Môđun bất biến đẳng cầu

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN THỊ MINH HÀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN THỊ MINH HÀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng – Năm 2017 Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Trần Thị Minh Hà LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài “Môđun bất biến đẳng cấu” kết trình cố gắng không ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy, bạn bè người thân Qua trang viết xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ tơi thời gian học tập - nghiên cứu khóa học vừa qua Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy giáo TS Trương Cơng Quỳnh trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, khoa Tốn tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu làm luận văn Cuối tơi xin chân thành cảm ơn anh chị lớp Đại số lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp thực Luận văn Trần Thị Minh Hà NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N, N∗ , Z, Q M od − R A∼ =B A⊕B Mα Tập số tự nhiên, số tự nhiên khác không, số nguyên, số hữu tỉ (theo thứ tự) Phạm trù R-môđun phải Môđun A đẳng cấu với môđun B Tổng trực tiếp hai môđun A B Tổng trực tiếp họ môđun Mα α∈I E(M ) N ≤ M (N < M ) A ≤e M A ≤⊕ M End(M ) Aut(M ) Z(M ) Z2 (M ) ZM (N ) annR (m) Ker(f ) Im(f ) Mn (R) Soc(M ) Rad(M ), J(R) Bao nội xạ M Môđun (con thực sự)của M A môđun cốt yếu M A hạng tử trực tiếp M Vành tự đồng cấu mơđun M Nhóm tự đẳng cấu môđun M Môđun suy biến môđun M Môđun suy biến cấp hai môđun M Môđun M -suy biến môđun N Linh hóa tử phải m R Hạt nhân đồng cấu f Ảnh đồng cấu f Vành gồm ma trận vuông cấp n vành R Đế môđun M Căn môđun M vành R (theo thứ tự) MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức môđun 1.2 Môđun cốt yếu, mơđun đều, mơđun đóng 1.3 Môđun nội xạ 1.4 Môđun nửa đơn 1.5 Môđun CS 1.6 Môđun suy biến 1.7 Mơđun phương 1.8 Các lớp vành 1.9 Các định lý, mệnh đề liên quan 12 CHƯƠNG MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 14 2.1 Một số định nghĩa 14 2.2 Tính chất 14 2.3 Định lý phân tích mơđun bất biến đẳng cấu 22 2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến 25 2.5 Vành mà môđun xyclic bất biến đẳng cấu 27 2.6 Môđun bất biến đẳng cấu giả nội xạ 29 CHƯƠNG VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 32 3.1 Một số định nghĩa 32 3.2 Ví dụ 32 3.3 Các tính chất a-vành 33 3.4 Các lớp đặc biệt a-vành phải 37 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài lịch sử vấn đề Như biết môđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Theo kết Camillo, Khurana, Lam, Nicholson Zhou vành tự đồng cấu môđun nội xạ vành clean tức vành mà phần tử tổng phần tử lũy đẳng phần tử khả nghịch Vì vậy, mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đẳng cấu tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Theo Jeremy mơđun tựa liên tục bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Vì vậy, tác giả Lee Zhou đưa nghiên cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa môđun bất biến đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Ở đây, họ phát triển tính chất lớp mơđun xem xét môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ hay nội xạ Trước hết họ đặc trưng lớp môđun, chẳng hạn môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) M Tiếp theo họ chứng minh tổng trực tiếp môđun M ⊕ N bất biến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫn Do đó, môđun M tựa nội xạ M ⊕ M bất biến đẳng cấu môđun M nửa đơn môđun 2-sinh σ[M ] bất biến đẳng cấu Tác giả Đinh Quang Hải chứng minh môđun giả nội xạ thỏa mãn (C2 ) Ở đây, tác giả chứng tỏ mơđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3 ) Vì vậy, môđun tựa nội xạ CS bất biến đẳng cấu Một mơđun tựa nội xạ CS giả nội xạ, mở rộng kết Ganesan Vanaja Boyle Goodearl chứng tỏ môđun tựa nội xạ không suy biến vành Goldie phải nửa nguyên tố nội xạ Trên vành Goldie phải nửa nguyên tố tất môđun bất biến đẳng cấu không suy biến nội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến vành Goldie phải nguyên tố nội xạ, mở rộng kết Jain Singh Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun tác giả Kosan, Quỳnh Srivastava nghiên cứu vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu Với mong muốn tìm hiểu kết mơđun bất biến đẳng cấu, vành mà iđêan bất biến đẳng cấu, chúng tơi chọn đề tài: “MƠĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU” cho luận văn thạc sĩ để nghiên cứu với hy vọng tìm hiểu sâu tính chất chúng Mục đích nghiên cứu Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm tính chất môđun bất biến đẳng cấu số lớp vành liên quan, chẳng hạn a-vành, q-vành, vành bất biến đẳng cấu, vành Goldie phải nửa nguyên tố Đồng thời tìm đặc trưng vành thơng qua lớp môđun bất biến đẳng cấu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Môđun bất biến đẳng cấu phạm trù M od − R Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất mơđun phạm trù M od − R để nghiên cứu môđun bất biến đẳng cấu Đóng góp luận văn Làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán liên quan đến học phần vành môđun Chúng hy vọng tìm số tính chất nhỏ mở rộng kết có 35 Lại có: B ∩ (R ∩ E(A)) = A ∩ ((R ∩ E(B)) ⊕ (R ∩ C)) = Vì R a-vành phải nên môđun B ⊕ (R ∩ E(A)) A ⊕ ((R ∩ E(B)) ⊕ (R ∩ C)) bất biến đẳng cấu Theo Định lý 2.2.4, B (R ∩ E(A))-nội xạ A ((R ∩ E(B)) ⊕ (R ∩ C))-nội xạ Mà A ∼ = B Do đó, A R-nội xạ hay A nội xạ Cho ϕ : A −→ B đẳng cấu U ≤ A Rõ ràng, U ∼ = ϕ(U ) Cho V = ϕ(U ) Khi đó, U ∩ V = U ∼ = V Bằng cách lập luận tương tự trên, ta có U mơđun nội xạ U hạng tử trực tiếp A Vì vậy, A nửa đơn (2) Cho a phần tử tùy ý Z(A) Vì aR hạng tử trực tiếp A nên aR môđun nội xạ Cho aR = eR với e2 = e ∈ R Do đó, e ∈ Z(A) suy e = Do đó, a = Điều chứng tỏ Z(A) = Vì A khơng suy biến Ta sử dụng bổ đề đề cập để chứng minh định lý phân tích a-vành phải Định lý 3.3.4 Một a-vành phải tổng trực tiếp vành Artin nửa đơn phương đầy đủ vành khơng phương phải Chứng minh Theo chứng minh Định lý 2.3.3, ta có phân tích RR = A ⊕ B ⊕ C với A ∼ = B mơđun C khơng phương mà trực giao với A ⊕ A Đặt X := A ⊕ B Y := C Ta chứng minh X phương đầy đủ, nửa đơn nội xạ Cho U môđun tùy ý khác không X Khi đó, tồn mơđun khác khơng U1 U V1 A cho U1 ∼ = V1 tồn môđun khác không U2 U V2 B cho U2 ∼ = V2 Do đó, U12 U22 nhúng X Điều có nghĩa U chứa nghiệm vng X X phương đầy đủ Theo Bổ đề 3.3.3, A B môđun nửa đơn nội xạ Vì vậy, X 36 nửa đơn nội xạ Ta chứng minh X, Y iđêan R Giả sử f : X −→ Y đồng cấu khác khơng Vì X nửa đơn nên Ker(f ) hạng tử trực tiếp X Do đó, tồn L ≤ X cho Ker(f ) ∩ L = để X = Ker(f ) ⊕ L Vì Ker(f ) ∩ L = nên ta có L ∼ = f (L) ≤ Y Điều mâu với giả thiết X trực giao với Y Do đó, ta có Hom(X, Y ) = Giả sử ϕ : Y −→ X đồng cấu khác khơng Khi đó, Y /Ker(ϕ) ∼ = Im(f ) xạ ảnh (vì Im(ϕ) hạng tử trực tiếp X) Do đó, tồn mơđun khác không K Y cho Ker(ϕ) ∩ K = Suy K ∼ = f (K) (mâu thuẫn với giả thiết trực giao X Y ) Do đó, Hom(Y, X) = Vậy R = X ⊕ Y với X vành Artin nửa đơn phương đầy đủ Y vành khơng phương phải Từ định lý ta có hệ sau Hệ 3.3.5 Vành R khơng phân tích chứa mơđun phương a-vành phải R Artin nửa đơn Trong định lý sau ta xem xét vành ma trận a-vành phải Định lý 3.3.6 Cho n > số nguyên, R vành Các điều kiện sau tương đương: (1) Mn (R) q-vành phải (2) Mn (R) a-vành phải (3) R vành Artin nửa đơn Chứng minh (1) =⇒ (2) Mn (R) q-vành phải hiển nhiên Mn (R) a-vành phải (2) =⇒ (3) Cho Mn (R) a-vành phải Giả sử R khơng Artin nửa đơn Khi đó, tồn iđêan phải cốt yếu B R cho B = R Xét E := { aij eij : a1j ∈ B, ≤ j ≤ n aij ∈ R, ≤ i, j ≤ n} với eij (1 ≤ i, j ≤ n) đơn vị Mn (R) Khi đó, E iđêan phải cốt yếu 37 Mn (R) Xét ma trận đơn  0 0   Khi đó, vị 0 Mn (R)  0 0   0     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /E   = ∈       0 0 0 0 0 Điều mâu thuẫn (xem Mệnh đề 3.3.1) Do đó, R Artin nửa đơn  (3) =⇒ (1) R vành Artin nửa đơn hiển nhiên Mn (R) q-vành phải Ví dụ sau chứng tỏ tồn vành bất biến đẳng cấu mà khơng a-vành phải Ví dụ 3.3.7 Cho R = Zpn , với p số nguyên tố n > Suy R tự nội xạ Theo Định lý 1.9.11, Mm (R) tự nội xạ phải với m > Do đó, trường hợp Mm (Zp2 ) vành bất biến đẳng cấu phải Nhưng Mm (Zp2 ) không a-vành phải với m > Theo định lý trên, Zp2 không Artin nửa đơn Ví dụ chứng tỏ a-vành phải khơng có tính chất bất biến Morita 3.4 Các lớp đặc biệt a-vành phải Trong phần xem xét lớp vành đặc biệt chẳng hạn vành đơn, nửa nguyên tố, nguyên tố CS Đồng thời mô tả vành a-vành phải Trước hết ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.4.1 Cho A B iđêan phải a-vành phải R với A ∩ B = Khi đó, ta có điều kiện sau: (1) Nếu ϕ : A −→ B đồng cấu khác khơng thì: 38 (i) ϕ(A) mơđun nửa đơn (ii) ϕ(A) đơn B (2) Nếu e lũy đẳng không tầm thường R cho eR(1−e) = Soc(eR) = Chứng minh (1) (i) Cho U ≤e B Khi đó, E(U ) = E(B) U ⊕ A bất biến đẳng cấu Suy U A-nội xạ Mặt khác, tồn đồng cấu α : E(A) −→ E(B) cho α|A = ϕ Suy α(A) ≤ U Do đó, ϕ(A) ≤ U Vì vậy, ϕ(A) ≤ Soc(B) (ii) Nếu B từ (i) suy ϕ(A) đơn (2) Giả sử eR(1 − e) = Khi đó, tồn r0 ∈ R cho er0 (1 − e) = Xét đồng cấu β : (1 − e)R −→ eR xác định β((1 − e)x) = er0 (1 − e)x β xác định đắn Im(β) = Theo (1)(i) ta có Im(β) ≤ Soc(eR) Do đó, Soc(eR) = Mệnh đề 3.4.2 ([11, Proposition 1]) Cho M môđun bất biến đẳng cấu Khi đó, R/J(R) vành quy Von Neumann lũy đẳng nâng modulo J(R) với J(R) = Z(M ) Định lý 3.4.3 a-vành phải vành quy Von Neumann nửa nguyên tố Chứng minh (=⇒) Cho R a-vành phải Nếu R vành quy Von Neumann R nửa nguyên tố (⇐=) Giả sử R nửa nguyên tố a-vành phải Ta chứng minh R vành quy Von Neumann RR bất biến đẳng cấu Theo Mệnh đề 3.4.2, R/J(R) quy Von Neumann J(R) = Z(RR ) Ta chứng minh J(R) = Với 39 x ∈ J(R), tồn iđêan phải cốt yếu E R cho xE = Vì R a-vành phải nên uE ≤ E với đơn vị u ∈ R Do đó, (RxR)E ≤ E suy (xRxR)E ≤ xE = Vì xRxR ≤ P E ≤ P với tất iđêan nguyên tố P R Cho {Pi }i∈I {Pj }j∈J họ iđêan nguyên tố R cho xRxR ≤ Pi với i ∈ I xRxR Pj với j ∈ J Đặt X = Pj Vì R nửa nguyên tố nên X ∩Y = Pi Y = i∈I j∈J Hơn nữa, ta có E ≤ Y Y ≤e RR Nếu xRxR = tồn r1 , r2 ∈ R cho xr1 xr2 = Khi đó, tồn y ∈ R cho xr1 xr2 y = xr1 xr2 y ∈ Y (mâu thuẫn) Suy xRxR = Hơn nữa, R nửa nguyên tố nên x = hay J(R) = Định lý 3.4.4 ([12, Theorem 15]) Cho M môđun bất biến đẳng cấu Khi đó, M khơng phương End(M ) tựa duo trái (phải) Định lý 3.4.5 Mọi a-vành phải ổn định hữu hạn, tức là, vành ma trận trường R hữu hạn trực tiếp Chứng minh Cho R a-vành phải Khi đó, R = S ×T với SS Artin nửa đơn TT khơng phương Theo Định lý 3.4.4 , T vành tựa duo (quasiduo) phải Khi đó, Mn (R) = Mn (S ⊕ T ) Do đó, Mn (R) ∼ = Mn (S) ⊕ Mn (T ) Rõ ràng, Mn (S) hữu hạn trực tiếp Ta chứng minh Mn (T ) hữu hạn trực tiếp Cho {Mi } tập iđêan phải cực đại vành tựa duo T Khi đó, Mi iđêan hai phía J(T ) = Mi Rõ ràng T /Mi thể Do đó, Mn (T )/Mn (Mi ) ∼ = Mn (T /Mi ) vành Artin đơn hữu hạn trực tiếp Xét đồng cấu vành ϕ : Mn (T ) −→ i Mn (T /Mi ) Ta có Ker(ϕ) = Mn (J(T )) = J(Mn (T )) Vì Mn (T /Mi ) hữu hạn trực tiếp nên i Mn (T /Mi ) hữu hạn trực tiếp Do đó, Mn (T )/J Mn (T ) hữu hạn trực tiếp vành vành hữu hạn trực tiếp Vì Mn (T ) hữu hạn trực tiếp Suy Mn (R) hữu hạn trực tiếp R ổn định hữu hạn 40 Hệ 3.4.6 Mọi a-vành phải quy Von Neumann đơn vị quy Bổ đề 3.4.7 Vành phép biến đổi tuyến tính R := End(VD ) không gian vectơ V thể D a-vành phải V khơng gian vectơ có chiều hữu hạn Chứng minh Nếu V khơng gian vectơ có chiều vơ hạn D End(VD ) khơng hữu hạn trực tiếp Vì vậy, theo Định lý 3.4.3 End(VD ) khơng a-vành phải Do đó, V có chiều hữu hạn Mệnh đề 3.4.8 Cho R a-vành phải nửa nguyên tố với Soc(R) = Khi đó, R quy mạnh Chứng minh Giả sử R a-vành phải nửa nguyên tố Rõ ràng, R quy Von Neumann Cho e lũy đẳng R Giả sử (1 − e)Re = Khi đó, Soc((1 − e)R) = (mâu thuẫn) Do đó, (1 − e)Re = Điều chứng tỏ e lũy đẳng tâm Vì lũy đẳng R tâm nên R quy mạnh Định lý 3.4.9 Cho R vành nguyên tố Khi đó, R a-vành phải R vành Artin đơn Chứng minh Giả sử R a-vành phải nguyên tố Theo Định lý 3.3.4, R vành Artin đơn R vành khơng phương Ta xét trường hợp R a-vành phải ngun tố khơng phương Theo Định lý 3.4.3, R vành quy Von Neumann Vì R khơng phương nên tất luỹ đẳng R tâm Do đó, R vành quy mạnh Mọi vành quy mạnh nguyên tố thể Đặc biệt, từ lập luận ta có a-vành phải đơn Artin 41 Trong [9], Er, Singh Srivastava chứng minh môđun bất biến đẳng cấu M thỏa mãn tính chất (C2 ) Nếu M mơđun CS M mơđun liên tục M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng E(M ) Vì E(M ) môđun clean môđun nội xạ nên đồng cấu E(M ) tổng đồng cấu lũy đẳng tự đẳng cấu Do đó, môđun CS bất biến đẳng cấu M bất biến qua đồng cấu E(M ) tựa nội xạ Tức là, R vành bất biến đẳng cấu phải, CS phải R tự nội xạ phải Vì vậy, ta xét điều kiện yếu mệnh đề sau Mệnh đề 3.4.10 Cho R a-vành phải, CS yếu phải Nếu e lũy đẳng nguyên thủy R cho eR(1 − e) = eRe thể eR(1 − e) R-môđun thực eR Chứng minh Theo Bổ đề 3.4.1, Soc(eR) = Vì R bất biến đẳng cấu phải nên R (C2 ) phải [9] Theo Định lý 1.9.12, eR môđun CS yếu Trước hết ta chứng minh Soc(eR) mơđun đơn mà cốt yếu eR Vì eR môđun CS yếu nên Soc(eR) cốt yếu hạng tử trực tiếp eR Nhưng eR môđun không phân tích Do đó, Soc(eR) cốt yếu eR Với phần tử a khác không tùy ý, a ∈ Soc(eR), eR mơđun CS yếu khơng phân tích nên aR cốt yếu eR Mà Soc(eR) ≤ aR Soc(eR) = aR Do đó, Soc(eR) mơđun đơn Vì eR Vì mơđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ nên eR tựa nội xạ Do đó, eRe ∼ = End(eR) vành địa phương, tức e lũy đẳng địa phương R Ta chứng minh eR(1 − e) mơđun thực eR Vì eR(1 − e) = nên theo Bổ đề 3.4.1, eR(1 − e) ⊂ Soc(eR) Do đó, eR(1 − e) = Soc(eR)(1 − e) Ta chứng minh eJ(R)e môđun eR Vì R bất biến đẳng cấu phải theo Mệnh đề 3.4.2, J(R) = Z(RR ) J(R)Soc(eR) = Ta có (eJ(R)e)Soc(eR) = eJ(R)Soc(eR) = 42 suy (eJ(R)e)(eR(1 − e)) = Mặt khác, ta có eJ(R)eR = eJ(R)e(Re + R(1 − e)) = eJ(R)eRe ⊂ eJ(R)e Do đó, eJ(R)e R-mơđun eR Vì Soc(eR) đơn nên ta có eJ(R)e ∩ Soc(eR) = Soc(eR) ≤ eJ(R)e Giả sử Soc(eR) ≤ eJ(R)e Khi đó, eR(1 − e) = Soc(eR)(1 − e) ≤ eJ(R)e(1 − e) = (mâu thuẫn) Suy eJ(R)e ∩ Soc(eR) = Do đó, eJ(R)e = Cho I môđun thực eR Vì eR địa phương nên I ≤ eJ(R) vậy, Ie = Mặt khác, ta có I(1 − e) ≤ eR(1 − e) suy I ≤ eR(1 − e) = Soc(eR) Do đó, I = I = Soc(eR) Đặc biệt, ta có Soc(eR)e = Vì eR(1 − e) = Soc(eR)(1 − e) = Soc(eR) Định lý 3.4.11 Cho R vành khơng phân tích được, khơng địa phương Các điều kiện sau tương đương: (1) R q-vành phải (2) R a-vành phải CS phải Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 3.4.10 [13, Theorem 3] Ta sử dụng kết để đưa mô tả a-vành phải Định lý 3.4.12 Cho n ≥ số nguyên, D1 , D2 , , Dn thể ∆ a-vành phải với lũy đẳng tâm iđêan cốt yếu P cho ∆/P thể ∆-môđun phải ∆/P không nhúng ∆∆ Cho Vi (Di − Di+1 )-song môđun cho dim(Di {Vi }) = dim({Vi }Di+1 ) = với i = 1, 2, , n−1, Vn (Dn −∆)-song môđun cho Vn P = dim(Dn {Vn }) = dim({Vn }A/P ) = Khi đó,   D V1 D2 V2     D3 V3    R := Gn (D1 , , Dn , ∆, V1 , , Vn ) =       D n Vn  ∆ 43 a-vành phải Chứng minh Cho ≤ i ≤ n + ei ma trận mà vị trí thứ (i, i) cịn vị trí cịn lại Dễ dàng thấy ej Rej+1 iđêan phải cực đại R với j = 1, 2, , n Cho K iđêan phải vành ∆ cho ˆ tập tất ma trận mà vị trí (n + 1, n + 1) lấy từ K tất K số khác Cho ≤ i ≤ n iđêan phải K ∆ Trước hết ta có kết sau sử dụng suốt trình chứng minh định lý ˆ nội xạ lẫn ei Rei+1 K ˆ nội xạ lẫn (1) ei R K ˆ = = Hom(ei Rei+1 , K) ˆ (2) Hom(ei R, K) (3) ei R ej R nội xạ lẫn với j = i ei Rei+1 ej R nội xạ lẫn với j = i Cho U iđêan phải cốt yếu R Khi đó, ei Rei+1 ≤ U với i = 1, 2, , n n ei Rei+1 Ta có W iđêan R W ≤ U Vì vành Cho W := i=1 thương R/W ∼ = n Di ⊕ ∆ U/W iđêan phải R/W Khi đó, i=1 tồn tập rời I, J tập {1, 2, , n} iđêan phải K ∆ ei R ⊕ cho U = i∈I ej Rej+1 ˆ ⊕ K j∈J Ta có phần kết luận rút gọn sau: ej Rej+1 R-mơđun phải nửa đơn (i) j∈J ej Rej+1 j∈J tựa nội xạ ei R R-môđun phải tựa nội xạ Theo (3), ta cần chứng (ii) i∈I minh ei R R-môđun phải tựa nội xạ với i ∈ I Ta có ei Rei+1 R-mơđun thực ei R 44 Cho f : ei Rei+1 −→ ei R  R-đồng cấu Ta có 0  0    0    V ei Rei+1 =  i      0 Khi đó, f (ei Rei+1 ) = ei Rei+1 Vì dim(Di {Vi }) = dim({Vi }Di+1 ) = nên tồn vi ∈ Vi cho Di vi = vi Di+1 Giả sử   0  0    0    v d f (vi ) =  i i+1      0 Với di+1 ∈ Di+1 Khi đó, tồn di ∈ Di cho di vi = vi di+1 Ta xét R-đồng cấu f¯ : ei R −→ ei R đươc xác định phép nhân trái   0  0    0     d i      0 Khi đó, f¯ mở rộng f Ta có tương tự trường hợp en R ˆ = Kˆ1 ⊕ Kˆ2 , với Kˆ1 R-môđun tựa nội xạ Kˆ2 R(iii) K mơđun bất biến đẳng cấu khơng phương Theo Định lý 3.3.4, ta có phân tích ∆ = ∆1 × ∆2 với ∆1 Artin nửa đơn ∆2 khơng phương Khi đó, tồn ∆-mơđun tựa nội xạ K1 ∆-môđun ˆ = Kˆ1 ⊕ Kˆ2 Vì khơng phương K2 cho K = K1 ⊕ K2 Do đó, K en+1 R(1 − en+1 ) = nên ta thu K1 tựa nội xạ K2 khơng phương Hơn nữa, theo giả thiết, K2 bất biến đẳng cấu 45 Cho X = ei R ⊕ i∈I ej Rej+1 ⊕ Kˆ1 Y = Kˆ2 Khi đó, j∈J U = X ⊕ Y Theo (1), (2), (3), X tựa nội xạ, Y bất biến đẳng cấu khơng phương trực giao với X; X Y nội xạ lẫn U bất biến đẳng cấu Điều chứng tỏ iđêan phải cốt yếu R bất biến đẳng cấu Cho A iđêan phải kỳ R, C phần bù A R Khi đó, A ⊕ C iđêan phải cốt yếu R Do đó, chứng minh trên, A ⊕ C bất biến đẳng cấu suy A bất biến đẳng cấu Điều chứng tỏ R a-vành phải Định lý 3.4.13 Mỗi a-vành phải CS yếu, không suy biến phải, Artin phải, khơng phân tích R đẳng cấu với  Mn1 (e1 Re1 ) Mn1 ×n2 (e1 Re2 ) Mn1 ×n3 (e1 Re3 ) Mn1 ×n2 (e1 Rek ) Mn2 (e2 Re2 ) Mn2 ×n3 (e1 Re2 ) Mn2 ×nk (e2 Rek )    0     0 Mnk (ek Rek ) Trong ei Rei thể, ei Rei ∼ = ej Rej với ≤ i, j ≤ k n1 , , nk số nguyên dương Hơn nữa, ei Rej =  dim(ei Rei (ei Rej )) = = dim((ei Rej )ej Rej ) Chứng minh Cho R a-vành phải CS yếu phải, không suy biến phải, Artin phải, khơng phân tích Trước hết, ta chứng minh eR tựa nội xạ với lũy đẳng e ∈ R Vì R Artin phải nên ta có Soc(eR) = Vì R bất biến đẳng cấu phải CS yếu phải nên eR môđun CS yếu Hơn nữa, Soc(eR) môđun đơn cốt yếu eR Do đó, eR eR tựa nội xạ Để hồn thiện chứng minh ta đưa lập luận sau Chọn họ độc lập F = {ei R : ≤ i ≤ n} iđêan phải không n phân tích cho R = ei R i=1 Ta viết lại sau: R = [e1 R] ⊕ [e2 R] ⊕ ⊕ [ek R], với ≤ i ≤ k [ei R] tổng trực tiếp ej R mà đẳng cấu với ei R Cho [ei R] tổng 46 trực tiếp ni ei R Xét ≤ i < j ≤ k Ta xếp hạng tử [ei R] theo cách l(ej R) ≤ l(ei R) Giả sử ej Rei = Khi đó, ta có phép nhúng ei R vào ej R Do đó, l(ei R) ≤ l(ej R) Mà theo giả thiết l(ej R) ≤ l(ei R) nên l(ej R) = l(ei R) Vì vậy, ej R ∼ = ei R Điều mâu thuẫn Do đó, ej Rei = với j > i Ta có   Mn1 (e1 Re1 ) Mn1 ×n2 (e1 Re2 ) Mn1 ×n3 (e1 Re3 ) Mn1 ×n2 (e1 Rek ) Mn2 (e2 Re2 ) Mn2 ×n3 (e1 Re2 ) Mn2 ×nk (e2 Rek )    ∼ 0 R=    0 Mnk (ek Rek ) Với ei Rei thể, ei Rei ∼ = ej Rej với ≤ i, j ≤ k n1 , nk số nguyên dương Hơn nữa, ei Rej = dim(ei Rei (ei Rej )) = = dim((ei Rej )ej Rej ) 47 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số nội dung môđun bất biến đẳng cấu, phân tích mơđun bất biến đẳng cấu, cấu trúc vành mà iđêan bất biến đẳng cấu Một số kết tổng quan được: (1) Môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (tự đồng cấu) M (2) Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 bất biến đẳng cấu M1 M2 nội xạ lẫn (3) Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3 ) (4) Môđun M giả nội xạ M bất biến đẳng cấu (5) a-vành phải tổng trực tiếp vành Artin nửa đơn phương đầy đủ vành khơng phương phải (6) Vành R Artin nửa đơn vành ma trận Mn (R) a-vành phải với n > (7) Mọi a-vành phải ổn định hữu hạn (8) a-vành phải vành quy Von Neumann nửa nguyên tố (9) a-vành phải nguyên tố vành Artin đơn 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] T.C Quỳnh, L.V Thuyết (2013), Lý thuyết vành môđun, NXB Đại học Huế Tiếng Anh: [2] A.K Boyle and K.R Goodearl (1975), Rings over which certain modules are injective, Pacific J Math 58(1), 43–53 [3] V.P Camillo, D Khurana, T.Y Lam, W.K Nicholson and Y Zhou (2006), Continuous modules are clean, J Algebra 304 (1), 94–111 [4] V.P Camillo and H.P Yu (1994), Exchange rings, units and idempotents, Commun Algebr 22 (12), 4737–4749 [5] J Dauns and Y Zhou (2006),Classes of Modules, Pure and Applied Mathematics, A Series of Monograph and Textbooks, Vol 281 (Chapman-Hall/CRC Press (Taylor Francis Group)) [6] H Q Dinh (2005), A note on pseudo-injective modules, Commun Algebra 33, 361–369 [7] N V Dung, D V Huynh , P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Vol 313 (Longman Scientific and Technical, Harlow) [8] D Eisenbud and P Griffith (1971), Serial rings, J Algebra 17, 389–400 [9] N Er, S Singh, A.K Srivastava (2013), Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra 379, 223–229 49 [10] N Er (1999), Direct sums and summands of weak CS-modules and continuous modules, Rocky Mt J Math 29 (2), 491–503 [11] P.A Guil Asensio, A.K Srivastava (2013), Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, J Algebra 388, 101–106 [12] P.A Guil Asensio, A.K Srivastava (2015), Automorphism-invariant modules, in: Noncommutative Rings and Their Applications, in: Contemp Math., vol 634, Amer Math Soc, pp 19–30 [13] G Ivanov (1972), Non-local rings whose ideals are quasi-injective, Bull Aust Math Soc 6, 45–52 [14] M.T Kosan, T.C Quynh and A.K Srivastava (2016), Rings with each right ideal automorphism-invariant, Journal of Pure and Applied Algebra 220, 1525-1537 [15] T.K Lee, Y Zhou (2013), Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2) [16] S.H Mohamed and B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Mathematical Society, Lecture Note Series, Vol 147 (Cambridge University Press) [17] W.K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ Press ... R-mơđun bất biến đẳng cấu nội xạ R -môđun bất biến đẳng cấu suy biến nội xạ Chứng minh (=⇒) Mọi R-mơđun bất biến đẳng cấu nội xạ hiển nhiên R -môđun bất biến đẳng cấu suy biến nội xạ (⇐=) Giả sử R -môđun. .. 2.1.1 Môđun N môđun M gọi bất biến đẳng cấu σ(N ) ≤ N với tự đẳng cấu σ M Một môđun gọi mơđun bất biến đẳng cấu môđun bất biến đẳng cấu bao nội xạ Định nghĩa 2.1.2 Mơđun N mơđun M gọi bất biến. .. mơđun bất biến đẳng cấu 22 2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến 25 2.5 Vành mà môđun xyclic bất biến đẳng cấu 27 2.6 Môđun bất biến đẳng