Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LỚP MÔ ĐUN BẤT BIẾN VÀ ĐỐI BẤT BIẾN LŨY LINH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 Cơng trình hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm môđun bất biến lũy linh đối bất biến lũy linh nghiên cứu, khái qt hóa từ khái niệm mơđun tựa nội xạ Khái niệm ngày biết đến nhiều sử dụng để mô tả cấu trúc môđun, vành khác Một mơđun gọi bất biến lũy linh bất biến kỳ tự đồng cấu lũy linh bao nội xạ Nghiên cứu mơđun bất biến lũy linh đưa mối quan hệ môđun bất biến lũy linh môđun tựa nội xạ nghiên cứu Cũng điều thúc đẩy tìm hiểu chứng minh tính chất liên quan đến mơđun tựa nội xạ Một tính chất chứng minh mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Đây tính chất thú vị mơđun tựa nội xạ Từ nghiên cứu giúp thu nhận nhiều tính chất môđun vành khác Một cách tự nhiên người ta nghiên cứu đến lớp vành mơđun đối ngẫu thu nhận kết thú vị khác Và nghiên cứu đến môđun bất biến đẳng cấu người ta dễ dàng x tự đẳng cấu đồng cấu lũy linh mơđun M , + x đẳng cấu M Và người ta tất môđun bất biến đẳng cấu bất biến lũy linh ngược lại có khơng đúng? Cho M R-môđun Người ta môđun M với phủ xạ ảnh P −→ M môđun đối bất biến đẳng cấu Ker(P −→ M ) bất biến qua tự đẳng cấu P Khi nghiên cứu môđun bất biến đẳng cấu mối quan hệ với bao nội xạ Chúng xem xét câu hỏi môđun bất biến lũy linh tựa nội xạ vành Goldie nguyên tố Ví dụ cho R vành Goldie nguyên tố , M R-môđun phải bất biến lũy linh Khi đó, tất mơđun đóng M nội xạ M R-mơđun phải khơng suy biến M mơđun nội xạ Từ kết này, có M môđun vành Goldie phải nguyên tố với udim(M/Z(M )) > , M môđun bất biến lũy linh M môđun nội xạ Và cuối nghiên cứu môđun bất biến đẳng cấu môđun bất biến lũy linh xem xét tính khơng biến đổi môđun vành nửa nguyên tố mà môđun M bất biến lũy linh tất đồng cấu lũy linh yếu tố M nâng lên tự đồng cấu lũy linh M M có bao xạ ảnh Do với mục đích tìm hiểu mơđun bất biến lũy linh qua tự đẳng cấu, môđun tựa nội xạ mối liên hệ chúng Theo hướng dẫn PGS TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài “Lớp môđun bất biến đối bất biến lũy linh” để thực luận văn Mục tiêu nghiên cứu 2.1 Mục tiêu tổng quát Luận văn tập trung nghiên cứu lớp môđun bất biến đối bất biến lũy linh qua tự đẳng cấu đối ngẫu Sau nghiên cứu mối quan hệ chúng 2.2 Mục tiêu cụ thể Nghiên cứu khái niệm, tính chất các ví dụ liên quan đến lớp vành mơđun bất biến lũy linh Nghiên cứu khái niệm, tính chất các ví dụ liên quan đến lớp môđun tựa nội xạ môđun xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Lớp vành môđun bất biến lũy linh 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phạm vi lớp môđun vành R vành Goldie nguyên tố Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách chuyên khảo, báo khoa học có nội dung liên quan đến đề tài luận văn Tổng hợp, hệ thống, phân tích tài liệu thu thập để thực luận văn 4.2 Phương pháp chứng minh khoa học Đây đề tài lý thuyết nên sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu lập luận logic để chứng minh 4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo nội dung sau: LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU (Bao gồm) Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháo nghiên cứu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành 1.2 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết môđun Chương 2: MÔĐUN VÀ VÀNH BẤT BIẾN LŨY LINH 2.1 Một số khái niệm ví dụ 2.2 Một số tính chất mơđun bất biến lũy linh 2.3 Mơđun bất biến lũy linh vành Goldie nguyên tố Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ KHÁC VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN LŨY LINH VÀ ĐỐI NGẪU CỦA NÓ 3.1 Một số khái niệm ví dụ mơđun đối bất biến lũy linh 3.2 Một số tính chất mơđun đối bất bến lũy linh số ví dụ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương đưa số định nghĩa, tính chất số ví dụ liên quan dùng chương sau luận văn Trong chương khơng nói thêm mơđun M quy ước R-mơđun phải R vành kết hợp có đơn vị khác không 1.1 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành Định nghĩa 1.2 Tập mơđun M gọi thỏa điều kiện dãy tăng (thường viết tắt ACC)trong trường hợp với dãy L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤ , tồn số tự nhiên n Ln+i = Li (i = 1, 2, ) *) Tập môđun M gọi thỏa điều kiện dãy giảm (thường viết tắt DCC) trường hợp với dãy L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥ , tồn số tự nhiên n Ln+i = Li (i = 1, 2, ) Môđun MR gọi Nơte tập khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại Mơđun MR gọi Artin tập khác rỗng mơđun M có phần tử cực tiểu Vành R gọi Nơte phải (Artin phải) môđun RR Nơte (Artin) Định nghĩa 1.3 Một iđêan P vành R gọi iđêan nguyên tố P = R, với I, J hai iđêan R thỏa mãn IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P Vành R gọi vành nguyên tố iđêan nguyên tố vành R Định nghĩa 1.4 Giao họ iđêan nguyên tố vành R iđêan vành R ta gọi iđêan nửa nguyên tố Vành R gọi vành nguyên nửa tố iđêan nửa nguyên tố R Định nghĩa 1.5 Cho A môđun phải vành R, tập X ⊆ A Khi annR (X) = {r ∈ R|xr = 0, ∀x ∈ X} iđêan phải vành R Thật vậy, với r, r0 ∈ annR(X), ta có xr = xr0 = 0, ∀x ∈ X , nên xr + xr0 = x(r + r0 ) = 0, ∀x ∈ X Suy r + r0 ∈ annR (X) Với r ∈ ann(X), u ∈ R, ta có xr = 0, ∀x ∈ X nên x(ru) = (xr)u = 0, ∀x ∈ X Suy ra, ru ∈ annR (X) Định nghĩa 1.6 Cho A môđun phải vành R, tập X ⊆ A Ta định nghĩa linh hóa tử X (trong R) iđêan phải annR (X) = {r ∈ R|xr = 0, ∀x ∈ X} Linh hóa tử tập X = x R kí hiệu gọn annR (x) Khi không sợ nhầm lẫn vành R ta viết ann(X) thay cho annR (X) Định nghĩa 1.7 Môđun M gọi địa phương M có mơđun thực lớn Một cách tương đương, môđun địa phương xyclic, khác khơng có môđun thực cực đại Môđun M gọi khơng phân tích M = M khơng có hạng tử trực tiếp khác 0, khác M Từ đinh nghĩa ta thấy mơđun địa phương khơng phân tích Định lý 1.8 Đối với vành R, mệnh đề sau tương đương: 1) R/J(R) thể 2) J(R) iđêan phải (trái) tối đại 3) Với r ∈ R r − r khả nghịch bên phải (hoặc trái) 4)Với r ∈ R r − r khả nghịch 5) Tập phần tử khơng khả nghịch R đóng kín phép cộng 6) RR mơđun địa phương Định nghĩa 1.9 Vành R gọi vành địa phương R thỏa mãn điều kiện tương đương định lý Định nghĩa 1.10 Một vành R gọi nguyên tố tích hai iđêan khác khơng R Môđun suy biến Z(M ) R-môđun phải M xác định Z(M ) = {m ∈ M : annrR (m)} iđêan cốt yếu phải R, mà annrR lnh hóa tử m R Nếu Z(M ) = 0, M gọi môđun không suy biến Định nghĩa 1.11 Vành R gọi vành Goldie phải RR có hạng hữu hạn R thỏa mãn điều kiện ACC với linh hóa tử phải Định nghĩa 1.12 Một vành R gọi di truyền phải tất iđêan phải R xạ ảnh Một vành R cho giới hạn (biên) iđêan cốt yếu phải trái R chứa iđêan khác không Định nghĩa 1.13 Một vành Artin R phải trái gọi chuỗi tổng quát với số nguyên tố không đổi e R, eR (Re) có chuỗi hợp thành R-mơđun phải (trái) Điều đáng ý R-môđun chuỗi vành tổng quát tổng trực tiếp chuỗi môđun Định nghĩa 1.14 Một vành R gọi von Neumann quy (chính quy mạnh) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R cho a = aba (tương ứng a = a2 b) 1.15 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết môđun Định nghĩa 1.16 Cho R vành có đơn vị M nhóm cộng aben Ta gọi M R–mơđun phải có ánh xạ: M ×R → M (x, a) → xa thỏa mãn điều kiện sau: i) (x + y) a = xa + ya , ii) x (a + b) = xa + xb , iii) x (ab) = (ax) b , iv) x = x với a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M Định nghĩa 1.17 Cho M R-môđun phải Tập A M gọi mơđun M (kí hiệu A ≤ M hayAR ≤ MR ), A R-môđun phải với phép tốn cộng nhân mơđun hạn chế A Chú ý kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp t A ⊂ M Ngoài ta viết A < M có nghĩa A mơđun thực M A M có nghĩa A khơng môđun M Sau đặc trưng môđun Định lý 1.18 Giả sử M R-môđun phải Nếu A tập khác rỗng M, điều kiện sau tương đương: i) A ≤ M ii) A nhóm nhóm cộng mơđun M với a ∈ A; r ∈ R ta có ar ∈ A iii) với a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, với a ∈ A; r ∈ R ta có ar ∈ A Chứng minh Theo định nghĩa mơđun Ta có mmột nhật xét thứ vị vành xét R-môđun phải (trái), nên ta ý iđêan phải (trái) vành R mơđun RR (R R) Định nghĩa 1.19 (1) Môđun MR gọi đơn M = ∀A ≤ M A = hay A = M , nghĩa M = M có hai môđun M (2) Vành R gọi đơn R = ∀A ≤ RR A = hay A = R, nghĩa R = R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu (minimal) môđun M A = ∀B ≤ M B < A suy B = (4) Tương tự, môđun A ≤ M gọi môđun cực đại (maximal) môđun M A = M ∀B ≤ M B > A suy B = M Bổ đề 1.20 MR đơn M = ∀m = ∈ M, M = mR Chứng minh Cho MR đơn m = Lúc mR = (điều rõ ràng) m.1 = m ∈ mR Từ suy mR = M Ngược lại, cho A = 0; A ≤ M a ∈ A; a = Ta có aR = M Từ M = aR ≤ A ≤ M ⇒ A = M Định nghĩa 1.21 Căn Jacobson môđun MR định nghĩa giao tất môđun cực đại M , kí kiệu Rad(M ) Nếu M khơng có iđêan cực đại ta quy ước Rad(M ) = M Cho R vành Khi Rad(RR ) = Rad(R R) iđêan hai phía vành R kí hiệu J(R) Định nghĩa 1.22 Môđun K môđun M goi hạng tử trực tiếp M có mơđun K’ M cho M = K ⊕ K’ Kí hiệu K ≤⊕ M Môđun M khác không gọi khơng phân tích M hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.23 Cho N môđun R-môđun phải M gọi môđun cốt yếu (lớn) M , kí hiệu N ≤e M , với môđun khác không K M ta có K ∩ N = suy K = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N Nếu môđun đun mơđun M cốt yếu M gọi môđun 1.23.1 Môđun xạ ảnh mở rộng môđun nội xạ Định nghĩa 1.24 Cho UR mơđun Nếu MR mơđun, U gọi xạ ảnh theo M (hay U M -xạ ảnh) trường hợp với toàn cấu g : MR −→ NR đồng cấu v : UR −→ NR tồn R-đồng cấu v : U −→ M cho v = g ◦ v Định nghĩa 1.25 Cho UR môđun Nếu MR mơđun, U gọi nội theo M (hay U M -nội xạ) trường hợp với đơn cấu f : KR −→ MR đồng cấu v : KR −→ UR tồn R-đồng cấu v : M −→ U cho v = v ◦ f Định nghĩa 1.26 Ta gọi cặp (PR , ρ) phủ xạ ảnh môđun MR PR môđun xạ ảnh, ρ : PR −→ MR toàn cấu R-môđun từ môđun xạ ảnh P vào M thỏa điều kiện Kerρ môđun đối cốt yếu P Khi P gọi phủ xạ ảnh M Định nghĩa 1.27 (Các điều kiện Ci môđun M ) (C1 ) Một môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2 ) Một môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3 ) Nếu M1 , M2 hạng tử trực tiếp M mà M1 ∩ M2 = M1 ⊕ M2 ≤⊕ M Định nghĩa 1.28 (i) M thỏa mãn điều kiện (C1 ) gọi CS - Môđun hay môđun mở rộng (ii) M thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) gọi môđun liên tục (iii) M thỏa mãn điều (C1 ) (C3 ) gọi môđun tựa liên tục 1.28.1 Một số khái niệm liên quan Định nghĩa 1.29 Nhắc lại môđun M gọi phương có mơđun X mà M ∼ = X ⊕ X môđun gọi khơng phương khơng chứa phương khác khơng Định nghĩa 1.30 Tập S = ∅ R-môđun M gọi độc lập tuyến tính, từ đẳng thức a1 x1 + + an xn = 0, với ∈ R, i = 1, n x1 , , xn ∈ S đôi khác nhau, ta suy a1 = = an = Và tập S mơđun M , khơng độc lập tuyến tính gọi tập phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.31 Một mơđun M gọi vơ hạn hồn tồn M ∼ = M ⊕M , mơđun M gọi hữu hạn trực tiếp M khơng đẳng cấu tới tổng riêng Chúng ta thu phân tích mơđun bất biến lũy linh thành môđun hữu hạn trực tiếp mơđun vơ hạn hồn tồn Định nghĩa 1.32 Một mơđun M có hệ sinh S độc lập tuyến tính gọi mơđun tự tập S gọi sở M Quy ước: Môđun {0} môđun tự với sở tập ∅ 1.32.1 Một số kết liên quan Bổ đề 1.33 ([5], Bổ đề 4) Cho R vành tùy ý có đơn vị, M R-mơđun phải có Z2 (M ) mơđun suy biến M Chúng ta gọi tự Ví dụ 2.8 Ví dụ 2.9 2.10 Một số tính chất mơđun bất biến lũy linh Định lý 2.11 Mỗi môđun bất biến lũy linh C3 -môđun Chứng minh Cho M môđun bất biến lũy linh A, B hai hạng tử trực tiếp M với A ∩ B = Vì A, B hai hạng tử trực tiếp M nên ta viết M = A ⊕ A M = B ⊕ B , A , B mơđun M Xét phép chiếu tắc π1 : M → A π2 : M −→ A Khi tồn đẳng cấu φ : B −→ π2 (B) Đặt ϕ = (π1 )|B ◦ (φ)−1 : π2 (B) −→ A Vì vậy, tồn đồng cấu ϕ : E(A ) −→ E(A) cho ϕ mở rộng ϕ Chú ý E(M ) = E(A ) ⊕ E(A) Xét ánh xạ ψ : E(M ) −→ E(M ) xác định ψ(x + y) = ϕ(x), với x ∈ E(A ) y ∈ E(A) ψ|E(A) = ϕ ψ = Vì M mơđun bất biến lũy linh nên ψ(M ) ≤ M Hơn nữa, với phần tử a ∈ A , ta có ψ(a ) = ϕ(a ) ∈ M E(A) = A Điều rằng, ψ(A ) ≤ A ψ ◦ (π2 )|B = (π1 )|B Đặt M = {a + ψ(a )|a ∈ A } Khi đó, có M = M ⊕ A B ≤ M Do M = B ⊕ (M ∩ B ) M = (A ⊕ B) ⊕ (M ∩ B ) Mệnh đề 2.12 Giả sử M môđun bất biến lũy linh, E(M ) = E1 ⊕ E2 π1 : E(M ) −→ E1 phép chiếu tắc Khi π1 (M ) môđun bất biến lũy linh Hơn nữa, lớp mơđun bất biến lũy linh đóng hạng tử trực tiếp Chứng minh Giả sử M môđun bất biến lũy linh E(M ) = E1 ⊕E2 Gọi π1 : E(M ) −→ E1 phép chiếu tắc Khi π1 (M ) ≤e E1 E1 bao nội xạ cuả π1 (M ) Cho f : E1 −→ E1 đồng cấu lũy linh Suy đồng cấu π : E(M ) −→ E(M ) xác định π(x + y) = f (x), ∀x ∈ E1 , y ∈ E2 đồng cấu lũy linh Mặt khác với x ∈ π1 (M ), ∃x ∈ M x2 ∈ E2 mà x = x1 + x2 Điều chứng tỏ π(x) = f (x1 ) ∈ M ∩ E1 ≤ π1 (M ) Vì f ((π(M )) ≤ π1 (M ) Hệ 2.13 Giả sử M môđun bất biến lũy linh E(M ) = E1 ⊕ E2 , M ∩ Ei môđun bất biến lũy linh, với i = 1, Định lý 2.14 Cho M môđun bất biến lũy linh Khi đó, có (1) Nếu M = M1 ⊕ M2 , f : E(M1 ) −→ E(M2 ) đồng cấu f (M1 ) ≤ M2 , tức M1 M2 nội xạ tương hỗ (2) Nếu M = M1 ⊕M2 g : M1 −→ M2 đồng cấu g(M ∩M1 ) ≤ M ∩ M2 11 Chứng minh Như hệ định lý trên, có hệ sau Hệ 2.15 Một môđun M tựa nội xạ M ⊕ M bất biến lũy linh Định lý 2.16 Cho M R-môđun (1) Nếu M môđun bất biến lũy linh A ⊕ B ≤e M phép đồng cấu từ mơđun A đến B tự đồng cấu lũy linh mở rộng M (2) Các điều kiện sau tương đương: (a) M bất biến lũy linh (b) Mọi phép đồng cấu từ môđun cốt yếu M vào M có tự đồng cấu lũy linh mở rộng E(M ), mở rộng tự đồng cấu lũy linh M (c) Đối với phép tự đồng cấu lũy linh E(M ), (1 + f )(M ) = M Chứng minh Từ bổ đề ta có kết sau Định lý 2.17 Cho M môđun bất biến lũy linh E(M ) = E1 ⊕E2 ⊕E3 Nếu E1 ∼ = E2 , M = (E1 ∩ M ) ⊕ (E2 ∩ M ) ⊕ (E3 ∩ M ) Hệ 2.18 Giả sử M môđun bất biến lũy linh khơng phân tích Khi Soc(M ) mơđun khơng phương Hệ 2.19 Cho R đại số hữu hạn chiều trường F có nhiều hai phần tử Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (1) Mỗi R môđun phải phân tích bất biến đẳng cấu (2) Mỗi R mơđun phải khơng thể phân tích bất biến lũy linh Chứng minh Chứng minh suy từ hệ [3, Định lý 1] Định lý 2.20 Cho M môđun bất biến lũy linh Khi (1) M mơđun vơ hạn hoàn toàn E(M ) mơđun vơ hạn hồn tồn (2) M mơđun hữu hạn trực tiếp E(M ) môđun hữu hạn trực tiếp Chứng minh (1) Giả sử E(M ) = E1 ⊕ E2 với E1 ∼ = E2 Theo Định lý 2.2.10, M = M ∩ E1 ⊕ M ∩ E2 Hơn nữa, M ∩ E1 M ∩ E2 quan hệ nội xạ E(M ∩ E1 ) = E1 , E(M ∩ E2 ) = E2 Nó M ∩ E1 ∼ = M ∩ E2 Do 12 M vơ hạn hồn tồn (2) Giả sử E(M ) môđun hữu hạn trực tiếp Khi E(M ) = A ⊕ B , A mơđun vơ hạn hồn tồn B mơđun hữu hạn trực tiếp Khơng tính tổng quát ta giả sử A = A1 ⊕A2 với A1 ∼ = A2 Theo Định lý 2.2.10, ta có M = (M ∩A1 )⊕(M ∩A2 )⊕(M ∩B Mặt khác, M ∩A môđun bất biến lũy linh theo Hệ 2.2.8 Do M ∩ A = (M ∩ A1 ) ⊕ (M ∩ A2 ), M = (M ∩ A) ⊕ (M ∩ B) Mặt khác, A vơ hạn hồn tồn nên M ∩ A vơ hạn hồn tồn theo (1) Từ suy M môđun hữu hạn trực tiếp Vậy M vơ hạn hồn tồn Hệ 2.21 Bất kỳ mơđun bất biến lũy linh M có phân tích M = M1 ⊕ M2 , M1 hữu hạn trực tiếp, M2 vô hạn hoàn toàn, M1 M2 nội xạ tương hỗ trực giao Chú ý 2.22 Nếu M môđun bất biến lũy linh, M = X ⊕ Y , X tựa nội xạ, Y khơng phương X, Y nội xạ tương hỗ trực giao Chú ý 2.23 Giả sử M môđun bất biến lũy linh khơng quy, với phân tích M = X ⊕ Y ý 2.2.16 Khi đó: (1) Bất kì mơđun U, V Y với U ∩ V = Hom(U, V ) = (2)Hom(X, Y ) = Hom(Y, X) = Chú ý 2.24 Mỗi mơđun đóng môđun M không suy biến môđun bất biến hoàn chỉnh M Chú ý 2.25 Nhắc lại mơđun K M đóng M K khơng có mở rộng cốt yếu M Tức là, với mơđun L M mà K cốt yếu L K = L Bổ đề 2.26 Giả sử M môđun bất biến lũy linh, không phương khơng suy biến {Ki }i∈I họ mơđun đóng M Khi đó, I Ki môđun bất biến lũy linh Chứng minh Đặt A = I Ki ≤ M Tồn môđun B ≤ M cho A⊕B ≤e M E(M ) = E(A) ⊕ E(B) Bất kì tự đồng cấu lũy linh γ E(A), có ánh xạ γ : E(M ) −→ E(M ) xác định γ(x + y) = γ(x), với phần tử x ∈ E(A), y ∈ E(B) đồng cấu lũy linh Vì M bất biến lũy linh nên γ(M ) ≤ M Khi γ(Ki ) ≤ Ki , ∀i ∈ I theo Chú ý 2.2.15 Từ suy γ(A) ≤ A Định lý 2.27 Giả sử R vành bất biến lũy linh phải khơng suy biến phải Khi R ∼ = R1 × R2 , mà R1 , R2 vành thỏa mãn tính chất sau: (1) R1 tự nội xạ phải (2) R2 không phương R2 mơđun phải 13 (3) Tổng iđêan phải đóng R2 iđêan hai phía bất biến lũy linh R2 -môđun phải Chứng minh Hệ 2.28 Nếu R vành bất biến lũy linh phải đơn, R tự nội xạ phải RR khơng phương Chứng minh Tính chất 2.29 Một mơ đun M thỏa mãn tính chất (N ) tất tự đồng cấu lũy linh môđun M mở rộng đến tự đồng cấu lũy linh M Mệnh đề 2.30 Cho M mơđun có tính chất (N ) cho f tự đồng cấu lũy linh E(M ) Nếu f (N ) ≤ N với N = M ∩ f −1 (M ) f (M ) ≤ M Chứng minh Hệ 2.31 Cho M mơđun thỏa mãn tính chất (N ) cho f tự đồng cấu lũy linh E(M ) với n số lũy linh f Khi đó, ta có f n−1 (M ) ≤ M Đặc biệt, f k (M ) ≤ M, với k ≥ n − Chứng minh Không tính tổng qt, giả sử n ≥ −1 Đặt N = M ∩ (f (n−1) (M ) Khi với m ∈ N f n−1 (m) ∈ M Vì f n (m) = suy f n−1 (f n−1 (m)) = ∈ M Ta có f n−1 (m) ∈ (f n−1 )−1 (M ) thu f n−1 (m) ∈ (f n−1 )−1 (M ) ∩ M Điều chứng tỏ f n−1 (N ) ≤ N Áp dụng mệnh đề với tự đồng cấu f n−1 , có f n−1 (M ) ≤ M Theo tính lũy linh f , f k (M ) ≤ M, với k ≥ n − hiển nhiên Định lý 2.32 Nếu M thỏa mãn tính chất (N ) M môđun bất biến lũy linh Chứng minh Giả sử tất tự đồng cấu lũy linh mơđun R-mơđun phải M mở rộng thành tự đồng cấu lũy linh M Gọi f tự đồng cấu lũy linh E(M ), f n = với số nguyên dương n số lũy linh Chúng ta f (M ) ≤ M Chúng ta chứng minh cách quy nạp theo n Giả sử n = Đặt N = {m ∈ M : f (m) ∈ M } Khi f (N ) ≤ N Theo giả thiết suy tồn tự đồng cấu lũy linh g M cho g(x) = f (x) với x ∈ N Suy g(m) = f (m), với m ∈ M Mặt khác, tồn m0 ∈ M cho g(m0 ) = f (m0 ) Chọn x = g(m0 ) − f (m0 ) ∈ E(M ) Vì M ≤e E(M ) nên tồn r ∈ R cho = xr = g(m0 ) − f (m − 0) Suy f (m0 r) ∈ M Điều có nghĩa m0 r ∈ N Suy f (m0 r) = g(m0 r) xr = (điều mâu 14 thuẫn với lập luận trên) Như f (M ) ≤ M Giả sử n > khẳng định với n − Ta có (f )n−1 = theo giả thuyết quy nạp ta có f (M ) ≤ M Bằng cách lập luận tương tự ta chứng minh f (M ) ≤ M Do M mơđun bất biến lũy linh Hệ 2.33 Cho M R-môđun phải M Các mệnh đề sau tương đương: (1) M môđun bất biến lũy linh (2) M thỏa mãn tính chất (N) Chứng minh (2) =⇒ (1) Theo Định lý 2.2.25 (1) =⇒ (2) Cho M môđun bất biến lũy linh Gọi f tự đồng cấu lũy linh môđun N M Chúng ta f mở rộng đến đồng cấu lũy linh M Khơng tính tổng qt, ta giả sử N cốt yếu M Đặt g ∈ End(E(M )) cho g|N = f Vì f lũy linh M R môđun phải khơng quy, g tự đồng cấu lũy linh E(M ) Do g(M ) ≤ M Hệ 2.34 Mỗi môđun không suy biến có tính chất (N ) Ví dụ 2.35 Hệ 2.36 Giả sử M môđun phải vành R nửa nguyên sơ Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (1) M môđun bất biến lũy linh (2) M thỏa mãn tính chất (N) Chứng minh (2) ⇒ (1) theo Định lý 2.2.25 (1) ⇒ (2) Cho M0 môđun M f : M0 → M0 tự đồng cấu môđun M0 f n = với n ∈ N Khơng tính tổng qt, giả sử M0 ≤e M Gọi f : E (M ) → E (M ) mở rộng đồng cấu f Vì R vành nửa nguyên sơ nên J(R)m = 0, với m ∈ N Ta có f n (Soc (E (M ))) = thu f nm (E (M )) = Mặt khác M môđun bất biến lũy linh nên f (M ) ≤ M Hệ 2.37 Mỗi mơđun M có tính chất (N ) vành nửa nguyên sơ nội xạ cốt yếu (f (M ) ≤ M với f Jacobson End(E(M ))) Ta có kết kéo theo sau Đẳng cấu bất biến tính chất (N ) ⇒ bất biến lũy linh Mệnh đề 2.38 Cho M mơđun thỏa mãn tính chất (N ) f ∈ End (E (M )) tự đồng cấu lũy linh Khi (1 + f ) (Socα (M )) = Socα (M ) , ∀α Chứng minh Cho M mơđun thỏa mãn tính chất (N ) f ∈ End (E (M )) tự đồng cấu lũy linh Chúng ta chứng minh (1 + f ) (Socα (M )) = 15 Socα (M ) , với α Vì (1 + f ) ∈ Aut (E (M )) nên (1 + f ) (Soc (M )) = (1 + f ) (Soc (E (M ))) = Soc (E (M )) = Soc (M ) Bây giả sử với số thứ tự β < α, đẳng thức sau (1 + f ) (Socβ (M )) = Soc β (M ) Nếu α tự số giới hạn rõ ràng (1 + f ) (Socα (M )) = Socα (M ) Bây giả sử α tự số giới hạn α > Theo giả thiết (1 + f ) (Socα−1 (M )) = Socα−1 (M ) Vì M có tính chất (N ) nên g |Socα−1 (M ) = f |Socα−1 (M ) tự đồng cấu lũy linh g ∈ End (M ) Có tự đồng cấu g ∈ E(M ) cho g|M = (1 + g |M ) Chúng ta kiểm tra g tự đẳng cấu E (M ) Ta có (1 + f − g)((Socα (M )) ⊂ Soc(M ) có (1 + f )((Socα (M )) ⊂ (1 + f − g )((Socα (M )) + g (Socα (M ))) = Socα (M ) Cho m phần tử tùy ý Socα (M ) g (x) = m (1 + f − g ) (x) = (1 + f ) (x) với số x, x ∈ Socα (M ) Từ suy m = (1 − f ) (x − x ) Như (1 + f ) (Soc α (M )) = Soc α (M ) Hệ 2.39 Cho M môđun nửa Artin thỏa mãn tính chất (N ) Khi f (M ) = M với tự đồng cấu lũy linh đơn f ∈ End (E (M )) 2.40 Môđun bất biến lũy linh vành Goldie nguyên tố Bổ đề 2.41 Nếu M môđun bất biến lũy linh, A mơđun đóng M B môđun M mà A ∩ B = 0, A B -nội xạ Hơn nữa, cho đồng cấu h : A → M bất kì, thỏa mãn A ∩ h (A) = 0, h(A) mơđun đóng M Chứng minh Giả sử M môđun bất biến lũy linh Gọi C phần bù A M chứa B , ta suy C ⊕ A ≤e M Đặt f : H → A đồng cấu, với H môđun C Khi tồn đồng cấu g : E (C) → E (A) tự đồng cấu lũy linh φ E(M ) cho φ (M ) ≤ M , φ|C = g|C v` a φ|H = f Từ g (C) = ϕ (C) ≤ M ∩ E (A) = A suy A C -nội xạ A B -nội xạ Giả sử h : A → M đồng cấu A ∩ h (A) = Gọi K tập đóng h(A) Khi A ∩ K = Theo chứng minh trên, A K -nội xạ tồn k : K → A cho k phần mở rộng h−1 : h (A) → A, với a ∈ A Ta có a = h−1 h(a) = kh (a) thu h : A → K đồng cấu chẻ ra, h (A) = K mơđun đóng M Bổ đề 2.42 Cho R vành Goldie phải nguyên tố cho M R-môđun phải khác không, không suy biến Nếu N R môđun phải M -nội xạ N R-mơđun phải nội xạ 16 Bổ đề 2.43 Cho M môđun bất biến lũy linh phải không suy biến vành R vành Goldie phải nguyên tố (1) Nếu N mơđun đóng thực M N R-môđun phải nội xạ (2) Nếu M R-mơđun phải khơng M mơđun nội xạ Chứng minh (1) Gọi N mơđun đóng thực R môđun phải không suy biến M Khi đó, tồn mơđun N M mà N ∩ N = Kết hợp Bổ đề 2.3.1 Bổ đề 2.3.2 ta suy N R-môđun phải nội xạ (2) Giả sử M R-môđun phải không suy biến không Khi M mở rộng cốt yếu M1 ⊕ M2 , M1 M2 mơđun đóng M khác khơng khơng suy biến Từ kết (1) ta suy M1 , M2 R-môđun phải nội xạ suy M = M1 ⊕ M2 nội xạ Hệ 2.44 Mỗi môđun phải bất biên lũy linh không suy biến vành Goldie phải nguyên tố tựa liên tục (nó bất biến qua tất tự đồng cấu lũy đẳng bao nội xạ nó) Một mơđun khác khơng M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không tồn số nguyên dương n cho M chứa môđun cốt yếu có dạng U1 ⊕ U2 · · · ⊕Un với Ui M môđun Hơn nữa, số nguyên n không đổi môđun M gọi chiều chiều Goldie (Goldie rank) ký hiệu udim(M ) Nếu M = ta quy ước udim(M ) = Định lý 2.45 Cho R vành Goldie phải nguyên tố cho M Rmôđun phải với udim(M/Z (M )) > Khi điều kiện sau tương đương: (1) M môđun bất biến lũy linh (2) M môđun nội xạ Chứng minh Giả sử R vành Goldie phải nguyên tố M R-mơđun phải bất biến lũy linh có udim(M/Z(M )) > Chú ý môđun không suy biến R-môđun phải vành Goldie phải nửa ngun tố phải đóng Từ ý giả thuyết cho, có Z(M ) mơđun phải đóng thực M Khi đó, theo Bổ đề 2.3.3 ta suy Z(M ) môđun nội xạ phân tích M = Z (M ) ⊕ M , mà M R-môđun phải không suy biến Do suy udim (M ) > 1, ta suy M R-mơđun phải Theo Bổ đề 2.3.3(2) M nội xạ Như ta chứng minh M R-mơđun phải Ví dụ sau cho thấy điều kiện udim (M/Z (M )) > định lý bắt buộc phải có Ví dụ 2.46 17 Mệnh đề 2.47 Một môđun bất biến lũy linh chuỗi vành tổng quát tựa nội xạ Chứng minh Cho M môđun phải bất biến lũy linh chuỗi vành tổng quát R Khi M = ⊕i∈I Mi , mà tất R-môđun phải Mi chuỗi Chú ý R-mơđun phải khơng phân tích Mi tựa nội xạ theo [11, Định lý 5,3] Mặt khác, hạng tử trực tiếp môđun bất biến lũy linh bất biến lũy linh Mi , Mj môđun nội xạ tương hỗ Mi ⊕ Mj mơđun bất biến lũy linh Nó chứng tỏ M tựa nội xạ theo [15, Định lý 1.7] Hệ 2.48 Cho R vành Noetherian nguyên tố di truyền phải bị chặn cho M R-môđun phải với udim(M/Z (M )) = Khi điều kiện sau tương đương (1) M bất biến lũy linh (2) M tựa nội xạ Theo O zcan, Harmanci Smith [26], môđun M gọi duo yếu hạng tử trực tiếp M môđun bất biến hồn tồn Nó hạng tử trực tiếp môđun duo yếu môđun duo yếu Nhắc lại vành R gọi von Neumann quy (chính quy mạnh) với a ∈ R, ∃b ∈ R cho a = aba (tương ứng a = a2 b) Định lý 2.49 Cho môđun M không suy biến, mệnh đề sau tương đương (1) M môđun bất biến lũy linh duo yếu (2) End (E (M )) vành quy mạnh (3) E (M ) môđun duo yếu Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử M môđun bất biến lũy linh khơng suy biến Khi đó, E (M ) R-môđun phải không suy biến Khi ta suy End (E (M )) vành von Neumann quy Mặt khác, M có phân tích M = X ⊕ Y , X tựa nội xạ, Y khơng phương X, Y nội xạ tương hỗ Hom (X, Y ) = Hom (Y, X) = (xem [13]) Khi ta có E (M ) = E1 ⊕ E2 , E1 = E (X) , E2 = E (Y ) v`a Hom(E1 , E2 ) = Hom(E2 , E1 ) = Và có vành đẳng cấu End (E (M )) ∼ = End(E 1) × End(E 2) Để thể tính quy mạnh End (E (M )), cần phải chứng minh tính quy mạnh End (E1 ) End (E2 ) Chúng ta chứng minh End (E1 ) vành quy mạnh sau: Lấy ϕ ∈ End(E1 ) với ϕ2 = Chú ý X tựa nội xạ, ϕ (X) ≤ X Gọi ψ = ϕ|X ∈ End (X) v`a ψ = Khi ψ (X) ≤ Ker (ψ) Khơng tính tổng qt, giả sử Ker (ψ) không côt yếu X Lấy A 18 mơđun khác khơng đóng X cho A ∩ Ker (ψ) = Từ ta suy A hạng tử trực tiếp X ψ (A) ≤ A ∩ ψ (X) ≤ A ∩ Ker (ψ) = Từ lập luận suy A = (điều mâu thuẫn với việc A mơđun khác khơng đóng X ) Như Ker (ψ) cốt yếu X Tuy nhiên, X không suy biến Để chứng minh điều phải có ψ = Và dễ dàng ta kiểm tra ϕ = tính khơng suy biến E (X) Từ ta suy End(E1 ) vành quy mạnh Từ chứng minh chứng tỏ môđun đóng Y mơđun bất biến hồn chỉnh Y Một cách tương tự ta chứng minh End(E2 ) vành quy mạnh (2) ⇒ (3) hiển nhiên lũy đẳng End (E (M )) tâm (3) ⇒ (1) Vì End (E (M )) khơng có lũy linh khác không, M bất biến lũy linh Tiếp theo chứng minh M môđun duo yếu cách lấy A hạng tử trực tiếp M Khi A = M ∩ E (A) v`a E (A) hạng tử trực tiếp E (M ) Lấy f tự đồng cấu M f tự đồng cấu E (M ) mở rộng f Vì f (A) = f (A) = f (M ∩ E (A)) ≤ f (M ) ∩ f (E (A)) ≤ M ∩ E (A) = A Điều A bất biến qua tất tự đồng cấu M Do ta suy M mơđun duo yếu Ví dụ 2.50 19 CHƯƠNG MƠĐUN ĐỐI BẤT BIẾN LŨY LINH Trong chương này, nghiên cứu số tính chất mơđun đối bất biến lũy linh Khi đó, chúng tơi xem xét phân tích mơđun đối bất biến lũy linh mơđun đối bất biến đẳng cấu Mặt khác, đưa số điều kiện thấy trùng khớp lớp môđun đối bất biến lũy linh lớp môđun mà tất tự đồng cấu lũy linh yếu tố nâng lên tự đồng cấu lũy linh Chúng ta xem xét thuộc tính sau cho R-môđun phải M : (N*) Tất tự đồng cấu lũy linh nâng M nâng lên tự đồng cấu lũy linh M Các kết chương này, tham khảo tài liệu [12], [13], [14], [15], [16], [17] 3.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.2 Cho M R-môđun mà π : P → M phủ xạ ảnh M gọi môđun đối bất biến lũy linh ϕ (Ker (π)) ≤ Ker (π) với ϕ tự đồng cấu lũy linh P Định nghĩa 3.3 Một môđun M gọi N -xạ ảnh với môđun A N , đồng cấu α : M −→ M/A nâng tới đồng cấu β : M −→ N Nếu M M -xạ ảnh gọi môđun tựa nội xạ Kết sau cho thấy tính tương đối hạng tử trực tiếp phân tích mơđun đối bất biến lũy linh mơđun thỏa mãn tính chất (N ∗ ) 3.4 Một số tính chất ví dụ môđun đối bất biến lũy linh Định lý 3.5 Cho M R-môđun phải (1) Nếu M = X ⊕ Y thỏa mãn tính chất (N ∗ ) X Y –xạ ảnh Y X -xạ ảnh (2) Nếu M = X ⊕ Y môđun đối bất biến lũy linh với X , Y có phủ xạ ảnh, X Y -xạ ảnh Y X -xạ ảnh Chứng minh Cho N môđun M, N + Y = M A = N ∩ Y Khi đó, tồn đồng cấu f : X −→ Y /A cho N = {(x + y)|x ∈ X, y ∈ f (x) + A} Gọi π : M −→ M/A phép chiếu tự nhiên, M = M/A S = (S + A)/A, với S ≤ M 20 Khi M = X ⊕ Y Đặt f : X → Y đồng cấu sinh f cách rõ ràng Khi đồng cấu g : M → M với g (x + y) = f (y), (x ∈ X, y ∈ Y ) tự đồng cấu lũy linh không M mà nâng lên đến tự đồng cấu lũy linh h M , đặc biệt, h (x) + A = f (x) , với x ∈ X Chúng ta kiểm tra M =< h > ⊕Y với < h > = {(x, h (x)) : x ∈ M } môđun N Từ suy X Y -xạ ảnh theo [12, 4.12] Và Y X -xạ ảnh chứng minh hoàn toàn tương tự (2) Giả sử p1 : P1 → X, p2 : P2 → Y phủ xạ ảnh M = X ⊕ Y Khi p1 ⊕ p2 : P1 ⊕ P2 → M phủ xạ ảnh M Cho g : P1 → P2 đồng cấu Gọi g : P1 ⊕ P2 → P1 ⊕ P2 tính đồng cấu xác định 0 g = có g = X ⊕Y đối bất biến lũy linh, tồn g f ∈ End(X ⊕ Y ) cho f ◦ (p1 ⊕ p2 ) = (p1 ⊕ p2 ) ◦ g Lấy f = π2 ◦ f o ι1 , với ι1 : X → X ⊕ Y đẳng cấu π2 : X ⊕ Y → Y phép chiếu tắc Chúng ta kiểm tra f ◦, p1 = p2 ◦ g Điều chứng minh X Y -xạ ảnh Tương tự ta chứng minh Y X -xạ ảnh Định lý 3.6 Nếu M thỏa mãn tính chất (N ∗ ) có phủ xạ ảnh M môđun đối bất biến lũy linh Chứng minh Giả sử M thỏa mãn tính chất (N ∗ ) α : P −→ M phủ xạ ảnh M Khơng tính tổng qt, giả sử M = P/Ker (α) Cho f đồng cấu lũy linh P tồn số nguyên dương n cho f n = Chúng ta chứng minh f (Ker (α)) ≤ Ker (α) Để có điều này, f (Ker (α)) ≤ Ker (α) Thực quy nạp theo n Với n = hiển nhiên Giả sử khẳng định chúng cho n−1 Chúng ta có (f )n−1 = theo giả thuyết quy nạp, ta có rằng, f (Ker (α)) ≤ Ker (α) Đặt N = Ker (α) + f (Ker (α)) α : P/Ker (α) → P/N đồng cấu tắc Chúng ta có f (Ker (N )) ≤ Ker (N ) dễ dàng có tồn đồng cấu f : P/N → P/N với α ◦ α ◦ f = f ◦ α ◦ α Theo lập luận có tự đồng cấu f : P/Ker (α) → P/Ker (α) cho f ◦ α = α ◦ f Mặt khác, từ tính xạ ảnh P , có α◦ g = f ◦ α cho số tự đồng cấu g P Từ α ◦ α ◦ f = f ◦ α ◦ α α◦ α ◦ g = f ◦ α ◦ α cho (f − g) (P ) ≤ N Với phần tử p ∈ N có đẳng thức f (p) − g (p) = f (p ) + p với p1 , p2 ∈ Ker (α) Ta có: α (f − g) (p−p1 ) = α(p2 +g(p1 )) = thu p ∈ Ker (α (f − g))+ Ker (α) Ta suy P = Ker (α (f − g)) + Ker (α) = Ker (α (f − g)) Và (f − g) (P ) ≤ Ker (α) Mặt khác, có g (Ker (α)) ≤ Ker (α)và f (Ker (α)) ≤ (f − g) (Ker (α)) + g (Ker (α)) ≤ Ker (α) Vậy M môđun đối bất biến lũy linh Hệ 3.7 Cho M R-môđun phải vành nửa nguyên tố R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun đối bất biến lũy linh 21 (2) M thỏa mãn tính chất (N ∗ ) Chứng minh (2) ⇒ (1) theo Định lý 3.2 (1) ⇒ (2) Cho M môđun đối bất biến lũy linh, K môđun M f tự đồng cấu lũy linh M/K Chúng ta chứng minh f tự đồng cấu lũy linh nâng M Thật vậy, đặt p : P → M phủ xạ ảnh M α : M → M/K phép chiếu tự nhiên Từ tính xạ ảnh P , có phân tích P = P1 ⊕ P2 Do p(P2 ) = đồng cấu α◦ p◦ ι mộtphủ xạ ảnh M/K , với ι : P → P phép nhúng tắc Vì P1 môđun xạ ảnh nên tồn đồng cấu f P1 mà α◦ p◦ ι◦ f = f◦ α◦ p◦ ι Mặt khác, f lũy linh nên tồn n ∈ N mà f n = Ta kiểm tra lại rằng: (f )n (P1 ) ⊂ Ker (α◦ p◦ ι) ⊂ P1 J (R) Ta biết, Jacobson R iđêan lũy linh Nó có nghĩa tồn m ∈ N với J(R)m = 0, có (f )mn (P1 ) ⊂ P1 J (R) m = Khi đồng cấu f ⊕ : P1 ⊕ P2 → P1 ⊕ P2 lũy linh Vì M môđun đối bất biến lũy linh nên có đồng cấu g : M → M mà g◦ p = p(f ⊕ 0) Ta kiểm tra g mn = Từ α◦ p◦ (f ⊕ 0) = f◦ α◦ p g◦ p = p◦ (f ⊕ 0) nên f◦ α◦ p = α◦ g◦ p Điều chứng tỏ f◦ α = α◦ g Môđun M gọi không đối suy biến với môđun N khác không đồng cấu khác không f : M → N , Im (f ) không môđun bé N Hệ 3.8 Cho M R-môđun phải khơng đối suy biến R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun đối bất biến lũy linh (2) M thỏa mãn điều kiện (N ∗ ) Bổ đề 3.9 Cho π : P → M bao xạ ảnh R-môđun phải M đối bất biến lũy linh P = P1 ⊕ P2 ⊕ P3 Nếu P1 ∼ = P2 , Ker (π) = (P1 ∩ Ker (π)) ⊕ (P2 ∩ Ker (π)) ⊕ (P3 ∩ Ker (π)) Chứng minh Theo giả thiết bổ đề, có đẳng cấu f : P1 → P2 Đặt πi : P → i (i = 1, 2, 3) phép chiếu tắc Xét tự đồng cấu sau φ1 : P → P , xác định ϕ(x1 +x2 +x3 ) = f (x1 ), ∀x1 ∈ P1 , x2 ∈ P2 , x3 ∈ P3 φ2 : P → P , xác định φ(x1 + x2 + x3 ) = f −1 (x2 ), ∀x1 ∈ P1 , x2 ∈ P2 , x ∈ P3 Ta kiểm tra lại φ1 φ2 tự đồng cấu lũy linh P Vì M môđun đối bất biến lũy linh, φ1 (Ker(π)) ⊆ Ker(π) φ2 (Ker (π)) ⊆ Ker (π) Lấy m phần tử tùy ý Ker(π ) Khi phần tử x1 ∈ P1 , x2 ∈ P2 x3 ∈ P cho m = x1 + x2 + x3 Khi ta có φ2 φ1 (m) = x1 , φ1 φ2 (m) = x2 , dễ dàng x1 , x2 , x3 ∈ Ker (π) có Ker (π) = (P1 ∩ Ker (π)) ⊕ (P2 ∩ Ker (π)) ⊕ (P3 ∩ Ker (π)) Bổ đề 3.10 Cho R vành hồn chỉnh phải cho M R-mơđun phải đối bất biến đẳng cấu khơng phân tích được, với π : P → M phủ 22 xạ ảnh M Nếu M không tựa xạ ảnh P có phân tích P = ⊕ P , i∈I mà {Pi } i∈I môđun xạ ảnh khơng phân tích đơi khơng đẳng cấu, |I| > End(Pi )/J(End(Pi )) ∼ = Z2 , ∀ i ∈ I Bổ đề 3.11 R vành hoàn chỉnh cho M R-môđun phải mà π : P → M phủ xạ ảnh M Khi mệnh đề sau tương đương: (1) M môđun cyclic đối khơng phương (2) P tổng trực tiếp môđun địa phương đôi không đẳng cấu Chứng minh (1) ⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇒ (1) Giả sử có tự đồng cấu khác không R môđun phải f : M → M1 ⊕ M2 , mà M1 ∼ = M2 Đặt π1 : P1 → M1 , π2 : P2 → M2 phủ xạ ảnh môđun M1 M2 tương ứng Khi π ⊕ π2 : P1 ⊕ P2 → M1 ⊕ M2 phủ xạ ảnh M1 ⊕ M2 P1 ∼ = P2 Theo tính xạ ảnh P , tồn tự đồng cấu g P mà (π1 ⊕ π )◦ g = f ◦ π Từ Ker(π1 ⊕ π2 ) P1 ⊕ P2 với g tự đồng cấu Từ suy P1 ⊕ P2 đẳng cấu với tổng trực tiếp P , mâu thuẫn với điều kiện (2) Do M đối khơng phương Như từ điều kiện (2) ta suy M/J (M ) ∼ = P/J (P ) mà môđun cyclic Chúng ta suy M mơđun cyclic, J(M ) bé M Định lý 3.12 Cho R vành hoàn chỉnh cho M R-môđun phải đối bất biến đẳng cấu Khi M có phân tích: M = P ⊕ (⊕ni=1 Qi ), n n i=1 i=1 P mơđun tựa xạ ảnh, End( ⊕ Qi )/J( ⊕ Qi ) vành Boolean hữu n hạn ⊕ Qi mơđun cyclic đối khơng phương, mà Qi khơng i=1 phương, với ≤ i ≤ n Chứng minh Hệ 3.13 Nếu M môđun phải đối bất biến đẳng cấu khơng phân tích được, trên vành đầy đủ phải, M mơđun cyclic đối ngẫu khơng phương Chứng minh tương tự chứng minh Định lý 3.3.7 Định lý 3.14 Cho R vành hồn chỉnh cho M R-mơđun phải đối bất biến lũy linh Khi M có phân tích M = P ⊕ Q, với P mơđun tựa xạ ảnh, Q môđun cyclic tự đầy đủ tổng trực tiếp khác không Q không tựa xạ ảnh Hệ 3.15 Nếu M môđun phải đối bất biến lũy linh không phân tích vành đầy đủ, M mơđun cyclic đối ngẫu khơng phương 23 Định lý 3.16 Cho R vành hòa chỉnh M R-môđun phải đối bất biến lũy linh hữu hạn sinh Nếu M/J(M ) mơđun phương đầy đủ, M mơđun tựa xạ ảnh Ví dụ 3.17 Hệ 3.18 Cho R vành hoàn chỉnh phải bất biến M R-môđun phải hữu hạn sinh Các điều kiện sau tương đương (1) M môđun đối bất biến đẳng cấu (2) M môđun đối bất biến lũy linh (3) M môđun tựa xạ ảnh Chứng minh Trực Định lý 3.2.11 thực tế môđun phải cyclic vành bất biến phải tựa xạ ảnh Hệ 3.19 Cho R vành hoàn kiện sau tương đương: (1) Mỗi R-môđun phải cyclic (2) Mỗi R-môđun phải cyclic (3) Mỗi R-môđun phải cyclic (4) R vành bất biến phải 24 chỉnh phải bất biến phải Các điều môđun đối bất biến đẳng cấu môđun đối bất biến lũy linh môđun tựa xạ ảnh KẾT LUẬN Luận văn “Lớp môđun bất biến đối bất biến lũy linh” hồn thành mục đích nghiên cứu đưa Cụ thể đề tài đã tổng quan vấn đề sau: Tổng quan khái niệm môđun bất biến đối bất biến lũy linh Trình bày định lý, tính chất liên quan đến môđun bất biến đối bất biến lũy linh Tổng quan định lý, tính chất liên quan đến môđun bất biến đối bất biến lũy linh vành Goldie nguyên tố 25 ... niệm môđun bất biến lũy linh Định nghĩa 2.2 Cho M R -môđun phải M gọi bất biến lũy f (M ) ≤ M với tự đồng cấu lũy linh f E(M ) Chúng ta gọi vành R bất biến lũy linh phải RR môđun bất biến lũy linh. .. xét phân tích môđun đối bất biến lũy linh môđun đối bất biến đẳng cấu Mặt khác, đưa số điều kiện thấy trùng khớp lớp môđun đối bất biến lũy linh lớp môđun mà tất tự đồng cấu lũy linh yếu tố nâng... biến đối bất biến lũy linh Trình bày định lý, tính chất liên quan đến mơđun bất biến đối bất biến lũy linh Tổng quan định lý, tính chất liên quan đến mơđun bất biến đối bất biến lũy linh vành Goldie