Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạvà môđun giả xạ ảnh Ngô Sỹ Tùnga, Lê Văn AnbNguyễn Thị Đức Hiềnc Tóm tắt.. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số kết quả về vành các tự đồng
Trang 1Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ
và môđun giả xạ ảnh Ngô Sỹ Tùng(a), Lê Văn An(b)Nguyễn Thị Đức Hiền(c)
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số kết quả về vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh và một đặc trưng môđun Σ−tựa nội xạ bởi điều kiện giả nội xạ và Σ − (1 − C 1 ) Các kết quả này là sự tiếp tục những nghiên cứu của chúng tôi trong [2], [3], [4] và của những tác giả khác (xem [1], [6], [7], ).
I Mở đầu
Trong bài báo này các vành đều là vành kết hợp có đơn vị và tất cả các môđun là môđun phải unita trên vànhR nào đó (nếu không nói gì thêm) Cho haiR−môđunA
vàN MôđunN được gọi là A−nội xạ nếu với mọi môđun conX củaA, mỗi đồng cấu
ϕ : X −→ N có thể mở rộng tới đồng cấuψ : A −→ N MôđunNđược gọi là tựa nội xạ nếu
N làN −nội xạ Vành Rđược gọi là vành tựa nội xạ phải (trái) nếuRR(R R) là môđun tựa nội xạ Môđun N được gọi làA−xạ ảnh nếu với mọi môđun conX củaA, mỗi đồng cấuϕ : N −→ A/X có thể được nâng lên thành đồng cấuψ : N −→ A Cho một môđun
M, ta xét các điều kiện sau:
(C 1 )Mọi môđun con củaM là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp củaM, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trongM là hạng tử trực tiếp củaM
(C 2 )NếuA vàB là các môđun con củaM đẳng cấu với nhau và Alà hạng tử trực tiếp củaM thìB cũng là hạng tử trực tiếp củaM
(C 3 )NếuAvàB là các hạng tử trực tiếp củaM vàA ∩ B = 0thìA ⊕ Bcũng là hạng
tử trực tiếp củaM
(1 − C 1 )Mọi môđun con đều (uniform) củaM là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp củaM
MôđunM được gọi làCS−môđun (tương ứng môđun(1 − C1), liên tục, tựa liên tục), nếuM thoả mãn điều kiện(C 1 )(tương ứng(1 − C 1 ),(C 1 )và(C 2 );(C 1 )và(C 3 )) Theo [12]
ta có(C2) =⇒ (C3)và sơ đồ kéo theo sau là đúng:
Nội xạ=⇒Tựa nội xạ=⇒Liên tục=⇒Tựa liên tục=⇒CS=⇒ (1 − C 1 )
Môđun M được gọi là (đếm được) Σ−nội xạ (tương ứng (đếm được) Σ−tựa nội xạ, (đếm được)Σ − (1 − C 1 ))nếu môđunM(I)(tương ứngM(N))là nội xạ (tương ứng tựa nội xạ,(1 − C 1 )) với tập chỉ sốIbất kỳ (trong đóNlà tập hợp các số tự nhiên)
MôđunM được gọi là môđun1−chuỗi (uniserial) nếu tập hợp các môđun con củaM
sắp thứ tự tuyến tính MôđunM được gọi là môđun chuỗi (serial) nếuM là tổng trực tiếp của các môđun con1−chuỗi VànhR được gọi là vành1−chuỗi (tương ứng chuỗi) phải (trái) nếu môđunR R(tương ứng môđunR R) là môđun1−chuỗi (tương ứng môđun chuỗi)
1 Nhận bài ngày 28/2/2008 Sửa chữa xong 21/4/2008.
Trang 2VànhR được gọi là QF - vành nếuRlà vành Artin phải và trái, tựa nội xạ phải và trái
MôđunN được gọi làA−giả nội xạ (A−pseudo−injective) nếu mọi môđun conX của
A, mọi đơn cấu ϕ : X −→ N đều có thể mở rộng tới đồng cấuψ : A −→ N Môđun N
được gọi là giả nội xạ (pseudo−injective) nếuN làN −giả nội xạ MôđunN được gọi là
A−giả xạ ảnh (A−pseudo−projective) nếu với mọi môđun conX củaA, mỗi toàn cấu
ϕ : N −→ A/X có thể được nâng lên thành đồng cấuψ : N −→ A MôđunN được gọi là giả xạ ảnh (pseudo - projective) nếuN làN −giả xạ ảnh
Chúng ta dùng ký hiệu A ⊆ M,A ⊆ e M,A ⊆ ⊕ M vàEnd(M )để chỉ Alà môđun con của môđunM,Alà môđun con cốt yếu của môđunM,Alà hạng tử trực tiếp của môđun
M và vành các tự đồng cấu của môđunM tương ứng
Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một số tính chất về vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh Chúng tôi cũng đưa ra một đặc trưng của môđunΣ−tựa nội xạ thông qua điều kiện giả nội xạ, qua đó ứng dụng để đặc trưng QF
- vành Các kết quả này là sự tiếp tục những nghiên cứu của chúng tôi trong [2], [3], [4] và của những tác giả khác (xem [1], [6], [7], )
II Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ
ảnh
Bổ đề 2.1 ChoM là môđun1−chuỗi vàS = End(M ) Khi đó
(a) NếuM là môđun giả nội xạ thìSlà1−chuỗi trái
b) NếuM là môđun giả xạ ảnh thìSlà1−chuỗi phải
Chứng minh (a) Ta giả sử rằngM là môđun1−chuỗi và giả nội xạ Trước hết ta chứng minhM là môđun tựa nội xạ
Thật vậy, xétAlà môđun con củaM và đồng cấuf : A −→ M, (f 6= 0)
- NếuKerf = 0thìf là đơn cấu và doM là giả nội xạ nênf có thể mở rộng tới đồng cấug : M −→ M
- Nếu Kerf 6= 0 Xét α = i − f với i là phép nhúng chính tắc môđun con A vào môđun M Ta có Kerf ∩ Kerα = 0 VìM là môđun 1−chuỗi nênKerf ∩ Kerα = Kerα
hoặcKerf ∩ Kerα = Kerf Mặt khác,Kerf 6= 0nênKerf ∩ Kerα = Kerα = 0 Từ đóαlà
đơn cấu nên αcó thể mở rộng tới đồng cấu g : M −→ M sao chogi = α = i − f, suy ra
f = i − gi = i(idM − g) VậyM là môđun tựa nội xạ
Xétϕ, ψ ∈ S, ta cóKerϕ, Kerψlà các môđun con củaM Không mất tính tổng quát ta
có thể giả sửKerϕ ⊆ Kerψ Ta có M/Kerψ ∼ = Imψ ⊆ M vàM/Kerϕ ∼ = Imϕ ⊆ M Ta xây dựng các đồng cấuϕ∗ : M/Kerϕ −→ M bởiϕ∗(m + Kerϕ) = ϕ(m) vàψ∗ : M/Kerϕ −→ M
bởiψ∗(m + Kerϕ) = ψ(m) Rõ ràngϕ∗là đơn cấu DoM là môđun tựa nội xạ nên tồn tại
đồng cấu h ∈ S sao chohϕ∗ = ψ∗ Với mọi m ∈ M ta cóhϕ∗(m + Kerϕ) = ψ∗(m + Kerϕ), suy rahϕ(m) = ψ(m), nghĩa làhϕ = ψ Vậyψ ∈< ϕ >và do đó< ψ >⊆< ϕ >trongS Snên
S là vành1−chuỗi trái
(b) Ta giả sử rằng M là môđun 1−chuỗi và giả xạ ảnh Trước hết ta chứng minhM
là môđun tựa xạ ảnh
Trang 3Xét đồng cấuf : M −→ M/X.
- Nếuf là toàn cấu và doM giả xạ ảnh thìfcó thể được nâng tới đồng cấuf ∗ : M −→
M
- Nếu f không phải là toàn cấu, đặt α = π − f với πlà phép chiếu chính tắc môđun
M vào môđun thươngM/X, ta suy raImf + Imα = M/X.VìM là môđun1−chuỗi nên
Imf + Imα = ImfhoặcImf + Imα = Imα Mặt khác,Imf 6= M/XnênImf + Imα = Imα = M/X Do đóαlà toàn cấu Từ đó, tồn tại đồng cấuhsao chohπ = α, suy raf = (1 − h)π VậyM là môđun tựa xạ ảnh
Bây giờ chúng ta xétϕ, ψ ∈ S, ta cóImϕ, Imψlà các môđun con củaM Không mất tính tổng quát ta có thể giả sửImϕ ⊆ Imψ Khi đóψ : M −→ Imψlà toàn cấu và có thể xemϕlà đồng cấu từM vàoImψ DoM là môđun tựa xạ ảnh nên tồn tại đồng cấuhsao choψh = ϕ Vậyϕ ∈< ψ >và do đó< ϕ >⊆< ψ >trongS S nên ta cóS là vành1−chuỗi phải
Định lý 2.2 ChoM là môđun chuỗi và hữu hạn sinh,S = End(M ) Khi đó
(a) NếuM là môđun giả nội xạ thìS là chuỗi trái
(b) NếuM là môđun giả xạ ảnh thìSlà chuỗi phải
Chứng minh Do M là môđun chuỗi hữu hạn sinh nênM = ⊕ni=1M ivớiM ilà các môđun
1−chuỗi,i = 1, 2, , n Từ đó, ta cóEnd(M ) = ⊕ n
i=1 End(Mi) Theo Bổ đề 2.1 thì các khẳng
định (a), (b) trong định lý được chứng minh
III Đặc trưng môđunΣ- tựa nội xạ bởi điều kiện giả nội xạ
Bổ đề 3.1 Cho môđun M = ⊕i∈IUi, vớiUi là các môđun đều Nếu A là môđun con
đóng trongM thì tồn tại tập conF củaI sao cho:A ⊕ (⊕ i∈F U i ) ⊆ e M.
Chứng minh - NếuA = M thìF là tập rỗng
- NếuA 6= M doAlà một môđun con đóng củaM, nên tồn tạii ∈ I sao choA ∩ U i = 0 Theo bổ đề Zorn, tồn tại tập conF tối đại củaI sao choA ∩ ⊕ i∈F U i = 0 ĐặtV 1 = ⊕ i∈F U i
vàV2 = ⊕i∈KUi vớiK = I\F Do tính chất tối đại củaF ta cóA ∩ (V1⊕ U k ) 6= 0với mọi
k ∈ K Do đó, tồn tạia ∈ A, a 6= 0 sao choa = x − u, vớix ∈ V 1 , u ∈ U k Ta có u 6= 0và
u = a − x ∈ A ⊕ V1nênUk∩ (A ⊕ V 1 ) 6= 0với mọik ∈ K Do đóA ⊕ V1⊆ e M
Định lý 3.2 Cho môđun M là tổng trực tiếp vô hạn các môđun đều Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i)M là môđun giả nội xạ và đếm đượcΣ − (1 − C1);
(ii)M là môđunΣ−tựa nội xạ
Chứng minh(i) ⇒ (ii): Giả sử có(i)chúng ta sẽ chứng minhM là môđunΣ−tựa nội xạ DoM là môđun giả nội xạ nên (theo [7, Theorem 2.6])M thoả mãn điều kiện(C 2 )
ĐặtM = ⊕i∈IUi vớiUilà các môđun đều Ta sẽ chứng minh M làCS−môđun Giả sửA
là một môđun con đóng củaM Khi đó theo Bổ đề 3.1 tồn tạiF ⊆ I sao cho:
A ⊕ (⊕ U ) ⊆eM.
Trang 4ĐặtV 1 = ⊕ i∈F U i vàV 2 = ⊕ i∈K U i vớiK = I\F Xétp 1vàp 2 tương ứng là các phép chiếu
tự nhiên từM lênV1vàV2 thì đồng cấup2 | Alà đơn cấu Đặth = p1(p2| A ) −1là đơn cấu
từp 2 (A) −→ V 1 Ta cóA = {x + h(x) | x ∈ p 2 (A)} Ta sẽ chỉ ra rằnghkhông thể có mở rộng trongV2 Thật vậy, giả sửg : B −→ V1 vớip2(A) ⊆ B ⊆ V2 là một mở rộng củahtrongV2
ĐặtC = {x + g(x) | x ∈ B}, ta cóA ⊕ V 1 ⊆ e M,p 2 (A) = p 2 (A ⊕ V 1 ) ⊆ep 2 (M ) = V 2 là môđun con cốt yếu củap2(M ) = V2 Do đóp2(A) ⊆ e B ⊆ V2, suy raA ⊆ e C TừA là môđun con
đóng củaM nên ta cóA = C vàp 2 (A) = B Vậyg = h Bây giờ chúng ta xét k ∈ K, đặt
X k = U k ∩ p 2 (A) Ta cóX k 6= 0, ∀k ∈ KvàX klà môđun đều ĐặtA k = {x + h(x) | x ∈ X k }, ta
cóXk∼= Ak, nênAklà môđun con đều củaA Giả sử rằngAk ⊆ e P ⊆ Uk⊕V 1, doAk∩V 1 = 0
ta cóP ∩ V 1 = 0, nênp 2 | P là đơn cấu Đặth k = h |p2(Ak), dohkhông mở rộng nênh kcũng không mở rộng được Đặtλk = p1(p2 |P)−1 : p2(M ) −→ V1, khi đóλk là mở rộng củahk, nên p 2 (P ) = p 2 (A k ) Từ p 2 | P là đơn cấu,A k ⊆ e P, nênA k = P Do đó A k là môđun con
đóng đều củaM Theo Bổ đề 3.1 tồn tại môđun conV 3 củaM sao choV 3 = ⊕ i∈L U i, với
L ⊂ Ithoả mãn
A k ⊕ V 3 ⊆ e M.
Bởi vì,M là môđun(1 − C1), chúng ta cóAk ⊆ ⊕ M Mặt khác,V3⊆ ⊕ M vàM thoả mãn
(C 3 ) nên A k ⊕ V 3 ⊆ ⊕ M Do đó A k ⊕ V 3 = M Đặt V 4 = ⊕ i∈J U i trong đó J = I\L, ta có
M = Ak⊕ V 3 = V4⊕ V 3 Từ đó, ta cóAk ∼= M/V3= V4⊕ V3/V3∼= V4 Mặt khácAk là môđun con đều nên| J |= 1, tức làA k ∼= Uj(j ∈ I) Cho nênX k ∼= Ak∼= Uj suy raX k ⊆ ⊕ M bởi vì
M thoả mãn(C2) Mặt khácXk ⊆ e Uk ⊆ ⊕ M nênXk = Uk, ∀k ∈ F Do đóp2(A) = V2, suy
ra A ∼ = V 2 = ⊕ i∈K U i nênA ⊆⊕ M TừM làCS−môđun nênM là môđun liên tục Theo [10, Proposition 2.5] ta cóM làΣ−tựa nội xạ.(ii) ⇒ (i): Giả sử có(ii)chúng ta sẽ chứng minhM là môđun giả nội xạ và đếm đượcΣ − (1 − C1) VìM là môđunΣ−tựa nội xạ nên
M là môđun tựa nội xạ và do đóM là môđun giả nội xạ Mặt khác mọi môđun tựa nội xạ là môđun(1 − C1)và vìM là môđunΣ−tựa nội xạ nên chúng ta cóM là môđun đếm
đượcΣ − (1 − C 1 )
Hệ quả 3.3 Cho vànhRcó chiều đều phải hữu hạn, đếm đượcΣ − (1 − C1)phải Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
(i)R R là môđun giả nội xạ;
(ii)RRlàΣ−tựa nội xạ;
(iii)Rlà QF - vành
Chứng minh (ii) ⇔ (iii) ⇒ (i): Hiển nhiên
(i) ⇒ (ii): Do vànhRcó chiều đều phải hữu hạn nênR R = ⊕ni=1R ivới cácR ilà môđun
đều Theo Định lý 3.2, ta cóR Rlà giả nội xạ thìR RlàΣ−tựa nội xạ
tài liệu tham khảo
[1] A Ala Ahmadi, N Er and S K Jain, Modules which are invariant under monomor-phism of their injective hulls, J Australian Math Soc., 79, 2005, 349 - 360
[2] L V An and N S Tung, Pseudo - injective modules, pseudo -projective modules and noetherian rings, J of Sci Hanoi Uni of Education, Vol 53, No 1, 2008, 22 - 29 [3] L V An and D D Tai, Characterized rings by pseudo - injective modules, to appear
Trang 5[4]L V An và N T D Hiền, Một số kết quả về môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập XXXV, Số 4A, 2006, 5 - 11
[5] F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Math No 13, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1974
[6] H Q Dinh, On pseudo - injective modules, AMS meeting No.990, Bringhamton (New York), October 11 - 12, 2003
[7] H Q Dinh, A note on pseudo-injective modules, Comm Algebra 33, 2005, 361-369
[8] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK,1994 [9] C Faith, Algebra, Ring Theory, Springer Verlag, 1976
[10] D V Huynh and S T Rizvi, On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 2001,
119 - 128
[11] S K Jain and S Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canada Math Bull., Vol.18(3), 1975, 359 - 366
[12] S H Mohamed and B.J Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series147, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1990 [13] N S Tung, L V An and T D Phong, Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December 2005, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, 235 - 241
[14] R Wisbauer, Foundations of Modules and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991
summary
THE ENDOMORPHISM RING OF PSEUDO - INJECTIVE MODULES AND
PSEUDO - PROJECTIVE MODULES
In this paper, we give some results about endomorphism ring of pseudo - injective modules, pseudo - projective modules, and a characterization of Σ−quasi - injective modules via the pseudo - injectivity These results are continuation of those in [1], [2], [3], [4], [6], [7],
(a)Khoa toán, Trường Đại học Vinh
(b)Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
(c)Cao học 15 - Đại số, Trường Đại học Vinh.