một số nghiên cứu về đa thức và ứng dụng

ĐạI HọC THáI NGUYÊN TRNG I HC KHOA HọC Đề TàI NGHIÊN CứU KHOA Học NGHàNH TOáN TÊN Đề TàI: MộT Số NGHIÊN CứU Về ĐA THứC Và ứng dụng Sinh viên thực hiện: Giáo viên hớng dẫn: Nguyễn thị khuyên Ts Vũ mạnh xuân Lớp: CN toán K11 TháI nguyên 2018 Nội Dung Chính: Mở đầu Chơng Đa thức vài tính chất Chơng Đa thức nội suy Kết luận Tài liệu tham khảo Chơng trình Pascal chạy đa thức nội suy largrange  §a thøc xt hiƯn rÊt nhiỊu lÜnh vùc cđa toán học Nó đóng góp vai trò quan trọng đến hình thành phát triển đại số, giải tích toán học ứng dụng Nghiệm đa thức vấn đề trọng tâm nghiên cứu đa thức chơng trình phổ thông Nội suy hàm số toán giải tích số Bài toán đợc dùng nhiều thực tế tính toán Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu số vấn đề ®a thøc vµ øng dơng nh nghiƯm cđa ®a thøc, toán nội suy, số công thức nội suy bản, số ứng dụng đa thức nội suy việc tính đạo hàm, tích phân Đề tài đợc chia làm chơng Chơng 1- Nghiệm đa thức Chơng 2- Đa thức nội suy số ứng dụng Chơng Đa thức vài tính chất 1.1 Khái niệm tính chất 1.2 Một số toán Đầu tiên ta xét toán có sử dụng lợc đồ Horner, phơng pháp tìm nghiệm phơng trình đa thức bậc cao Bài toán Tìm nghiệm phơng trình 24x^5 + 10x^4 – x^3 - 19x^2 - 5x + = Bây ta xét số toán liên quan đến quan hệ nghiệm với công thức Viete Bài toán Hãy tìm giá trị tham số b cho nghiƯm a1, a2, a3,a4 cđa ®a thøc P(x) = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + bx + tho¶ m·n ®iỊu kiƯn a1 = 1/a1 + 1/a2 + 1/a3 Bµi toán Hãy lập đa thức bậc ba mà nghiệm a1,a2,a3 thoả mãn đẳng thức sau 1/a1 + 1/a2 + 1/a3 = -2 Bài toán Hãy tìm giá trị b cho nghiƯm a1, a2, a3 cđa ®a thøc P(x) = x^3 + bx + c thoả mãn điều kiện |a1| = |a2| = |a3| môđun số phức (|a|)^2 = Bài toán Cho x1, x2, x3 nghiệm phơng trình x^3 + px^2 + qx + r = H·y biĨu diƠn th«ng qua p, q, r hàm biến x1, x2, x3 A = x21 + x22+ x23,B = x31+ x32+ x33 ,C = x41 + x42 + x43 D = x21x2 + x1x22+ x21 x3 + x2x23 + x22 x3 + x21x23 E = x21x22+ x22x23+ x23x21 F = x31x2 + x1x32+ x32 x3 + x2x33+ x31x3 + x1x33 G = (x1 + x2)(x2 + x3)(x3 + x1),H = 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 với r 1.3 Đa thức hệ số đối xứng 1.3.1 Định nghĩa Một đa thức p(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + + an gọi đa thức hệ số đối xứng hệ số dạng chuẩn tắc cách hệ số đầu hệ số cuối có giá trị nhau, nghÜa lµ a0=an , a1 = a(n-1) , … , ak = a(n-k) , 1.3.2 Tính chất Định lý Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xøng bËc n nÕu vµ chØ nÕu víi x 0: P(x) = x^nP(1/x) Định lý Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xứng điều kiện sau thoả mãn: (*) Một số b nghiệm đa thức P(x) số 1/b nghiệm Định lý Nếu P(x) đa thức hệ số đối xứng bậc 2m, P(x) = x^mQ(y), y = x + 1/x với x 0, Q(y) đa thức bậc m 1.3.3 Các toán Bài toán Chơng Đa thức nội suy 2.1 Đặt vấn đề toán nội suy Trên đoạn [a, b] cho tập điểm nút a x0 < x1 < < xn b điểm cho giá trị f(xi) víi i = 0, 1, , n hàm f(x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính trùng với hàm f(x) điểm nút trên, nghÜa lµ g(xi) = f(xi) víi i = 0, 1, , n Chúng ta thờng gặp toán trờng hợp: cần phục hồi hàm sè f(x) ®èi víi mäi ®iĨm x [a, b] biết giá trị số ®iÓm x0, x1, , xn [a, b] Những giá trị thờng giá trị quan sát đợc đo đạc đợc Nhiều trờng hợp biểu thức giải tích f(x) biết nhng cồng kềnh cần tính giá trị f(x) x [a, b] 2.2 Một số phơng pháp nội suy 2.2.1 Phơng pháp đại số Bài toán Tìm đa thức nội suy bậc hai qua điểm x0=0, x1=1, x2=2, y0=3, y1=1, y3=4 2.2.2 §a thøc néi suy Lagrange Một số toán Bài toán Để nghiên cứu động thái mực nớc gần sông ngời ta thiết lập tuyến lỗ khoan quan trắc với sông Khoảng cách từ lỗ khoan đến sông lần lợt x0=10 m, x1=20 m, x2=30 m, x4=40 m Cao trình mực nớc lỗ khoan vào thời điểm nh sau: H0=17 m, H1=27,5 m, H2=76 m, H3=210,5 m H·y néi suy khuynh híng d©ng cao mực nớc đa thức nội suy Lagrange nội suy giá trị dâng cao x=25 m Bài toán Khoan thăm dò mạch nớc ngầm vÞ trÝ xo=1, x1=6, x2=11, x3=16, x4=21, x5=26, x6=31, x7=36 Độ sâu có nớc vị trí tơng ứng Bài toán Dân số quốc gia điều tra đợc qua năm 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 tơng ứng 45, 50,5, 54, 60,5, 64 Hãy ớc lợng dân số quốc gia năm 1975 Bài toán Ngời ta tiến hành thí nghiệm đo chiều cao thu đợc kết ngày thø nhÊt, ngµy thø hai, ngµy thø ba chiỊu cao tơng ứng 0,5 m, 0,7 m, 1m Hãy tính chiều cao vào ngày thứ t 2.2.3 Đa thức nội suy Newton 2.2.3.1 Sai phân Giả sư f : R R lµ mét hµm sè cho trớc h số khác Ta gọi sai phân cấp f(x) đại lợng f(x) = f(x + h) - f(x) Mét c¸ch tỉng qu¸t nf(x = [n−1f(x)], (n 1),0f(x) = f(x) 2.2.3.2 §a thøc néi suy a)§a thøc néi suy Newton tiÕn b)§a thøc nội suy Newton lùi Bài toán Tính tổng a) Sn = 1^2 + 2^2 + + n^2 b) Sn = 1^2 + 4^2 + 7^2 + (3n + 1)^2 2.3 Một số toán ứng dụng 2.3.1 Tính gần đạo hàm 2.3.1.1 Sử dơng ®a thøc néi suy Lagrange 2.3.1.2 Sư dơng ®a thøc néi suy Newton Dïng ®a thøc néi suy Newton tiến 2.3.2 Tính gần tích phân 2.3.2.1 Công thức hình thang 2.3.2.2 Công thức parabol (Simpson) 2.3.3.3 Công thức Newton-CotesMột số toán sử dụng số công thức nội suy ứng dụng để tính đạo hàm tích phân Kết luận Trong đề tài này, trình bày số vấn đề đa thức Cụ thể thu đợc số kết sau: Trình bày phơng pháp để tìm nghiệm hữu tỉ, nghiệm nguyên đa thức Trình bày số vấn đề liên quan đến nghiệm đa thức Trình bày số ứng dụng toán nội suy việc tính đạo hàm, tích phân số ứng dụng thực tiễn khác Những kết có vai trò quan trọng đại số toán học nói chung Để đề tài đợc hoàn thiện hơn, mong nhận đợc đánh giá, góp ý thầy cô bạn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục, 2003 [2] Phạm Kì Anh, Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia HN, 2002  ... lý Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xứng bậc n nÕu vµ chØ nÕu víi x 0: P(x) = x^nP(1/x) Định lý Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xứng điều kiện sau thoả mãn: (*) Một số b nghiệm đa thức P(x) số 1/b... 1/x2 + 1/x3 với r 1.3 Đa thức hệ số đối xứng 1.3.1 Định nghĩa Một đa thức p(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + + an gọi đa thức hệ số đối xứng hệ số dạng chuẩn tắc cách hệ số đầu hệ số cuối có giá trị nhau,... nhiều thực tế tính toán Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu số vấn đề đa thức ứng dụng nh nghiệm đa thức, toán nội suy, số công thức nội suy bản, mét sè øng dơng cđa ®a thøc néi suy việc tính đạo