Đa thức chuỗi lũy thừa và vận dụng trong toán sơ cấp GS đàm văn nhỉ

ĐA THỨC-CHUỖI LŨY THỪA Vận dụng Toán sơ cấp Đàm Văn Nhỉ ĐHSP Hà Nội Ngày 18 tháng 03 năm 2010 Mục lục Vành đa thức 1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức 1.1.1 Khái niệm vành đa thức 1.1.2 Nghiệm đơn nghiệm bội 1.2 Tính đóng đại số trường C 1.2.1 Số phức trường C 1.2.2 Tính đóng đại số trường C 1.3 Công thức nội suy đa thức 1.3.1 Một vài chặn cho nghiệm đa thức 1.3.2 Công thức nội suy đa thức 1.4 Đa thức bất khả quy 1.4.1 Tính chất bất khả quy 1.4.2 Đa thức bất khả quy C R 1.4.3 Đa thức bất khả quy Q 1.4.4 Bất khả quy modulo p 1.5 Tính chia hết đa thức đặc biệt 1.6 Số đại số 1.6.1 Bao đóng nguyên vành 1.6.2 Số đại số 1.6.3 Chuẩn vết 1.7 Phân thức hữu tỷ 1.7.1 Phân thức hữu tỷ đơn giản 1.7.2 Giải hệ phương trình tính vài tổng 1.8 Bài tập 7 11 11 13 18 18 20 24 24 25 27 36 43 47 47 52 56 59 59 63 67 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 71 2.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 71 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Hàm sinh thường, dãy Fibonacci, dãy Catalan Làm độ phức tạp dãy truy hồi Hàm sinh mũ dãy số Stirling Hàm sinh dãy đa thức Bernoulli Tích vơ hạn, hàm sinh Dirichlet, Zeta-Riemann Đồng thức Newton Một vài đồng thức qua hệ phương trình Chuỗi lũy thừa đặc trưng 2.9.1 Phân hoạch số nguyên dương 2.9.2 Đa thức đối xứng tối tiểu 2.9.3 Đa thức với trọng số 2.9.4 Nghiên cứu đa thức Bernoulli đa thức Todd 2.10 Bài tập Một vài ứng dụng 3.1 Đa thức bậc n > với bất đẳng thức 3.2 Vận dụng Số học √ √ √ 3.2.1 Chuẩn vành Z[ d] Z[ p, q] 3.2.2 Tồn nghiệm nguyên 3.3 Vận dụng Hình học sơ cấp 3.3.1 Đa thức bậc ba liên quan đến tam giác 3.3.2 Đồng thức-Bất đẳng thức Ptolemy 3.3.3 Bất đẳng thức Hayashi cho đa giác 3.3.4 Bất đẳng thức (M, N ) 3.4 Tiêu điểm đường chuẩn cơníc 3.4.1 Khái niệm đồ thị phẳng 3.4.2 Tiêu điểm đường chuẩn 3.4.3 Tham số hóa vài đường 3.4.4 Đồng thức cho đa giác nội tiếp parabơl 3.4.5 Phép biến hình Nab 3.4.6 Đồng thức cho đa giác nội tiếp ellíp 3.4.7 Đồng thức cho đa giác nội tiếp hypebơl 3.5 Dựng hình thước kẻ com pa 3.5.1 Vấn đề đại số dựng hình [32] 3.5.2 Một số tốn cổ điển dựng hình 3.6 Vận dụng vào tổ hợp 77 82 92 98 104 114 119 129 129 130 131 134 134 137 137 138 138 141 150 150 175 180 181 188 188 191 194 200 202 204 207 209 209 211 213 3.7 3.8 3.6.1 Ký hiệu hình thức chuyển đổi ngược 3.6.2 Phương pháp hệ phương trình 3.6.3 Vận dụng số phức Vận dụng vào biểu diễn đại số 3.7.1 Xây dựng thể quaternion 3.7.2 Biểu diễn dạng bậc hai thành tích Bài tập 213 219 239 242 242 244 247 Lời nói đầu Mọi việc trơi qua, chân lý tồn (Tục ngữ Nga) Với Bài giảng này, muốn cung cấp cho thầy cô giáo, học viên cao học, sinh viên em học sinh giỏi kiến thức tối thiểu vành đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức vài vận dụng chúng vào việc xây dựng giải số tốn Hình học, Lượng giác, Số học Đại số sơ cấp Nói đến Đại số sơ cấp người ta thường nói đến phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức Một mảnh đất cày xới nhiều lần sâu qua năm tháng Để tiếp cận mảnh đất theo cách mới, sử dụng vành đa thức, trường C, kết thức, khai triển đa thức chuỗi lũy thừa hình thức Vành đa thức xây dựng cách tổng quát, tránh khác biệt vai trò x hệ số thuộc đa thức Trường C chứng minh đóng đại số để giải vấn đề liên quan tới phương trình có nghiệm Với khái niệm phần tử đại số, ta dễ dàng x phần tử siêu việt trường sở √ K Từ khái niệm vành, có vành thương, đặc biệt vành Z[ d], từ xét nhiều toán nghiệm nguyên Với vành chuỗi lũy thừa hình thức, xây dựng hàm sinh thường, hàm sinh mũ Từ đó, ta giải dãy số Giải tích tổ hợp Ta dễ dàng chia tốn Hình học Sơ cấp làm hai nhóm chính: Nhóm I nhóm kết chủ yếu liên quan đến tỉ lệ đoạn thẳng Nhóm II nhóm kết chủ yếu liên quan đến mối quan hệ độ dài đoạn với độ lớn góc chúng Một vấn đề nhiều người quan tâm hệ thức liên hệ hay giá trị lớn nhất-nhỏ yếu tố tam giác Phát kết tổng qt hóa hình biết số vấn đề hấp dẫn nhiều người Nhưng làm để có kết tổng quát hóa nào? Do vậy, giáo trình đặt vấn đề: Xây dựng số đồng thức, bất đẳng thức mở rộng vài kết Hình học Sơ cấp Phần Số học Tuy có từ lâu đời, lại lĩnh vực sản sinh nhiều toán đơn giản phát biểu, khó giải chưa có câu trả lời Hơn nữa, Số học ứng dụng nhiều lĩnh vực bảo mật thông tin Do vậy, phương trình nghiệm nguyên dãy số nguyên nhiều người quan tâm Làm để xây dựng tốn số ngun khơng q tầm thường? Trong số phương pháp sử dụng, đặc biệt Lý thuyết Tổ hợp, xét hàm sinh thường hàm sinh mũ Từ đó, ta tìm cơng thức đóng dãy tính tổng vơ hạn Các bạn gặp khó khăn muốn trả lời cho câu hỏi cách thức xây dựng toán sơ cấp Bài giảng với ba chương giúp ta tự phát kết dần trả lời câu hỏi (1) Vành đa thức (2) Vành chuỗi lũy thừa hình thức (3) Một vài ứng dụng Chương giới thiệu vành đa thức, đa thức bất khả quy, tiêu chuẩn chia hết đa thức đặc biệt, kết thức, phép khử, tính đóng đại số trường C Từ đó, ta suy điều kiện có nghiệm chung đa thức phân tích đa thức thành tích nhân tử bất khả quy R[x] Chương trình bày chuỗi lũy thừa hình thức Sau chứng minh Mệnh đề 2.1.1 giới thiệu việc biểu diễn thành chuỗi số hàm sử dụng hàm sinh thường hàm sinh mũ để xét số dãy số Chúng tơi trình bày cơng thức chuyển đổi ngược để xét tính chất đặc biệt dãy Fibonacci dãy Lucas Ngồi ra, chương chúng tơi xét hàm Zeta-Riemann tổng, tích vơ hạn Chương trình bày số ứng dụng kết đạt từ Chương Chương vào nghiên cứu toán sơ cấp Các bạn thấy cách vận dụng tam thức bậc hai đa thức bậc cao, khái niệm số đại số, vành thương, phân thức hữu tỷ, số phức để nghiên cứu số vấn đề thuộc tốn sơ cấp cách Do khn khổ giảng nên chúng tơi trình bày cốt lõi, cần thiết đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thức đủ để vận dụng xây dựng số toán sơ cấp giải số thi học sinh giỏi cấp quốc gia quốc tế Các bạn coi toán sơ cấp dòng sơng tn chảy biển khơi, khơng cạn Dù có bận việc hay say mê lĩnh vực khoa học đó, bạn dành chút thời gian nghiên cứu dòng sơng để trở lại tuổi học trò chơi vơi nhiều thứ-bơi lại dòng sơng q, thời đáng nhớ, phát kết dành làm quà tặng cho hệ cháu sau Theo nghĩ, giáo trình hữu ích sinh viên, học viên cao học, thầy cô giáo em học sinh giỏi toán Về ký hiệu: N ký hiệu cho tập số tự nhiên N∗ ký hiệu cho tập số tự nhiên dương Z ký hiệu cho vành số nguyên Q ký hiệu cho trường số hữu tỷ R ký hiệu cho trường số thực C ký hiệu cho trường số phức K ký hiệu cho ba trường Q R C Xin kết thúc lời nói đầu hai câu dặn nhiều bậc vĩ nhân: Làm việc cội rễ chiến thắng Khát vọng vươn lên mục đích sống Hà Nội, ngày 18 tháng 03 năm 2010 Đàm Văn Nhỉ Chương Vành đa thức Chương tập trung nghiên cứu vành đa thức số toán liên quan Đây phần trọng tâm Đại số sơ cấp Khi xét đa thức, ta thường quan tâm đến nghiệm, tính bất khả quy biểu diễn thành tích nhân tử Ta bắt đầu việc nhắc lại vài khái niệm 1.1 1.1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức Khái niệm vành đa thức Giả sử R vành giao hoán với đơn vị Ký hiệu P ⊂ RN tập tất dãy f = (a0 , a1 , , an , 0, 0, ) với ∈ R có số hữu hạn thành phần khác 0, lại tất Như phần tử thuộc P có dạng (0, 0, , 0, 0, ) (a0 , a1 , , an , 0, 0, ) với thành phần cuối an = Ta đưa phép toán vào P để biến P thành vành Với f = (a0 , , an , 0, ), g = (b0 , , bm , 0, ) ∈ P, ta định nghĩa: f = g = bi , i = 0, 1, 2, f + g = (a0 + b0 , a1 + b1 , , ak + bk , , 0, ) f.g = (a0 b0 , a1 b0 + a0 b1 , a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 , , 0, ) Bổ đề 1.1.1 Tập (P, +, ) vành giao hoán với đơn vị (1, 0, 0, ) ánh xạ φ : R → (P, +, ), a → (a, 0, 0, 0, ), đơn cấu Đặt x = x1 = (0, 1, 0, 0, ) quy ước x0 = (1, 0, 0, ) Ta biểu diễn x0 x x2 x3 ··· f = = = = = = = = (1, 0, 0, ) (0, 1, 0, 0, ) (0, 0, 1, 0, ) (0, 0, 0, 1, ) ··· (a0 , a1 , , an , 0, 0, ) (a0 , 0, 0, ) + (0, a1 , 0, ) + · · · + (0, 0, 0, , 0, an , 0, ) (a0 , 0, )x0 + (a1 , 0, )x + · · · + (an , 0, 0, )xn Nếu đồng a ∈ R với ảnh φ(a) = (a, 0, 0, ), x0 = (1, 0, 0, ) = φ(1) ta có biểu diễn f = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn Lúc vành (P, +, ) ký hiệu qua R[x] ta có n n xi | ∈ R R[x] = {a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x | ∈ R} = i=0 Mỗi phần tử f ∈ R[x] gọi đa thức x với hệ số thuộc vành R Hệ số an = gọi hệ số cao nhất, hệ số a0 gọi hệ số tự f ; n gọi bậc đa thức f ký hiệu deg f (x) Riêng đa thức quy định có bậc −∞ −1 Vì tính chất đặc biệt x, xem Hệ 1.6.15, nên ta gọi x biến R đa thức f viết qua f (x) Hơn nữa, x n a ∈ R bình đẳng Nếu f (x) = i m bi xi ∈ R[x] x , g(x) = i=0 i=0 f (x) = g(x) m = n, = bi với i n i i f (x) + g(x) = (ai + bi )x , f (x)g(x) = i=0 ( ai−j bj )xi i=0 j=0 Ta có kết sau đây: Định lý 1.1.2 R[x] vành giao hốn Hơn nữa, R[x] miền ngun Định lý 1.1.3 Với đa thức f (x), g(x) ∈ R[x] g(x) = có hai đa thức q(x), r(x) cho f (x) = q(x)g(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x) Chứng minh: Ta chứng minh tính q(x) r(x) : Giả sử f (x) = g(x)q (x) + r (x), với deg r (x) < deg g(x) Khi = g(x)(q(x) − q (x)) + r(x) − r (x) hay g(x)(q(x) − q (x)) = r (x) − r(x) Vì deg[r (x) − r(x)] < deg g(x) nên r(x) = r (x) q(x) = q (x) Tiếp theo, ta tồn biểu diễn: Nếu deg g(x) > deg f (x) f (x) = 0.g(x) + f (x) Nếu deg f (x) deg g(x) ta dễ dàng chọn đa thức h(x) cho f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) thỏa mãn deg f1 (x) < deg f (x) Nếu deg f1 < deg g ta có q(x) = h(x) r(x) = f1 (x) Nếu deg f1 (x) deg g(x) lặp lại trinh vừa Sau số hữu hạn lần ta có thương hụt q(x) dư r(x) 1.1.2 Nghiệm đơn nghiệm bội Giả sử trường K trường trường K ∗ Với α ∈ K ∗ đa thức n n i x ∈ K[x] Biểu thức f (α) = f (x) = i=0 αi ∈ K ∗ gọi i=0 ∗ giá trị f (x) α K Nếu f (α) = α gọi nghiệm f (x) K ∗ Giả sử số nguyên m Phần tử α ∈ K ∗ gọi nghiệm bội m f (x) K ∗ f (x) chia hết cho (x − α)m f (x) không chia hết cho (x − α)m+1 K ∗ [x] Khi m = α gọi nghiệm đơn Định lý 1.1.4 Đa thức f (x) ∈ K[x] bậc n Khi có kết quả: (i) Nếu α ∈ K nghiệm f (x) f (x) = (x − α)g(x) với đa thức g(x) ∈ K[x] (ii) f (x) có khơng q n nghiệm phân biệt K √ √ Ví dụ 1.1.5 Số α = + ∈ R, α ∈ / Q α nghiệm đơn đa thức x − 14x√ + 9√∈ Q[x] Đa thức x4 − 14x2 + bất khả quy Q[x], nên + số vơ tỷ Trong R[x] ta có phân tích √ √ √ √ √ √ √ √ x4 −14x2 +9 = (x− 2− 5)(x+ 2+ 5)(x− 2+ 5)(x+ 2− 5) Mệnh đề 1.1.6 Với hai hàm f g ta ln có ... cách thức xây dựng toán sơ cấp Bài giảng với ba chương giúp ta tự phát kết dần trả lời câu hỏi (1) Vành đa thức (2) Vành chuỗi lũy thừa hình thức (3) Một vài ứng dụng Chương giới thiệu vành đa thức, ... thuộc toán sơ cấp cách Do khuôn khổ giảng nên chúng tơi trình bày cốt lõi, cần thiết đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thức đủ để vận dụng xây dựng số toán sơ cấp giải số thi học sinh giỏi cấp quốc... cách mới, sử dụng vành đa thức, trường C, kết thức, khai triển đa thức chuỗi lũy thừa hình thức Vành đa thức xây dựng cách tổng quát, tránh khác biệt vai trò x hệ số thuộc đa thức Trường C chứng