Môđun bất biến đẳng cầu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ MINH HÀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng – Năm 2017 Cơng trình hồn thành tại: ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ (ghi ngành học vị công nhận) họp Đại học Đà Nẵng vào ngày … … tháng … … năm … … Có thể tìm hiểu luận văn tại:  Trung tâm Thơng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng  Thư viện trường Đại học , Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài lịch sử vấn đề Như biết môđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Theo kết Camillo, Khurana, Lam, Nicholson Zhou vành tự đồng cấu môđun nội xạ vành clean tức vành mà phần tử tổng phần tử lũy đẳng phần tử khả nghịch Vì vậy, mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đẳng cấu tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Theo Jeremy mơđun tựa liên tục bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Vì vậy, tác giả Lee Zhou đưa nghiên cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa môđun bất biến đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Ở đây, họ phát triển tính chất lớp mơđun xem xét môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ hay nội xạ Trước hết họ đặc trưng lớp môđun, chẳng hạn môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) M Tiếp theo họ chứng minh tổng trực tiếp môđun M ⊕ N bất biến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫn Do đó, môđun M tựa nội xạ M ⊕ M bất biến đẳng cấu môđun M nửa đơn môđun 2-sinh σ[M ] bất biến đẳng cấu Tác giả Đinh Quang Hải chứng minh môđun giả nội xạ thỏa mãn (C2) Ở đây, tác giả chứng tỏ mơđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) Vì vậy, môđun tựa nội xạ CS bất biến đẳng cấu Một mơđun tựa nội xạ CS giả nội xạ, mở rộng kết Ganesan Vanaja Boyle Goodearl chứng tỏ môđun tựa nội xạ không suy biến vành Goldie phải nửa nguyên tố nội xạ Trên vành Goldie phải nửa nguyên tố tất môđun bất biến đẳng cấu không suy biến nội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến vành Goldie phải nguyên tố nội xạ , mở rộng kết Jain Singh Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun tác giả Kosan, Quỳnh Srivastava nghiên cứu vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu Với mong muốn tìm hiểu kết môđun bất biến đẳng cấu, vành mà iđêan bất biến đẳng cấu, chọn đề tài: “MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU” cho luận văn thạc sĩ để nghiên cứu với hy vọng tìm hiểu sâu tính chất chúng Mục đích nghiên cứu Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm tính chất môđun bất biến đẳng cấu số lớp vành liên quan, chẳng hạn avành, q-vành, vành bất biến đẳng cấu, vành Goldie phải nửa nguyên tố Đồng thời tìm đặc trưng vành thơng qua lớp mơđun bất biến đẳng cấu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Môđun bất biến đẳng cấu phạm trù M od − R Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất mơđun phạm trù M od − R để nghiên cứu môđun bất biến đẳng cấu Đóng góp luận văn Làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán liên quan đến học phần vành môđun CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kiến thức môđun Định nghĩa 1.1.1 Môđun A M gọi môđun thực A môđun tầm thường M , nghĩa là, A = 0, A = M Định nghĩa 1.1.2 Môđun A M gọi môđun cực đại M A = M A không thực chứa môđun thực M Định nghĩa 1.1.3 Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N +P N ∩ P = Định nghĩa 1.1.4 Một môđun MR hữu hạn sinh M tồn tập sinh M hữu hạn Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Zorn) Giả sử A tập thứ tự Nếu tập thứ tự toàn phần A có cận A A có phần tử cực đại 1.2 Môđun cốt yếu, môđun đều, môđun đóng Định nghĩa 1.2.1 Mơđun N R-mơđun M gọi cốt yếu M , ký hiệu N ≤e M , với môđun K M thỏa mãn N ∩ K = K = Khi đó, ta nói M mở rộng cốt yếu N Môđun N R-môđun M gọi đối cốt yếu M , ký hiệu N M , với môđun K M thỏa mãn N + K = M K = M Định nghĩa 1.2.2 Môđun Rad(M ) = gọi M Môđun Soc(M ) = {N ≤ M : N M} {N ≤ M : N ≤e M } gọi đế M Đối với vành R, ta có Rad(RR ) = Rad(R R) Vì vậy, vành R ký hiệu J(R) = Rad(RR ) Định nghĩa 1.2.3 Môđun M gọi môđun môđun khác không mơđun M cốt yếu M Ví dụ: (1) Q Z-môđun (2) Zp (với p số nguyên tố) Z-môđun Định nghĩa 1.2.4 Mơđun M gọi có chiều (chiều Goldie) n, ký hiệu G.dim(M ) = n u.dim(M ) = n tồn n n môđun Ui M cho Ui ≤e M Mơđun i=1 quy ước có chiều Các mơđun có chiều 0, 1, 2, gọi mơđun có chiều Goldie hữu hạn Khi RR có chiều Goldie hữu hạn ta gọi u.dim(RR ) chiều Goldie phải vành R, ta nói R có chiều Goldie phải hữu hạn Ví dụ: Đặt R = Z4 ∼ = Z/4Z R có chiều Goldie Định nghĩa 1.2.5 Môđun A M gọi phần bù môđun B M A môđun cực đại số mơđun C M thỏa mãn tính chất C ∩ B = A gọi phần bù M A phần bù môđun M Định nghĩa 1.2.6 Mơđun A gọi bao đóng mơđun B A mở rộng cốt yếu cực đại B Định nghĩa 1.2.7 Môđun A M gọi mơđun đóng A khơng có mở rộng cốt yếu thực M , nghĩa là, B môđun M cho A ≤e B A = B Mệnh đề 1.2.8 Với môđun A môđun M tồn môđun B M cho A ⊕ B ≤e M Mệnh đề 1.2.9 Cho A môđun M , B phần bù A M , thì: (1) B đóng M (2) A ⊕ B ≤e M Mệnh đề 1.2.10 (1) Nếu A mơđun đóng M hạng tử trực tiếp A đóng M (2) Nếu A mơđun đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M (3) Nếu A mơđun đóng X X đóng M A mơđun đóng M 1.3 Mơđun nội xạ Định nghĩa 1.3.1 (1) Môđun M R-môđun phải, M gọi N -nội xạ với mơđun X N đồng cấu f : X −→ M mở rộng đến đồng cấu g : N −→ M (2) Môđun M gọi nội xạ M N -nội xạ với N thuộc M od − R (3) M, N gọi nội xạ lẫn N M -nội xạ M N -nội xạ (4) M gọi tựa nội xạ hay tự nội xạ M M -nội xạ Định nghĩa 1.3.2 M gọi giả nội xạ đơn cấu từ môđun M đến M mở rộng đến tự đồng cấu M M gọi giả nội xạ cốt yếu đồng cấu từ môđun cốt yếu M đến M mở rộng đến tự đồng cấu M Định nghĩa 1.3.3 Cho M R-môđun phải Môđun E gọi bao nội xạ môđun M E mở rộng cốt yếu M E nội xạ Ký hiệu E(M ) Nói cách khác, bao nội xạ môđun M môđun nội xạ bé cho M cốt yếu E(M ) Ví dụ: (1) QZ bao nội xạ Z (2) Bao nội xạ môđun nội xạ (3) Bao nội xạ miền ngun trường thương Mệnh đề 1.3.4 Mọi môđun có bao nội xạ Nó sai khác phép đẳng cấu Mệnh đề 1.3.5 Cho M R-mơđun phải Khi đó, (1) M nội xạ M = E(M ) (2) Nếu N ≤e M E(N ) = E(M ) (3) Nếu M ≤ Q Q mơđun nội xạ Q = E(M ) ⊕ E E(Mα ) nội xạ (đặc biệt, A hữu hạn) (4) Nếu α∈A E( Mα ) = α∈A E(Mα ) α∈A Bổ đề 1.3.6 Cho L, K, N mơđun M , K ≤ L Khi đó, (1) Tồn mơđun đóng H M cho N ≤e H (2) Mơđun K đóng M Q ≤e M, K ≤ Q Q/K ≤e M/K (3) Nếu L đóng M L/K đóng M/K (4) Nếu K đóng L L đóng M K đóng M (5) Giả sử N phần bù K Khi đó, K đóng M K phần bù N M 1.4 Môđun nửa đơn Định nghĩa 1.4.1 Một mơđun M gọi đơn M có hai môđun M Bổ đề 1.4.2 Bổ đề (Schur’s) Nếu M môđun đơn EndR (M ) thể Định nghĩa 1.4.3 Một môđun M gọi nửa đơn M phân tích thành tổng trực tiếp mơđun đơn Một vành R gọi nửa đơn phải (trái) RR (R R) môđun nửa đơn Định nghĩa 1.4.4 Tập L mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) trường hợp dãy L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤ L, tồn n ∈ N Ln+i = Ln(i = 1, 2, ) Tập L mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (DCC) trường hợp dãy L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥ L, tồn n ∈ N Ln+i = Ln(i = 1, 2, ) Môđun MR gọi Noether MR thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng tập khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại Mơđun MR gọi Artin thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm tập khác rỗng mơđun M có 10 Định nghĩa 1.5.2 Mơđun M gọi môđun CS yếu môđun nửa đơn M cốt yếu hạng tử trực tiếp M 1.6 Môđun suy biến Định nghĩa 1.6.1 Cho M R-môđun phải Ta ký hiệu Z(M ) = {m ∈ M : annR (m) iđêan phải cốt yếu R} với annR (m) = {r ∈ R/mr = 0} linh hóa tử phải m R Z(M ) gọi môđun suy biến M Z(M ) = M M gọi môđun suy biến Z(M ) = M gọi mơđun khơng suy biến Định nghĩa 1.6.2 Môđun suy biến RR gọi iđêan suy biến vành R Ký hiệu: Z(RR ) Z(RR ) iđêan R Định nghĩa 1.6.3 Vành R gọi không suy biến phải (trái) RR (R R) môđun không suy biến Mệnh đề 1.6.4 Nếu N môđun cốt yếu M M/N suy biến Định nghĩa 1.6.5 Mơđun N gọi không suy biến σ[M ] hay M -không suy biến ZM (N ) = Định nghĩa 1.6.6 Cho M R-môđun phải Ta ký hiệu Z2(M ) môđun (duy nhất) M thỏa mãn điều kiện: Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )) Z2(M ) gọi môđun suy biến cấp hai M Z2(M ) = M gọi môđun xoắn Goldie Mệnh đề 1.6.7 Môđun Z2(M ) M có tính chất sau: 11 (i) Z(M ) ≤e Z2(M ) (ii) Nếu N ≤ M cho N/M môđun không suy biến Z2(M ) ≤ N 1.7 Mơđun phương Định nghĩa 1.7.1 Hai môđun M N gọi trực giao khơng có mơđun khác khơng M đẳng cấu với môđun N Một mơđun M gọi mơđun phương (square module) tồn môđun phải N cho M ∼ = N Môđun N môđun M gọi nghiệm vuông (square - root) M N nhúng M Định nghĩa 1.7.2 Một mơđun M gọi khơng phương M không chứa nghiệm vuông khác không Hay môđun M gọi khơng phương M khơng chứa tổng trực tiếp hai môđun khác không đẳng cấu Mơđun M gọi phương đầy đủ môđun M chứa nghiệm vuông khác không M 1.8 Các lớp vành Định nghĩa 1.8.1 Một vành R gọi quy Von Neumann cho phần tử a ∈ R tồn b ∈ R cho a = aba Định nghĩa 1.8.2 Vành R gọi đơn vị quy với phần tử x ∈ R, tồn phần tử khả nghịch u ∈ R cho x = xux 12 Định nghĩa 1.8.3 Vành R gọi quy mạnh a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = a2b Định nghĩa 1.8.4 (1) Phần tử e = gọi phần tử lũy đẳng e2 = e (2) Hai lũy đẳng α, β gọi trực giao αβ = βα = (3) Phần tử lũy đẳng e R gọi lũy đẳng tâm ex = xe với x ∈ X Mệnh đề 1.8.5 Iđêan phải I vành R hạng tử trực tiếp RR tồn lũy đẳng e ∈ R cho I = eR Hơn nữa, e ∈ R lũy đẳng − e RR = eR ⊕ (1 − e)R Mệnh đề 1.8.6 Với lũy đẳng e ∈ R khác không bất kỳ, phát biểu sau tương đương: (1) eR(Re) khơng phân tích R-mơđun phải (trái) (2) Vành eRe khơng có lũy đẳng khơng tầm thường (3) e khơng có phân tích dạng α + β với α, β lũy đẳng trực giao khác không R Nếu lũy đẳng e = thỏa mãn điều kiện trên, ta nói e lũy đẳng nguyên thủy R Định nghĩa 1.8.7 Vành R gọi chuỗi tổng quát R tổng trực tiếp môđun chuỗi Định nghĩa 1.8.8 Vành Artin phải (trái) R gọi chuỗi tổng quát với lũy đẳng nguyên thủy e R, eR(Re) có dãy hợp thành R-môđun phải (trái) 13 Định nghĩa 1.8.9 Vành R gọi vành clean phần tử tổng phần tử lũy đẳng phần tử khả nghịch Định nghĩa 1.8.10 Một phần tử a vành R lũy linh tồn n cho an = Định nghĩa 1.8.11 Iđêan I vành R lũy linh I n = với n ∈ N∗ Định nghĩa 1.8.12 Vành R gọi nguyên tố tích hai iđêan khác không R khác không Nói cách khác, vành R gọi nguyên tố aRb = 0, a, b ∈ R a = b = Iđêan I vành R gọi iđêan nguyên tố R/I vành nguyên tố Định nghĩa 1.8.13 Căn nguyên tố R giao tất iđêan nguyên tố R Ký hiệu N (R) Căn nguyên tố R chứa tất iđêan lũy linh R Định nghĩa 1.8.14 Vành R gọi nửa nguyên tố R khơng có iđêan phải lũy linh khác không hay vành R gọi nửa nguyên tố N (R) = Định nghĩa 1.8.15 Vành R đơn R có hai iđêan R Định nghĩa 1.8.16 Vành R đơn tích hữu hạn trực tiếp vành (Artin) đơn R gọi vành (Artin) nửa đơn Định nghĩa 1.8.17 Nếu R Artin phải N (R) lũy linh iđêan lũy linh lớn R Định nghĩa 1.8.18 Căn N (R) vành Artin phải R giao iđêan cực đại 14 Mệnh đề 1.8.19 Nếu R vành nguyên tố e = lũy đẳng R eRe vành nguyên tố Định nghĩa 1.8.20 Vành Goldie phải vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) linh hóa tử phải có chiều hữu hạn Định nghĩa 1.8.21 Cho vành R Vành R gọi vành SC phải R-môđun phải suy biến liên tục Định nghĩa 1.8.22 Vành R gọi vành SI phải R-môđun phải suy biến nội xạ Vành SI có tính chất sau: (1) Mọi R-môđun xoắn Goldie nội xạ (2) Z(RR ) = R-môđun suy biến nửa đơn (3) Mọi R-môđun xoắn Goldie hữu hạn sinh tựa liên tục (4) Mọi R-môđun suy biến xyclic nội xạ (5) Mọi môđun suy biến liên tục nội xạ Định nghĩa 1.8.23 Vành R gọi vành QI phải R-môđun tựa nội xạ nội xạ Định nghĩa 1.8.24 Vành ma trận tập ma trận vành R theo phép cộng phép nhân ma trận 15 CHƯƠNG MƠĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Chương chúng tơi trình bày chứng minh tính chất quan trọng môđun bất biến đẳng cấu Chẳng hạn kết sau: Môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (tự đồng cấu) M Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 bất biến đẳng cấu M1 M2 nội xạ lẫn Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) Môđun M giả nội xạ M bất biến đẳng cấu 2.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Môđun N môđun M gọi bất biến đẳng cấu σ(N ) ≤ N với tự đẳng cấu σ M Một môđun gọi mơđun bất biến đẳng cấu môđun bất biến đẳng cấu bao nội xạ Định nghĩa 2.1.2 Mơđun N mơđun M gọi bất biến đầy đủ f (N ) ≤ N với tự đồng cấu f M 2.2 Tính chất Định lý 2.2.1 Cho môđun M Các điều kiện sau tương đương: (1) M môđun bất biến đẳng cấu (2) Mỗi đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đồng cấu M (3) Mỗi đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu M 16 Bổ đề 2.2.3 Hạng tử trực tiếp môđun bất biến đẳng cấu M bất biến đẳng cấu Định lý 2.2.4 Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 bất biến đẳng cấu M1 M2 nội xạ lẫn Hệ 2.2.5 Một môđun M tựa nội xạ M ⊕ M bất biến đẳng cấu Định lý 2.2.11 Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) Hệ 2.2.12 Một môđun M tựa nội xạ M CS bất biến đẳng cấu Định lý 2.2.17 Nếu R vành Goldie phải nửa nguyên tố R-mơđun bất biến đẳng cấu khơng suy biến nội xạ 2.3 Định lý phân tích môđun bất biến đẳng cấu Trước chứng minh kết chúng tơi sử dụng số bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Nếu M môđun bất biến đẳng cấu với bao nội xạ E(M ) = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 với E1 ∼ = E2 M = (M ∩ E1) ⊕ (M ∩ E2) ⊕ (M ∩ E3) Lee Zhou chứng tỏ mơđun M bất biến đẳng cấu phân tích thành M = A ⊕ B, A, B nội xạ lẫn Điều mở rộng bổ đề sau Bổ đề 2.3.2 Nếu M môđun bất biến đẳng cấu A, B hai mơđun đóng M cho A∩B = A B nội xạ lẫn Hơn nữa, đơn cấu h : A −→ M với A ∩ h(A) = 0, h(A) đóng M Định lý 2.3.3 Cho M môđun bất biến đẳng cấu Khi đó, 17 (1) M = X ⊕ Y với X tựa nội xạ, Y môđun không phương, trực giao với X Trong trường hợp X Y nội xạ lẫn (2) Nếu M suy biến Hom(D1, D2) = với D1, D2 hai môđun D (3) Nếu M khơng suy biến Hom(X, Y ) = = Hom(Y, X) Hệ 2.3.4 Mọi môđun bất biến đẳng cấu phương đầy đủ tựa nội xạ Định lý 2.3.5 Cho M mơđun khơng phương khơng suy biến Khi đó, (1) Mọi mơđun đóng M môđun bất biến đầy đủ M (2) Nếu M bất biến đầy đủ họ {Ki : i ∈ I} môđun đóng M (khơng thiết độc lập), mơđun Ki bất biến đẳng cấu i∈I 2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến Trong phần chứng minh định lý mô tả vành bất biến đẳng cấu không suy biến phải Định lý 2.4.1 Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải khơng suy biến phải R ∼ = S × T với S T vành có tính chất sau: (1) S vành tự nội xạ phải, (2) TT khơng phương, (3) Tổng iđêan phải đóng T iđêan hai phía mà bất biến đẳng cấu T -môđun phải, 18 (4) Iđêan nguyên tố P T mà không cốt yếu TT , T /P thể Định lý 2.4.2 Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải, khơng suy biến phải ngun tố R tự nội xạ phải Sau ta xét ví dụ chứng tỏ kết luận Định lý 2.4.2 sai ta lấy vành nửa nguyên tố thay cho nguyên tố Ví dụ 2.4.3 Cho S = n∈N Z2 R = {(xn )n∈N : tất xn ngoại trừ hữu hạn xn số a thuộc Z2} Khi đó, R vành giao hốn bất biến đẳng cấu không tự nội xạ 2.5 Vành mà môđun xyclic bất biến đẳng cấu Các đặc trưng vành thơng qua tính chất đồng môđun xyclic vấn đề nghiên cứu mở rộng 50 năm qua Nội dung sau mô tả cấu trúc vành mà môđun phải xyclic bất biến đẳng cấu Định lý 2.5.1 Cho R vành mà R-môđun phải xyclic bất biến đẳng cấu Khi đó, R ∼ = S × T với S vành Artin nửa đơn T vành khơng phương phải cho hai iđêan phải đóng X Y T với X ∩ Y = 0, Hom(X, Y ) = Đặc biệt, tất lũy đẳng T tâm 2.6 Môđun bất biến đẳng cấu giả nội xạ Ta biết mơđun giả nội xạ bất biến đẳng cấu Lee Zhou đặt câu hỏi: "Mơđun bất biến đẳng cấu có mơđun giả nội xạ hay không?" Bổ đề 2.6.1 [Cho M = A ⊕ B Khi đó, A B-nội xạ môđun C M với A ∩ C = tồn 19 môđun D M cho C ≤ D A ⊕ D = M Bổ đề 2.6.2 Giả sử M = A ⊕ B với A, B trực giao lẫn Đơn cấu f : C −→ M , với C môđun M Khi đó, (1) f (C ∩ B) ∩ B cốt yếu f (C ∩ B) (2) Nếu B khơng phương f (C ∩ B) ∩ (C ∩ B) cốt yếu f (C ∩ B) C ∩B Định lý 2.6.3 Môđun M bất biến đẳng cấu M giả nội xạ 20 CHƯƠNG VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Chương chúng tơi trình bày vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu Các vành gọi a-vành phải Một số kết chương là: Một a-vành phải tổng trực tiếp vành Artin nửa đơn phương đầy đủ vành khơng phương phải Vành R Artin vành ma trận Mn(R) a-vành phải với n > Mọi a-vành phải ổn định hữu hạn a-vành phải vành quy Von Neumann nửa nguyên tố a-vành phải nguyên tố vành Artin đơn 3.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 3.1.1 (1) Vành R gọi a-vành phải iđêan phải bất biến đẳng cấu (2) Vành R gọi q-vành phải iđêan phải cốt yếu iđêan hai phía (3) Vành R gọi hữu hạn trực tiếp với x, y ∈ R, xy = suy yx = (4) Vành R gọi vành ổn định hữu hạn vành ma trận Mn(R) hữu hạn trực tiếp (5) Vành R gọi tựa duo (quasi-duo) phải (trái) iđêan phải (trái) cực đại iđêan hai phía 3.2 Ví dụ Các vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu gọi a-vành phải Vì mơđun tựa nội xạ bất biến đẳng cấu nên họ 21 a-vành phải chứa q-vành phải Ta xét ví dụ sau để thấy vành a-vành không q-vành Ví dụ 3.2.2 Cho vành R = {(xn)n∈N : tất xn a thuộc F2 trừ số hữu hạn} Khi đó, R vành giao hốn bất biến đẳng cấu không tự nội xạ Do đó, R a-vành khơng q-vành 3.3 Các tính chất a-vành Trong phần chứng minh vài tính chất a-vành phải Mệnh đề 3.3.1 Cho vành R Các điều kiện sau tương đương: (1) R a-vành phải (2) Mọi iđêan phải cốt yếu R bất biến đẳng cấu (3) R bất biến đẳng cấu phải iđêan phải cốt yếu R T -môđun trái, với T vành R sinh phần tử đơn vị Bổ đề 3.3.3 Cho R a-vành phải A iđêan phải R Nếu tồn iđêan phải B R với A ∩ B = A ∼ = B thì: (1) A nửa đơn nội xạ (2) A không suy biến Ta sử dụng bổ đề đề cập để chứng minh định lý phân tích a-vành phải Định lý 3.3.4 Một a-vành phải tổng trực tiếp vành Artin nửa đơn phương đầy đủ vành khơng phương phải 22 Trong định lý sau ta xem xét vành ma trận a-vành phải Định lý 3.3.6 Cho n > số nguyên, R vành Các điều kiện sau tương đương: (1) Mn(R) q-vành phải (2) Mn(R) a-vành phải (3) R vành Artin nửa đơn 3.4 Các lớp đặc biệt a-vành phải Trong phần xem xét lớp vành đặc biệt chẳng hạn vành đơn, nửa nguyên tố, nguyên tố CS Đồng thời mơ tả vành a-vành phải Trước hết ta xét bổ đề sau Định lý 3.4.3 a-vành phải vành quy Von Neumann nửa nguyên tố Định lý 3.4.5 Mọi a-vành phải ổn định hữu hạn, tức là, vành ma trận trường R hữu hạn trực tiếp Hệ 3.4.6 Mọi a-vành phải quy Von Neumann đơn vị quy Định lý 3.4.9 Cho R vành nguyên tố Khi đó, R a-vành phải R vành Artin đơn Định lý 3.4.12 Cho n ≥ số nguyên, D1, D2, , Dn thể ∆ a-vành phải với lũy đẳng tâm iđêan cốt yếu P cho ∆/P thể ∆-môđun phải ∆/P không nhúng ∆∆ Cho Vi (Di − Di+1)-song môđun cho dim(Di {Vi}) = dim({Vi}Di+1 ) = 23 với i = 1, 2, , n − 1, Vn (Dn − ∆)-song môđun cho VnP = dim(Dn {Vn}) = dim({Vn}A/P ) = Khi đó, D1 V1 D2 V2     D3 V3     R := Gn(D1, , Dn, ∆, V1, , Vn) =      Dn Vn ∆ a-vành phải   Định lý 3.4.13 Mỗi a-vành phải CS yếu, không suy biến phải, Artin phải, khơng phân tích R đẳng cấu với Mn1 (e1 Re1 ) Mn1 ×n2 (e1 Re2 ) Mn1 ×n3 (e1 Re3 )  Mn2 (e2 Re2 ) Mn2 ×n3 (e1 Re2 )  0   0 Trong eiRei thể, eiRei ∼ = ej Rej với   Mn1 ×n2 (e1 Rek ) Mn2 ×nk (e2 Rek )    Mnk (ek Rek ) ≤ i, j ≤ k n1, , nk số nguyên dương Hơn nữa, eiRej = dim(eiRei (eiRej )) = = dim((eiRej )ej Rej ) 24 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số nội dung mơđun bất biến đẳng cấu, phân tích mơđun bất biến đẳng cấu, cấu trúc vành mà iđêan bất biến đẳng cấu Một số kết tổng quan được: (1) Môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (tự đồng cấu) M (2) Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 bất biến đẳng cấu M1 M2 nội xạ lẫn (3) Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) (4) Môđun M giả nội xạ M bất biến đẳng cấu (5) a-vành phải tổng trực tiếp vành Artin nửa đơn phương đầy đủ vành khơng phương phải (6) Vành R Artin nửa đơn vành ma trận Mn(R) a-vành phải với n > (7) Mọi a-vành phải ổn định hữu hạn (8) a-vành phải vành quy Von Neumann nửa nguyên tố (9) a-vành phải nguyên tố vành Artin đơn ... 2.1.1 Môđun N môđun M gọi bất biến đẳng cấu σ(N ) ≤ N với tự đẳng cấu σ M Một môđun gọi môđun bất biến đẳng cấu mơđun bất biến đẳng cấu bao nội xạ Định nghĩa 2.1.2 Môđun N môđun M gọi bất biến. .. nội dung mơđun bất biến đẳng cấu, phân tích môđun bất biến đẳng cấu, cấu trúc vành mà iđêan bất biến đẳng cấu Một số kết tổng quan được: (1) Môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu... nghiên cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa mơđun bất biến đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Ở đây, họ phát triển tính chất lớp môđun xem xét môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ