Một số nghiên cứu về nhóm brauer và ứng dụng của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Lễ MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NHĨM BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ Chun ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010 LỜI CẢM ƠN  Trước tiên qua luận văn tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe tốt đẹp đến thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUN, PGS.TS BÙI XN HẢI thầy trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tơi bạn học viên cao học khóa 18 Đặc biệt thành kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo tơi q trình thực luận văn Qua tơi xin chân thành cảm ơn đến tất bạn học viên cao học khóa 18 gắng bó với tơi q trình học tập trường q thầy khoa Tốn Phòng KHCN – Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập, nghiên cứu Và cuối xin cảm ơn gia đình tơi người bạn hỗ trợ, động viên tơi để hồn thành luận văn ! TP Hồ Chí Minh , tháng 10 năm 2010 Tác giả luận văn Huỳnh Minh Lễ LỜI MỞ ĐẦU Do có vai trò quan trọng, nên Cấu trúc đại số trường nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu quan trọng Đại số đơn tâm trường Nhóm Brauer kết việc nghiên cứu đại số đơn tâm Việc hiểu rõ cấu trúc tính chất nhóm Brauer giúp cho ta ứng dụng nhóm Brauer lĩnh vực khác Tốn học: Lý Thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biễu diễn… Vì tơi chọn đề tài: “Một số nghiên cứu nhóm Brauer ứng dụng nó” Trong luận văn trình bày cách xây dựng nhóm Brauer nêu lên số ví dụ nhóm Brauer trường k cụ thể Từ giúp hệ thống hóa Cấu trúc đại số đơn tâm nắm vững kiến thức cấu trúc đại số phục vụ cho cơng tác nghiên cứu học tập Do luận văn làm thời gian có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót, có điều kiện tơi tiếp tục nghiên cứu sâu nhóm Brauer Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: Những vấn đề Lý thuyết vành Đại số khơng giao hốn Chương 2: Đại số đơn tâm trường xây dựng khái niệm nhóm Brauer Chương 3: Mơ tả nhóm Brauer trường đóng đại số, trường hữu hạn chiều trường số thực ℝ Chương 1: Các Kiến thức CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 VÀNH 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀNH Cho tập R phép tốn hai ngơi (R,+, ) vành thỏa:  (R,+) nhóm abel  (R, ) nửa nhóm  x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx ∀ x, y, z ∈ R Khi R vành, - Phần tử đơn vị phép tốn + ký hiệu gọi phần tử khơng - Nghịch đảo phần tử x phép tốn + –x gọi đối x Tồn tự nhiên phép tốn – R thỏa x – y = x + (- y) Vành R giao hốn phép tốn nhân giao hốn, có đơn vị phép tốn nhân có đơn vị 1.1.1.1 Tâm vành Cho vành R, tập hợp Z(R) = { a ∈ R | ax = xa, ∀ x ∈ R } gọi tâm R, hiển nhiên tâm R vành giao hốn 1.1.1.2 Ước Phần tử a ≠ vành R gọi ước trái tồn b ≠ R cho ab = 1.1.1.3 Miền ngun Miền ngun vành giao hốn có đơn vị khơng có ước 1.1.1.4 Thể Thể vành R cho R\{0} nhóm nhân Trường thể giao hốn 1.1.1.5 Phần tử lũy linh Phần tử a  R gọi lũy linh có m  N cho am = 1.1.1.6 Tựa quy phải _ tựa nghịch đảo phải Phần tử a gọi tựa quy phải có b  R cho a + b + ab = Khi b gọi tựa nghịch đảo phải a Định nghĩa tương tự cho bên trái Chương 1: Các Kiến thức Nhận xét: Nếu x lũy linh x tựa qui Vì x lũy linh x + khả x x x  x 0 cho x  nghịch nên tồn x 1 x 1 x 1 1.1.2 IDEAL VÀ VÀNH CON 1.1.2.1 Vành Trong vành R, giả sử có A  R B  R thì: AB = { ab | a  A, b  B } Một phận A   vành R vành R A hai phép tốn R vành 1.1.2.2 Ideal Vành A ideal trái (phải) vành R thỏa bao hàm thức: (RA  A) AR  A Vành A ideal hai phía A vừa ideal trái, vừa ideal phải Một ideal vành R ideal thực A  R A  { } Phần tử a  R thỏa Aa = { } gọi linh hóa tử phải A 1.1.2.3 Ideal tối đại Ideal A R tối đại nếu: A  R thỏa  B ideal R, A  B, A  B phải có B = R 1.1.2.4 Ideal tối tiểu Ideal A R tối tiểu A  {0}, thỏa: B ideal R, B  A, A  B phải có B = { 0} 1.1.2.5 Mệnh đề Nếu A ideal phải tối tiểu vành R A2 = { } A chứa phần tử lũy đẳng e cho A = eR Chứng minh Giả sử A2  {0}, Vậy có a  A, a  cho aA  {0} Hiển nhiên aA ideal phải R chứa A, A tối tiểu phải có aA = Al Mặt khác (0:a) = { x  R: ax = } R-ideal phải Vậy A   : a  R-ideal phải khác A, suy A   : a   Do A = aA có e  A cho a = a.e  ae = ae2  a (e – e2) = Chương 1: Các Kiến thức Vậy e  e  A   : a   0 hay e  e , a  nên có e  Bây eR R-ideal phải chứa A, eR  {0} nên phải có eR = A 1.1.2.6 Ideal qui Một ideal phải J vành R gọi ideal qui có phần tử a  R cho x – ax  J,  x  R Phần tử a gọi đơn vị phải J Hiển nhiên vành R có đơn vị ideal phải R qui 1.1.2.7 Mệnh đề Mọi ideal thực qui chứa ideal tối đại qui Hệ Mọi vành có đơn vị có ideal thực qui 1.1.2.8 Mệnh đề - Nếu J ideal phải tối đại qui B ideal phải qui AB qui - Giao số hữu hạn ideal phải tối đại qui qui 1.1.2.9 Nil-ideal, Ideal lũy linh Cho A ideal phải vành R, thì: - A nil ideal phần tử A lũy linh - A ideal lũy linh có m  N cho a1 , , am  A a1 , , am  (điều kiện tương đương Am  0 ) Các khái niệm tương tự cho ideal trái hiển nhiên, phạm vi tài liệu, thuật ngữ ideal dùng để ideal phải khơng định thêm 1.1.2.10 Định nghĩa Cho ideal A, ta định nghĩa tập (A: R) sau:  A : R    x  R | Rx  A 1.1.2.11 Mệnh đề Nếu A tối đại qui (A: R) ideal hai phía lớn chứa A Chương 1: Các Kiến thức 1.1.2.12 Ideal tựa qui phải Ideal A tựa qui phải  x  A, x tựa qui phải 1.1.2.13 Vành đơn Vành R gọi đơn R2  {0} R khơng có ideal hai phía thực (Ideal khác (0) R) 1.1.3 ĐỒNG CẤU VÀNH 1.1.3.1 Định nghĩa Cho (X,+, • ), (Y,+, •) vành Ánh xạ f: X → Y gọi đồng cấu vành với a, b ∈ X, điều sau thỏa mãn 1) f(a + b) = f(a) + f(b) 2) f(a.b) = f(a) f(b) 3) f(1X) = 1Y Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu f đơn ánh, tòan ánh, song ánh Nếu (X,+,•) (Y,+,•) tồn đẳng cấu vành, ta nói chúng đẳng cấu với nhau, viết X ≅ Y Nhận xét Nếu f: (X,+, •) → (Y,+,•) đồng cấu vành f: (X,+) → (Y,+) đồng cấu nhóm VÍ DỤ 1) Cho (X, +, •) vành End(X) vành đồng tự cấu nhóm (X,+) Khi ánh xạ f: (X, +, •) → (End(X), +, •), a→ fa với fa(x) = a.x đồng cấu vành 2) Giả sử I ideal vành X Xét ánh xạ Chương 1: Các Kiến thức ð: X → X / I, ð (x) = x + I ð tồn cấu vành, gọi tồn cấu tắc 1.1.3.2 Các tính chất đồng cấu vành Các tính chất sau tương tự nhóm mà việc chứng minh tương tự trực tiếp suy từ kết đồng cấu nhóm • Tính chất Hợp hai đồng cấu vành đồng cấu vành Hơn hợp hai đẳng cấu đẳng cấu • Tính chất Cho (X,+, •) (Y,+, •) vành f: X → Y đồng cấu vành Khi a) Nếu A vành (tương ứng: ideal) X f(A) vành (tương ứng: ideal) Y b) Nếu B vành (tương ứng: ideal) Y f –1 (B) vành (tương ứng: ideal) X Đặc biệt ta có Ker f = {x ∈ X: f(x) = 0Y} ideal X • Tính chất Cho (X,+, •) (Y,+, •) vành f: X → Y đồng cấu vành Khi a) f đơn cấu Kerf = {0 } b) f tồn cấu Imf = Y 1.1.4 MOĐUN 1.1.4.1 Định nghĩa Mođun: Cho R vành, R-mođun phải MR nhóm cộng abel M xác định ánh xạ  :M  R  M  m, r     m, r   mr  M Sao cho m, m1 , m2  M a, b  R ta có : Chương 1: Các Kiến thức m  a  b   ma  mb  m1  m2  a  m1a  m2 a  ma  b  m  ab  Đặc biệt R có đơn vị x1 = 1x,  x  M M R-mođun unita Trường hợp đặc biệt R thể R mođun phải gọi khơng gian vectơ phải trường R Khái niệm mođun trái R M định nghĩa tương tự Một phận A M R R-mođun thân A R-mođun Mođun A thực A  M A  {0} Từ khơng có thích thêm, thuật ngữ R-mođun dùng để R-mođun phải M 1.1.4.2 Định nghĩa End(M), Tr Giả sử M R-mođun, đặt End(M) tập tự đồng cấu nhóm cộng M End(M) vành với hai phép tốn + định nghĩa sau:  g1  g2  m   g1  m   g2  m  , m  M , g1 g  End  M   g1 g2  m   g1  g2  m   Khi M R-mođun  r  R, ánh xạ Tr : M  M m  mr , m  M tự đồng cấu nhóm M Vậy Tr  End  M  , r  R Ánh xạ f(r) = Tr xác định đồng cấu vành từ R vào End(M) Ta định nghĩa tương tự cho lớp ánh xạ bên trái Lr  m   rm 1.1.4.3 Mođun trung thành Cho R-mođun M, đặt A  M   rR|Mr  0  Kerf ,với f(r) = Tr định nghĩa M gọi mođun trung thành có A(M) = {0} Nếu M R-mođun trung thành R nhúng đơn cấu vào End(M) qua ánh xạ f xem R vành End(M) Chương 1: Các Kiến thức 1.1.4.4 Mệnh đề A(M) ideal hai phía R M R A M  -mođun trung thành 1.1.4.5 Mođun bất khả qui R-mođun M bất khả qui nếu: MR  {0} M khơng có mođun thật 1.1.4.6 Tâm tập Cho R-mođun M, ta gọi tâm tập M, ký hiệu C(M) tập hợp tự đồng cấu nhóm M giao hốn với Tr C  M    g  End  M  | gTr  Tr g , r  R Vậy g  C(M) khi: m  M , r  R | Tr g  m   g  m  r  gTr  m   g  mr  Hiển nhiên, C(M) tập hợp tự đồng cấu R-mođun M hay ta có C  M   HomR  M , M  Trường hợp M khơng gian vectơ thể K g ánh xạ tuyến tính 1.1.4.7 Mệnh đề End(M) vành có đơn vị chứa C(M) vành 1.1.4.8 Bổ Đề SCHUR Nếu M R-mođun bất khả qui C(M) thể Chứng minh Giả sử M R-mođun bất khả qui, theo mệnh đề trên, C(M) vành End(M) Ta chứng minh C(M) thể Thật vậy, xét g  C(M), g  ; đặt W = g(M) W mođun M Do M bất khả qui nên phải có W = M (do g  0), g tồn cấu (1) Mặt khác, Kerg mođun M; M bất khả qui g  nên phải có kerg = hay g đơn cấu (2) Từ (1) (2) ta có g đẳng cấu Suy tồn ánh xạ ngược g 1  End ( M ) r  R, gTr  Tr g  g 1 gTr g 1  g 1Tr gg 1  Tr g 1  g 1Tr  g 1  C  M  Vậy C(M) thể Chương 1: Các Kiến thức Nhận xét Khi M bất khả qui, bổ đề C(M) thể, xem M C(M)-mođun phải với phép nhân vơ hướng định nghĩa sau: m  R, g  C  M  mg  g  m  (ảnh m qua g) Ngồi M khơng gian vec tơ thể C(M) 1.1.4.9 Định nghĩa Mođun cyclic R-mođun M cyclic nghiêm ngặt có u  M, u  cho M = uR Khi đó, u gọi phần tử sinh M 1.1.4.10 Mệnh đề Mođun M cyclic nghiêm ngặt có ideal qui J cho M  R J 1.1.4.11 Ideal qui Ideal J qui J = (0: u) = { x  R | ux = } với u phần tử sinh R-mođun cyclic nghiêm ngặt Chứng minh Cho M mođun cyclic nghiêm ngặt sinh u  M Khi  m  M, m = ua với a  R Ánh xạ f : a  ua đồng cấu R (xem R-mođun) lên M Đặt J  ker f  a  R | ua  0   : u  J ideal R M  R Ta chứng J minh J qui Thật vậy: Do u  M, có e  R cho u = ue Suy ra,  a  R, ua = uea hay u(e – ea) = Vậy a – ea  J hay J qui - Ngược lại, giả sử J ideal qui R ta cần chứng minh M mođun cyclic Chương 1: Các Kiến thức Vì J ideal qui  có e  R cho a – ea  J,  a  R Đặt M = R/J  a + J  M, ta có a + J = (e + J)a, M sinh lớp e + J x  J, x – ex  J  ex  J  (e + J) x =  x  (0:e + J) Ngược lại, giả sử x  (0:e + J), đó, ex  J x – ex  J  x  J 1.1.4.12 Mệnh đề M R-mođun bất khả qui khi: i) M  {0} ii) M R-cyclic nghiêm ngặt, sinh phần tử u  Chứng minh Giả sử M bất khả qui, M  {0}, xét tập B   x  M | xa  0, a  R Hiển nhiên, B mođun M, M bất khả qui phải có B = B = M Nếu B = M có MR = {0} mâu thẫu với giả thiết M bất khả qui Vậy B = {0} Suy ra, với phần tử u  M uR mođun M Do M bất khả qui nên có uR = M hay M cyclic nghiêm ngặt sinh u Ngược lại, giả sử M  {0}, M mođun cyclic nghiêm ngặt   u  0, u  M, M = uM  MR  {0} Gọi N mođun khác khơng M, chọn u  N, u  ta có: M  uR  N  M Chương 1: Các Kiến thức Vậy N = M hay M bất khả qui 1.1.4.13 Mệnh đề R-mođun M bất khả qui có ideal tối đại qui A cho M R A (theo nghĩa R-mođun) Chứng minh    Giả sử M R-mođun bất khả qui, xét u  0, u  M Khi đó, ta có M  uR  R J với J = (0:u) ideal qui (mệnh đề 1.3.10) Tính tối đại J hiển nhiên M khơng có mođun thực   Ngược lại, giả sử J ideal tối đại qui với đơn vị phải e, xét M R J hiển nhiên M R-mođun khơng có mođun thực Ta có MR mođun M, giả sử MR = {0}; suy ea  J,  a  R; J qui, ta có a  J,  a  R hay J = R mâu thuẫn với giả thiết J tối đại Vậy phải có MR = M hay M bất khả qui Nhận xét: Nếu M R-mođun phải M R*-mođun trái với R* vành phản đẳng cấu với R Như vậy, tính chất M R-mođun phải xem M R*-mođun trái 1.1.4.14 Định nghĩa Cho R, A hai vành, nhóm aben M (R,A)-mođun M R-mođun trái A-mođun phải thỏa: a(xb) = (ax) b , a  R, x  M, b  A 1.1.5 CĂN JACOBSON 1.1.5.1 Định nghĩa Chương 1: Các Kiến thức Radical Jacobson vành R, kí hiệu J(R) radR, tập hợp tất phần tử R linh hóa tất mođun bất khả qui R J(R) = { a∈ R: Ma = (0) ; ∀ M R-mođun bất khả qui } Nếu R khơng có mođun bất khả qui, đặt J(R) = R, lúc R gọi vành Radical Nhận xét Ta có A(M) = { a ∈ R: Ma = (0) ; M R-mođun } ⇒ J(R) = ∩ A(M), ∀ M R-mođun bất khả qui J(R) ideal phía R Vì M hiểu R-mođun phải nên J(R) đươc gọi Radical Jacobson phải Tương tự, ta định nghĩa Radical Jacobson trái Tuy nhiên, khái niệm trùng nên ta khơng nhấn mạnh tính phải, trái Radical Jacobson 1.1.5.2 Bổ đề M bất khả qui ⇔ M ≅ R/, với  ideal phải, tối đại, qui Nhận xét Nếu R vành Radical R khơng có ideal phải, tối đại, qui Nếu R có đơn vị, R khơng thể vành Radical (vì ideal qui vành có đơn vị) 1.1.5.3 Định nghĩa Cho  ideal phải R Ta định nghĩa (:R) = {x ∈ R: Rx ⊂ } Nhận xét Nếu  ideal phải, tối đại, qui, ta đặt M = R/ A(M) = (:R) 1.1.5.4 Một số tính chất J(R) = ∩ (:R)  chạy qua ideal tối đại, qui, (:R) ideal phía lớn R nằm  Nếu  ideal phải, qui, thực R  nằm ideal phải, tối đại, qui Chương 1: Các Kiến thức J(R) = ∩  với  ideal phải, tối đại, qui 1.1.5.5 Định nghĩa phần tử tựa qui Phần tử a ∈ R gọi tựa qui phải ∃ a’ ∈ R: a + a’ + aa’ = Ta gọi a’ tựa nghịch đảo phải a Một ideal phải R gọi tựa qui phải phần tử tựa qui phải Tương tự, ta định nghĩa phần tử tựa qui trái Nhận xét Nếu vành R có đơn vị phần tử a ∈ R tựa qui phải ⇔ + a có nghịch đảo phải R Từ J(R) = ∩  với  ideal phải, tối đại qui Ta suy mệnh đề sau: i) J(R) ideal phía tựa qui phải ii) Nếu  ideal phải, tưa qui phải  ⊂ J(R) 1.1.5.6 Định lý J(R) ideal phải, tựa qui phải R chứa ideal phải tựa qui phải, J(R) ideal phải, tựa qui phải lớn R 1.1.5.7 Định nghĩa phần tử lũy linh – ideal lũy linh – Nil ideal Phần tử a ∈ R gọi phần tử lũy linh ∃ n ∈ N: an = Ideal Trái (phải, phía) gọi Nil-ideal trái (phải, phía) phần tử lũy linh Ideal trái (phải, phía) gọi lũy linh ∃ n ∈ N: a1 a2 an  0, a1 , a2 , , an   tức ∃ n ∈ N: n = (0) Nhận xét Nếu  ideal lũy linh (n = (0)) Nil-ideal, điều ngược lại khơng Mọi phần tử lũy linh tựa qui 1.1.5.8 Bổ đề J(R) chứa Nil-ideal phía 1.1.5.9 Định lý Chương 1: Các Kiến thức J(R/J(R)) = (0) 1.1.5.10 Bảng tóm tắt cách xác định Radical-Jacobson J(R) = { a∈ R: Ma = (0), ∀ M R-mođun bất khả qui } = ∩ A(M), ∀ M R-mođun bất khả qui = ∩ ,  chạy khắp ideal phải, tối đại, qui = ∩ (: R),  chạy khắp ideal tối đại, qui = ideal phải, tựa qui phải lớn R 1.2 CÁC LỚP VÀNH 1.2.1 VÀNH NỬA ĐƠN 1.2.1.1 Định nghĩa Vành R gọi nửa đơn nếu: J(R) = (0) 1.2.1.2 Định lý R/J(R) vành nửa đơn 1.2.1.3 Bổ đề Mọi ideal phía A vành nửa đơn R A vành nửa đơn 1.2.1.4 Định lý Nếu A ideal phía vành R J(A) = J(R) ∩ A 1.2.1.5 Định lý J(Mn(R) = Mn(J(R)) Với Mn(R) vành ma trận vng cấp n lấy hệ tử vành khơng giao hốn R 1.2.2 VÀNH ARTIN 1.2.2.1 Định nghĩa Một vành R gọi vành Artin phải tập khác trống ideal phải R có phần tử tối tiểu Để ngắn gọn ta gọi vành Artin phải vành Artin Ta định nghĩa vành Artin cách khác Chương 1: Các Kiến thức Vành A gọi vành Artin phải dãy giảm ideal phải i, A dừng sau hữu hạn bước nghĩa đến điểm i Nhận xét Trường, thể (vành chia) vành Artin Tổng trực tiếp số hữu hạn vành Artin vành Artin Mọi vành có số hữu hạn ideal phải vành Artin Vành ma trận vng cấp n trường hay thể vành Artin Ảnh đồng cấu vành Artin vành Artin 1.2.2.2 Định lý Nếu R vành Artin J(R) ideal lũy linh Hệ Trong vành Artin, nil-ideal ideal lũy linh Nhận xét Giả sử R vành tùy ý, R có ideal phải, lũy linh, khác R có ideal phía, lũy linh khác 1.2.2.3 Định nghĩa phần tử lũy đẳng Phần tử e ∈ R, e ≠ gọi lũy đẳng e2 = e 1.2.2.4 Bổ đề Giả sử, R vành khơng có ideal lũy linh khác 0, giả sử  ≠ (0) ideal phải tối tiểu vành R Khi đó,  ideal sinh phần tử lũy đẳng R:  = eR Nhận xét Từ bổ đề ta suy ra: vành khơng có ideal lũy linh khác ideal phải khác (0) tối tiểu ideal sinh phần tử lũy đẳng 1.2.2.5 Bổ đề Cho R vành tùy ý, a ∈ R cho a2.a lũy linh Khi đó, a lũy linh tồn đa thức f(x) với hệ số ngun cho e = a.f(a) phần tử lũy đẳng khác Chương 1: Các Kiến thức 1.2.2.6 Định lý Nếu R vành Artin  ≠ (0) ideal phải khơng lũy linh R  chứa phần tử lũy đẳng khác 1.2.2.7 Định lý Nếu R vành tùy ý e phần tử lũy đẳng R J(eRe) = eJ(R)e 1.2.2.8 Định lý Giả sử R vành khơng có ideal lũy linh khác (0) e ≠ phần tử lũy đẳng R Khi đó, eR (ideal sinh e ideal phải tối tiểu R ⇔ vành eRe thể Hệ Nếu R vành khơng có ideal lũy linh khác (0) e phần tử lũy đẳng R eR ideal phải tối tiểu R ⇔ Re ideal trái tối tiểu R 1.2.2.9 Định lý Giả sử R vành Artin, nửa đơn  ≠ (0) ideal phải R  = eR với e phần tử lũy đẳng 1.2.3 VÀNH NGUN THỦY 1.2.3.1 Định nghĩa Vành R gọi vành ngun thủy có mơđun bất khả quy trung thành Nhận xét i) Nếu R ngun thủy ∃ M R-mođun bất khả quy trung thành ⇒ A(M) = {r ∈ R: Mr = (0) } = (0) Xét ánh xạ : R → E(M) r ↦ Tr : M → M m ↦ mr M trung thành ⇔  đơn cấu ⇔ R nhúng đẳng cấu vào E(M) Chương 1: Các Kiến thức ⇔ A(M) = ker = (0) ii) Nếu R ngun thủy J(R) = (0) R ngun thủy A(M) = (0) mà J(R) = ∩ A(M) = (0) Vậy vành ngun thủy nửa đơn iii) Nếu R vành với M R-mođun bất khả quy ⇒ A(M) ideal phía R R/A(M) vành ngun thủy iv) Nếu M R-mođun bất khả qui,  ideal phải, tối đại, qui R M = R/ A(M) = (:R) ideal phía lớn nằm  Khi ta có R/(: R) vành ngun thủy 1.2.3.2 Định lý R vành ngun thủy ⇔ tồn  ideal phải tối đại, qui R cho (:R) = (0) Trong trường hợp R vành nửa đơn, vành ngun thủy R giao hốn R trường 1.2.4 VÀNH ĐƠN 1.2.4.1 Định nghĩa Vành R gọi vành đơn R2 ≠ (0) R khơng có ideal thực ngồi (0) R 1.2.4.2 Mối liên quan vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành ngun thủy i) Nếu R vành đơn có đơn vị R vành nửa đơn Thật vậy: Do R vành đơn có đơn vị nên J(R) khơng thể R, J(R) = (0) ⇒ R vành nửa đơn ii) Nếu R vừa vành đơn vừa vành Artin R vành nửa đơn Thật vậy: Giả sử R vành đơn ⇒ R2 ≠ (0) mà R2 ideal R ⇒ R2 = R (vì R vành đơn) Ta cần chứng minh J(R) = (0) Giả sử J(R) ≠ (0) mà J(R) ideal R ⇒ J(R) = R (do R đơn) ⇒ (J(R))2 = R2 = R tiếp tục ta có: (J(R))n = Rn = R ≠ (0) mà R vành Artin nên khơng có phần tử lũy linh ≠ (0) ⇒ J(R) = (0) ⇒ R vành nửa đơn iii) Nếu R vành ngun thủy R vành nửa đơn Thật vậy: Giả sử R vành ngun thủy ∃ M R – mođun bất khả qui trung thành Chương 1: Các Kiến thức ⇒ A(M) = { r ∈ R: Mr = (0) } = (0) ⇒ J(R) = ∩ A(M) = (0) ⇒ R vành nửa đơn iv) Nếu R vừa đơn vừa nửa đơn R vành ngun thủy Thật vậy, để chứng tỏ R vành ngun thủy ta chứng tỏ R tồn ideal phải, tối đại qui mà (: R) = (0) Ta có: (: R) ideal R R vành đơn ⇒ (: R) = (0) (: R) = R Nếu (: R) = R ⇒ ∩ (: R) = R (vơ lý R vành nửa đơn) ⇒ J(R) = ∩ (: R) = (0) Vậy khả (: R) = (0) ⇒ R vành ngun thủy v) Nếu R vành Artin – đơn R vành ngun thủy Thật vậy: R-Artin ⇒ J(R) lũy linh tức ∃ n ∈ N: { J (R) }n = (0) Mặt khác R-đơn nên R2 ≠ (0) mà R2 ideal phía R ⇒ R2 = R ≠ (0) (do R đơn) ⇒ Rn = R ≠ (0), ∀ n ⇒ R khơng lũy linh ⇒ J(R) ≠ R mà J(R) ideal phía R ⇒ J(R) = (0) ⇒ R nửa đơn Vậy R vừa đơn vừa nửa đơn ⇒ R vành ngun thủy 1.2.5 VÀNH NGUN TỐ 1.2.5.1 Định nghĩa Vành R gọi vành ngun tố ∀ a, b ∈ R từ đẳng thức aRb = (0) ⇒ a = hay b = 1.2.5.2 Bổ đề Vành R vành ngun tố thỏa điều kiện sau: i) Linh hóa tử bên phải ideal phải khác (0) R phải (0) ii) Linh hóa tử bên trái ideal trái khác (0) R phải (0) iii) Nếu A B ideal R AB = (0) suy A = (0) B = (0) 1.2.5.3 Bổ đề [...]... bằng nhau Nhận xét Trường, thể (vành chia) là vành Artin Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin Mọi vành chỉ có một số hữu hạn các ideal phải là vành Artin Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin 1.2.2.2 Định lý Nếu R là vành Artin thì J(R) là một ideal lũy linh Hệ quả Trong một vành Artin, mọi nil-ideal đều... Định nghĩa Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu ∀ a, b ∈ R thì từ đẳng thức aRb = (0) ⇒ a = 0 hay b = 0 1.2.5.2 Bổ đề Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa một trong các điều kiện sau: i) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải khác (0) của R phải bằng (0) ii) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái khác (0) của R phải bằng (0) iii) Nếu A và B là 2 ideal của R và AB = (0) thì suy ra A = (0)... vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành nguyên thủy i) Nếu R là vành đơn có đơn vị thì R là vành nửa đơn Thật vậy: Do R là vành đơn và có đơn vị nên J(R) không thể bằng R, vậy J(R) = (0) ⇒ R là vành nửa đơn ii) Nếu R vừa là vành đơn vừa là vành Artin thì R là vành nửa đơn Thật vậy: Giả sử R là vành đơn ⇒ R2 ≠ (0) mà R2 là ideal của R ⇒ R2 = R (vì R là vành đơn) Ta cần chứng minh J(R) = (0) Giả sử... nào đó 1.2.2 VÀNH ARTIN 1.2.2.1 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác trống các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu Để ngắn gọn ta gọi vành Artin phải là vành Artin Ta có thể định nghĩa vành Artin bằng cách khác Chương 1: Các Kiến thức cơ bản Vành A được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải i, của A sẽ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là đến một điểm nào... phải lớn nhất của R 1.2 CÁC LỚP VÀNH 1.2.1 VÀNH NỬA ĐƠN 1.2.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là nửa đơn nếu: J(R) = (0) 1.2.1.2 Định lý R/J(R) là vành nửa đơn 1.2.1.3 Bổ đề Mọi ideal 2 phía A của vành nửa đơn R thì A là vành nửa đơn 1.2.1.4 Định lý Nếu A là ideal 2 phía của vành R thì J(A) = J(R) ∩ A 1.2.1.5 Định lý J(Mn(R) = Mn(J(R)) Với Mn(R) là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành không... eR là ideal phải tối tiểu của R ⇔ Re là ideal trái tối tiểu của R 1.2.2.9 Định lý Giả sử R là vành Artin, nửa đơn và  ≠ (0) là ideal phải bất kỳ của R thì  = eR với e là phần tử lũy đẳng 1.2.3 VÀNH NGUYÊN THỦY 1.2.3.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có môđun bất khả quy và trung thành Nhận xét i) Nếu R là nguyên thủy thì ∃ M là R-mođun bất khả quy và trung thành ⇒ A(M) = {r... R/(: R) là vành nguyên thủy 1.2.3.2 Định lý R là vành nguyên thủy ⇔ tồn tại  là ideal phải tối đại, chính qui trong R sao cho (:R) = (0) Trong trường hợp đó R là vành nửa đơn, hơn nữa nếu vành nguyên thủy R giao hoán thì R là trường 1.2.4 VÀNH ĐƠN 1.2.4.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành đơn nếu R2 ≠ (0) và trong R không có ideal thực sự ngoài (0) và R 1.2.4.2 Mối liên quan giữa vành đơn – vành nửa... R*-mođun trái với R* là vành phản đẳng cấu với R Như vậy, các tính chất của M như một R-mođun phải cũng đúng nếu xem M là R*-mođun trái 1.1.4.14 Định nghĩa Cho R, A là hai vành, một nhóm aben M là (R,A)-mođun nếu như M là R-mođun trái và A-mođun phải và thỏa: a(xb) = (ax) b , a  R, x  M, b  A 1.1.5 CĂN JACOBSON 1.1.5.1 Định nghĩa Chương 1: Các Kiến thức cơ bản Radical Jacobson của vành R, kí hiệu J(R)... không lũy linh của R thì  chứa phần tử lũy đẳng khác 0 1.2.2.7 Định lý Nếu R là vành tùy ý và e là phần tử lũy đẳng trong R thì J(eRe) = eJ(R)e 1.2.2.8 Định lý Giả sử R là vành không có ideal lũy linh khác (0) và e ≠ 0 là phần tử lũy đẳng trong R Khi đó, eR (ideal chính sinh bởi e là ideal phải tối tiểu của R ⇔ vành eRe là một thể Hệ quả Nếu R là vành không có ideal lũy linh khác (0) và e là phần tử... ⇒ R là vành nửa đơn iv) Nếu R vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thủy Thật vậy, để chứng tỏ R là vành nguyên thủy ta chứng tỏ trong R tồn tại ideal phải, tối đại chính qui mà (: R) = (0) Ta có: (: R) là ideal của R do R là vành đơn ⇒ (: R) = (0) hoặc (: R) = R Nếu (: R) = R ⇒ ∩ (: R) = R (vô lý vì R là vành nửa đơn) ⇒ J(R) = ∩ (: R) = (0) Vậy chỉ còn khả năng (: R) = (0) ⇒ R là vành nguyên