Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều các lớp cụ thể các không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M. Zaidenberg, J. Noguchi về giả thiết Mordell trong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích. Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn những tính chất hình học của miền Hartogs. Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào.... Hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả 2 thuyết về tính Zalcman của Cn khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở. Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2. Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên. Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án, dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2. Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gian phức. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là: Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs. Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức Cn. Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức,.... 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Luận án đạt được một số kết quả sau: 3 Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs.
N: 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều các lớp cụ thể các không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M. Zaidenberg, J. Noguchi về giả thiết Mordell trong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích. Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn những tính chất hình học của miền Hartogs. Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào Hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả 2 thuyết về tính Zalcman của C n khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở. Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong C n và (C ∗ ) 2 . Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên. Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án, dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C 2 . Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gian phức. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là: Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs. Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức C n . Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu Har- togs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C 2 . Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C 2 . 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức, 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Luận án đạt được một số kết quả sau: 3 Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của X. Khi đó Ω H (X) là hyperbolic modulo S × C m nếu và chỉ nếu X là hyperbolic modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {z k } k≥1 ⊂ X \S với lim k→∞ z k = z 0 ∈ X \ S và {w k } k≥1 ⊂ C m với lim k→∞ w k = w 0 = 0, thì lim sup k→∞ H(z k , w k ) = 0. Định lý 1.3.1: Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích trong X. Khi đó i. Nếu Ω H (X) là taut modulo S × C m thì X là taut modulo S và log H là đa điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × C m . ii. Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương và S là tập con giải tích (riêng) thì log H là đa điều hòa dưới trên X × C m . iii. Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × C m và log H là đa điều hòa dưới trên X × C m thì Ω H (X) là taut modulo S × C m . Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong C n và (C ∗ ) 2 . Định lý 2.2.3: C n (n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm độ dài E trên C n . Định lý 2.3.1: (C ∗ ) 2 không là kiểu ds 2 F S -giới hạn, ở đây ds 2 F S là metric Fubini-Study trên P 2 (C). Ngoài ra, luận án còn đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact với metric Hermit tùy ý. Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gian phức compact với metric Hermit E. Giả sử S là một siêu mặt phức trong X và đặt M = X \ S. Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M). Khi đó họ F là không chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại dãy {p j } ⊂ Ω với p j → p 0 ∈ Ω khi j → ∞, {f j } ⊂ F, {ρ j } ⊂ R với ρ j > 0 và ρ j → 0 + khi j → ∞ sao cho g j (ξ) := f j (p j + ρ j ξ), ξ ∈ C thỏa mãn một trong hai khẳng định sau: (i) Dãy {g j } phân kỳ compact trên C; (ii) Dãy {g j } hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong E-Brody không hằng g : C → M. 4 Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực trong C 2 . Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C 1 tại 0 được xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z 1 , z 2 ) = Rez 1 +P (z 2 )+Imz 1 Q(z 2 , Imz 1 ) = 0 thỏa mãn các điều kiện sau: (1) P, Q nhẵn lớp C 1 với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z 2 ) > 0 với bất kỳ z 2 = 0 (3) P (z 2 ), P (z 2 ) phẳng tại z 2 = 0. Khi đó dim R hol 0 (M, 0) ≤ 1. 6. Cấu trúc luận án Luận án bao gồm ba chương, được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí trong và ngoài nước. Cụ thể: Chương 1 với tên gọi "Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs", chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh về điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo, tính taut modulo S × C m của miền kiểu Hartogs Ω H (X). Bên cạnh đó, trong chương này chúng tôi còn trình bày chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo. Chương 2 với tên gọi "Đường cong giới hạn Brody trong C n và (C ∗ ) 2 ", chúng tôi trình bày chứng minh một khẳng định cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức C n . Thêm nữa, trong chương này chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit không đầy. Chương 3 với tên gọi "Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân", chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C 2 thông qua việc mô tả không gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó. Cụ thể chúng tôi chứng minh rằng hol 0 (M, p) của siêu mặt kiểu vô hạn D’Angelo trong C 2 có số chiều thực không vượt quá 1. Ngoài ba chương chính ở trên, luận án còn có các phần như: Mở đầu, Danh mục kí hiệu, Tổng quan, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình công bố của tác giả, Tài liệu tham khảo, Mục lục. 5 TỔNG QUAN Trong phần tổng quan này chúng tôi sẽ trình bày những phân tích, đánh giá về các công trình nghiên cứu đã có của các tác giả trong và ngoài nước liên quan mật thiết đến đề tài luận án. Đồng thời chúng tôi sẽ nêu ra những vấn đề còn tồn tại và chỉ ra những vấn đề mà đề tài luận án cần tập trung nghiên cứu giải quyết. 1. Vấn đề 1: Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs Giả sử X là một không gian phức, H là một hàm đa điều hòa dưới thuần nhất không âm trên X × C m , S là một tập con giải tích của X. Ta gọi miền kiểu Hartogs là tập Ω H (X) := {(z, w) ∈ X × C m : H(z, w) < 1}. Khi m = 1 và H(z, w) = |w|e ϕ(z) với ϕ : X → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên trên X thì miền Hartogs Ω ϕ (X) := {(x, z) ∈ X × C : |z| < e −ϕ(x) } là trường hợp đặc biệt của của miền kiểu Hartogs Ω H (X). Miền Hartogs Ω ϕ (X) là một đối tượng nghiên cứu cổ điển của giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt, trong hơn mười năm trở lại đây, đã có nhiều nghiên cứu về tính hyperbolic cũng như tính taut của miền Hartogs từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic. Năm 2000, Đỗ Đức Thái và Phạm Việt Đức đã khảo sát miền Hartogs Ω ϕ (X) với ϕ : X → [−∞, ∞) là hàm đa điều hòa dưới trên X. Các tác giả đã khẳng định rằng miền Hartogs Ω ϕ (X) là hyperbolic đầy khi và chỉ khi X là hyperbolic đầy và ϕ liên tục trên X, trong điều kiện là với mỗi x ∈ X, tồn tại một lân cận mở U của x trong X và một dãy h j các hàm chỉnh hình trên U và một dãy c j các số thực thuộc khoảng (0; 1) sao cho dãy {c j log |h j |} hội tụ đều trên các tập con compact của U tới hàm ϕ. Đồng thời các tác giả cũng chỉ ra rằng miền Hartogs Ω ϕ (X) là taut khi và chỉ khi X là taut và ϕ liên tục trên X. Tiếp đến năm 2003, Nguyễn Quang Diệu và Đỗ Đức Thái đã nghiên cứu tính hyperbolic và tính hyperbolic đầy của miền Hartogs Ω ϕ (X) với ϕ : X → [−∞, ∞) là hàm nửa liên tục trên trên X. Các tác giả đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để miền Hartogs Ω ϕ (X) là hyperbolic là không gian phức X là hyperbolic và ϕ bị chặn địa phương trên X. Bên cạnh đó các tác giả đã chỉ ra được điều kiện cần để Ω ϕ (X) là hyperbolic đầy là không gian phức X là hyperbolic đầy và ϕ nhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X; điều kiện đủ để Ω ϕ (X) là hyperbolic đầy là không gian phức X là hyperbolic, ϕ nhận giá trị thực, liên 6 tục, đa điều hòa dưới trên X thỏa mãn: Với mọi điểm biên (x 0 ; z 0 ) ∈ ∂Ω ϕ (X) mà x 0 ∈ X, tồn tại một lân cận V của điểm x 0 trong X, một hàm chỉnh hình f trên Ω ϕ (V ) sao cho |f(x; z)| < 1, ∀(x; z) ∈ Ω ϕ (V ), lim (x;z)→(x 0 ;z 0 ) |f(x; z)| = 1. Sau đó vài năm, năm 2007, S. H. Park đã chứng minh được kết quả về tính hyperbolic và tính taut của miền Ω u,h (X), ở đây tác giả xét miền kiểu Hartogs Ω H (X) trong trường hợp H(z, w) := h(w)e u(z) với h là hàm nửa liên tục trên trên C m , h ≡ 0, h(λw) = |λ|h(w) và u là hàm nửa liên tục trên trên X. Cụ thể, tác giả đã chứng minh được Ω u,h (X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic, D h = {w ∈ C m : h(w) < 1} C m và u bị chặn địa phương trên X; Ω u,h (X) là taut khi và chỉ khi X, D h là taut và u liên tục, đa điều hòa dưới trên X. Theo hướng mở rộng miền Hartogs, năm 2009, Nguyễn Văn Trào và Trần Huệ Minh đã khảo sát miền kiểu Hartogs Ω H (X) về tính hyperbolic và tính taut. Các tác giả đã khẳng định được Ω H (X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: nếu {z k } k≥1 ⊂ X với lim k→∞ z k = z 0 ∈ X và {w k } k≥1 ⊂ C m với lim k→∞ w k = w 0 = 0 thì lim sup k→∞ H(z k , w k ) = 0. Đồng thời các tác giả cũng như đưa ra được điều kiện cần và đủ để miền kiểu Hartogs Ω H (X) là taut là không gian phức X là taut, thớ Ω H (z) là taut với mọi z ∈ X và log H là hàm đa điều hòa dưới liên tục. Trong tất cả các kết quả đã liệt kê ở trên, các tác giả đã khảo sát miền kiểu Hartogs Ω H (X) trong các trường hợp đặc biệt cũng như tổng quát. Các kết quả này đã đề cập đến tính hyperbolic, hyperbolic đầy, tính taut của Ω H (X). Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, chúng tôi khảo sát tính hyperbolic modulo và tính taut modulo S × C m của miền kiểu Hartogs Ω H (X). 2. Vấn đề 2: Đường cong giới hạn Brody trong C n và (C ∗ ) 2 Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã giới thiệu khái niệm không gian phức Zalcman, đồng thời các tác giả chỉ ra một số ví dụ về không gian phức Zalcman, như: Mọi không gian phức compact là Zalcman hay phần bù của một siêu mặt hyperbolic bất kỳ trong một không gian phức compact là Zalcman. Theo hướng nghiên cứu các đặc trưng của không gian phức Zalcman, năm 2007, Nguyễn Văn Trào và Phạm Nguyễn Thu Trang đã chỉ ra một số lớp không gian phức Zalcman, như: X 1 × X 2 là Zalcman nếu X 1 là taut và X 2 là Zalcman hay X 1 × X 2 là Zalcman nếu X 1 là không gian phức compact và X 2 là Zalcman. 7 Cũng trong bài báo này, các tác giả đã chỉ ra được đặc trưng của không gian phức Zalcman cho phủ chỉnh hình. Trở lại tính Zalcman của không gian phức, các tác giả Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã đặt ra giả thuyết sau. Giả thuyết về tính Zalcman của C n : C n là không gian phức Zalcman với mỗi n > 1. Theo như chúng tôi biết, cho đến nay giả thuyết trên vẫn là một câu hỏi mở. Vì vậy, trong phần này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho giả thuyết đã nêu. Nhắc lại rằng, khái niệm họ chuẩn tắc được giới thiệu lần đầu tiên năm 1907 bởi P. Montel và được tổng quát bởi O. Lehto và K. I. Virtanen . Kể từ đó, tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình đã được nghiên cứu mạnh mẽ và sâu sắc. Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit đầy. Tiêu chuẩn này là một tổng quát hóa định lý của của Zalcman. Chúng ta cũng biết rằng, tiêu chuẩn của Marty đã khẳng định rằng tính chuẩn tắc của họ F các hàm phân hình trên miền phẳng D ⊂ C là tương đương với tính bị chặn địa phương của họ F # tương ứng gồm tất cả các đạo hàm cầu f # = |f |/(1 + |f| 2 ). Mục đích tiếp theo của chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit không đầy. 3. Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn Như đã trình bày ở trên, dưới quan điểm KLEIN và dưới góc độ của Hình học phức hyperbolic, chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C 2 . Cho đến nay, ý tưởng cơ bản của các nhà toán học nhằm giải quyết vấn đề trên là chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của siêu mặt thực về việc mô tả không gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó. Ý tưởng này có thể mô tả cụ thể hơn như sau. Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C 1 tại p ∈ C n . Một mầm trường vectơ nhẵn (X, p) trên M được gọi là một mầm tự đẳng cấu CR vi phân giải tích thực tại p của M nếu tồn tại một mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) trong C n sao cho H tiếp xúc với M, có nghĩa là ReH tiếp xúc với M, và X = ReH | M . Ta kí hiệu hol 0 (M, p) là không gian vectơ thực gồm tất cả các 8 mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M. Như vậy, thông qua nhóm con một tham số các vi phôi địa phương sinh bởi một trường vectơ, ta chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của siêu mặt thực M về việc mô tả không gian vectơ thực hol 0 (M, p) các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó. Nhìn chung, việc mô tả một cách tường minh các tự đẳng cấu CR vi phân giải tích thực của một siêu mặt thực trong C n là không dễ dàng. Hơn nữa trong rất nhiều trường hợp là không mô tả được. Gần đây, việc nghiên cứu hol 0 (M, p) của một số lớp siêu mặt đặc biệt đã được tiến hành. Tuy nhiên các kết quả này mới chỉ giải quyết được trong trường hợp các siêu mặt không suy biến Levi, hay tổng quát hơn là trường hợp các siêu mặt suy biến Levi kiểu hữu hạn. Đối với các siêu mặt thực nhẵn C ∞ kiểu D’Angelo vô hạn trong C 2 , các miêu tả tường minh của hol 0 (M, p) đã được đưa ra. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi nghiên cứu không gian vectơ hol 0 (M, p) đối với một lớp các siêu mặt thực nhẵn C ∞ kiểu D’Angelo vô hạn khác trong C 2 . Chương 1 Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo S × C m của Ω H (X) (Định lý 1.2.4) và tính taut modulo S × C m của Ω H (X) (Định lý 1.3.1). 1.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải tích Định nghĩa 1.1.1. Một không gian phức X được gọi là hyperbolic nếu d X là khoảng cách. Nghĩa là d X (p, q) > 0 với mọi cặp điểm phân biệt p, q ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích của X. Ta nói rằng X là hyperbolic modulo S nếu với mọi cặp điểm phân biệt p, q của X ta có d X (p, q) > 0 trừ khi cả hai điểm p, q được chứa trong S. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian phức. Ta nói rằng X là taut nếu với mọi dãy {f n } trong Hol(D, X) thì một trong hai điều sau đây là đúng: i. Dãy {f n } có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈ Hol(D, X); ii. Dãy {f n } là phân kì compact trong Hol(D, X), tức là, với mỗi tập compact K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X, tồn tại một số nguyên dương N sao cho f n (K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ N. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là một không gian phức và S một tập con giải tích trong X. Ta nói rằng X là taut modulo S nếu với mọi dãy {f n } trong Hol(D, X) thì một trong hai điều sau đây là đúng: i. Dãy {f n } có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈ Hol(D, X); 9 [...]... định nghĩa của không gian phức Zalcman, bị chặn Đó là kết quả của các Định lý 2.2.3 và Định lý 2.3.1 Mục đích tiếp theo của chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit không đầy (Định lí 2.1.9) 2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là một không gian phức và E : T X... trên không gian phức X nếu E là hàm liên tục không âm, thỏa mãn E(v) = 0 khi và chỉ khi v = 0, và E(av) = |a| · E(v) với mọi a ∈ C, v ∈ T X Định nghĩa 2.1.2 Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F là compact tương đối trong Hol(X, Y ) với tôpô compact mở Định nghĩa 2.1.3 Giả sử X, Y là các không gian phức và F ⊂ Hol(X, Y ) Họ F được gọi là không. .. hàm của đường cong chỉnh hình g : C → X trong định nghĩa về không gian Zalcman là bị chặn • Chứng minh một tổng quát hóa định lý của Brody và định lý của Zalcman cho tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian phức Hermit không đầy 24 • Chứng minh không gian vectơ thực của các mầm trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình với một siêu mặt thực nhẵn M ⊂ C2 kiểu vô hạn tại p ∈ M và triệt... > 0 và ρj → 0+ khi j → ∞ sao cho gj (ξ) := fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C, hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới một đường cong chỉnh hình không hằng g : C → X 16 Giả thuyết về tính Zaclman của Cn : Cn là không gian phức Zalcman với mỗi n ≥ 2 Định nghĩa 2.2.2 Giả sử X là một không gian phức với hàm độ dài E Không gian phức X được gọi là kiểu E-giới hạn nếu X thỏa mãn điều kiện sau: Với mỗi họ không. .. kết quả đạt được của luận án: Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau: • Chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo một tập con giải tích của không gian phức • Chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo S × Cm của miền kiểu Hartogs ΩH (X) • Chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính taut modulo S × Cm của miền kiểu Hartogs ΩH (X) • Chứng minh giả thuyết về tính Zalcman cho... chiều thực không vượt quá 1 2 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo: Luận án có thể tiếp tục phát triển theo những hướng sau: • Nghiên cứu tính hyperbolic đầy modulo một tập con giải tích của miền Hartogs • Nghiên cứu tính đúng đắn của định lý Brody về tính hyperbolic modulo một tập con giải tích của không gian phức compact • Chứng minh giả thuyết về tính Zalcman của Cn (n ≥ 2) • Tìm kiếm thêm các lớp... tại một lân cận mở U của y trong Y \ SY sao cho π −1 (U ) là hyperbolic Khi đó nếu Y là hyperbolic modulo SY thì X là hyperbolic modulo SX Định lý 1.2.4 Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của X Khi đó ΩH (X) là hyperbolic modulo S × Cm nếu và chỉ nếu X là hyperbolic 11 modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {zk }k≥1 ⊂ X \ S với lim zk = z0 ∈ X \ S và {wk }k≥1 ⊂ Cm k→∞... kiếm thêm các lớp siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2 mà ta có thể mô tả được tường minh các tự đẳng cấu CR vi phân giải tích thực của các lớp các siêu mặt đó Do thời gian nghiên cứu còn hạn hẹp nên chúng tôi chưa giải quyết được các câu hỏi trên Chúng tôi hy vọng rằng các câu hỏi trên sẽ được giải quyết trong thời gian tới ... sử X, Y là các không gian phức, dX , dY là các giả khoảng cách Kobayashi trên X, Y tương ứng, π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình, Y là hyperbolic Giả sử với mỗi x ∈ X, đặt y = π(x) ∈ Y và B(y, s) = {y ∈ Y | dY (y, y ) < s}, V = π −1 (B(y, 2s)) Khi đó tồn tại hằng số C > 0 (C phụ thuộc vào s) thỏa mãn ∀x ∈ V ta luôn có dX (x, x ) ≥ min{s, C.dV (x, x )} Mệnh đề 1.2.3 Giả sử X, Y là hai không gian phức, π :... đều trên mọi tập con compact của C tới một đường cong khác hằng ϕ trong (C∗ )2 được xác định bởi ϕ(z) = (exp(az + b), exp(cz + d))) với mọi z ∈ C, ở đây a, b, c, d ∈ C với |a|2 + |c|2 = 0 Chương 3 Nhóm các CR- tự đẳng cấu vi phân Trong chương này chúng tôi xét một siêu mặt thực nhẵn M ⊂ C2 kiểu vô hạn tại p ∈ M Chúng tôi sẽ cho thấy rằng không gian vectơ thực hol0 (M, p) các mầm trường vectơ tiếp xúc . khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức. nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không gian. lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức C n . Miêu tả nhóm các CR- tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp