Bài viết thu được một số tính chất của môđun và vành ker-bất biến đẳng cấu, đưa ra một số ví dụ về môđun ker-bất biến đẳng cấu.
MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU NGUYỄN THỊ DIỄM CHI Trường THPT Phạm Phú Thứ, Quảng Nam Tóm tắt: Bài báo giới thiệu môđun vành ker-bất biến đẳng cấu Một R-môđun M cho hạt nhân tự đồng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu M ; nghĩa với f ∈ End(M ), α(ker(f )) ≤ ker(f ), ∀α ∈ Aut(M ), gọi môđun ker-bất biến đẳng cấu Vành R mà RR ker-bất biến đẳng cấu gọi vành ker-bất biến đẳng cấu Trong báo này, thu số tính chất mơđun vành ker-bất biến đẳng cấu, đưa số ví dụ mơđun ker-bất biến đẳng cấu Từ khóa: Mơđun ker-bất biến đẳng cấu, vành abelian, vành nửa giao hoán GIỚI THIỆU Trong báo này, R vành kết hợp có đơn vị Cho tập khác rỗng S ⊆ R, lR (S) , rR (S) linh hóa tử trái linh hóa tử phải S R Căn Jacobson, nhóm phần từ khả nghịch, tập tất phần tử lũy đẳng R ký hiệu J(R), U (R) Id(R) Môđun suy biến M ký hiệu Z(M ) Vành tự đồng cấu M nhóm tự đẳng cấu M ký hiệu End(M ) Aut(M ) Một môđun M S-tựa Baer (hoặc S-p.q.-Baer) m ∈ M , lS (m) = Se với e2 = e ∈ S = End(M ) Một R-môđun M gọi môđun duo (duo yếu) môđun (t.ứ hạng tử trực tiếp) M bất biến qua tất tự đồng cấu M Một môđun M gọi môđun môđun khác M cốt yếu M Vành R gọi abelian lũy đẳng thuộc tâm Năm 2012, tác giả Singh Srivastava ([12]) giới thiệu khái niệm môđun đối bất biến đẳng cấu Họ chứng minh được: Cho P → M phủ xạ ảnh M , M đối bất biến đẳng cấu ker(P → M ) bất biến qua tất tự đẳng cấu P Từ khái niệm này, tác giả Quynh, Chi, Nhan Kosan ([10]) giới thiệu khái niệm môđun vành mà hạt nhân tự đồng cấu bất biến qua tự đẳng Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr 32-39 Ngày nhận bài: 18/4/2019; Hoàn thành phản biện: 28/5/2019; Ngày nhận đăng: 01/7/2019 MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 33 cấu Môđun thỏa mãn điều kiện gọi môđun ker-bất biến tự đẳng cấu Các tác giả đưa nhiều kết đặc trưng cho lớp vành môđun thỏa điều kiện Tuy nhiên số ví dụ số tính chất mơđun ker-bất biến đẳng cấu đưa chưa chứng minh cụ thể Trong báo tơi làm rõ ví dụ chứng minh chi tiết số tính chất đồng thời đưa số tính chất khác vành ker-bất biến đẳng cấu MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Nhắc lại rằng, R-môđun M gọi ker-bất biến đẳng cấu hạt nhân tất tự đồng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu M Một vành R gọi ker-bất biến đẳng cấu RR ker-bất biến đẳng cấu Sau làm rõ ví dụ mơđun ker-bất biến đưa tài liệu [10] Ví dụ 2.1 (1) Nếu vành tự đồng cấu M quy mạnh M ker-bất biến đẳng cấu Điều ngược lại không trường hợp tổng quát Tuy nhiên, vành tự đồng cấu M quy mạnh vành quy M ker-bất biến đẳng cấu Thật vậy, End(M ) quy mạnh End(M ) quy abelian ∗ End(M ) quy nên với α ∈ End(M ), ker(α) ≤ M nên ker(α)≤e M , tồn e ∈ End(M ) : e2 = e ker(α) = e(M ); với u ∈ Aut(M ) ta có: uker(α) = ue(M ) End(M ) abelian nên eu = ue hay uker(α) = ue(M ) = eu(M ) ≤ e(M ) = ker(α), M ker-bất biến đẳng cấu ∗ Ngược lại, M ker-bất biến đẳng cấu, với e = e2 ∈ End(M ), α ∈ End(M ), − eα(1 − e) ∈ Aut(M ) Khi đó, e(1 − e)(M ) = nên (1 − e)(M ) = ker(e), [1 − eα (1 − e) ](1 − e)(M ) ≤ ker(e) = (1 − e)(M ) suy e[1 − eα (1 − e) ](1 − e)(M ) ≤ e(1 − e)(M ) = 0, eα(1 − e) = hay eα = eαe, tương tự αe = eαe hay End(M ) abelian Vậy End(M ) quy abelian nên End(M ) quy mạnh (2) Z-mụunZp (Pră ufer group) l ker-bt bin ng cu Thật vậy, Zp∞ Z-môđun nội xạ nên môđun K Zp∞ tựa nội xạ, với α ∈ End(Zp∞ ) ta có α(K) ≤ K hay uker(α) ≤ ker(α) với u ∈ Aut(Zp∞ ) (3) Mỗi môđun không suy biến ker-bất biến đẳng cấu Thật vậy, với f ∈ End(M ), ker(f ) = (ker(f ) = tầm thường) ker(f )≤e M nên Z (M/ ker(f )) = M/ ker(f ), lại có M/ ker(f ) ∼ = im(f ) nên Z (M/ ker(f )) = Z(im(f )) suy im(f ) = Z(im(f )), mà im(f ) ≤ M nên Z(imf ) ≤ Z (M ) = 0, im(f ) = 0, M/ ker(f ) ∼ = hay M = ker(f ), uker(f ) ≤ M = ker(f ) 34 NGUYỄN THỊ DIỄM CHI (4) Mỗi miền D ker-bất biến đẳng cấu (vì với a ∈ D, rD (a) = 0) (5) M mơđun duo M ker-bất biến đẳng cấu (Theo định nghĩa môđun duo) Sau số tính chất môđun ker-bất biến đẳng cấu Mệnh đề 2.2 Mỗi hạng tử trực tiếp môđun ker-bất biến đẳng cấu ker-bất biến đẳng cấu Chứng minh Gọi N hạng tử trực tiếp M , M = N ⊕ N Lấy α ∈ End(N ) u ∈ Aut(N ), α ⊕ 1N ∈ End(M ) u ⊕ 1N ∈ Aut(M ), α ⊕ 1N : M = N ⊕ N → M = N ⊕ N n + n → α(n) + n u ⊕ 1N : M = N ⊕ N → M = N ⊕ N n + n → u(n) + n Ta có: ker(α ⊕ 1N ) = {n + n /α(n) + n = 0} = ker(α) M ker-bất biến đẳng cấu nên (u ⊕ 1N )ker(α ⊕ 1N ) ≤ ker(α ⊕ 1N ) = ker(α) mà (u ⊕ 1N )ker(α ⊕ 1N ) = (u ⊕ 1N )(kerα + 0) = ker(α) nên uker(α) ≤ ker(α) Vậy N ker-bất biến đẳng cấu Hạng tử trực tiếp môđun ker-bất biến đẳng cấu môđun ker-bất biến đẳng cấu, điều ngược lại chưa Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt điều thể mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3 Cho M = M1 ⊕ M2 , M1 M2 môđun ker-bất biến đẳng cấu Nếu HomR (Mi , Mj ) = với ≤ i = j ≤ 2, M ker-bất biến đẳng cấu Chứng minh Với f ∈ End(M ), f1 ∈ End(M1 ), f2 ∈ End(M2 ), u ∈ Aut(M ), u1 ∈ Aut(M1 ), u2 ∈ Aut(M2 ), HomR (Mi , Mj ) = với ≤ i = j ≤ nên ta có 35 MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU f= f1 0 f2 ; u= u1 0 u2 Nếu (m1 , m2 ) ∈ ker(f ) m1 ∈ ker(f1 ) m2 ∈ ker(f2 ), u1 m1 ∈ ker(f1 ) u2 m2 ∈ ker(f2 ) Do u(m1 , m1 ) = u1 0 u2 m1 m2 = u1 m1 0 u2 m2 ≤ f1 m1 0 f2 m2 hay uker(f ) ≤ ker(f ) Từ mệnh đề ta có hệ sau: Hệ 2.4 Cho M = M1 ⊕ M2 Nếu M duo yếu, M1 M2 mơđun ker-bất biến đẳng cấu M ker-bất biến đẳng cấu Trong [10] đưa số điều kiện tương đương với tính ker-bất biến qua tự đẳng cấu môdun M chưa chứng minh, chứng minh cụ thể điều kiện tương đương Bổ đề 2.5 Cho R-môđun phải M , S = End(M ), U = Aut(M ) Khi mệnh đề sau tương đương: (1) (2) (3) (4) (5) (6) M môđun ker-bất biến đẳng cấu Với α ∈ S, U ker(α) = ker(α) Với tập I = ∅ S, U ker(I) = ker(I) lS (m)U = lS (m) với m ∈ M Với tập N = ∅ S, lS (N )U = lS (N ) Nếu α(m) = 0, ∀α ∈ S, m ∈ M αU m = Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy u ∈ U α ∈ S Vì M ker-bất biến đẳng cấu nên uker(α) ≤ ker(α) với u ∈ U , U ker(α) ≤ ker(α) Hiển nhiên ker(α) ≤ U ker(α) (2) ⇒ (1) Rõ ràng (2) ⇒ (3) Với m ∈ ker(I), m ∈ ∩ ker(α) hay m ∈ ker(α) với α ∈ I, suy α∈I u(m) ∈ ker(α) với u ∈ U nên U ker(I) ≤ ker(α), U ker(I) ≤ ∩ ker(α) = ker(I) α∈I Hiển nhiên ker(I) ≤ U ker(I) (3) ⇒ (2) Với α ∈ S, lấy I = {α} (1) ⇒ (4) Lấy a ∈ lS (m)U , a = αu (với u ∈ U α ∈ lS (m)) Vì α ∈ lS (m) nên αm = 0, m ∈ ker(α) nên u(m) ∈ ker(α) Vì a ∈ lS (m)U nên am = αum = hay a ∈ lS (m), lS (m)U ≤ lS (m) Chiều ngược lại hiển nhiên (4) ⇒ (1) Với m ∈ ker(α), α ∈ lS (m) Vì lS (m)U = lS (m) nên αu(m) = với 36 NGUYỄN THỊ DIỄM CHI u ∈ U , u(m) ∈ ker(α) với m ∈ ker(α) hay uker(α) ≤ ker(α) (1) ⇒ (5) Lấy b ∈ lS (N )U , b = αu α ∈ lS (N ), u ∈ U Vì α ∈ lS (N ) nên αf = với f ∈ N , f ∈ ker(α) nên uf ∈ ker(α) suy bf = αuf = với f ∈ N hay b ∈ lS (N ), lS (N )U ≤ lS (N ) Chiều ngược lại hiển nhiên (5) ⇒ (1) Lấy f ∈ S, đặt N = {f } ta có lS (f )U = lS (f ) Với α ∈ lS (f ), αf = hay αf (m) = với m ∈ M , suy f (m) ∈ ker(α), mà lS (f )U = lS (f ) nên αuf (m) = suy uf (m) ∈ ker(α) hay uker(α) ≤ ker(α) (4) ⇒ (6) Lấy α ∈ S, m ∈ M , α(m) = suy α ∈ lS (m), mà lS (m) = lS (m)U nên αU m = (6) ⇒ (1) Lấy α ∈ S, m ∈ ker(α), α(m) = αU m = suy u(m) ∈ ker(α) với u ∈ U , uker(α) ≤ ker(α) Hệ 2.6 Đối với vành R, phát biểu sau tương đương: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) R vành ker-bất biến đẳng cấu phải Với x ∈ R, U (R)rR (x) = rR (x) lR (x)U (R) = lR (x), ∀x ∈ R Với x ∈ R, U (R)rR (x) = rR (x)U (R) lR (x)U (R) = U (R)lR (x), ∀x ∈ R Với tập I = ∅ R, U (R)rR (I) = rR (I) Với tập I = ∅ R, lR (I)U (R) = lR (I) Nếu xy = ∀x, y ∈ R xU (R)y = Với iđêan trái H iđêan phải K R, HK = HU (R)K = Từ hệ trên, ta có: Định lý 2.7 [10] R vành ker-bất biến đẳng cấu phải R vành ker-bất biến đẳng cấu trái Hệ 2.8 Nếu M môđun ker-bất biến đẳng cấu End(M ) vành ker-bất biến đẳng cấu Chứng minh Với f, g ∈ End(M ) thỏa f g = Ta có: f g(m) = với m ∈ M nên g(m) ∈ ker(f ), suy ug(m) ∈ ker(f ) với u ∈ Aut(M ), f ug(m) = với m ∈ M , hay f U g = Vậy End(M ) vành ker-bất biến đẳng cấu Nếu M ker-bất biến đẳng cấu End(M ) ker-bất biến đẳng cấu, chiều ngược lại chưa biết hay không?! Tuy nhiên trường hợp cụ thể chiều ngược lại Mệnh đề 2.9 Cho R-mơđun M , S = End(M ) (1) Giả sử S ker-bất biến đẳng cấu, với m ∈ M , tồn g ∈ S cho g(M ) = mR MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 37 M ker-bất biến đẳng cấu (2) Nếu M S-p.p S ker-bất biến đẳng cấu M ker-bất biến đẳng cấu Chứng minh (1) Với m ∈ M , f ∈ S, m ∈ ker(f ), ta có f g(M ) = f (mR) = f (m)R = 0, hay f g = 0, suy f ug = với u ∈ Aut(M ), suy f u(m) = hay u(m) ∈ ker(f ) Vậy uker(f ) ≤ ker(f ) (2) Với m ∈ M , α(m) = 0, α ∈ lS (m) = Se = lS (1−e) (với e2 = e ∈ S), suy α(1−e) = nên αu(1 − e) = (vì S ker-bất biến đẳng cấu), αu ∈ lS (1 − e) = lS (m), αu(m) = với u ∈ Aut(M ), uker(α) ≤ ker(α) Cho hai R-môđun N M , N gọi M -xạ ảnh với môđun A M , đồng cấu từ N vào M/A nâng thành đồng cấu từ N vào M Bất kỳ hai môđun N M gọi xạ ảnh tương hỗ N M -xạ ảnh M N -xạ ảnh Mệnh đề 2.10 Cho M môđun ker-bất biến đẳng cấu, x1 , x2 ∈ S = End(M ) and e2 = e ∈ S cho e(M ) xạ ảnh Nếu ker(x1 ) ≤ e(M ) ker(x2 ) ≤ (1 − e)(M ) e(M )/ker(x1 ) (1 − e)(M )/ker(x2 ) xạ ảnh tương hỗ Chứng minh Đặt M1 := e(M )/ker(x1 ), M2 := (1 − e)(M )/ker(x2 ), K := ker(x1 ) ⊕ ker(x2 ), ¯ = L/ker(x2 ) ≤ M2 Xét dãy khớp: L ¯→0 M → M2 / L ¯ đồng cấu λ : M1 → M2 /L Vì M2 /L = ((1 − e) (M )/ker(x2 )) / (L/ker (x2 )) ∼ = (1 − e) (M )/L nên xác định được: λ : M1 = e(M )/ker (x1 ) → (1 − e) (M )/L Vì e(M ) xạ ảnh nên tồn đồng cấu : µ : e(M ) → (1 − e) (M ) cho λ p1 = p2 µ p1 : e(M ) → e(M )/ker (x1 ) x → x + ker (x1 ) p2 : (1 − e) (M ) → (1 − e) (M )/L α → α+L 38 NGUYỄN THỊ DIỄM CHI Đặt H := {x + µ (x) , x ∈ e(M )} Khi M = H ⊕ (1 − e) (M ) Xét: δ:M →M m → em + µ (em) + (1 − e) m = m + µ (em) δ đẳng cấu, M môđun ker-bất biến đẳng cấu nên: K = δ (K) K = δ −1 (K) Xét δ : (e(M ) + K)/K → (H + K)/K x + K → δ (x) + K = x + µ (x) + K δ(x) đồng cấu nên δ đồng cấu, δ (x + K) = δ(x) + K = 0, δ(x) ∈ K x ∈ K nên δ đơn cấu với h ∈ (H + K)/K, h = x + µ(x) + K = δ (x) nên δ đẳng cấu Ta thấy x ∈ K ∩ e(M ) δ (x + K) = suy x + µ(x) ∈ K µ(x) ∈ K ∩ (1 − e)(M ) nên δ cảm sinh ánh xạ: µ : e(M )/ker(x1 ) → (1 − e) (M )/ker(x2 ) x + ker(x1 ) → µ (x) + ker(x2 ) mở rộng λ (vì p2 µ (x + ker (x1 )) = p2 (µ (x) + ker (x2 )) = µ (x)+L = λ (x + ker (x1 ))) Vậy e(M )/ker(x1 ) (1 − e)(M )/ker(x2 )-xạ ảnh Tương tự, ta chứng minh (1 − e)(M )/ker(x1 ) e(M )/ker(x2 )-xạ ảnh Một môđun M gọi (D3) A B hạng tử trực tiếp M cho M = A + B A ∩ B hạng tử trực tiếp M Từ chứng minh ta thu kết sau: Mệnh đề 2.11 [10] Cho M môđun ker-bất biến đẳng cấu xạ ảnh, α ∈ S Nếu lũy đẳng nâng modulo ker(α) α(M ) (D3)-mơđun LỜI CÁM ƠN Tác giả xin chân thành cám ơn GS Lê Văn Thuyết PGS Trương Công Quỳnh hướng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành báo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N Agrayev and A Harmanci, On Semicommutative Modules and Rings, Kyungpook Math J 47(2007), 21-30 [2] N Agrayev, T Ozen and A Harmanci, On a class of semicommutative modules, Math Sci, (2009), 149-158 MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 39 [3] M Baser, T K Kwak, Extended semicommutative rings, Algebra Colloquim, 2(2010) 257-264 [4] W Chen, Units in polynomial rings over 2-primal rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematic 30(2006), 1049-1053 [5] E Ghashghaei, M T Kosan, T C Quynh and T Yildirim, On rings whose right annihilator of element are invariant under units, [6] C Hun, Y Lee, A Smoktunowicz, Armendariz rings and semicommutative rings, Comm Algebra, 30(2002)751-761 [7] N K Kim and Y Lee, Extensions of reversible rings, Algebra 185 (2003), 207-223 [8] T K Lee and Y Zhou, Armendariz and Reduced Rings, Comm Algebra, 30(2004), 2287-2299 ă [9] A.C Ozcan, A Harmanci and P.F Smith, Duo modules, Glasgow Math.J 48(3) (2006), 533-545 [10] T.C.Quynh, N.T.D.Chi, T.H.N.Nhan and M.T.Kosan, Modules in which kernels of endomorphism invariant under all automorphism, preprint [11] S.T Rizvi and C.S Roman, Baer and quasi-Baer modules, Comm Algerbra, 32(2004), 1030-123 [12] S Singh and AK Srivastava, Dual automorphism-invariant modules, J Algebra 371,(2012), 262-275 [13] R Wisbauer: Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Reading (1991) Title: ON AUTOMORPHISM KER-INVARIANT MODULES AND RINGS Abstract: In this paper, we introduce a new class of modules and rings which are automorphisms ker-invariant A right R-module M is called automorphism ker-invariant if the kernel of all endomorphisms of M are invariant under all automorphisms of M ; i.e., for every f ∈ End(M ), α(ker(f )) ≤ ker(f ), ∀α ∈ Aut(M ) Many properties and examples of automorphisms ker-invariant modules and related ring were obtained Keywords: Automorphisms ker-invariant module, abelian ring, semicommutative ring ... sử S ker -bất biến đẳng cấu, với m ∈ M , tồn g ∈ S cho g(M ) = mR MÔĐUN VÀ VÀNH KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 37 M ker -bất biến đẳng cấu (2) Nếu M S-p.p S ker -bất biến đẳng cấu M ker -bất biến đẳng cấu. .. ta có: Định lý 2.7 [10] R vành ker -bất biến đẳng cấu phải R vành ker -bất biến đẳng cấu trái Hệ 2.8 Nếu M mơđun ker -bất biến đẳng cấu End(M ) vành ker -bất biến đẳng cấu Chứng minh Với f, g ∈ End(M... KER-BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Nhắc lại rằng, R -môđun M gọi ker -bất biến đẳng cấu hạt nhân tất tự đồng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu M Một vành R gọi ker -bất biến đẳng cấu RR ker -bất biến đẳng cấu Sau