Môđun bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MƠ ĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG GVHD: PSG TS Trƣơng Công Quỳnh SVTH: Khamphone Syvixay Lớp: 14ST Đà Nẵng – Năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MÔ ĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG GVHD: PSG TS Trƣơng Công Quỳnh SVTH: Khamphone Syvixay Lớp: 14ST Đà Nẵng - Năm 2018 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài lịch sử vấn đề: Mục đích nghiên cứu: Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: .5 Phƣơng pháp nghiên cứu: Đóng góp luận văn: CHƢƠNG .7 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .7 1.1 Định nghĩa môđun .7 1.2 Môđun môđun thƣơng .9 1.3 Giao tổng môđun 10 1.4 Đồng cấu môđun .16 1.5 Các định lý đồng cấu đẳng cấu .21 CHƢƠNG .24 MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG .24 2.1 Định nghĩa ví dụ 24 2.2 Một số kết 25 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… 33 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp toán học em với đề tài: “Môđun bất biến qua đẳng cấu lũy đẳng ” kết q trình cố gắng khơng ngừng thân đƣợc giúp đỡ, động viên khích lệ giảng viên, bạn bè ngƣời thân Qua trang viết em xin gửi lời cảm ơn tới ngƣời giúp đỡ em thời gian học tập – nghiên cứu khóa luận vừa qua Em xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy giáo PGS TS Trƣơng Công Quỳnh trực tiếp tận tình hƣớng dẫn nhƣ cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho khóa luận Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trƣờng Đại học sƣ phạm –Đại học Đà Nẵng, khoa tốn tạo điều kiện cho em hồn thành tốt cơng việc nghiên cứu làm khóa luận Cuối xin chân thành cảm ơn bạn sinh viên khoa Tốn nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập lớp Khamphone syvixay NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN , , , Tập số tự nhiên, số tự nhiên khác không, số nguyên, số hữu tỉ (theo thứ tự ) Mod –R Phạm trù R- môđun phải A B Môđun A đẳng cấu với môđun B A Tổng trực tiếp hai môđun A B B Tổng trực tiếp họ môđun E(M) N Bao nội xạ M M(N M) Môđun (con thực ) M A M A môđun cốt yếu M A M A Là hạn tự trực tiếp M End (M) Vành tự đồng cấu môđun M Aut(M) Nhóm tự đẳng cấu mơđun M (m) Linh hóa tử phải m R Ker (f) Hạt nhân đồng cấu f Im ( f ) Ảnh đồng cấu f (M) Vành gồm ma trận vuông cấp n vành R Soc (M) Đế môđun M Rad(M), J(R) Căn môđun M vành R (theo thứ tự) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài lịch sử vấn đề: Cho M R- môđun Một môđun K M đƣợc gọi bất biết M ƒ(K) K với đồng cấu ƒ End(M) Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ khái niệm có ý nghĩa sâu sắc nhất, khái niệm đƣợc Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, mơđun M đƣợc gọi N - nội xạ với môđun A N đồng cấu ƒ: A đồng cấu g: N M mở rộng đƣợc đến M Môđun M đƣợc gọi nội xạ M N - nội xạ với môđun N Năm1961, [4], tác giả Johnson Wong nghiên cứu trƣờng hợp tổng qt mơđun nội xạ, mơđun tựa nội xạ Môđun M đƣợc gọi tựa xạ M M - nội xạ Không đề xuất khái niệm môđun tựa xạ, tác giả đƣa đƣợc đặc trƣng quan trọng mơđun tựa xạ liên quan đến tính chất bất biến, mơđun M tựa nội xạ bất biến bao nội xạ E(M) Trong [1], tác giả Camillo, Khurana, Lam, Nicholson Zhou chứng minh đƣợc rằng, vành từ đồng cấu môđun nội xạ vành clean, tức phần tử tổng phần tử lũy đẳng phần tử đồng cấu Do vậy, môđun tựa nội xạ bất biến qua đẳng cấu bất biến qua đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Một câu hỏi đƣợc đặt là: môđun bất biết qua đẳng cấu học bất biến qua đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ có đặc trƣng Trong năm 70 kỷ trƣớc, tác giả Jeremy, Takeuchi, Mohamed Bouhy đƣa khái niệm môđun C1, môđun C2 môđun C3 Một môđun M đƣợc gọi môđun C1 môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M Môđun M đƣợc gọi môđun C3 hai hạng tử trực tiếp M A B thỏa mãn A B = A + B hạng tử trực tiếp M Môđun M đƣợc gọi tựa liên tục đồng thời mơđun C1 mơđun C3 Vào năm 1974, [3], Jeremy chứng minh đƣợc rằng, môđun M tựa liên tục bất biến qua đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ E(M) Vào năm 2013, [5], tác giả T K Lee Y Zhou xem xét lớp môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Đó môđun bất biến đẳng cấu Lớp môđun đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu từ năm 2013 Đặc biệt, tác giả Er, Singh Srivastava chứng minh lớp môđun bất biến đẳng cấu lớp môđun giả nội xạ trùng Việc nghiên cứu môđun môđun M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng vành tự đồng cấu End(M) đƣợc Fuchs xem xét lần vào năm 1970 Theo đó, môđun N M đƣợc gọi bất biến qua đồng cấu lũy đẳng ƒ(N) N với phần tử lũy đẳng End(M) Hiển nhiên ta có, N mơđun bất biến M N bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Trong [ 7, Example4.99 ], tác giả A Tercan C Yucel đƣa ví dụ để chứng tỏ tồn môđun N M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng nhƣng N không môđun bất biến M Từ năm 1970 nay, việc nghiên cứu môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng khơng nhiều, số kết bật môđun đƣợc tác giả A Tercan C Yucel nêu [7], chẳng hạn, M mơđun nội xạ tất mơđun bất biến M tựa nội xạ tất môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M tựa liên tục Theo Jeremy môđun tựa liên tục bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ Vì tác giả Lee Zhou đƣa nghiên cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa mơđun bất biến đẳng cấu bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Ở đây, họ phát triển tính chất lớp môđun xem xét môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ hay nội xạ Trƣớc hết họ đặc trƣng lớp môđun, chẳng hạn môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) M Tiếp theo họ chứng minh tổng trực tiếp môđun bất biến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫn Do mơđun M tựa nội xạ M N bất biến đẳng cấu môđun M nửa đơn môđun 2- sinh [ ] bất biến đẳng cấu Tác giả Dinh Quang Hải chứng minh môđun giả nội xạ thỏa mãn ( ) Ở đây, tác giả chứng tỏ đƣợc môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn( ) Vì vậy, mơđun tựa nội xạ CS giả nội xạ Đây mở rộng kết Ganesan Vanaja Boyle Goodearl chứng tỏ môđun tựa nội xạ không suy biến vành Gldie phải nửa nguyên tố nội xạ.Trên vành Goldei phải nửa nguyên tố tất môđun bất biến đẳng cấu không suy biến nội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến vành Goldie phải nguyên tố nội xạ, mở rộng kết qủa Jain Singh Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun tác giả Kosan, Quỳnh Srivastava nghiên cứu vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu Với mong tìm hiểu kết môđun bất biến đẳng cấu, vành idêan bất biến đẳng cấu, chọn đề tài: “ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG ” cho luận văn để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Với mong muốn tìm hiểu kết môđun bất biến đẳng cấu, vành iđêan bất biến đẳng cấu, chọn đề tài: “ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG ” cho luận văn để nghiên cứu với hy vọng tìm kết hay cho đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Môđun bất biến đẳng cấu phạm trù Mod – R Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào phạm trù Mod - R để nghiên cứu kết liên quan báo Đóng góp luận văn: Làm tài liệu tham khảo cho số học viên liên quan đến phần học vành môđun hy vọng tìm số tính chất nhỏ mở rộng kết có CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chƣơng trình chúng tơi giới thiệu số định nghĩa tính chất liên quan đến nội dung đề tài Trong suất luận văn này, ta xét vành R vành kết hợp có đơn vị, ký hiệu tất môđun xét vành R R- môđun phải unita Sau số khái niệm kết tiêu biểu 1.1 Định nghĩa môđun Định nghĩa 1.1 Cho R vành Một R- mơđun phải M là: (1) Nhóm cộng aben M với (2) Ánh xạ M R M (m , r) mr thỏa mãn điều kiện sau: (i) quy tắc kết hợp: (m ) (ii) quy tắc phân phối: ( = m( + m( ) )r = r+ )=m +m r (iii) quy tắc unita: m1= m m, m1, m2 phần tử tuỳ ý M, , R Lúc R đƣợc gọi vành sở Nếu M R - môđun phải ta thƣờng kí hiệu M = MR Tƣơng tự ta định nghĩa R- môđun trái Cho R,S hai vành Nhóm aben (M ,+) song mơđun R - bên phải S - bên trái ký hiệu SMR thỏa mãn điều kiện sau: (a) M R - môđun phải M S - môđun trái (b) Ta phải có (sx)r = s(xr), ( r R, s S, x M ) Từ định nghĩa ta suy kết sau: Mệnh đề 1.1.1 Cho MR Lúc ta có: = ,m = , = (gf)(xα)+(gf)(yβ)=(gf)(x) +(gf)(y) với x, y L, α, β R (2) Rõ ràng (3) Ta chứng minh Thì uα + vβ = f → : R- đồng cấu Với u, v M, α, β R (u)α + f (v)β = f( =f( (u)α +f( (v))β (u)α + f( (v))β) (uα + vβ) = suy (u)α + (v)β Từ Mệnh đề 1.4.5 suy ngay: đẳng cấu với Hệ 1.4.6 Quan hệ quan hệ tƣơng đƣơng lớp R - môđun phải Bổ đề sau cho ta thấy tính bảo tồn cấu trúc đồng cấu Bổ đề 1.4.7 Cho α: (1) U ≤ A → Lúc đó: α(U) ≤ B (2) V ≤ B (V) ≤ A Chứng minh: (1) Cho α( ( )= , Lấy α(U), lúc đó, tồn , R Ta có α( , U cho + α( ) ) V lấy , = α( + α(U)(do u1r1 + u2r2 U) Suy (2) Giả sử α( Vậy U Vậy α(U) ≤ B + (V) Khi α( ), α( , + ) = α( + α( V Suy (V ) ≤ A 19 + R (V ) ) Định nghĩa 1.4.8 Theo Bổ đề 1.4.7, (0) môđun Ta gọi nhân đồng cấu α Kí hiệu Ker(α) Chú ý nhân đồng cấu nhóm nên α đơn cấu Cho Ker(α) = Mệnh đề 1.4.9 Cho , Lúc } (M,N) nhóm aben với phép tốn f + g xác định (f + g)(x) = f(x) + g(x), x M (f , g) Cho (M,N) = { đồng cấu α : ta kí hiệu: (M,N) chƣa R - mơđun Có thể định nghĩa nhƣ đại số tuyến tính là: fa: M → N, x f(x)a (x M) Nhƣng tính chất R-tuyến tính khơng thực đƣợc ngoại trừ a CentR = {x R| xr = rx, r R} Ngoài ta khơng có (fa)(xb) = f(xb)a = f(x)ba (fa)(x)b = (f(x)a)b = (f(x))(ab) không Tuy nhiên M = SMR song mơđun với s S hàm thu đƣợc phép nhân cho s tiếp tục lấy f (M,N) fs: x → f(sx), (x M) R - đồng cấu, nghĩa fs (M,N) Thật vậy, rõ ràng cộng tính (fs)(xr) = f(s(xr)) = f((sx)r) = f(sx)r = (fs(x)r Mặt khác (SMR, ) S - môđun phải với phép nhân (f, s) → fs (fs)(x) = f(sx) 20 Vậy từ tác động trái S M ta có tác động phải S HomR(M,N) Mặt khác N = T NR ta có , T NR) T- môđun trái với phép nhân ( (tf)(x) = tf(x), (x M) Ở tác động trái T N cảm sinh tác động trái T (M,N) Chú ý s S, t T thì: (t(fs))(x) = t(fs)(x) = tf(sx) = (tf)(sx) = ((tf)(s))(x) Mệnh đề 1.4.10 Cho M, N hai nhóm aben, R, S, T vành Lúc cấu trúc (1) S MR , T NR cảm sinh T( (M,N))S bởi: (fs)(x) = f(s.x), (tf)(x) = tf(x) (2) RMS , TNR cảm sinh S( (M,N))T bởi: (sf)(x) = f(xs), (ft)(x) = f(x)t Vậy: *) phép toán mà R tác động M N khơng chuyển đƣợc đến (M,N).*) phía thành lập phép toán (M,N) thay đổi so với M chuyển, cịn so với N khơng Mệnh đề 1.4.11 Cho Lúc ta có đẳng cấu R- môđun phải ρ: M → (R, M ) ρ(x)(a) = xa (x M, a R) Hơn M song mơđun S MR ρ (S,R) - đẳng cấu Định nghĩa 1.4.12 R - môđun trái kí hiệu (A,R) đƣợc gọi mơđun đối ngẫu Lúc R - mơđun đối ngẫu R 21 đƣợc gọi song đối ngẫu kí hiệu R Vậy = (A,R) = (R HomR ( , ), R R) 1.5 Các định lý đồng cấu đẳng cấu Nhƣ trƣờng hợp nhóm phƣơng pháp tƣơng tự, ta chứng minh đƣợc định lý sau: Định lý 1.5.1 (Định lý đồng cấu) Mỗi đồng cấu môđun α: → phân tích đƣợc α = ν, ν: A → A/Ker(α) tồn cấu tắc, đơn cấu xác định : A / Ker(α) → B a + Ker(α) Đơn cấu đẳng cấu α toàn cấu Hệ 1.5.2 Cho α: A/Ker(α) α(a) → đồng cấu R - mơđun Lúc : Im(α).Từ Hệ 1.5.2 ta suy hai định lý quan trọng sau: Định lý 1.5.3 (Định lý thứ đẳng cấu) Nếu B ≤ (B + C) /C B/B ∩ C Chứng minh: Ta xét đồng cấu p: B → (B + C)/C b b+C ta có p R - toàn cấu Mặt khác Kerp = {b B| p(b) = 0} = {b B| b C} = B ∩ C 22 C ≤ Áp dụng Hệ 1.5.2 ta có định lý đƣợc chứng minh Định lý 1.5.4 (Định lý thứ hai đẳng cấu) Nếu C ≤ B ≤ A/B (A/C)/(B/C) Chứng minh Tƣơng tự nhƣ định lý ta xét đồng cấu sau: : A/C → A/B a+C Khi ta có a+B R- tồn cấu Kerφ = B/C 23 , CHƢƠNG MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG Trong chƣơng chúng tơi trình bày số kết quan trọng lớp môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng 2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Mơđun M đƣợc gọi bất biến qua đồng cấu lũy đẳng môđun M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M Ví dụ 2.1.2 Mỗi mơđun khơng phân tích đƣợc mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng đồng cấu lũy đẳng đồng cấu khơng đồng cấu đồng Chẳng hạn - mơđun Ví dụ 2.1.3 Xét , nhiên, Do đó, bất biến qua đồng cấu lũy đẳng - môđun Tất hạng tử trực tiếp môđun 0, - môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Tuy khơng nội xạ mơđun khơng chia đƣợc -mơđun Ví dụ 2.1.4 Cho K trƣờng Đặt R = ( ) M = ( ) Khi đó, M bao nội xạ R Tuy nhiên, xét R - đồng cấu e: ( ) = e e ( ( ) đƣợc xác định e ( )=( ) ( )=( )R Vì vậy, ) ta có khơng phải mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Nhận xét 2.1.5 Từ Ví dụ 2.1.3 2.1.4, ta có lớp môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng, khơng phân tích đƣợc mơđun CS khác Ví dụ 2.1.6 Cho V = uF Đặt R = { ( ): F không gian vectơ - chiều trƣờng F } Khi đó, R vành giao hoán 24 Xét e = ( ) M = eR = ( ) Theo [6, trang 10], ta có M khơng CS (một mơđun M đƣợc gọi CS môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp cuả M) Mặt khác, mơđun khơng phân tích đƣợc nên mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng 2.2 Một số kết Tiếp theo, đƣa điều kiện tƣơng đƣơng môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng nhƣ sau Bổ đề 2.2.1 Cho M R - mơđun Khi đó, M mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng với tự đồng cấu lũy đẳng ƒ M với phần tử m M, tồn r R cho ƒ(m) = mr Chứng minh: ( ) Giả sử M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng, m r ( M ƒ tự đồng cấu lũy đẳng M Khi đó, ƒ(mR) mR nên tồn R cho ƒ(m) = mr Giả sử N môđun M ƒ tự đồng cấu lũy đẳng M Khi đó, theo giả thiết với n N, tồn r R cho ƒ(n) = nr Vì nr N nên ƒ(N) N Do vậy, M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Bổ đề 2.2.2 Mỗi hạng tử trực tiếp môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Chứng minh: Giả sử M = N’ Đặt ( ) giả thiết ta có (H) Do ƒ(H) N ƒ: N End(M) Khi H với H H với H N đồng cấu lũy đẳng tự đồng cấu lũy đẳng M Theo N N Điều chứng tỏ N bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Bổ đề 2.2.3 Cho N môđun M Khi điều kiện sau 25 tƣơng đƣơng: (1) N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng (2) e(N) = e(M N với đồng cấu lũy đẳng e Chứng minh: (1) End(M) (2) Vì N mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng nên e(N) e(N) e(M) nên có e(N) e(M) N Mặt khác lấy x N Vì e(M) N phần tử tùy ý { Khi đó, tồn y M cho e(y) = x Điều chứng tỏ e(M) (2) N N Suy x= e(y) = e(N) e(N) = e(M) (y)=e(x) e(N) N (1) Vì e(N) = e(M) N với đồng cấu lũy đẳng e đồng cấu lũy đẳng e End(M) nên e(N) N với End(M) hay N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Mệnh đề 2.2.4 Cho M môđun Nếu môđun hữu hạn sinh M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M Chứng minh: Cho f M M tự đồng cấu lũy đẳng M lấy m M phần tử tùy ý Đặt: N = mR + f(m)R Khi đó, N môđun hữu hạn sinh M Bây giờ, lấy n N n đƣợc viết dƣới dạng n= m + f(m) r1,r2 R Khi đó, tác động f vào đẳng thức ý f lũy đẳng, f(n) = f(m )+ (m) = f(m) ( + ) N Điều chứng tỏ f(N) N Mặt khác, theo giả thiết, N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Khi đó, tồn r N cho f(m) = mr Vì vậy, theo Bổ đề 2.2.1 có M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Mệnh đề 2.2.5 Một môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng có 26 giao họ môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng đƣợc sinh họ môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Chứng minh: Cho M R – mơđun N = ⋂ đó, môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Nếu n N n với i I Giả sử = e End(M) Vì mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng nên e(n) ⋂ Do đó, e(n) =N ta có e(N) với i N hay N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Bây giả sử môđun N đƣợc sinh họ môđun { } với i Khi đó, với n Lấy e(N) N n =∑ End(M), ta có e(n) = ∑ =e I ∑ ⊂ N ta có N hay N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Mệnh đề 2.2.6 Nếu M môđun tựa liên tục bất biến qua đồng cấu lũy đẳng mơđun M tựa liên tục bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Chứng minh: Cho N M, x M f N N tự đồng cấu lũy đẳng N Vì M tựa liên tục nên f mở rộng đƣợc tới tự đồng cấu lũy đẳng g M Theo giả thiết, ta xR f(x) xR Vì theo Bổ đề 2.7 N bất biến qua đồng cấu lũy Giả sử h : H H tự đồng cấu lũy đẳng môđun H N Vì M có g(x) đẳng tựa liên tục nên h mở rộng đƣợc tới tự đồng cấu lũy đẳng k M Mặc khác, ta có k(N) N k = h Vì vậy, h mở rộng đƣợc tới tự đồng cấu lũy đẳng N Do đó, N tựa liên tục Mệnh đề 2.2.7 Cho R vành vành S R 27 S Nếu môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng tập phần tử đồng cấu lũy đẳng R tập phần tử đồng cấu lũy đẳng S trùng Chứng minh: Dễ dàng thấy đƣợc tập phần tử đồng cấu lũy đẳng R tập hợp đồng cấu lũy đẳng S Ta chứng minh tập phần tử đồng cấu lũy đẳng S tập tập phẩn tử đồng cấu lũy đẳng R Thật vậy, giả sử tồn phần tử đồng cấu lũy đẳng a đƣợc xác định (1) = a (x) = ax Khi đó, S mà a R Ta xét ánh xạ phần tử đồng cấu lũy đẳng S R Điều mâu thuẫn, tập phần tử đồng cấu lũy đẳng R tập phần tử đồng cấu lũy đẳng S trùng Một môđun M đƣợc gọi môđun chuỗi mơđun L N M L Xét N N L mơđun Theo Ví dụ 2.1.3 Ta có đẳng Xét mơđun N Lvà L N Vì vậy, bất biến qua đồng cấu lũy N ={ ̅ , ̅ } L= { ̅ , ̅ , ̅ } Khi đó, ta có khơng phải mơđun chuỗi Tuy nhiên, môđun chuỗi bất biến qua đồng cấu lũy đẳng đƣợc thể qua mệnh đề sau đây: Mệnh đề 2.2.8 Mọi mơđun chuỗi bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Chứng minh: Giả sử M môđun chuỗi tồn mr mR mR với r m M R Vì M môđun chuỗi nên f(m)R f (m)R mR 28 =f End(M) cho f(m) - Giả sử f(m)R mR f(m) = mr0, r0 suy mR R Khi đó, f(m) – m r0 f(m)R Vì vậy, m = f(m)r, r mR (vô lý ) Từ R Suy f(m) – mr Mặt khác, theo định nghĩa môđun chuỗi, có kerf kerf Giả sử mR kerf m mR mR f(m) – mr = - mr kerf Suy f(m) = điều mâu thuẫn Từ đó, phải có ker f ker (f) mR hay f(m) – mr mR, mR Vì mR, điều lại mâu thuẫn Tóm lại, M bất biến đồng cấu qua đồng f(m) cấu lũy đẳng Định lý 2.2.9 Cho M = tổng trực tiếp mơđun Khi điều kiện sau tƣơng đƣơng: (1) môđun bất biến M (2) môđun bất biến M qua đồng cấu lũy đẳng M (3) Hom ( , ) = Chứng minh: (1) (2) Hiển nhiên (2) (3) Giả sử = e(M) với (fe) = ( =e Khi đó, ta có ) tự đồng cấu eM Vì e(M) mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M nên fe(M) End(M) Gọi f : e(M) (e(M)) e(M) Do đó, có e(M) + e(M) hay fe(M) = Điều chứng tỏ f = =( (1) Đặt ta có = nên ) Do đó, ) , : Theo giả thiết mơđun bất biến M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Hệ 2.2.10 Nếu M = Hom( End(M) ) = với i, j I, i j Một môđun M đƣợc gọi hữu hạn trực tiếp M không đẳng cấu hạng tử trực tiếp H M mà H M 29 Hệ 2.2.11 Mọi môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng hữu hạn trực tiếp Chứng minh Giả sử M = A B môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M đó, Hom (A,B ) = A = Suy B=M Vì M hữu B hạn trực tiếp Mệnh đề 2.2.12 Cho M = tổng trực tiếp môđun Nếu N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M N = { } End(M) cho , ,… , = (M) Với n cho n = , tồn +… + + ( Hơn { 1,2, ,k}, N môđun bất biến qua đồng cấu nữa, với j lũy đẳng M nên N Vì vậy, +… + + Hơn nữa, bao hàm ( ( nên tồn họ đồng cấu lũy đẳng trực giao Chứng minh Vì M = N= M (Mi ( (n)= ) ( ( ) N Suy ) N) ⊂ N hiển nhiên Từ đó, suy Hệ 2.2.13 Cho M = tổng trực tiếp môđun Nếu M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng N = ( M ) với môđun N M Một mơđun M đƣợc gọi thỏa mãn tính chất (SSP) K+L hạng tử trực tiếp M với hạng tử trực tiếp K L M Một môđun M đƣợc gọi thỏa mãn tính chất (SIP) K trức tiếp M với hạng tử trực tiếp K L M 30 L hạng tử Hệ 2.2.14 Một môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng thỏa mãn tính chất (SIP) (SSP) Chứng minh: Cho M = K K=(K L) (K =L ) suy M = L Từ Hệ qủa 2.2.13, ta có = (K = L Khi đó, K+L=L ( (K ( Do đó, M = (K+L) thỏa mãn tính chất (SIP) (SSP) Định lý 2.2.15 Cho M = Khi đó, điều kiện sau tƣơng đƣơng: (1) M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng (2) Mi môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng với i N= ) với môđun N M ( (2) theo Bổ đề 2.2.2 Hệ 2.2.13 Chứng minh: (1) (2) i I (1) giả sử N = j Với i, j thỏa mãn (2) ta thấy Hom( j, xét đồng cấu: f : Mi I,i , ) = với i, j I, Mj Hom(Mi ;Mj )=0 Điều có nghĩa f=0 Giả sử : M Khi đó, N = thể viết i,i M đồng cấu lũy đẳng M N môđun M N) (N) = ∑ ( nhƣ ma trận , đó, ( = = ) N) Mặt khác, từ giả thiết, ta có với với i N với i : I Vì vậy, suy I Vì vậy, (N)=∑ 31 = với ( ) ( N) N N KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày số nội dung mơđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng phân tích môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Một số kết em tổng kết đƣợc: (1) Nếu M môđun tựa liên tục bất biến qua đồng cấu lũy đẳng mơđun M tựa liên tục bất biến qua đồng cấu lũy đẳng (2) Mọi môđun chuỗi bất biến qua đồng cấu lũy đẳng (3) Cho M = M1 M2 tổng trực tiếp môđun M1, M2 Khi điều kiện sau tƣơng đƣơng: (i) M1 môđun bất biến M (ii) M1 môđun bất biến M qua đồng cấu lũy đẳng M (iii) Hom (M1, M2) = (4) Cho M = Mi tổng trực tiếp môđun Mi M, N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng M N = (5) Cho M = (Mi N) Mi Khi đó, điều kiện sau tƣơng đƣơng: (i) M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng (ii) Mi môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng với i N= (Mi N) với môđun N M 32 I TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt: [1] T.C Quỳnh, L.V Thuyết ( 2013), Lý thuyết vành môđun, NXB Đại học Huế Tiếng Anh: [2] V P Camillo, D Khurana, T.Y Lam, W K Nicholson and Y Zhou (2006), Continuous modules are clean, J Al gebra 304 (1), 94-111 [3] H Q Dinh (2005), A note on pseudo-injective modules, Commun Algebra 33, 361- 369 [4] D Eisenbud and P Griffith (1971), Serial rings, J Algebra 17, 389- 400 [5] N Er, S Singh, A.K Srivastava (2013), Ring and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra 379, 223-229 [6] T K Lee, Y Zhou (2013), Modules whisch are invariant ander automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2) [7] W.K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi–Frobenius Rings, Cambridge Univ Press [8] P.A Guil Asensio, A K Srivastava (2005), Automorphism-invarriant modules, in: Noncommutative Rings and Their Applications, in: Contemp Math Vol 634, Amer Math Soc, pp 19-30 33 ... bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Mệnh đề 2.2.5 Một môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng có 26 giao họ môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng đƣợc sinh họ môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Chứng... với đồng cấu lũy đẳng e đồng cấu lũy đẳng e End(M) nên e(N) N với End(M) hay N môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Mệnh đề 2.2.4 Cho M môđun Nếu môđun hữu hạn sinh M bất biến qua đồng cấu lũy đẳng. .. nr N nên ƒ(N) N Do vậy, M môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Bổ đề 2.2.2 Mỗi hạng tử trực tiếp môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng môđun bất biến qua đồng cấu lũy đẳng Chứng minh: Giả sử M