Vành tự đồng cấu của p nhóm abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài: “Vành tự đồng cấu p - nhóm Abel” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới q thầy khoa Tốn Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi nhiều việc hồn thành luận văn Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập làm việc suốt trình học Cao học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè, người bên cạnh động viên, giúp đỡ, ủng hộ vật chất tinh thần suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng suốt trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy cô giáo bạn học viên TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm Abel 1.2 Một số kết lý thuyết tập hợp Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN 11 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel 11 2.2 Tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn 16 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số tự nhiên khác * : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỉ a : Họ phần tử với i ∈ I a : Nhóm sinh phần tử a { i }i∈I : Vành số nguyên mod p p o (a ) : Cấp phần tử a : p - độ cao phần tử a h : Lực lượng tập hợp X Hom ( A, B ) : Tập hợp đồng cấu nhóm từ End A ∏ i i∈I ⊕G i∈I A đến B : Tập hợp tự đồng cấu nhóm : Tích trực tiếp nhóm Gi ,i ∈ I : Tổng trực tiếp nhóm Gi ,i ∈ I LỜI MỞ ĐẦU Mọi nhóm Abel module vành tự đồng cấu mình, tính chất vành đồng cấu phản ánh nhiều thơng tin thân nhóm Abel Mối quan hệ tính chất nhóm Abel tính chất vành đồng cấu đề tài nhận nhiều quan tâm Mặc dù trường hợp chung, kết vành tự đồng cấu nhóm Abel cịn rời rạc, lớp nhóm Abel xoắn, cụ thể p - nhóm Abel, nhiều kết đẹp đạt cơng trình Baer, Kaplansky, Richman, Walker, Pierce v.v Nội dung luận văn nghiên cứu trình bày có hệ thống kết tự đồng cấu p - nhóm Abel bị chặn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Vành tự đồng cấu nhóm Abel xoắn Chương gồm Bài 2.1 trang bị kiến thức chung tự đồng cấu nhóm Abel Bài 2.2 trình bày kết tự đồng cấu chặn p - nhóm Abel bị Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm nhóm, đồng cấu nhóm, tổng trực tiếp, tích trực tiếp Trình bày định lý phổ dụng tổng trực tiếp, tích trực tiếp kết lý thuyết tập hợp Các kết chương sử dụng chương sau 1.1 Nhóm Abel Định nghĩa 1.1.1 Nhóm tập hợp G ≠ ∅ , xác định phép tốn hai thỏa điều kiện: i) Với x , y , z ∈G ta có (x + y ) + z = x + ( y + z ) ii) Tồn ∈G cho với x ∈G , ta có x + = + x = x iii) Với x ∈G , tồn (− x )∈G cho (− x ) + x = x + ( − x ) = Nếu nhóm G thỏa mãn x + y = y + x với x ∈G G gọi nhóm Abel Trong luận văn nhóm xét nhóm Abel, nên để đơn giản ghi “nhóm” ta hiểu “nhóm Abel” Định nghĩa 1.1.2 Tập A nhóm thỏa mãn điều kiện: i) A≠∅ ii) Với a Nhóm A G ký hiệu Định nghĩa 1.1.3 Cho nhóm nguyên dương nhỏ n cho Nếu không tồn số nguyên dương n Định nghĩa 1.1.4 Cho G nhóm Với số tự nhiên m , đặt G [ m ] = {x ∈ G mx = 0} Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.5 Cho hai nhóm G G′ Một ánh xạ f : G → G′ gọi đồng cấu nhóm với a , b ∈G ta có f (a + b ) = f (a ) + f (b) Tập hợp tất đồng cấu nhóm từ G đến G′ ký hiệu Hom (G , G′) Ta ký hiệu End G = Hom (G , G ) Nếu đồng cấu f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) ta nói f đơn cấu (tồn cấu, đẳng cấu) nhóm Tổng trực tiếp tích trực tiếp Định nghĩa 1.1.6 Cho họ khơng rỗng nhóm Gi , i ∈ I Khi tập tích Descartes ∏Gi với phép toán định nghĩa i∈I (xi ) + ( yi ) = ( xi + yi ) với (xi tạo thành nhóm, gọi tích trực tiếp nhóm Gi , i ∈ I Định lý 1.1.7 (Định lý tính phổ dụng tích trực tiếp) {Xi } , với nhóm i∈I tích cách qua họ phép chiếu  pi : ∏ X t tồn đồng cấu Chứng minh Đồng cấu f xây dựng theo công thức sau: X →∃!f ∏ X t t∈I fi pi X x∈X Với pi f = fi , với i ∈ I Với Suy f Nếu có đồng cấu ′ x, x m ′ nên a = ma + b a − pma = pb ∈ a s o(a)=p o ( pma ) Bổ đề 2.2.10 Cho tổng trực tiếp nhóm cyclic bậc đồng cấu o(f)= 1) 2) h p ( f ) = k − s Chứng minh 1) Theo Bổ đề 2.2.8 o(f)=p Hom ( A, B ) bị chặn pk nên p k f = Suy 21 2) Trước hết, ta chứng minh Hom ( A, B ) bị chặn pk nên với g ∈ Hom ( A, B ) p k g = Mặt khác, o ( f ) = ps nên f = p k −s g với Hom (A, B) Giả sử có Bây giờ, ta chứng minh cho p f = p k − s +1 g Theo Bổ p ta có k − s +1 o (p A, B ) p giả nên thiết o(f)=p Vậy f ∈ p k − s Hom (A, B ) \ p k − s +1 Hom (A, B) nghĩa h p ( f ) = k − s Mệnh đề 2.2.11 Cho p - số nguyên tố, A nhóm cyclic bậc p B tổng trực tiếp β nhóm cyclic bậc Hom (A,B) ≅⊕ β Chứng minh Ta có A ≅ Trường hợp 1: Theo p 2.1.6, ta có Theo Mệnh đề 2.2.5, ta có Hom p p ( pm; pn )≅ n k ) , với k = {m , n} Vậy Hom ( A, B ) ≅ ∏ p , với k = {m , n} k β Trường hợp 2: β vô hạn 22 Theo Hệ 2.2.4, ta có Hom (A, B ) = B   p  Theo Bổ đề 2.2.6, ta có ( B  p m ≅ ⊕   β Bổ đề 2.2.7 vơ hạn nên theo Hom ( A, B ) = β (1) Ta chứng minh Hom (A, B) ≅ ⊕ p Theo Bổ đề 2.2.8, ta có β Hom ( A, B ) k p p nên tổng trực tiếp p - nhóm cyclic bậc bé Hom (A, B ) = ⊕ fi i∈I Theo Bổ đề 2.2.9, với i ∈ i I ta có h p ( fi ) = Mặt khác, theo = k với i ∈ I Suy o ( f i ) = 2.2.10, ta có h p ( f ) = k − si Suy i ∈ I hay s i Bổ đề p Hom(A, B) ≅ ⊕ i∈I (2) Giả sử I hữu hạn  i∈I pk có lực lượng hữu hạn, điều mẫu thuẫn Hom(A, B) ≅ ⊕ i∈I Hom ( A, B ) có lực lượng vơ hạn Do I vơ hạn, nên theo Bổ đề 2.2.7 ⊕ p i∈I Từ (1), (2) (3) suy I = β Vậy Hom (A, B) ≅ ⊕ β Mệnh đề 2.2.12 Cho nhóm cyclic bậc bậc pm B tổng trực tiếp β nhóm cyclic bậc ta có đẳng cấu nhóm Hom (A, B) ≅ ∏⊕β Chứng minh pk , với 23 Theo Bổ đề 2.1.4, ta có Hom (A, B ) ≅ Hom (⊕ α p ) ≅  ∏Hom ( α ,B p Theo Mệnh đề Hom (A, B) ≅ ∏ α với k = {m , n} Vậy p Ghi 2.2.13 2.2.2 Đến đây, ta có định lý quan Định lý 2.2.14 với có đẳng cấu nhóm Hom End (Ai ; Aj ) {i ; j} Chứ p ng minh : m The o Địn h lý 2.1 End G≅ ⊕ Ho m ( Ai ; Aj ) i , j=1 The o Mệ nh đề 2.2 12 (i Hom A ; A k  min{i ; j} 24 KẾT LUẬN Trong luận văn thực công việc sau: Trình bày số kết tự đồng cấu nhóm Abel (Mệnh đề 2.1.3, Hệ 2.1.8) Trình bày chi tiết có hệ thống việc mô tả tự đồng cấu Abel bị chặn (Mệnh đề 2.2.11, Mệnh đề 2.2.12, Định lý 2.2.14) p - nhóm 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Fuchs, Abelian groups Springer Monographs in Mathematics, 2015 [2] Nguyễn Viết Đông Trần Huyên, Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [3] H Prüfer., “Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen”, Math Z, Vol 17, pp 35–61, 1923 [4] R Baer., “The decomposition of enumerable, primary, abelian groups into direct summands”, Q J Math Oxford, Vol 6, pp 217–221, 1935 ... Nhóm Abel 1.2 Một số kết lý thuyết t? ?p h? ?p Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN 11 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel 11 2.2 Tự đồng cấu p - nhóm Abel. .. cấu p - nhóm Abel bị chặn 2.1 Định nghĩa số tính chất tự đồng cấu nhóm Abel Cho G nhóm Trên t? ?p tất tự đồng cấu G , ký hiệu End G , ta xét ph? ?p toán cộng ph? ?p toán nhân sau: Với c? ?p tự đồng cấu. .. ti? ?p nhóm Gi ,i ∈ I LỜI MỞ ĐẦU Mọi nhóm Abel module vành tự đồng cấu mình, tính chất vành đồng cấu phản ánh nhiều thơng tin thân nhóm Abel Mối quan hệ tính chất nhóm Abel tính chất vành đồng cấu