MP Ni dung ch yu l chứng minh nh lỵ 2.2.1, 2.3.1 v 2.4.1 Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m gi£i t‰ch phøc Gi£ sò l miãn ca mt phflng phức C v nh nh nghắa 1.1.1 H m f ữổc gồi l giỵi h⁄n lim h!0 Khi â, ta nâi r‹ng giợi hn trản l l o h m phức ca f t⁄i i”m z0 v k‰ hi»u f (z0) nh nghắa 1.1.2 H m f ữổc gồi l chnh h…nh t⁄i i”m z0 n‚u nâ l C - kh£ vi t⁄i mºt l¥n c“n n o â cıa i”m z0 H m f ÷ỉc gåi l ch¿nh h…nh mi•n n‚u nâ ch¿nh h…nh t⁄i måi i”m cıa mi•n Đy H m chnh hnh cặn ữổc gồi l h m gi£i t‰ch v… h m ch¿nh h…nh luæn khai tri”n th nh chuØi Taylor t⁄i måi i”m mi•n x¡c ành cıa nâ ành ngh¾a 1.1.3 f l ph¥n h…nh D f l ìn ¡nh f(D) = G Ta nâi f l ¡nh x⁄ b£o gi¡c tł D v o G n‚u (3) ÷ỉc thay bði f(D) G: Nh“n x†t 1.1 N‚u f câ cüc i”m t⁄i v b£o gi¡c t⁄i th… ch¿ l cüc i”m ìn cıa f Chúng ta ch nh nghắa Ănh x bÊo giĂc trản nhng liản thổng Dữợi Ơy l nhng tnh chĐt cì b£n cıa ¡nh x⁄ b£o gi¡c nh x⁄ ng÷ỉc cıa ¡nh x⁄ b£o gi¡c công l ¡nh x⁄ b£o giĂc Mt Ănh x bÊo giĂc l mt ỗng phổi, tức l mt ỡn Ănh liản tửc vợi Ănh x ngữổc cụng liản tửc Mồi Ănh x bÊo giĂc ãu l ìn di»p àa ph÷ìng, tøc l ⁄o h m khỉng tri»t ti¶u v ch¿ câ cüc i”m ìn C¡c gõc gia cĂc cung bao gỗm cÊ sỹ nh hữợng ÷æc b£o to n qua ¡nh x⁄ b£o gi¡c 1.2 Tnh chĐt a phữỡng ca Ănh x bÊo giĂc nh ngh¾a 1.2.1 Cho g1; g2 l hai ¡nh x⁄ b£o gi¡c thäa m¢n g1(0) = g2(0) = Ta nâi r‹ng g1 v g2 l li¶n hỉp ch¿nh h…nh àa phữỡng nu tỗn ti Ănh x song chnh hnh vỵi ’(0) = cho g1 ’ g2 ’: ành ngh¾a 1.2.2 Cho g l ¡nh x⁄ b£o gi¡c thäa m¢n g(0) = Khi â, ta nâi (i) g l tip xúc vợi ỗng nhĐt nu g (0) = 1; (ii) g l parabolic n‚u g (0) = e (iii) g l elliptic n‚u g (0) = e 2i ip=q vỵi p; q Z; vỵi R n Q BŒ • 1.2.1 Cho h m P l C -trìn tr¶n ( > 0) thäa m¢n 0(P ) = +1 v P (z) GiÊ sò tỗn ti Ănh x bÊo giĂc g trản vợi g(0) = cho P (g(z)) = vỵi R n o â Khi â, jg (0)j = + o(1) P (z); z Chøng minh Gi£ sò tỗn ti Ănh x bÊo giĂc g thọa mÂn g(0) = v cho P (g(z)) = + o(1) P (z); z â, ta câ Khi P (g(z)) = + (z) P (z); z 2 R ; vỵi l h m x¡c nh trản thọa mÂn (z) ! z ! Do (z) ! z ! nản tỗn ti > cho j (z)j < =2 vỵi måi z Chóng ta x†t c¡c tr÷íng hỉp sau: Tr÷íng hỉp < jg (0)j < 1: Chån v thäa m¢n < < v z : câ j n =2 jP (z0)j; n â g l hỉp th nh n lƒn cıa g Hìn nœa, v < < nản tỗn ti m0 Z cho j m n n j < =2 Do õ, < jg (z0)j jz0j vợi bĐt k… n N Tł (1.1), ta câ m0 n j Do j ! iãu n y mƠu thuÔn v… Tr÷íng hỉp jg (0)j > Do P (g(z)) (1= + o(1))P (z) vỵi måi z Theo Trữớng hổp 1, iãu n y khổng x£y Do â, jg (0)j = v b ã ữổc chứng minh B ã 1.2.2 Cho f : [ r; r] ! R (r > 0) l h m li¶n tưc cho f(0) = v f N‚u l sŁ thüc thäa m¢n f(t + f(t)) = f(t) vỵi måi t [ r; r] v t + f(t) [ r; r] th… = 8 Chøng minh Gi£ sß ph£n chøng r‹ng tỗn ti 6= cho f(t + f(t)) = f(t) vỵi mØi t [ r; r] v ft óng vỵi mØi m N, t [ r; r] v Do f n¶n ta câ th” chån t0 [ t“p compact n¶n f li¶n tưc ãu trản [ r; r], tức l vợi mỉi > tỗn ti > vợi mồi t1; t2 [ r; r] m jt1 t2j < , ta câ jf(t1) f(t2)j < =2 M°t kh¡c, f(t) ! t ! (do f li¶n tưc) v f nản ta tm ữổc t [ =2; =2] cho j f(t)j < v < jf(t)j < =2 V… v“y, ta ln t…m ÷ỉc sŁ nguy¶n m cho jt + m f(t) t0j < Tł ph÷ìng tr… nh (1.3), ta câ jf(t0)j = jf(t0) f(t + m f(t)) + f(t + m f(t))j jf(t + m f(t)) f(t0)j + jf(t + m f(t))j < =2 + jf(t)j < =2 + =2 = : Do õ, f(t0) = iãu n y mƠu thuÔn vợi giÊ thit f Vy, b ã ữổc chøng minh V‰ dư sau ¥y s‡ minh håa cho BŒ • 1.2.2 V‰ dư 1.2.3 Cho f : [ 1; 1] ! R l h m cho bði f(x) = x GiÊ sò tỗn ti 2R 22 cho f(t + f(t)) = f(t) vỵi måi t [ 1; 1]; t + f(t) [0; 1] Khi â, ta câ (t + t ) = t Do â, b‹ng t‰nh to¡n ìn gi£n ta suy = BŒ • 1.2.4 Cho P l thäa m¢n g(0) = 0, P (g(z)) ip=q P (z) th… = Ngo i ra, ta câ ho°c g (0) = e (p; q ho°c g (0) = e 2i vỵi R n Q n o â Chøng minh Thay g bði h m ng÷ỉc cıa nâ n‚u cƒn, ta câ th” gi£ sß (v… n‚u th… ta x†t g ) Chóng ta chia b i to¡n l m tr÷íng hỉp 0 Tr÷íng hỉp g (0) = Theo ành lỵ bổng hoa ca Leau-Fatou, tỗn ti z n mt lƠn cn b ca vợi P (z) 6= cho limn!+1 g (z) = Do n n n i•u P (g (z)) = ( ) P (z) v limn!+1 P (g (z)) = P (0) = n¶n ta câ < j j < n y l mƠu thuÔn Trữớng hổp := g (0) = e ip=q (p; q Z) q Trữợc ht, giÊ sò rng g = id Khi õ, theo Mằnh ã 3.1 [3], tỗn t⁄i z n mºt l¥n c“n ı b† cıa m P (z) 6= cho fg (z)gn ÷ỉc chøa t“p compact t÷ìng Łi mºt l¥n c“n thıng V… v“y, gi£ thi‚t P (g(z)) = P (z) n nản dÂy f g phÊi hi tử i•u n y suy = q q q q q q Trong tr÷íng hỉp g 6= id, ta câ g (z) = z + v P (g (z)) = P (z) °t g = f; = Khi â, ta câ g (0) = Do õ, theo Trữớng hổp 1, iãu n y khổng xÊy Tr÷íng hỉp := g (0) = e 2i ( 62Q) p dưng M»nh • 4.2 [3], tỗn ti z n mt lƠn cn b cıa cho P (z) 6= v fg (z)gn ữổc chứa compact tữỡng i lƠn c“n thıng n o â V… th‚, l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ ð Tr÷íng hỉp 2, ta k‚t lu“n = Vy, b ã ữổc chứng minh 1.3 KhĂi niằm i”m ki”u vỉ h⁄n theo ngh¾a D’Angelo ành ngh¾a 1.3.1 H m f : ! R ÷ỉc gåi l tri»t tiảu cĐp m ti (khổng im cĐp m N) n‚u j @z @z k Gåi (f) = 0(f) := m l h⁄ng ƒu ti¶n khỉng bà tri»t ti¶u khai tri”n Taylor cıa h m f t⁄i k Trong tr÷íng hỉp f = (f1; : : : ; fk) : ! R , (f) := minf (f1); : : : ; (fk)g V‰ dö 1.3.1 H m f(x) = sin(x ) câ khai tri”n Taylor t⁄i l Do â, 0(f) = 2: ành ngh¾a 1.3.2 Gi£ Gåi l h m x¡c ành 10 M \ U = fz U : (z) = 0g vỵi (z) 6= vỵi måi z M \ U Khi â, ki”u theo ngh¾a D’Angelo cıa M t⁄i p ữổc nh nghắa bi i lữổng (M; p) := sup () ; () õ sup ữổc lĐy trản tĐt cÊ cĂc ữớng cong chnh hnh khĂc hng n : (C; 0) ! (C ; p) vỵi (0) = p Ta nâi r‹ng p l i”m ki”u hœu h⁄n n‚u (M; p) < v p l n‚u (M; p) = +1 V‰ dö 1.3.2 E1;m = f(z1 â, (E1;m; (1; 0)) = 2m v V‰ dö 1.3.3 Gåi2 P (z2) = 2e 1=jz2j n‚u z2 i”m p = (1; 0) l 1.4 i”m ki”u væ h⁄n Kh¡i niằm trữớng vector chnh hnh tip xúc nh nghắa 1.4.1 Mºt tr÷íng vectì ch¿nh h…nh C n ÷ỉc cho bði to¡n tß: n X H= @ h (z) j j=1 @zj nh nghắa 1.4.2 Mt siảu mt thỹc C M : n ÷ỉc mỉ t£ bði bi”u thøc n = fz C : (z) = 0g, â (z) 6= vỵi måi z M nh nghắa 1.4.3 Mt trữớng vectỡ H ữổc gồi l tøc l Re 1.5 Mºt sŁ k‚t qu£ v• h m triằt tiảu cĐp vổ hn B ã 1.5.1 ([7]) Cho P : ! R l C -trìn thọa mÂn th nh phn liản thổng ca z = t“p khæng i”m cıa P l f0g v P triằt tiảu cĐp vổ hn ti z = N‚u a; b l c¡c sŁ phøc v g0; g1; g2 l C -trìn x¡c ành tr¶n thäa m¢n ‘ (A1) g0(z) = O(jzj), g1(z) = O(jzj ) v h m (A2) Re az +g2(z) P vợi bĐt ký s nguyản khổng Ơm ; m v n+1 i ‘ (z)+bz 1+g0(z) Pz(z)+g1(z)P (z) = (E1) ‘ = v (E2) m = v th… ab = BŒ • [t0; t ) ! to¡n gi¡ trà ban ƒu â z0 mØi t (t0; t1) Chøng minh Chóng ta chøng minh bŒ • b‹ng ph£n chứng GiÊ sò P cõ khổng im trản Do th nh phƒn li¶n thỉng cıa z = khổng im ca P l f0g nản, khổng mĐt tnh tng quĂt, ta cõ th giÊ sò rng tỗn t⁄i t1 (t0; t1) cho P ( (t)) 6= vỵi mØi t (t0; t1) v P ( (t1)) = °t u(t) := log jP ( (t))j vỵi t0 < t < t1 Tł ph÷ìng tr…nh (A2) ta câ Pz( (t)) 0(t)) u0(t) = Re( P ( (t)) h m = P Re a (t) + g2( (t)) P h = m n+1 ( (t)) + g1( (t))P ( (t)) i n Re a (t) + g2( (t) P ( (t)) + g1( (t)) n m m = P ( (t)) Re a (t) + o(j (t)j ) vỵi måi t0 < t < t1 b chn trản (t0; t1) ữổc chứng minh i ‘ + O(j (t)j ) i•u n y cõ nghắa l u (t) b chn trản (t0; t1) Do õ, u(t) iãu n y mƠu thuÔn vợi u(t) ! t " t1 V“y, BŒ • Tł BŒ • 1.5.1, ta câ h» qu£ sau 12 H» qu£ 1.5.3 Cho P : ! R be a C -trỡn thọa mÂn th nh phn liản thổng ca i”m t“p khæng i”m cıa P l f0g v P triằt tiảu cĐp vổ hn ti z = N‚u b l sŁ phøc v n‚u g l C -trỡn xĂc nh trản thọa mÂn (B1) g(z) = O(jzj k+1 ), v h i k (B2) Re bz + g(z) Pz(z) = vỵi mØi z vợi k nguyản khổng Ơm, tr trữớng hổp k = v Re(b) = 0, th… b = 1.6 nh lỵ bổng hoa Leau-Fatou Trong mửc n y, s phĂt biu nh lỵ bổng hoa ca Leau - Fatou nh lỵ bổng hoa ca Leau - Fatou khflng ành r‹ng ta câ th” t…m ÷ỉc cĂc miãn ỡn liản bĐt bin vợi biản chứa im cho trản mỉi miãn nhng Ănh x chnh hnh tip xúc vợi ỗng nhĐt l liản hổp vợi tỹ flng cĐu parabolic ca miãn v mỉi im mi•n ho°c hót v o ho°c ríi xa i”m C¡c chi ti‚t cư th” hìn ÷ỉc xem [3, 4] Nhng miãn õ ữổc gồi l cĂc cĂnh hoa (petals) v sỹ tỗn ti ca chúng ữổc dỹ oĂn bi nh lỵ bổng hoa ca Leau - Fatou Ta ỵ r r+1 rng nu g(z) = z + arz + O(z ) vỵi r > v ar 6= th ta cõ th xƠy dỹng ữổc r r+1 ph†p Œi bi‚n ch¿nh h…nh cho g l liản hổp vợi g(z) = z + z + O(z S r l bc ca g ti Dữợi Ơy l phĂt biu chi tit cho nh lỵ n y ) r nh lỵ 1.6.1 ( nh lỵ bổng hoa cıa Leau - Fatou) Cho g(z) = z + z + O(z vợi r > Khi õ, tỗn ti 2(r + r+1 ) + arg z = q=(r 1); q = 0; : : : ; r 2, cho Pj \ Pk = ; v j = k; k @P k g (z) ! k ! vỵi mØi z Pj , â g = (g ) nœa, vỵi mØi j, ¡nh x⁄ g jPj l li¶n hỉp ch¿nh hnh vợi tỹ flng cĐu parabolic z ! z + i trản H 13 1.7 c trững ca trữớng vector chnh hnh tip xúc vợi siảu mt dng ng C ~ nh lỵ 1.7.1 Cho h m P l C -trìn x¡c ành mºt l¥n c“n cıa C thäa m¢n ~ (i) P (x) trản lƠn cn ca x = R, v ~ (ii) triằt tiảu cĐp vổ hn ti z2 = P h m C -trìn x¡c ành bði P (z2) := Gåi P l Chøng minh Gi£ sß H = h1(z1; z2)@z1 + h2(z1; z2)@z2 l trữớng vectỡ chnh hnh xĂc nh trản mt lƠn cn cıa gŁc tåa º thäa m¢n H(0) = Ta ch¿ x†t H ti‚p xóc t⁄i MP , tøc l thọa mÂn ỗng nhĐt thức (1.4) (Re H) (z) = 0; z MP : Khai tri”n h1 v h2 th nh chuØi Taylor t⁄i gŁc tåa X º X j k ajkz1 z2 ; h2(z1; z2) = h1(z1; z2) = j;k=0 j k bjkz1 z2 ; j;k=0 â ajk; bjk C Do H(0) = n¶n h1(0; 0) = h2(0; 0) = 0: Tł â, a00 = b00 = B‹ng t‰nh to¡n ìn gi£n, ta câ z (z1; z(z1; z2) =P â x = Re(z2): Khi â, (1.4) trð th nh h Re vỵi måi (z1; z2) MP Do (it trản tữỡng ữỡng vợi phữỡng trnh sau Ơy h h Re z 2) = t ı nhọ nản phữỡng trnh it j;k=0 m;n=0 P (z2) m i n z2 = (1.6) 14 vỵi måi z2 C v t R vỵi jz2j < v jtj < 0, â0>0v > ı b† Möc ‰ch cıa ta l ch¿ r‹ng H Th“t v“y, gi£ sß ph£n chøng r‹ng H Do Pz2 (z2) triằt tiảu cĐp vổ hn ti n¶n n‚u h2 th… tł (1.5) ta câ h1 Do â, ta câ th” gi£ sß r‹ng h2 B¥y gií ta chia l“p lu“n th nh hai trữớng hổp sau Ơy: Trữớng hổp h1 Gồi j0 l s nguyản nhọ nhĐt cho aj0k 6= vợi s nguyản k n o õ Tữỡng tỹ nhữ vy, gồi k0 l s nguyản nhọ nhĐt cho aj0k0 6= Tữỡng tỹ nhữ vy, gồi m0 l s nguyản nhọ nhĐt cho bm0n 6= vợi s nguyản n n o õ v gồi n0 l s nguyản nhọ nhĐt cho bm0n0 6= Nh“n x†t r‹ng j j0 n‚u k0 = 0, v m0 n‚u n0 = Do P (z2) = o(jz2j ) vợi bĐt k j N n¶n thay t = P (z2) v o ph÷ìng tr…nh (1.6), â R ı nhä ÷ỉc chồn sau, ta nhn ữổc Re vợi mồi z2 P h Ta ỵ rng tr÷íng hỉp k0 = v z2 chån cho Re (i â x := Re(z2) Do vỵi måi z2 = x + iy â, tł ph÷ìng tr…nh (1.7) ta câ h P (x) 6= 0; Re bm0n0 (i i 1) m0 (z2 n0 + o(jz2j n0 )) 6= 0: Tuy nhiản, phữỡng trnh (1.8) mƠu thuÔn v… v‚ ph£i phö thuºc v o y Do v“y, h1 Tr÷íng hỉp h1 Gåi m0; n0 l cĂc s nguyản ging nhữ Trữớng hổp Do P n (z2) = o(jz2j ) n¶n thay t = P (z2) v o ph÷ìng tr…nh (1.6), â R ı b† ÷ỉc chån sau, ta câ P h (x)Re (i 1) m0 bm0n0 15 vỵi måi z2 = x + iy vỵi måi z2 cho Re (i minh 1) m 0 b Chú ỵ rng nu n0 = th… ta câ th” chån ÷ỉc sŁ thüc Ch÷ìng Nhõm CR tỹ flng cĐu ca mt s lợp cĂc siảu mt kiu vổ hn C Trong chữỡng n y, chóng tỉi chøng minh mºt sŁ k‚t qu£ vã nhõm cĂc CR tỹ flng cĐu Aut(MP ; 0) v mỉ t£ c¡c tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc aut 0(MP ; 0) cıa mæ h…nh ki”u væ h⁄n MP MP := f(z1; z2) C : Re z1 + P (z2) = 0g; â P l h m C -trỡn, triằt tiảu cĐp vỉ h⁄n t⁄i z2 = Cư th”, chóng tỉi s chứng minh nh lỵ 2.2.1, 2.3.1 v 2.4.1 Trữợc tr…nh b y nºi dung tłng mưc cıa ch÷ìng n y, chóng tỉi câ c¡c nh“n x†t sau ¥y: Nh“n x†t 2.1 P1(MP ) = f(it P (z2); z2) : t R; z2 S1(P )g: Nh“n x†t 2.2 Trong tr÷íng hỉp P 0, nhâm G2(MP ; 0) gỗm cĂc CR tỹ flng cĐu ca MP cho (z1; z2) 7!(z1; g2(z2)); â g2 l ¡nh x⁄ b£o gi¡c vỵi g2(0) = thäa m¢n P (g2(z2)) P (z2) v g2 (0) = e ip=q 0 (p; q Z) ho°c g2 (0) = id ho°c g2 (0) = e BŒ • 2.1.1 v B ã 2.1.3 ) 16 2i vợi R n Q n o â (xem BŒ • 1.2.4, 17 2.1 Nhâm G2(MP ; 0) Trong phƒn n y, ta s mổ tÊ tữớng minh vã nhõm G2(MP ; 0) Theo BŒ • 1.2.4, nhâm G2(MP ; 0) Aut(MP ) gỗm cĂc CR tỹ flng cĐu f G2(MP ; 0) x¡c ành bði f(z1; z2) = (z1; g2(z2)); â g2 ho°c l parabolic ho°c l elliptic Ngữổc li, cho trữợc Ănh x bÊo giĂc q parabolic g thọa mÂn g = id vợi s tü nhi¶n q n o â ho°c g l elliptic, ta s ch rng tỗn ti mổ hnh kiu væ h⁄n (MP ; 0) cho (z1; z2) 7! (z1; g2(z2)) thuºc v o nhâm G2(MP ; 0) ành ngh¾a 2.1.1 Nhâm G2(MP ; 0) Aut(MP ) gỗm cĂc CR tỹ flng cĐu f G2(MP ; 0) x¡c ành bði f(z1; z2) = (z1; g2(z2)); â g2 ch¿nh h…nh mºt l¥n c“n cıa thäa m¢n g2(0) = 0; jg2 (0)j = v P (g2(z2)) = P (z2) Trữợc ht, ta i chứng minh cĂc b ã sau Ơy B ã 2.1.1 N‚u P (e ph†p quay 2i z) P (z) vỵi R n Q th… P (z) P (jzj), tøc l P i xứng vợi Chứng minh Chú ỵ rng P (e ni z) P (z) vỵi måi n N v fe ni z : n Ng = r > Sjzj, â Sr := fz C: jzj = rg, Do P li¶n tưc nản P (z) P (jzj) vợi mồi z R B ã ữổc chứng minh BƠy giớ ta chứng minh cho tr÷íng hỉp parabolic tøc l f q n‚u g = id th… G2(MP ; 0) vỵi (MP ; 0) n o â ki”u vỉ h⁄n BŒ • 2.1.2 Gi£ sß g(z) = e ip=q z + l ¡nh x⁄ b£o gi¡c vỵi = e ip=q l côn nguyản q thy ca ỡn v Nu g = id th tỗn ti mổ hnh kiu vổ hn MP (0) cho (z1; j z2) 7!(z1; g (z2)) thuºc v o nhâm G2(MP ; 0) vỵi mØi j = 1; 2; : : : ; q ip=q ip=q Chøng minh Gi£ sß r‹ng g(z) = e z+ l ¡nh x⁄ b£o gi¡c vỵi =e q l côn nguyản thy ca ỡn v thọa mÂn g = id Theo M»nh • 3:2 b i b¡o [3], g l liản hổp chnh hnh a phữỡng vợi h m h(z) = z Gåi ~ 18 P C -trìn P (z) := P (z) + P (g(z)) + + P (g Rª r ng P (g(z)) j P (z) v P (g (z)) P (z), j = 1; 2; :::; q V… v“y, fj : (z1; z2) 7! (z q q Nh“n x†t 2.3 Trong tr÷íng hỉp g 6= id, chóng ta câ g (z) = z + v v“y P (z q + ) = P (g (z)) = P (z) Theo BŒ • 1.2.4, khổng tỗn ti kiu vổ hn MP thọa mÂn P tr¶n mØi c¡nh hoa cho (z1; z2) 7!(z1; g(z2)) thuºc v o G2(MP ; 0) Vỵi g l elliptic, ta câ bŒ • sau i B ã 2.1.3 GiÊ sò g(z) = e z + l Ănh x bÊo giĂc vợi 62Q Khi õ, tỗn t⁄i si¶u m°t ki”u vỉ h⁄n MP cho (z1; z2) 7!(z1; g(z2)) thuºc nhâm G2(MP ; 0) Hìn nœa, MP song ch¿nh h…nh vỵi mỉ h…nh Łi xøng M ~ P i Chøng minh Gi£ sß g(z) = e z + l ¡nh x⁄ b£o gi¡c vỵi 62Q Theo M»nh • 4:4 2i [3], g l liản hổp chnh hnh a phữỡng vợi R (z) = e z, nghắa l tỗn ti Ănh x bÊo giĂc ’ vỵi ’(0) = cho Gåi h m g=’ R ’: Łi xøng Łi vỵi ph†p quay v C -trìn thäa m¢n ~ P 0(P) ành ngh¾a h m trìn vỉ h⁄n P bði Khi ~ â, P (g(z)) = P (’ ~ ~ Ta =+ ~ j j P (z) = P (’(z)) = P ( ’(z) ): ~ ~ g(z)) = P (R ’(z)) = P (jR ~ ’(z)j) = P (j’(z)j) = P (z) iãu n y cõ nghắa rng (z1; z2) 7!(z1; g(z2)) thuºc G2(MP ; 0) Hìn nœa, ft G2(MP ; 0) vỵi måi t R, â ft(z1; z2) := (z1; ’ Rt ’(z2)) Hìn nœa, d thĐy MP song chnh hnh vợi siảu mt i xøng M ~ P 2.2 Nhâm c¡c CR tü flng cĐu ca MP nh lỵ 2.2.1 Cho (MP ; 0) l si¶u m°t C -trìn x¡c ành bði (z) := (z1; z2) = Re z1 + P (z2) = 0, â P l C -trìn mºt lƠn cn ca gc tồa C thọa mÂn i•u ki»n ... OANH V NH´MCRTÜ NGC U CÕASI UM TKI UV˘H NTRONGC Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 60460102 LU NV NTH CS KHOAH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C: TS NINH V N THU H Nºi - 2016 L˝IC MÌN B£n lun vôn n y... ch¿nh d⁄ng Łng C Nhâm CR tü flng c§u cıa mt s lợp cĂc siảu mt kiu vổ hn C Nhâm G2(MP ; 0) 2.1 Nhâm c¡c CR tü flng c§u cıa MP 2.2 Nhâm c¡c CR tü flng cĐu ca siả c trững ca trữớng... vã nhõm cĂc CR tỹ flng cĐu Aut(MP ; 0) v mỉ t£ c¡c tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc aut 0(MP ; 0) cıa mỉ h…nh ki”u vổ hn MP Lun vôn ữổc trnh b y düa theo b i b¡o Infinitesimal CR automorphisms