Môđun đối bất biến qua tự đẳng cấu của phủ và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG VŨ MINH TRIẾT ĐỀ TÀI MÔĐUN ĐỐI BẤT BIẾN QUA TỰ ĐẲNG CẤU CỦA PHỦ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Thành phố Huế - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Trương Vũ Minh Triết LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Lê Văn Thuyết, người Thầy tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi q trình học tập lớp cao học trình hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế truyền đạt cho kiến thức bổ ích, làm tảng để tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn anh, chị, bạn cao học viên Khóa K26 nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình ln động viên, giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn q trình học tập, đặc biệt q trình hồn thành Luận văn Trương Vũ Minh Triết Mục lục Mục lục Lời nói đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun cốt yếu đối cốt yếu 1.2 Mơđun địa phương vành nửa hồn chỉnh 1.3 Tính chất mơđun nội xạ xạ ảnh 1.4 Môđun trao đổi 11 1.5 Vành quy (von Neumann) 16 1.6 Vành quy tự nội xạ phải 17 1.7 Cấu trúc khả nghịch vành quy tự nội xạ phải 19 MÔĐUN TỰ ĐẲNG CẤU - ĐỐI BẤT BIẾN 24 2.1 Phủ xạ ảnh 24 2.2 Khái quát hóa khái niệm phủ 27 2.3 Tính chất phủ 30 2.4 Môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến 39 2.5 Vành hoàn chỉnh phải 46 2.6 Ứng dụng 48 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết môđun phận lý thuyết đại số kết hợp, nhiều nhà toán học quan tâm Việc nghiên cứu lý thuyết môđun ngày phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Một hướng nghiên cứu vành nghiên cứu đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Vì ngày có nhiều lớp mơđun nghiên cứu Một hướng nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu môđun xạ ảnh, tựa xạ ảnh Vào năm 1961, Johnson Wong đưa khái niệm mơđun tựa nội xạ Hai nhà tốn học chứng minh định lý bất biến: M môđun tựa nội xạ M mơđun bất biến hồn tồn E(M ) (bao nội xạ M ), tức là, λM ⊇ M , với λ ∈ End(E(M )R ) Tiếp sau đó, Jain Singh giới thiệu khái niệm mơđun giả nội xạ vào năm 1967 Và đến năm 1969, Dickson Fuller nghiên cứu môđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ (tổng qt hóa khái niệm mơđun tựa nội xạ) Mãi đến năm 2013, Lee Zhou đưa khái niệm môđun bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ Về lịch sử trình nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, vào năm 1967, Wu Jans giới thiệu khái niệm môđun tựa xạ ảnh (nếu M M - xạ ảnh, M gọi tự – (hoặc tựa) xạ ảnh) nghiên cứu vài tính chất mơđun Họ chứng minh mơđun M , có phủ xạ ảnh π : P −→ M môđun tựa xạ ảnh Ker(P ) bất biến tự đồng đồng cấu P Sau đó, Mohamed, Singh Muller nghiên cứu môđun đối ngẫu tựa liên tục (môđun tựa rời rạc) môđun đối ngẫu liên tục (môđun rời rạc) điều kiện (D1 ), (D2 ) (D3 ) Chúng ta xem xét điều kiện (D1 ), (D2 ) (D3 ) R - môđun phải M + (D1 ) Với môđun A M , tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 cho M1 ≤ A A ∩ M2 môđun đối cốt yếu M2 + (D2 ) Nếu với môđun N M M/N đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M , N hạng tử trực tiếp M + (D3 ) Nếu A, B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn M = A + B , A ∩ B hạng tử trực tiếp M Khi đó, mơđun M gọi mơđun tựa rời rạc (rời rạc) M thỏa hai điều kiện (D1 ) (D3 ) (tương ứng hai điều kiện (D1 ) (D2 )) Trong trình nghiên cứu, Mohamed, Singh Muller thu vài đặc trưng quan trọng môđun tựa rời rạc rời rạc, chẳng hạn như: + Cho M R - môđun phải M với f : P −→ M phủ xạ ảnh cho hạng tử trực tiếp M có phủ xạ ảnh + R - mơđun phải M vành hồn chỉnh phải R với phủ xạ ảnh f : P −→ M môđun tựa rời rạc Ker(f ) bất biến tự đồng cấu lũy đẳng P Tiếp theo đó, vào năm 1976, L Bican giới thiệu khái niệm môđun giả xạ ảnh M M - giả xạ ảnh gọi giả xạ ảnh Trong đó, mơđun M gọi N - giả xạ ảnh môđun A M với toàn cấu g : N −→ M/A nâng đồng cấu f : N −→ M , nghĩa biểu đồ sau giao hoán: M N f g ∨ < > M/A >0 Liên quan đến phủ xạ ảnh, ta tổng quát khái niệm sau: Theo Enochs and Jenda, cho X lớp R - mơđun đóng đẳng cấu Đồng cấu p : X −→ M gọi X - tiền phủ môđun M với điều kiện X ∈ X sơ đồ p X < >M ∧ p α X với X ∈ X bổ sung đồng cấu α : X −→ X để tạo thành sơ đồ giao hốn Ngồi ra, sơ đồ p X < >M ∧ p α X bổ sung tự đẳng cấu α, ta gọi p : X −→ M X phủ M Vào năm 2012, S Singh A K Srivastava báo Dual automorphism - invariant modules, Journal of Algebra 371, 262-275, giới thiệu khái niệm môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, lớp môđun giống cầu nối lớp môđun giả xạ ảnh lớp môđun tự đẳng cấu - đối bất biến Sau đó, vào năm 2015, P A Guil Asensio, D K Tă ută uncă u v A K Srivastava báo Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel Journal of Mathematics, 206, 457-482, giới thiệu khái niệm môđun X - tự đẳng cấu - đối bất biến Điều vành tự đồng cấu môđun X - tự đẳng cấu đối bất biến nửa vành quy Dựa chủ yếu vào hai báo xuất phát từ định hướng Thầy hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, chọn đề tài Môđun đối bất biến qua tự đẳng cấu phủ ứng dụng để làm đề tài nghiên cứu cho Luận văn Mặc dù thân có nhiều cố gắng, song Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ q Thầy (Cơ) giáo anh, chị, bạn để Luận văn hoàn thiện Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hầu hết kiến thức trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [1], [20], [31], Các kiến thức trình bày chương nhằm mục đích tham khảo cho nội dung chương sau Trong Luận văn này, vành R cho ln giả thiết vành kết hợp có đơn vị = R - môđun xét môđun unita Trong ngữ cảnh cụ thể Luận văn, khơng có nhầm lẫn, ta viết môđun M tức M R - môđun phải Tương tự, cho đồng cấu hai mơđun khơng nói thêm, ta hiểu đồng cấu đồng cấu R mơđun phải Đối với R - môđun phải M , ta thường viết End(M ) để vành tự đồng cấu R - mơđun phải M Ta nói S vành vành R (S, +) nhóm (R, +), (S, ·) nửa nhóm (R, ·), S vành Ta nói vành S vành unita R (S, ·) nửa vị nhóm (R, ·) Linh hóa tử phải mơđun M kí hiệu r(M ) linh hóa tử phải phần tử m M kí hiệu r(m) Cho M R - môđun, N môđun M ; môđun M gọi bất biến hoàn toàn M với tự đồng cấu f M ta có f (N ) ⊆ N Giao tất môđun cực đại M gọi Jacobson M ta kí hiệu J(M ) Nếu J(M ) = mơđun M gọi nửa đơn Jacobson; nên rõ ràng M/J(M ) nửa đơn Jacobson với môđun M Nếu R vành J(R) iđêan cực đại, ta nói R vành địa phương 1.1 Môđun cốt yếu đối cốt yếu Trong mục này, ta nhắc lại vài kiến thức môđun cốt yếu đối cốt yếu mà trở thành cơng cụ hữu ích cho khảo sát sau Định nghĩa 1.1.1 (i) Một môđun K M cốt yếu (lớn) M , kí hiệu: K ≤e M , trường hợp môđun L ≤ M , K ∩ L = suy L = (ii) Một môđun K M gọi đối cốt yếu (nhỏ) M , ký hiệu: K M , trường hợp với môđun L ≤ M , K + L = M suy L = M Từ Định nghĩa 1.1.1, ta rút nhận xét sau: Nhận xét 1.1.2 - Cho M = 0, K ≤e M K = K M K = M - M ≤e M M - Có mơđun vừa cốt yếu đối cốt yếu Chẳng hạn Z QZ Z ≤e QZ Sau số ví dụ minh họa mơđun cốt yếu đối cốt yếu Ví dụ 1.1.3 (a) Trong Z, có iđêan đối cốt yếu Z Tuy nhiên, iđêan khác không Z cốt yếu, cho hai iđêan khác khơng tùy ý aZ, bZ = ab ∈ aZ ∩ bZ (b) Mỗi môđun xyclic QZ đối cốt yếu QZ Thật vậy, cho a a0 Z ≤ Q với a0 ∈ Z, b0 ∈ Z∗ Giả sử A ≤ Q cho Q = Z + A Chúng b0 b0 a0 ta cần chứng minh A = Q Ta có = t + x với t ∈ Z x ∈ A Khi 2b0 b0 a0 = u + x với u ∈ Z x ∈ A Suy − 2a0 t = x(2b0 ) Mặt khác, b0 (1 − 2a0 t) b0 a0 = x(a0 u) + x (1 − 2a0 t) ∈ A Từ suy ∈ A Vậy A = Q b0 b0 Tiếp theo, ta đưa định nghĩa đơn cấu cốt yếu toàn cấu đối cốt yếu Định nghĩa 1.1.4 (i) Đơn cấu f : K −→ M gọi cốt yếu Im(f ) ≤e M (ii) Toàn cấu g : M −→ N gọi đối cốt yếu Ker(g) M Mệnh đề 1.1.5 Các mệnh đề sau tương đương môđun K M : (i) K ≤e M , (ii) Đồng cấu nhúng i : K −→ M đơn cấu cốt yếu, (iii) Với môđun N h ∈ Hom(M, N ) Ker(h) ∩ K = suy Ker(h) = Theo kết đồng cấu f, h đồng cấu, f h đơn cấu h đơn cấu Mặc khác Hệ 1.1.6 Một đơn cấu f : L −→ M cốt yếu với đồng cấu h hf đơn cấu h đơn cấu Đối ngẫu với Mệnh đề 1.1.5 Hệ 1.1.6 ta có: Mệnh đề 1.1.7 Các mệnh đề sau tương đương môđun K M : (i) K M, (ii) Đồng cấu tự nhiên pK : M −→ M/K toàn cấu đối cốt yếu, (iii) Với môđun N h ∈ Hom(N, M ) Im(h) + K = M suy Im(h) = M Hệ 1.1.8 Một toàn cấu g : M −→ N đối cốt yếu với đồng cấu h gh tồn cấu h tồn cấu toàn cấu ν : M/K1 −→ M/K2 , với K1 K2 môđun đối cốt yếu M , nâng tự đẳng cấu M Chứng minh Cho R - môđun phải M môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Cho K1 K2 hai môđun đối cốt yếu M , đặt ν : M/K1 −→ M/K2 toàn cấu với hạt nhân đối cốt yếu Đặt Ker(ν) = L/K1 , L ⊆ M Vì K1 đối cốt yếu M nên suy L đối cốt yếu M (tức là, với L + M = M , M ⊆ M , ta có L/K1 + (M + K1 )/K1 = M Suy M + K1 = M , hay M = M ) Nếu ta gọi π1 phép chiếu M lên M/K1 gọi λ = ν ◦ π1 , ta thu Ker(λ) = L, λ tồn cấu với hạt nhân đối cốt yếu Ngồi ra, M mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, nên ta suy λ nâng tự đồng cấu M cho φ(M ) + K2 = M Vì K2 đối cốt yếu ta suy φ toàn cấu, nên theo Bổ đề 2.4.1 ta suy điều phải chứng minh Dễ thấy, mơđun mà khơng có mơđun đối cốt yếu khác không môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Do đó, Jacobson môđun M tổng môđun phải đối cốt yếu M , nên ta suy môđun nửa đơn Jacobson môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Ta nói vành R gọi V - vành phải R - môđun phải nửa đơn R môđun nội xạ Định lý 2.4.3 Các mệnh đề sau tương đương vành R: (a) Vành R V - vành phải, (b) Mọi R - mơđun phải M có Jacobson không Chứng minh Ta cần chứng minh (a) ⇒ (b) Tức là, ta cần môđun xyclic xR M không chứa Jacobson Thật vậy, xR mơđun hữa hạn sinh, nên xR có mơđun cực đại, tức là, tồn toàn cấu 41 g : xR −→ S , với S R - môđun phải nửa đơn Vì S mơđun nội xạ nên ta mở rộng g tới toàn cấu h : M −→ S , Ker(h) mơđun cực đại M khơng chứa x Vì mơđun nửa đơn Jacobson môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến nên từ Định lý 2.4.3, ta thu định lý sau: Định lý 2.4.4 Cho R V - vành phải Khi đó, R - mơđun phải môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Một thắc mắc tự nhiên mà người đọc hay đặt liệu chiều ngược lại Định lý 2.4.4 cịn đúng? Trước tìm câu trả lời, ta cần chứng minh mệnh đề sau: Bổ đề 2.4.5 Cho M1 M2 R - môđun phải Nếu M1 ⊕ M2 môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, đồng cấu f : M1 −→ M2 /K2 , với K2 đối cốt yếu M2 Ker(f ) đối bất biến M1 , nâng đồng cấu g : M1 −→ M2 Chứng minh Đặt σ : M −→ M/K2 toàn cấu xác định σ(m1 + m2 ) = m1 + (f (m1 ) + m2 + K2 ) Vì K2 đối cốt yếu M2 , M2 ⊆ M , nên K2 đối cốt yếu M Vì M mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, nên σ nâng đẳng cấu ν M Nếu ta xét phần tử m1 ∈ M1 , ν(m1 ) = u1 + u2 với u1 ∈ M1 u2 ∈ M2 , u1 + u2 + K2 = m1 + (f (m1 ) + K2 ), f (m1 ) = u2 + K2 Đặt π2 phép chiếu tự nhiên M lên M2 Khi đó, g = π2 ◦ ν|M1 : M1 −→ M2 nâng f Bây giờ, ta tìm câu trả lời cho câu hỏi Định lý 2.4.6 Vành R V - vành phải R - môđun phải hữu hạn sinh môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến 42 Chứng minh Giả sử R - môđun phải hữu hạn sinh môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Ta chứng minh vành R V - vành phải Giả sử điều ngược lại, vành R V - vành phải, tức là, tồn môđun phải nửa đơn S cho S môđun nội xạ Hay, E(S) = S , E(S) bao nội xạ S Lúc đó, tồn phần tử x ∈ E(S)\S Vì S cốt yếu E(S), xR ∩ S = nên S phải chứa xR Vì S cốt yếu E(S), S cốt yếu xR, nên S đối cốt yếu xR (và R) Nếu tồn môđun N xR cho N + S = xR N = xR, ta thu N ∩ S = 0, mâu thuẫn S cốt yếu xR Tiếp theo, xét hai môđun N1 N2 xR cho N1 ∩ N2 = Vì S cốt yếu xR S môđun đơn, nên N1 = N2 = Do đó, xR mơđun Đặt A = r(x) Vì xR ∼ = R/A nên tồn iđêan phải B R cho S ∼ = B/A A ⊂ B ⊂ R Vì (R/A)/(B/A) ∼ = R/B , nên, 1R/B : R/B −→ R/B ∼ = (R/A)/(B/A), với Ker(1R/B ) = đối cốt yếu R/B B/A đối cốt yếu R/A Cụ thể, ta xét môđun hữu hạn sinh M = R/B ⊕ R/A, theo giả thiết ta suy M môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, 1R/B thỏa mãn giả thiết Bổ đề 2.4.5 Cụ thể, 1R/B nâng cấu xạ ν : R/B −→ R/A Gọi πB phép chiếu R/A lên R/B Vì πB ◦ ν đơn vị R/B nên ta thu Im(ν) hạng tử trực tiếp xR, điều xảy R/A Vậy, ta kết luận R V - vành Ta muốn mở rộng vài kết thu trường hợp nội xạ trường hợp xạ ảnh, nhiên, vấn đề với vành R, R 43 mơđun phải có phủ xạ ảnh Vì vậy, ta phải định nghĩa vành hồn chỉnh Ta nói vành R vành hồn chỉnh R - mơđun phải M có phủ xạ ảnh Ta nói mơđun M mơđun giả xạ ảnh toàn cấu φ : M −→ M/N , với N mơđun M , nâng tự đồng cấu M Hay, p phép chiếu M lên M/N , tồn tự đồng cấu f : M −→ M cho p ◦ f = φ, tức là, sơ đồ sau giao hoán: M f φ ∨ < M > M/N p Ta thấy môđun giả xạ ảnh với phủ xạ ảnh môđun tự đẳng cấu - đối bất biến Hơn nữa, R vành hồn chỉnh phải, mơđun giả xạ ảnh môđun tự đẳng cấu - đối bất biến Bây giờ, ta ta giới thiệu bổ đề hữu ích cho chứng minh sau này: Bổ đề 2.4.7 Cho A B R - môđun phải, cho C môđun đối cốt yếu A Hơn nữa, cho f : A −→ B , g : A −→ B hai cấu xạ R - môđun cho g(C) = Gọi π phép chiếu B lên B/f (C) xét f = π ◦ f , g = π ◦ g Nếu f = g , f = g Chứng minh Theo giả thiết, với a ∈ A, f (a) + f (C) = g(a) + f (C) Do đó, (f − g)(A) ⊆ (f − g)(C), nên A = C + Ker(f − g) 44 Vì C đối cốt yếu A nên ta thu A = Ker(f − g), nên f = g Định lý 2.4.8 Môđun giả xạ ảnh môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Mục đích ta chứng minh môđun giả xạ ảnh với phủ xạ ảnh môđun tự đẳng cấu - đối bất biến Trước chứng minh điều này, ta cần chứng minh định lý sau: Định lý 2.4.9 Cho P môđun xạ ảnh cho K môđun đối cốt yếu P cho M = P/K môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Khi đó, σ(K) = K với tự đẳng cấu P , tự đẳng cấu P cảm sinh tự đẳng cấu M Điều trường hợp cụ thể, mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến với phủ xạ ảnh môđun tự đẳng cấu đối bất biến Chứng minh Cho σ : P −→ P tự đẳng cấu giả sử σ(K) K Ánh xạ cảm sinh σ : P/K −→ P/(K + σ(K)) có hạt nhân đối cốt yếu, Ker(σ) = (σ −1 (K) + K)/K Vì M mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, σ nâng tự đẳng cấu ν M , ν nâng tự đẳng cấu λ P (λ tồn ánh K đối cốt yếu, tồn cấu đối cốt yếu hai mơđun xạ ảnh đẳng cấu) Cho λ hợp thành λ với phép chiếu π P lên P/K cho µ : P −→ P/K hợp thành σ π Gọi π phép chiếu tự nhiên P/K lên P/(K + σ(K)) Khi đó, π ◦ λ = π ◦ µ, đó, theo Bổ đề 2.4.7, λ = µ Nhưng Ker(µ) = σ −1 (K) Ker(λ) = K , nên ta suy σ −1 (K) = K , σ(K) = K Bây giờ, ta tìm câu trả lời cho câu hỏi 45 Định lý 2.4.10 Nếu P môđun xạ ảnh K đối cốt yếu P , P/K mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến với tự đẳng cấu σ P ta có σ(K) = K Cụ thể, môđun M với phủ xạ ảnh môđun tự đẳng cấu - đối bất biến mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Chứng minh Giả sử M môđun tự đẳng cấu - đối bất biến, nên σ(K) = K với tự đẳng cấu P Cho L1 = L1 /K L2 = L2 /K hai môđun đối cốt yếu M σ : M/L1 −→ M/L2 toàn cấu đối cốt yếu Khi đó, Ker(σ) = L/L1 , với L môđun P chứa K Lúc đó, L đối cốt yếu M , nên đối cốt yếu P σ cảm sinh toàn cấu σ : P/L1 −→ P/L2 cho với x ∈ P , σ (x + L1 ) = y + L2 σ(x + L1 ) = y + L2 Bây giờ, Ker(σ ) = L/L1 đối cốt yếu P/L1 σ tồn cấu Do đó, nâng tồn cấu ν P Nên Ker(ν) đối cốt yếu trng P Vì vậy, ν tự đẳng cấu P , nên ν(K) = K Tức là, ν cảm sinh tự đẳng cấu M ν nâng σ Từ Định lý 2.4.8 2.4.10, ta thu định lý: Định lý 2.4.11 Cho M R - môđun phải giả xạ ảnh với phủ xạ ảnh Khi đó, M mơđun tự đẳng cấu - đối bất biến Từ Định lý 2.4.11, ta suy hệ sau: Hệ 2.4.12 Cho M R - môđun phải tựa xạ ảnh với phủ xạ ảnh Khi M mơđun tự đẳng cấu - đối bất biến 2.5 Vành hoàn chỉnh phải Trong mục này, ta tìm câu trả lời cho câu hỏi đầu chương: liệu có tồn vành R cho R - mơđun phải có phủ xạ ảnh hay không? Câu trả lời: vành R vành hoàn chỉnh Gọi X lớp R - mơđun phải Khi đó, ta nói X lớp phủ R mơđun phải có X - phủ 46 Nếu R vành hồn chỉnh phải thì lớp X mơđun xạ ảnh lớp phủ Khi R vành hồn chỉnh, ta đưa ra kết quan trọng sau: Định lý 2.5.1 Cho R vành hoàn chỉnh phải M R - mơđun phải Khi đó, mơđun M môđun X - tự đẳng cấu - đối bất biến M môđun giả xạ ảnh Kết nói tính đẳng cấu môđun tự đẳng cấu - đối bất biến khơng phân tích có chiều Goldie hữu hạn với Z2 : Định lý 2.5.2 Cho R vành hồn chỉnh phải cho M mơđun tự đẳng cấu - đối bất biến với phủ xạ ảnh π : P −→ M giả sử M môđun tự đồng cấu - đối bất biến Ngồi ra, giả sử thêm M khơng phân tích có chiều Goldie hữu hạn Khi đó, mệnh đề sau đúng: (a) Vành End(M )/J(End(M )) đẳng cấu với Z2 , (b) Tồn n ≥ mơđun khơng phân tích Pi , với i = 1, , n, đôi không đẳng cấu với cho P = ⊕ni=1 Pi End(Pi )/J(End(Pi )) ∼ = Z2 , với i = 1, , n Ý tưởng để chứng tỏ môđun tự đẳng cấu - đối bất biến vành hoàn chỉnh giao hốn mơđun tựa xạ ảnh, mơđun có tính địa phương Hệ 2.5.3 Môđun tự đẳng cấu - đối bất biến vành hồn chỉnh phải địa phương giao hốn mơđun tựa xạ ảnh Ta mở rộng hệ sau: Định lý 2.5.4 Cho R vành hồn chỉnh giao hốn Khi đó, mơđun tự đẳng cấu - đối bất biến vành R môđun tựa xạ ảnh 47 2.6 Ứng dụng Chúng ta hoàn thành Luận văn việc đưa hai ứng dụng đáng quan tâm thu từ kết mà ta chứng minh trước Ứng dụng thứ liên quan tới lớp mơđun xạ ảnh vành hồn chỉnh Ứng dụng 2.6.1 Cho X lớp môđun xạ ảnh vành hoàn chỉnh M ∈ M od − R môđun X - tự đẳng cấu - đối bất biến, (a) Theo Định lý 2.3.2, End(M )/J(End(M )) vành quy lũy đẳng nâng môđulô J(End(M )) (b) Theo Định lý 2.3.5, M = N ⊕ L, N mơđun khơng phương L mơđun tựa xạ ảnh (c) Theo (a), M thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn Ngoài ra, theo (b), M = N ⊕ L, N mơđun khơng phương L mơđun tựa xạ ảnh Vì vậy, N thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn Vì N mơđun khơng phương, nên N thỏa mãn tính chất full exchange Ta biết mơđun phải tựa xạ ảnh vành hồn chỉnh mơđun rời rạc ([21, Theorem 4.41]) Vì vậy, L mơđun rời rạc Vì mơđun rời rạc thỏa mãn tính chất trao đổi, nên ta thu L thỏa mãn tính chất full exchange Vì M thỏa mãn tính chất full exchange (d) Theo Định lý 2.3.7, M môđun clean (e) Theo Định lý 2.3.8, End(M ) ảnh đẳng cấu tới Z2 , M môđun tựa xạ ảnh Ứng dụng thứ hai liên quan tới lớp môđun xạ ảnh vành nửa hoàn chỉnh Ứng dụng 2.6.2 Cho X lớp mơđun xạ ảnh vành nửa hồn chỉnh M ∈ M od − R môđun X - tự đẳng cấu - đối bất biến hữu hạn 48 sinh, (a) Theo Định lý 2.3.2, End(M )/J(End(M )) vành quy lũy đẳng nâng môđulô J(End(M )) (b) Theo Định lý 2.3.5, M = N ⊕ L, N mơđun khơng phương L mơđun tựa xạ ảnh (c) Theo (a), M thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn Ngoài ra, theo (b), M = N ⊕ L, N mơđun khơng phương L mơđun tựa xạ ảnh Vì vậy, N thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn Vì N mơđun khơng phương, nên N thỏa mãn tính chất full exchange Ta biết môđun phải tựa xạ ảnh hữu hạn sinh vành nửa hoàn chỉnh mơđun rời rạc ([21, Theorem 4.41]) Do đó, L thỏa mãn tính chất full exchange Vì M thỏa mãn tính chất full exchange (d) Theo Định lý 2.3.7, M môđun clean (e) Theo Định lý 2.3.8, End(M ) khơng có ảnh đẳng cấu tới Z2 , M môđun tựa xạ ảnh 49 KẾT LUẬN Trong Luận văn này, chủ yếu tổng quan chứng minh lại kết đạt lớp môđun X - tự đẳng cấu - đối bất biến đưa hai ứng dụng thú vị lớp mơđun Ngồi ra, tơi cịn trình bày thêm khái niệm lớp môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến, so sánh tìm mối liên hệ hai lớp mơđun Trong q trình làm Luận văn, quan tâm nhiều tới Bổ đề 1.7.1 Định lý 1.7.2, nói cấu trúc khả nghịch vành quy tự nội xạ phải mà phần tử vành tổng hai phần tử khả nghịch Hai kết đóng vai trị tảng việc chứng minh định lý quan trọng phủ Chương Vì vậy, tơi giành nhiều thời gian để trình bày chi tiết cụ thể cho hai kết Vì thời gian trình độ chưa cho phép, nên tổng quan kết nêu Luận văn Hi vọng thời gian tới, tơi có nhiều thời gian để tiếp tục nghiên cứu, mở rộng kết (nếu có thể), cụ thể ứng dụng trường hợp F - phủ (F lớp môđun phẳng) 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] L V Thuyết, T C Quỳnh (2013), Lý thuyết vành môđun, Nhà xuất Đại học Huế Tiếng Anh [2] A Alahmadi, A Facchini, N K Tung (2015), Automorphism-invariant modules, Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, Volume 133, 241-260 [3] F W Anderson, K R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules 2nd ed, Springer-Verlag, New York [4] J Dauns, Y Zhou (2006), Classes of modules, Chapman and Hall/CRC [5] S E Dickson and K R Fuller (1969), Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pacific Journal of Mathematics 31, 655-658 [6] N Era, S Singhb, A K Srivastava (2013), Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, Journal of Algebra, 379, 223-229 51 [7] A Facchini (2010), Module Theory Endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules, Progress in Math 167, Birkhăauser Verlag [8] R Găobel and J Trlifaj (2012), Approximations and endomorphism algebras of modules Volume Approximations, Second revised and extended edition de Gruyter Expositions in Mathematics, 41 Walter de Gruyter GmbH and Co KG, Berlin [9] K Goodearl (1976), Ring Theory- Nonsingular Rings and Modules, CRC Press [10] K R Goodearl (1991), Von Neumann Regular Rings, Krieger Publishing Company, Malabar, FL [11] P A Guil Asensio and A K Srivastava (2013), Additive unit representations in endomorphism rings and extension of a result of Dickson and Fuller, Ring Theory and Its Application, Contemporary Mathematics, Vol 609, American Mathematical Society, 117-121 [12] P A Guil Asensio and A K Srivastava (2013), Automorphism invariant modules satisfy the exchange property, Journal of Algebra 388, 101-106 [13] P A Guil Asensio, T C Quynh and A K Srivastava (2016), Additive unit structure of endomorphism rings and invariance of modules, A K Bull Math Sci [14] P A Guil Asensio, D K Tă ută uncă u and A K Srivastava (2015), Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel Journal of Mathematics, 206, 457-482 [15] M Henriksen (1973), On a class of regular rings that are elementary divisors rings, rch Math 24 133-141 52 [16] C U Jensen, H Lenzing (1989), Model-theoretic algebra with particular emphasis on fields, rings, modules, Gordon and Breach Science Publishers, New York, (Algebra, Logic and Applications, Vol.2) [17] R E Johnson and E T Wong (1961), Quasi-injective modules and irreducible rings, Journal of the London Mathematical Society 36, 260-268 [18] D Khurana, A K Srivastava (2007), Right self-injective rings in which each element is sum of two units, J Algebra Appl.6(2), 281-286 [19] T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag New York [20] Perin Marco (2017), Modules which are invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Corso di Laurea Magistrale in Matematica, Università degli studi di Padova [21] S H Mohamed and B J Mă uller (1990), Continuous and Discrete Modules, Cambridge University Press [22] P P Nielsen (2010), Square-free modules with the exchange property, J Algebra 323, 7, 1993-2001 [23] K Oshiro (1996), The exchange property of quasi-continuous modules with the finite exchange property, Osaka J Math Volume 33, Number 1, 217-234 [24] M Prest (2009), Purity, Spectra and Localisation, Volume 121 of Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge University Press, Cambridge [25] F Siddique and A K Srivastava (2013), Decomposing Elements of a right self-injective ring, Journal of Algebra and Its Applications Vol 12, No 53 [26] S Singh and A K Srivastava 2012, Dual automorphism-invariant modules, Journal of Algebra 371, 262-275 [27] S Singh, A K Srivastava (2014), Rings of invariant module type and automorphism-invariant modules, Ring Theory and Its Applications, Contemporary Mathematics, Amer Math Soc 609, 299-311 [28] A K Srivastava (2010), A survey of rings generated by units, Annales de la Faculté des Sciences de toulouse, Vol XIX, Spécial, 203-213 [29] B Stenstrăom (1967), Rings and Modules of Quotients, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [30] Y Utumi (1967), Self-injective Rings, Journal of Algebra 6, 56-64 [31] J Xu (1996), Flat covers of modules, Lecture Notes in Mathematics, 1634 Springer-Verlag, Berlin 54 xác nhận cán hướng dẫn Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN Chủ tịch hội đồng 55 ... môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến Thực ra, môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến cầu nối 39 môđun giả xạ ảnh môđun tự đẳng cấu - đối bất biến Ta nói R - môđun phải M môđun đối ngẫu tự đẳng cấu. .. với tự đẳng cấu P , tự đẳng cấu P cảm sinh tự đẳng cấu M Điều trường hợp cụ thể, mơđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến với phủ xạ ảnh môđun tự đẳng cấu đối bất biến Chứng minh Cho σ : P −→ P tự. .. P môđun xạ ảnh K đối cốt yếu P , P/K môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến với tự đẳng cấu σ P ta có σ(K) = K Cụ thể, môđun M với phủ xạ ảnh môđun tự đẳng cấu - đối bất biến môđun đối ngẫu tự