Về nhóm CR tự đẳng cấu của siêu mặt kiểu vô hạn trong c2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NINH VĂN THU Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn dạy tận tình TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, xin kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để sớm hoàn thành luận văn Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh ủng hộ, động viên, giúp đỡ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Dương Thị Ngọc Oanh Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích phức 1.2 Tính chất địa phương ánh xạ bảo giác 1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo 1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc 10 1.5 Một số kết hàm triệt tiêu cấp vô hạn 10 1.6 Định lý hoa Leau-Fatou 12 1.7 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 13 Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 16 2.1 Nhóm G2 (MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP 18 2.3 Nhóm CR tự đẳng cấu siêu mặt dạng ống C2 22 2.4 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với MP TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 36 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • N, Z, Q, R, C: tương ứng tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức • υ0 (f ): Ký hiệu cấp triệt tiêu hàm f dùng định nghĩa loại điểm vô hạn D’Angelo • Ký hiệu ≈ kết hợp với ký hiệu : Dùng cho ký hiệu bất đẳng thức sai khác số dương • C∞ -trơn: Dùng hàm khả vi liên tục cấp vô hạn • P (z) = Pz (z) = • r ∂P (z): Đạo hàm theo biến z hàm P ∂z = {z ∈ C : |z| < r} với r > ký hiệu • ∆ = {z ∈ C : |z| < 0} := ∆∗0 = ∆ \ {0} • Giả sử M mầm siêu mặt quanh điểm p ∈ C2 Khi đó, nhóm tự đẳng cấu M (kí hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình f : U → f (U )) thỏa mãn f (U ∩ M ) ⊂ M , U lân cận p C2 • Aut(M, p) = {f ∈ Aut(M ) : f (p) = p} nhóm ổn định M p • aut(M, p) = H = h1 (z1 , z2 ) ∂z∂ + h2 (z1 , z2 ) ∂z∂ Ở đây, H tiếp xúc với M , H trường vector chỉnh hình h1 , h2 hàm chỉnh hình lân cận p • aut0 (M, p) = H ∈ aut(M, p) : H(p) = • MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re(z1 ) + P (z2 ) = 0}, P ∈ C ∞ (C) ν0 (P ) = +∞ • S∞ (P ) = {z2 ∈ ∆ : νz2 (P ) = +∞}, νz2 (P ) cấp triệt tiêu hàm P (z2 + ξ) − P (z2 ) ξ = • P∞ (MP ) tập hợp điểm có kiểu vô hạn MP MỞ ĐẦU Giả sử (M, p) mầm siêu mặt Cn cho p điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo (gọi tắt kiểu vô hạn) Nhóm tự đẳng cấu M (kí hiệu Aut(M )) nhóm tất song ánh chỉnh hình lân cận M biến M vào M Nhóm ổn định M p (kí hiệu Aut(M, p)) nhóm tất tự đẳng cấu M biến p thành p Tập hợp tất trường vector chỉnh hình Cn tiếp xúc với M triệt tiêu p kí hiệu aut0 (M, p) Bài toán đặt mô tả nhóm CR tự đẳng cấu Aut(M, p) mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (M, p) mầm siêu mặt (M, p) Trong luận văn này, xét siêu mặt đặc biệt Cụ thể, xét mô hình kiểu vô hạn MP định nghĩa sau MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) = 0}, P ≡ hàm C ∞ -trơn, triệt tiêu cấp vô hạn z2 = Nội dung luận văn tìm hiểu kết nhóm CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (MP , 0) mô hình kiểu vô hạn MP Luận văn trình bày dựa theo báo “Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2 " Atsushi Hayashimoto Ninh Văn Thu ([1]) Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ bảo giác, khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý hoa Leau -Fatou Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Chương II: Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong chương này, mô tả nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc MP Nội dung chủ yếu chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 2.4.1 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm giải tích phức Giả sử Ω miền mặt phẳng phức C f hàm biến phức z = x + iy xác định Ω Định nghĩa 1.1.1 Hàm f gọi C - khả vi điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn f (z0 + h) − f (z0 ) h h→0 lim Khi đó, ta nói giới hạn đạo hàm phức f điểm z0 kí hiệu f (z0 ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 C khả vi lân cận điểm z0 Hàm f gọi chỉnh hình miền Ω chỉnh hình điểm miền Hàm chỉnh hình gọi hàm giải tích hàm chỉnh hình khai triển thành chuỗi Taylor điểm miền xác định ˆ lên G ⊂ C ˆ Định nghĩa 1.1.3 f ánh xạ bảo giác từ miền D ⊂ C f phân hình D f đơn ánh f (D) = G Ta nói f ánh xạ bảo giác từ D vào G (3) thay f (D) ⊂ G Nhận xét 1.1 Nếu f có cực điểm ∞ bảo giác ∞ ∞ cực điểm đơn f Chúng ta định nghĩa ánh xạ bảo giác tập liên thông Dưới tính chất ánh xạ bảo giác • Ánh xạ ngược ánh xạ bảo giác ánh xạ bảo giác • Một ánh xạ bảo giác đồng phôi, tức đơn ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục • Mọi ánh xạ bảo giác đơn diệp địa phương, tức đạo hàm không triệt tiêu có cực điểm đơn • Các góc cung bao gồm định hướng bảo toàn qua ánh xạ bảo giác 1.2 Tính chất địa phương ánh xạ bảo giác Định nghĩa 1.2.1 Cho g1 , g2 hai ánh xạ bảo giác thỏa mãn g1 (0) = g2 (0) = Ta nói g1 g2 liên hợp chỉnh hình địa phương tồn ánh xạ song chỉnh hình ϕ với ϕ(0) = cho g1 ≡ ϕ−1 ◦ g2 ◦ ϕ Định nghĩa 1.2.2 Cho g ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = Khi đó, ta nói (i) g tiếp xúc với đồng g (0) = 1; (ii) g parabolic g (0) = e2πip/q với p, q ∈ Z; (iii) g elliptic g (0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q Bổ đề 1.2.1 Cho hàm P C ∞ -trơn ∆ ( > 0) thỏa mãn ν0 (P ) = +∞ P (z) ≡ Giả sử tồn ánh xạ bảo giác g ∆ với g(0) = cho P (g(z)) = β + o(1) P (z), z ∈ ∆ với β ∈ R∗ Khi đó, |g (0)| = Chứng minh Giả sử tồn ánh xạ bảo giác g thỏa mãn g(0) = β ∈ R∗ cho P (g(z)) = β + o(1) P (z), ∀ z ∈ ∆ Khi đó, ta có P (g(z)) = β + γ(z) P (z), z ∈ ∆ , với γ hàm xác định ∆ thỏa mãn γ(z) → z → Do γ(z) → z → nên tồn δ0 > cho |γ(z)| < β/2 với z ∈ ∆δ0 Chúng ta xét trường hợp sau: Trường hợp < |g (0)| < Chọn δ0 α thỏa mãn < δ0 < |g (0)| < α < cho |g(z)| ≤ α|z| với z ∈ ∆δ0 Cố định z0 ∈ ∆∗δ0 mà P (z0 ) = Khi đó, với số nguyên dương n, ta có |P (g n (z0 ))| = | β + γ(g n−1 (z0 )) ||P (g n−1 (z0 ))| = · · · = | β + γ(g n−1 (z0 )) | · · · | β + γ(z0 ) ||P (z0 )| ≥ β − |γ(g n−1 (z0 ))| · · · β − |γ(z0 )| |P (z0 )| ≥ β/2 n (1.1) |P (z0 )|, g n hợp thành n lần g Hơn nữa, < α < nên tồn m0 ∈ Z∗ cho |αm0 | < β/2 Do đó, < |g n (z0 )| ≤ αn |z0 | với n ∈ N Từ (1.1), ta có |P (g n (z0 ))| |P ((z0 )| β/2 ≥ n m |g (z0 )| |z0 |m0 αm0 Do |αm0 | < β/2 nên β/2 α m0 n (1.2) n → +∞ n → ∞ Vì vậy, |P (g n (z0 ))| |g n (z0 )|m0 → +∞ n → ∞ Điều mâu thuẫn P (z) triệt tiêu cấp vô hạn Trường hợp |g (0)| > Do P (g(z)) = (β + o(1))P (z) với z ∈ ∆ nên ta suy P (g −1 (z)) = (1/β + o(1))P (z) với z ∈ ∆ Theo Trường hợp 1, điều không xảy Do đó, |g (0)| = bổ đề chứng minh Bổ đề 1.2.2 Cho f : [−r, r] → R (r > 0) hàm liên tục cho f (0) = f ≡ Nếu β số thực thỏa mãn f (t + βf (t)) = f (t) với t ∈ [−r, r] t + βf (t) ∈ [−r, r] β = 8 Chứng minh Giả sử phản chứng tồn β = cho f (t + βf (t)) = f (t) với t ∈ [−r, r] t + βf (t) ∈ [−r, r] Khi đó, ta có f (t) = f (t + βf (t)) = f t + βf (t) + βf (t + βf (t)) (1.3) = f t + 2βf (t) = · · · = f (t + mβf (t)) với m ∈ N, t ∈ [−r, r] t + mβf (t) ∈ [−r, r] Do f ≡ nên ta chọn t0 ∈ [−r, r] cho f (t0 ) = Do f liên tục tập compact nên f liên tục [−r, r], tức với > tồn δ > với t1 , t2 ∈ [−r, r] mà |t1 − t2 | < δ , ta có |f (t1 ) − f (t2 )| < /2 Mặt khác, f (t) → t → (do f liên tục) f ≡ nên ta tìm t ∈ [−δ/2, δ/2] cho |βf (t)| < δ < |f (t)| < /2 Vì vậy, ta tìm số nguyên m cho |t + mβf (t) − t0 | < δ Từ phương trình (1.3), ta có |f (t0 )| = |f (t0 ) − f (t + mβf (t)) + f (t + mβf (t))| ≤ |f (t + mβf (t)) − f (t0 )| + |f (t + mβf (t))| < /2 + |f (t)| < /2 + /2 = Do đó, f (t0 ) = Điều mâu thuẫn với giả thiết f ≡ Vậy, bổ đề chứng minh Ví dụ sau minh họa cho Bổ đề 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Cho f : [−1, 1] → R hàm cho f (x) = x2 Giả sử tồn β ∈ R cho f (t + βf (t)) = f (t) với t ∈ [−1, 1], t + βf (t) ∈ [0, 1] Khi đó, ta có (t + βt2 )2 = t2 Do đó, tính toán đơn giản ta suy β = Bổ đề 1.2.4 Cho P C ∞ -trơn thỏa mãn P (0) = g ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = 0, |g (0)| = g = id Nếu tồn số thực dương δ thỏa mãn P (g(z)) ≡ δP (z) δ = Ngoài ra, ta có g (0) = e2πip/q (p, q ∈ Z) g q = id g (0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q Chứng minh Thay g hàm ngược cần, ta giả sử δ ≥ (vì δ ≥ ta xét g −1 ) Chúng ta chia toán làm trường hợp Trường hợp g (0) = Theo Định lý hoa Leau-Fatou, tồn z lân cận đủ bé với P (z) = cho limn→+∞ g n (z) = Do P (g n (z)) = (δ)n P (z) limn→+∞ P (g n (z)) = P (0) = nên ta có < |δ| < Điều mâu thuẫn Trường hợp λ := g (0) = e2πip/q (p, q ∈ Z) Trước hết, giả sử g q = id Khi đó, theo Mệnh đề 3.1 [3], tồn z lân cận đủ bé mà P (z) = cho {g n (z)}n chứa tập compact tương đối lân cận thủng Vì vậy, giả thiết P (g(z)) = δP (z) nên dãy {δ n } phải hội tụ Điều suy δ = Trong trường hợp g q = id, ta có g q (z) = z + · · · P (g q (z)) = δ q P (z) Đặt g q = f, δ = δ q Khi đó, ta có g (0) = Do đó, theo Trường hợp 1, điều không xảy Trường hợp λ := g (0) = e2πiθ (θ ∈ Q) Áp dụng Mệnh đề 4.2 [3], tồn z lân cận đủ bé cho P (z) = {g n (z)}n chứa tập compact tương đối lân cận thủng Vì thế, lập luận tương tự Trường hợp 2, ta kết luận δ = Vậy, bổ đề chứng minh 1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo Định nghĩa 1.3.1 Hàm f : ∆ → R gọi triệt tiêu cấp m (không điểm cấp m ∈ N) ∂ j+k f ∂ j0 +k0 f (0, 0) = 0, j + k < m, ∃j0 , k0 : j0 + k0 = m, j k (0, 0) = ∂z j ∂ z¯k ∂z ∂ z¯ Gọi ν(f ) = ν0 (f ) := m cấp triệt tiêu f Tức là, ν0 (f ) bậc số hạng không bị triệt tiêu khai triển Taylor hàm f Trong trường hợp f = (f1 , , fk ) : ∆ → Rk , ν(f ) := min{ν(f1 ), , ν(fk )} Ví dụ 1.3.1 Hàm f (x) = sin(x2 ) có khai triển Taylor f (x) = sin(x2 ) = x2 − x6 + ··· 3! Do đó, ν0 (f ) = Định nghĩa 1.3.2 Giả sử M siêu mặt thực trơn Cn p ∈ M Gọi ρ hàm xác định M lân cận mở U ⊂ Cn p, tức 10 M ∩ U = {z ∈ U : ρ(z) = 0} với ρ(z) = với z ∈ M ∩ U Khi đó, kiểu theo nghĩa D’Angelo M p định nghĩa đại lượng τ (M, p) := sup γ ν(ρ ◦ γ) , ν(γ) sup lấy tập tất đường cong chỉnh hình khác γ : (C, 0) → (Cn , p) với γ(0) = p Ta nói p điểm kiểu hữu hạn τ (M, p) < ∞ p điểm kiểu vô hạn τ (M, p) = +∞ Ví dụ 1.3.2 E1,m = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2m = 1}, m = 1, 2, Khi đó, τ (E1,m , (1, 0)) = 2m điểm p = (1, 0) điểm kiểu hữu hạn Ví dụ 1.3.3 Gọi E1,∞ = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + P (z2 ) = 1}, P (z2 ) = 2e−1/|z2 | z2 = P (0) = Khi đó, τ (E1,∞ , (1, 0)) = +∞ điểm p = (1, 0) điểm kiểu vô hạn 1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc Định nghĩa 1.4.1 Một trường vectơ chỉnh hình Cn cho toán tử: n H= hj (z) j=1 ∂ ∂zj Định nghĩa 1.4.2 Một siêu mặt thực Cn mô tả biểu thức M = {z ∈ Cn : ρ(z) = 0}, ρ(z) = với z ∈ M Định nghĩa 1.4.3 Một trường vectơ H gọi tiếp xúc với M ⇔ ReHρ = 0, tức n Re j=1 1.5 ∂ρ hj (z) = 0, ∀z ∈ M ∂zj Một số kết hàm triệt tiêu cấp vô hạn Bổ đề 1.5.1 ([7]) Cho P : ∆ → R C ∞ -trơn thỏa mãn thành phần liên thông z = tập không điểm P {0} P triệt tiêu cấp vô hạn z = Nếu a, b số phức g0 , g1 , g2 C ∞ -trơn xác định ∆ thỏa mãn 11 (A1) g0 (z) = O(|z|), g1 (z) = O(|z| ) g2 (z) = o(|z|m ); (A2) Re az m +g2 (z) P n+1 (z)+bz 1+g0 (z) Pz (z)+g1 (z)P (z) = với z ∈ ∆ với số nguyên không âm , m n trừ hai trường hợp sau (E1) = Re b = 0; (E2) m = Re a = 0, ab = Bổ đề 1.5.2 Cho P, g0 , g1 , g2 , a, b Bổ đề 1.5.1 Giả sử γ : [t0 , t∞ ) → ∆∗0 (t0 ∈ R), t∞ ∈ R t∞ = +∞, nghiệm toán giá trị ban đầu dγ(t) = bγ (t) + g0 (γ(t)) , γ(t0 ) = z0 , dt z0 ∈ ∆∗0 với P (z0 ) = 0, cho limt↑t∞ γ(t) = Khi đó, P (γ(t)) = với t ∈ (t0 , t∞ ) Chứng minh Chúng ta chứng minh bổ đề phản chứng Giả sử P có không điểm γ Do thành phần liên thông z = tập không điểm P {0} nên, không tính tổng quát, ta giả sử tồn t1 ∈ (t0 , t∞ ) cho P (γ(t)) = với t ∈ (t0 , t1 ) P (γ(t1 )) = Đặt u(t) := 12 log |P (γ(t))| với t0 < t < t1 Từ phương trình (A2) ta có u (t) = Re( = Pz (γ(t)) γ (t)) P (γ(t)) −1 Re P = −Re aγ(t)m + g2 (γ(t)) P n+1 (γ(t)) + g1 (γ(t))P (γ(t)) aγ(t)m + g2 (γ(t) P n (γ(t)) + g1 (γ(t)) = −P n (γ(t)) Re aγ m (t) + o(|γ(t)|m ) + O(|γ(t)| ) với t0 < t < t1 Điều có nghĩa u (t) bị chặn (t0 , t1 ) Do đó, u(t) bị chặn (t0 , t1 ) Điều mâu thuẫn với u(t) → −∞ t ↑ t1 Vậy, Bổ đề chứng minh Từ Bổ đề 1.5.1, ta có hệ sau 12 Hệ 1.5.3 Cho P : ∆ → R be a C ∞ -trơn thỏa mãn thành phần liên thông điểm tập không điểm P {0} P triệt tiêu cấp vô hạn z = Nếu b số phức g C ∞ -trơn xác định ∆ thỏa mãn (B1) g(z) = O(|z|k+1 ), (B2) Re bz k + g(z) Pz (z) = với z ∈ ∆ với k nguyên không âm, trừ trường hợp k = Re(b) = 0, b = 1.6 Định lý hoa Leau-Fatou Trong mục này, phát biểu định lý hoa Leau - Fatou Định lý hoa Leau - Fatou khẳng định ta tìm miền đơn liên bất biến với biên chứa điểm cho miền ánh xạ chỉnh hình tiếp xúc với đồng liên hợp với tự đẳng cấu parabolic miền điểm miền hút vào rời xa điểm Các chi tiết cụ thể xem [3, 4] Những miền gọi cánh hoa (petals) tồn chúng dự đoán Định lý hoa Leau - Fatou Ta ý g(z) = z + ar z r + O(z r+1 ) với r > ar = ta xây dựng phép đổi biến chỉnh hình cho g liên hợp với g(z) = z + z r + O(z r+1 ) Số r bậc g Dưới phát biểu chi tiết cho định lý Định lý 1.6.1 (Định lý hoa Leau - Fatou) Cho g(z) = z + z r + O(z r+1 ) với r > Khi đó, tồn 2(r − 1) miền, ký hiệu Pj± , đối xứng với (r − 1) hướng arg z = 2πq/(r − 1), q = 0, , r − 2, cho Pj+ ∩ Pk+ = ∅ Pj− ∩ Pk− = ∅ với j = k, ∈ ∂Pj± , miền song chỉnh hình với nửa mặt phẳng bên phải H , g k (z) → k → ±∞ với z ∈ Pj± , g k = (g −1 )−k với k < Hơn nữa, với j , ánh xạ g |Pj± liên hợp chỉnh hình với tự đẳng cấu parabolic z → z + i H 13 1.7 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Định lý 1.7.1 Cho hàm P˜ C ∞ -trơn xác định lân cận C thỏa mãn (i) P˜ (x) ≡ lân cận x = R, (ii) P˜ triệt tiêu cấp vô hạn z2 = Gọi P hàm C ∞ -trơn xác định P (z2 ) := P˜ (Re z2 ) Khi đó, aut0 (MP , 0) = Chứng minh Giả sử H = h1 (z1 , z2 )∂z1 + h2 (z1 , z2 )∂z2 trường vectơ chỉnh hình xác định lân cận gốc tọa độ thỏa mãn H(0) = Ta xét H tiếp xúc MP , tức thỏa mãn đồng thức (Re H)ρ(z) = 0, z ∈ MP (1.4) Khai triển h1 h2 thành chuỗi Taylor gốc tọa độ ∞ ∞ ajk z1j z2k , h1 (z1 , z2 ) = bjk z1j z2k , h2 (z1 , z2 ) = j,k=0 j,k=0 ajk , bjk ∈ C Do H(0) = nên h1 (0, 0) = h2 (0, 0) = Từ đó, a00 = b00 = Bằng tính toán đơn giản, ta có z1 + z¯1 + P (z2 ))z1 = , 2 z + z ¯ 2 ))z2 = P (x), = (P˜ ( 2 ρz1 (z1 , z2 ) = (Re(z1 ) + P (z2 ))z1 = ( ρz2 (z1 , z2 ) = Pz2 (z2 ) = (P˜ (Re(z2 ))z2 x = Re(z2 ) Khi đó, (1.4) trở thành Re h1 (z1 , z2 ) + Pz2 (z2 )h2 (z1 , z2 ) = (1.5) với (z1 , z2 ) ∈ MP Do (it − P (z2 ), z2 ) ∈ MP với t đủ nhỏ nên phương trình tương đương với phương trình sau Re ∞ ∞ ajk it − P (z2 ) j,k=0 j k z2 bmn it − P (z2 ) + Pz2 (z2 ) m,n=0 m n z2 =0 (1.6) 14 với z2 ∈ C t ∈ R với |z2 | < |t| < δ0 , > δ0 > đủ bé Mục đích ta H ≡ Thật vậy, giả sử phản chứng H ≡ Do Pz2 (z2 ) triệt tiêu cấp vô hạn nên h2 ≡ từ (1.5) ta có h1 ≡ Do đó, ta giả sử h2 ≡ Bây ta chia lập luận thành hai trường hợp sau đây: Trường hợp h1 ≡ Gọi j0 số nguyên nhỏ cho aj0 k = với số nguyên k Tương tự vậy, gọi k0 số nguyên nhỏ cho aj0 k0 = Tương tự vậy, gọi m0 số nguyên nhỏ cho bm0 n = với số nguyên n gọi n0 số nguyên nhỏ cho bm0 n0 = Nhận xét j0 ≥ k0 = 0, m0 ≥ n0 = Do P (z2 ) = o(|z2 |j ) với j ∈ N nên thay t = αP (z2 ) vào phương trình (1.6), α ∈ R đủ nhỏ chọn sau, ta nhận Re aj0 k0 (iα − 1)j0 (P (z2 ))j0 z2k0 + o(|z2 |k0 ) + bm0 n0 (iα − 1) m0 z2n0 n0 (1.7) m0 + o(|z2 | ) (P (z2 )) Pz2 (z2 ) = với z2 ∈ ∆ Ta ý trường hợp k0 = Re(aj0 ) = 0, α chọn cho Re (iα − 1)j0 aj0 = Do đó, phương trình (1.7) suy j0 > m0 Pz2 (z2 ) P (z2 ) triệt tiêu cấp vô hạn z2 = Ngoài ra, ta có Pz2 (z2 ) = 21 P (x), x := Re(z2 ) Do đó, từ phương trình (1.7) ta có P (x) P (x) j0 −m0 = Re aj0 k0 (iα − 1)j0 z2k0 + o(|z2 |k0 ) Re bm0 n0 (iα − 1)m0 z2n0 + o(|z2 |n0 ) (1.8) với z2 = x + iy ∈ ∆ thỏa mãn P (x) = 0, Re bm0 n0 (iα − 1)m0 (z2n0 + o(|z2 |n0 )) = Tuy nhiên, phương trình (1.8) mâu thuẫn vế phải phụ thuộc vào y Do vậy, h1 ≡ Trường hợp h1 ≡ Gọi m0 , n0 số nguyên giống Trường hợp Do P (z2 ) = o(|z2 |n0 ) nên thay t = αP (z2 ) vào phương trình (1.6), α ∈ R đủ bé chọn sau, ta có P (x)Re (iα − 1)m0 bm0 n0 z2n0 + o(|z2 |n0 ) =0 15 với z2 = x + iy ∈ ∆ Do P (x) ≡ nên Re (iα − 1)m0 bm0 n0 z2n0 + o(|z2 |n0 ) =0 (1.9) với z2 ∈ ∆ Chú ý n0 = ta chọn số thực α cho Re (iα − 1)m0 bm0 = Vì vậy, (1.9) vô lý Vậy, định lý chứng minh Chương Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong chương này, chứng minh số kết nhóm CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (MP , 0) mô hình kiểu vô hạn MP MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) = 0}, P ≡ hàm C ∞ -trơn, triệt tiêu cấp vô hạn z2 = Cụ thể, chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 2.4.1 Trước trình bày nội dung mục chương này, có nhận xét sau đây: Nhận xét 2.1 P∞ (MP ) = {(it − P (z2 ), z2 ) : t ∈ R, z2 ∈ S∞ (P )} Nhận xét 2.2 Trong trường hợp P ≡ 0, nhóm G2 (MP , 0) gồm CR tự đẳng cấu MP cho (z1 , z2 ) → (z1 , g2 (z2 )), g2 ánh xạ bảo giác với g2 (0) = thỏa mãn P (g2 (z2 )) ≡ P (z2 ) g2 (0) = e2πip/q (p, q ∈ Z) g2 (0) = id g2 (0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q (xem Bổ đề 1.2.4, Bổ đề 2.1.1 Bổ đề 2.1.3 ) 16 17 2.1 Nhóm G2(MP , 0) Trong phần này, ta mô tả tường minh nhóm G2 (MP , 0) Theo Bổ đề 1.2.4, nhóm G2 (MP , 0) ⊂ Aut(MP ) gồm CR tự đẳng cấu f ∈ G2 (MP , 0) xác định f (z1 , z2 ) = (z1 , g2 (z2 )), g2 parabolic elliptic Ngược lại, cho trước ánh xạ bảo giác parabolic g thỏa mãn g q = id với số tự nhiên q g elliptic, ta tồn mô hình kiểu vô hạn (MP , 0) cho (z1 , z2 ) −→ (z1 , g2 (z2 )) thuộc vào nhóm G2 (MP , 0) Định nghĩa 2.1.1 Nhóm G2 (MP , 0) ⊂ Aut(MP ) gồm CR tự đẳng cấu f ∈ G2 (MP , 0) xác định f (z1 , z2 ) = (z1 , g2 (z2 )), g2 chỉnh hình lân cận thỏa mãn g2 (0) = 0, |g2 (0)| = P (g2 (z2 )) = P (z2 ) Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.1.1 Nếu P (e2πiθ z) ≡ P (z) với θ ∈ R \ Q P (z) ≡ P (|z|), tức P đối xứng với phép quay Chứng minh Chú ý P (e2πniθ z) ≡ P (z) với n ∈ N {e2πniθ z : n ∈ N} = S|z| , Sr := {z ∈ C : |z| = r}, r > Do P liên tục nên P (z) ≡ P (|z|) với z ∈ R Bổ đề chứng minh Bây ta chứng minh cho trường hợp parabolic tức g q = id f ∈ G2 (MP , 0) với (MP , 0) kiểu vô hạn Bổ đề 2.1.2 Giả sử g(z) = e2πip/q z + · · · ánh xạ bảo giác với λ = e2πip/q nguyên thủy đơn vị Nếu g q = id tồn mô hình kiểu vô hạn MP (0) cho (z1 , z2 ) → (z1 , g j (z2 )) thuộc vào nhóm G2 (MP , 0) với j = 1, 2, , q − Chứng minh Giả sử g(z) = e2πip/q z + · · · ánh xạ bảo giác với λ = e2πip/q nguyên thủy đơn vị thỏa mãn g q = id Theo Mệnh đề 3.2 báo [3], g liên hợp chỉnh hình địa phương với hàm h(z) = λz 18 Gọi P˜ hàm C∞ -trơn thỏa mãn ν0 (P˜ ) = +∞ Khi đó, ta định nghĩa hàm C∞ -trơn P (z) P (z) := P˜ (z) + P˜ (g(z)) + · · · + P˜ (g q−1 (z)) Rõ ràng P (g(z)) ≡ P (z) P (g j (z)) ≡ P (z), j = 1, 2, , q−1 Vì vậy, fj : (z1 , z2 ) → (z1 , g j (z2 )) thuộc G2 (MP , 0), j = 1, , q − Nhận xét 2.3 Trong trường hợp g q = id, có g q (z) = z + · · · P (z + · · · ) = P (g q (z)) = P (z) Theo Bổ đề 1.2.4, không tồn kiểu vô hạn MP thỏa mãn P ≡ cánh hoa cho (z1 , z2 ) → (z1 , g(z2 )) thuộc vào G2 (MP , 0) Với g elliptic, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.3 Giả sử g(z) = e2πiθ z + · · · ánh xạ bảo giác với θ ∈ Q Khi đó, tồn siêu mặt kiểu vô hạn MP cho (z1 , z2 ) → (z1 , g(z2 )) thuộc nhóm G2 (MP , 0) Hơn nữa, MP song chỉnh hình với mô hình đối xứng MP˜ Chứng minh Giả sử g(z) = e2πiθ z + · · · ánh xạ bảo giác với θ ∈ Q Theo Mệnh đề 4.4 [3], g liên hợp chỉnh hình địa phương với Rθ (z) = e2πiθ z , nghĩa tồn ánh xạ bảo giác ϕ với ϕ(0) = cho g = ϕ−1 ◦ Rθ ◦ ϕ Gọi hàm P˜ đối xứng phép quay C ∞ -trơn thỏa mãn ν0 (P˜ ) = +∞ Ta định nghĩa hàm trơn vô hạn P P (z) = P˜ (ϕ(z)) = P˜ (|ϕ(z)|) Khi đó, P (g(z)) = P˜ (ϕ ◦ g(z)) = P˜ (Rθ ◦ ϕ(z)) = P˜ (|Rθ ◦ ϕ(z)|) = P˜ (|ϕ(z)|) = P (z) Điều có nghĩa (z1 , z2 ) → (z1 , g(z2 )) thuộc G2 (MP , 0) Hơn nữa, ft ∈ G2 (MP , 0) với t ∈ R, ft (z1 , z2 ) := (z1 , ϕ−1 ◦ Rt ◦ ϕ(z2 )) Hơn nữa, dễ thấy MP song chỉnh hình với siêu mặt đối xứng MP˜ 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP Định lý 2.2.1 Cho (MP , 0) siêu mặt C ∞ -trơn xác định ρ(z) := ρ(z1 , z2 ) = Re z1 + P (z2 ) = 0, P C ∞ -trơn lân cận gốc tọa độ C thỏa mãn điều kiện ... xúc với siêu mặt dạng ống C2 13 Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 16 2.1 Nhóm G2 (MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP ... kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý hoa Leau -Fatou Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Chương II: Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong. .. 1)m0 bm0 = Vì vậy, (1.9) vô lý Vậy, định lý chứng minh Chương Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong chương này, chứng minh số kết nhóm CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) mô tả trường